《圆、扇形、弓形》学案。
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《圆、扇形、弓形》学案
教学目标:
1、在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上,会计算弓形面积;
2、培养学生观察、理解能力,综合运用知识分析问题和解决问题的能力;
3、通过面积问题实际应用题的解决,向学生渗透理论联系实际的观点.
教学重点:扇形面积公式的导出及应用.
教学难点:对图形的分解和组合、实际问题数学模型的建立.
教学活动设计:
(一)概念与认识
弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
弦AB把圆分成两部分,这两部分都是弓形.弓形是一个最简单的组合图形之一.
(二)弓形的面积
提出问题:怎样求弓形的面积呢?
学生以小组的形式研究,交流归纳出结论:
(1)当弓形的弧小于半圆时,弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差;
(2)当弓形的弧大于半圆时,它的面积等于扇形面积与三角的面积的和;
(3)当弓形弧是半圆时,它的面积是圆面积的一半.
理解:如果组成弓形的弧是半圆,则此弓形面积是圆面积的一半;如果组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积;如果组成弓形的弧是优弧,则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积.也就是说:要计算弓形的面积,首先观察它的弧属于半圆?劣弧?优弧?只有对它分解正确才能保证计算结果的正确.
(三)应用与反思
练习:
(1)如果弓形的弧所对的圆心角为60°,弓形的弦长为a,那么这个弓形的面积等于_______;
(2)如果弓形的弧所对的圆心角为300°,弓形的弦长为a,那么这个弓形的面积等于_______.
(学生独立完成,巩固新知识)
例3、水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m,其中水面高是0.3m.求截面上有水的弓形的面积.(精确到0.01m2)
教师引导学生并渗透数学建模思想,分析:
(1)“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你提供了什么数学信息?
(2)求截面上有水的弓形的面积为你提供什么信息?
(3)扇形、三角形、弓形是什么关系,选择什么公式计算?
学生完成解题过程,并归纳三角形OAB的面积的求解方法.
反思:①要注重题目的信息,处理信息;②归纳三角形OAB的面积的求解方法,根据条件特征,灵活应用公式;③弓形的面积可以选用图形分解法,将它转化为扇形与三角形的和或差来解决.
例4、已知:⊙O的半径为R,直径AB⊥CD,以B为圆心,以BC为半径作.求与围成的新月牙形ACED的面积S.
解:∵,
有∵,Www.JAb88.com
,,
∴.
组织学生反思解题方法:图形的分解与组合;公式的灵活应用.
(四)总结
1、弓形面积的计算:首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧,从而选择分解方案;
2、应用弓形面积解决实际问题;
3、分解简单组合图形为规则圆形的和与差.
(五)作业教材P183练习2;P188中12.
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圆、扇形、弓形的面积(二)
教案课件是老师不可缺少的课件,大家应该开始写教案课件了。只有写好教案课件计划,才能够使以后的工作更有目标性!你们知道哪些教案课件的范文呢?下面是小编为大家整理的“圆、扇形、弓形的面积(二)”,希望对您的工作和生活有所帮助。
教学目标:
1、使学生在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上,会计算弓形面积;
2、会计算一些简单的组合图形的面积.
3、通过弓形面积的计算培养学生观察、理解能力,综合运用知识分析问题和解决问题的能力;
4、通过运用弓形面积的计算解决实际问题,培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力;
5、通过学生对弓形及简单组合图形面积的计算,培养学生正确迅速的运算能力.
教学重点:
弓形面积的计算.
教学难点:
(1)简单组合图形的分解.
(2)从实际问题中抽象出数学模型.
教学过程:
一、新课引入:
上一节我们复习了圆的面积,在它的基础上我们学习了扇形的面积,本节课就要在前一课的基础上学习弓形面积的计算.
弓形是一个最简单的组合图形之一,由于有圆的面积、扇形面积、三角形面积做基础,很容易计算弓形的面积.
由于计算弓形的面积不像圆面积和扇形面积那样有公式,当弓形的弧小于半圆时,弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差;当弓形的弧大于半圆时,它的面积等于扇形面积与三角的面积的和;当弓形弧是半圆时,它的面积是圆面积的一半.也就是说要计算弓形的面积首先要观察这个弓形是怎么组合而成的,从而得到启发;一些组合图形的面积总要分解为几个规则图形的和与差来解决的方法.所谓规则图形指的是有计算公式的图形.因此弓形面积的计算以及受它启发的分解组合图形求面积的方法就是本节课的重点.本节拟就三部分组成:1.师生共同观察分解弓形,然后作有关的练习.2.运用弓形面积的计算解决实际问题.3.受分解弓形的启发分解一些简单的图形.
二、新课讲解:
(复习提问):1.请回答圆的面积公式.2.请回答扇形的面积公
(以上三问应安排中下生回答)4.请同学看图7-163,弦AB把圆分成两部分,这两部分都是弓形,哪位同学记得弓形的定义?(安排中下生回答:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.)
所组的弓形.它的面积能不能跟扇形面积联系上呢?(安排中上生回答:能,连结OA、OB).大家再观察图形,这个弓形的面积如何通过扇形
也就是说组成弓形的弧如果是劣弧,那么它的面积应该等于以此劣弧与半径组成的扇形面积减去这两半径与弦组成的三角形的面积.
和半径OA、OB组成的图形是扇形吗?为什么?(安排中上生回答:是,因为它符合扇形的定义.)
如果弦AB是⊙O的直径,那么以AB为弦,半圆为弧的弓形的面积又是多少?(安排中下生回答:圆面积的一半.)
于是我们得出结论:如果组成弓形的弧是半圆,则此弓形面积是圆面积的一半;如果组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积;如果组成弓形的弧是优弧,则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积.也就是说:要计算弓形的面积,首先观察它的弧属于半圆?劣弧?优弧?只有对它分解正确才能保证计算结果的正确.
哪位同学知道要对这种题进行计算,首先要作什么工作?(安排中下
三角形AOB的面积怎么求?(安排中上生回答:过O作OD⊥AB,垂
以只要解此△AOD即可求出OD、AD的长,则S△AOB可求.)
请同学们把这题计算出来.(安排一学生上黑板做,其余在练习本上
请同学们讨论研究第2题,并计算出它的结果.(安排中上生上黑板
(幻灯提供例题:)水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m,其中水面高是0.3m.求截面上有水的弓形的面积.(精确到0.01m2)
“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你提供了什么数学信息?(安排中上生回答:⊙O的半径是0.6m.)“其中水面高是0.3m”.又为你提供了什么信息?(安排中上生回答:弓形高CD是0.3m.)“求截面上有水的弓形的面积为你提供什么信息?(安排中等生回答:
长,看看已知条件,你打算怎么办?(安排中上学生回答:因弓形高CD已知,半径已知,所以弦心距OD可求,根据垂径定理,Rt△AOD可解,即∠AOD的度数可求,所以∠AOB的度数可求.n既然可求当然
请问△AOB的面积又该如何求?(安排中等学生回答:通过解此△AOD可求出AD的长,再据垂径定理可求AB的长,OD已求,所以S△AOB可求.)
请同学们完成这道应用题.(安排一位中上学生到黑板做,其余学生在练习本上完成).
弓形面积虽然没有计算公式,但可以选用图形分解法,将它转化为扇形与三角形的和或差来解决,那么其它一些组合图形,不也可以用图形分解法来求其面积吗?
幻灯示题:如图7-166,已知正△ABC的边长为a,分别以A、B、
图形面积S.
显然图形中阴影部分的面积无计算公式,因此必须将它转化为有公式图形的和或差来解决.想想看,你打算如何求S阴?(安排中等生回答:S阴=S正△ABC-3S扇)
正三角形的边长为a,显然S正△ABC可求.由于正△ABC,所以∠
请同学们完成此题.(安排一中上学生上黑板,其余在练习本上完成).
幻灯示题:已知:⊙O的半径为R,直径AB⊥CD,以B为圆心,
大家观察,图(7-167)中的阴影部分面积应当如何求?(安排中下生回
我的看法对还是不对?为什么?(安排举手的学生回答:图形BCAD不是扇形,因为扇形的定义是在同一个圆中,一条弧和过弧端点的两条半径
的半径.因此将阴影面积看成两扇形的差是错误的.)
请同学们按照正确思路完成此题.(安排一中等学生上黑板,其余学生在练习本上做)
三、课堂小结:
哪位同学能为本节课作总结?(安排中上学生回答:1.弓形面积的计算:首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧,从而选择分解方案.2.应用弓形面积解决实际问题.3.分解简单组合图形为规则圆形的和与差.)
四、布置作业
教材P.183练习1、2;P.188中12.
圆、扇形、弓形的面积(三)
老师会对课本中的主要教学内容整理到教案课件中,大家应该开始写教案课件了。我们制定教案课件工作计划,才能对工作更加有帮助!你们会写多少教案课件范文呢?为了让您在使用时更加简单方便,下面是小编整理的“圆、扇形、弓形的面积(三)”,仅供您在工作和学习中参考。
教学目标:
1、简单组合图形的分解;
3、通过简单组合图形的分解,培养学生的观察能力、发散思维能力和综合运用知识分析问题、解决问题的能力.
4、通过对S△与S扇形关系的探讨,进一步研究正多边形与圆的关系,培养学生抽象思维能力和归纳概括能力.
教学重点:
简单组合图形的分解.
教学难点:
正确分解简单的组合图形.
教学过程:
一、新课引入:
上节课学习了弓形面积的计算,并且从中获得了简单组合图形面积的计算可转化为规则图形的和与差来解决的方法.今天我们继续学习“7.20圆、扇形、弓形的面积(三)”,巩固化简单组合图形为规则图形和与差的方法.
学生在学习弓形面积计算的基础上,获得了通过分解简单组合图形,计算其面积的方法.但要正确分解图形,还需一定题量的练习,所以本堂课为学生提供练习题让学生们互相切磋、探讨.通过正多边形的有关计算的复习进一步理解正多边形与圆的关系,随着正多边形边数增加,周长越来越趋向于圆的周长,面积越来越趋向于圆的面积,使学生初步体会极限的思想,了解S△与S扇形之间的关系.
二、新课讲解:
(复习提问):1.圆面积公式是什么?2.扇形面积公式是什么?如何选择公式?3.当弓形的弧是半圆时,其面积等于什么?4.当弓形的弧是劣弧时,其面积怎样求?5.当弓形的弧是优弧时,其面积怎样求?(以上各题均安排中下生回答.)
(幻灯显示题目):如图7-168,已知⊙O上任意一点C为圆心,以R
从题目中可知⊙O的半径为R,“以⊙O上任意一点C为圆心,以R为半径作弧与⊙O相交于A、B.”为我们提供的数学信息是什么?(安排中上生回答:A、B到O、C的距离相等,都等于OC等于R.)
转化为弓形面积求呢?若能,辅助线应怎样引?(安排中等生回答:能,连结AB.)
大家观察图形不难发现我们所求图形实质是两个弓形的组合,即
倍?(安排中下生回答:因已知OA=OC=AC所以△OAC是等边三角
同学们讨论研究一下,S△AOB又该如何求呢?(安排中上等生回答:求S△AOB,需知AB的长和高的长,所以设OC与AB交点为D.∵∠AOC=60°,OA=R∴解Rt△AOD就能求出AB与高OD.)连结OC交AB于D怎么就知OD⊥AB?(安排中等生回答:根据垂径定理∵C是AB中点.)
同学们互相研究看,此题还有什么方法?
下面给出另外两种方法,供参考:
幻灯展示题目:正方形的边长为a,以各边为直径,在正方形内画半圆,求所围成的图形(阴影部分)的面积.
请同学们仔细观察图形,思考如何分解这个组合图形.同学间互相讨论、研究、交流看法:
现将学生可能提出的几种方案列出,供参考:
方案1.S阴=S正方形-4S空白.观察图形不难看出SⅡ+SⅣ=S正方形-
方案2.观察图形,由于正方形ABCD∴∠AOB=90°,由正方形的轴对称性可知阴影部分被分成八部分.观察发现半圆AOB的面积-△
即可.即S阴=4S瓣而S瓣=S半⊙-S△AOB∴S阴=4.(S半⊙-S△AOB)=2S⊙-4S△AOB=2S⊙-S正方形.
方案4.观察扇形EAO,一瓣等于2个弓形,一个S弓形=S扇OA-
方案5.观察Rt△ABC部分.用半圆BOC与半圆AOB去盖Rt△ABC,发现这两个半圆的和比Rt△ABC大,大出一个花瓣和两个弓形,而这两个弓形的和就又是一个瓣.因此有2个S瓣=2个S半圆-SRt△ABC=
方案6.用四个半圆盖正方形,发现其和比正方形大,大的部分恰是S即:
在学生们充分讨论交流之后,要求学生仔细回味展示出来的不同解法.尤其要琢磨这些解法是怎样观察、思考的.
幻灯展示练习题:1.如图7-176,已知正△ABC的半径为R,则它的外接圆周长是____;内切圆周长是____;它的外接圆面积是____;
2.如图7-177,已知正方形ABCD的半径R,则它的外接圆周长是____;内切圆周长是____;它的外接圆面积是____;它的内切圆面积
3.如图7-178,已知正六边形ABCDEF的半径R,则它的外接圆的周长是____;内切圆周长是____;它的外接圆
将上面三片复合到一起.如图7-179,让学生观察,随着正多边形边数的增加,周长和面积有什么变化?(安排中等学生回答:随着正多边形边数的增加,周长越来越接近圆的周长,面积越来越接近圆的面积.)正因为如此,所以古代人用增加正多边形边数的方法研究圆周率π,研究圆的周长与圆的面积的计算.
大家再观察,随着正多边形边数的增加,边长越来越接近于弧,再看正多边形的边心距越来越接近于圆的半径,所以以边长为底,边心距
三、课堂小结:
安排学生归纳所学知识内容:1.简单组合图形的分解;2.复习了正多边形的计算以及以此为例,复习了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算.进一步理解了正多边形和圆的关系定理.
四、布置作业
教材P185.练习1、2、3;P.187中8、11.圆学案
《圆》第二节点和圆位置关系导学案1
主审人:
班级:学号:姓名:
学习目标:
【知识与技能】
弄清并掌握点和圆的三种位置关系及数量间的关系,探求过点画圆的过程,掌握过不在同一直线上三点画圆方法;了解运用“反证法”证明命题的思想方法
【过程与方法】
通过生活中的实际事例,探求点和圆三种位置关系,并提炼出相关的数学知识,从而渗透数形结合、分类讨论等数学思想
【情感、态度与价值观】
通过本节知识的学习,体验点和圆的位置关系与生活中的射击、投掷等活动紧密相连,感知数学就在我们身边。从而更加热爱生活,激发学习数学的兴趣。
【重点】
⑴圆的三种位置关系;⑵三点的圆;⑶证法;
【难点】
⑴线和圆的三种位置关系及数量间的关系;⑵反证法;
学习过程:
一、自主学习
(一)复习巩固
1、圆的定义是
2、什么是两点间的距离:
(二)自主探究
1、放寒假了,爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛。他们把靶子钉在一面墙上,规则是谁掷出落点离红心越近,谁就胜。如下图中A、B、C三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点,你认为这一轮中谁的成绩好?
2、观察下图这些点与圆的位置关系有哪几种?
3、点与圆的位置与这些点到圆心的距离有何关系?
到圆心的距离等于半径的点在,大于半径的点在,小于半径的点在.
4、在平面内任意取一点P,若⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,
那么:
点P在圆dr
点P在圆dr
点P在圆dr
5、若⊙A的半径为5,点A的坐标为(3,4),点P的坐标为(5,8),则点P的位置为()
A.在⊙A内B.在⊙A上
C.在⊙A外D.不确定
6、两个圆心均为O的甲,乙两圆,半径分别为r1和r2,且r1<OA<r2,那么点A在()
A.甲圆内B.乙圆外
C.甲圆外,乙圆内D.甲圆内,乙圆外
7、探索确定圆的条件
经过一点可以作无数条直线,经过二点只能作一条直线,
那么,经过一点能作几个圆?经过二点、三点呢?请同学们按下面要求作圆.
(1)作圆,使该圆经过已知点A,你能作出几个这样的圆?
(2)作圆,使该圆经过已知点A、B,你是如何做的?你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么?
(3)作圆,使该圆经过已知点A、B、C三点(其中A、B、C三点不在同一直线上),你是如何做的?如何确定圆心?你能作出几个这样的圆?
结论:不在同一直线上的三个点确定圆
8、经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的圆.
外接圆的圆心是三角形三条边的交点,叫做这个三角形的心.
9、用反证法的证明:经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆.
证明:如图,假设过同一直线L上的A、B、C三点可以作一个圆,设这个圆的圆心为P,那么点P既在线段AB的垂直平分线L1,又在线段的垂直平分线L2,即点P为L1与L2的点,而L1⊥L,L2⊥L,这与我们以前所学的“过一点有且只有条直线与已知直线”矛盾.所以,过同一直线上的三点不能作圆.
上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同,它不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立(即假设过同一直线上的三点可以作一个圆),由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到命题成立.这种证明方法叫做.
在某些情景下,反证法是很有效的证明方法.
10、用反证法证明:若∠A、∠B、∠C分别是的三个内角,
则其中至少有一个角不大于60°
11、判断正误
①经过三个点一定可以作圆.()
②任意一个三角形一定有一个外接圆.()
③任意一个圆一定有一内接三角形,并且只有一个内接三角形.()
④.三角形的外心到三角形各个顶点的距离都相等.()
(三)、归纳总结:
1.点和圆的位置关系有、和;不在的三个点确定一个圆;
2、反证法是
(四)自我尝试:
1、已知⊙P的半径为3,点Q在⊙P外,点R在⊙P上,点H在⊙P内,
则PQ__3,PR____3,PH_____3
2、⊙O的半径为10cm,A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm,则点A、B、C与⊙O的位置关系是:点A在;点B在;点C在;
3、正方形ABCD的边长为2cm,以A为圆心2cm为半径作⊙A,则点B在⊙A;点C在⊙A;点D在⊙A。
4、某地出土一明代残破圆形瓷盘,如图所示.为复制该瓷盘确定
其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心.
5、下列图形中四个顶点在同一个圆上的是()
A.矩形、平行四边形B.菱形、正方形
C.正方形、平行四边形D.矩形、等腰梯形
6、一个三角形的外心在三角形的内部,则这个三角形是三角形.
7、.在中,,,,则此三角形的外心是,外接圆的半径为.
8、.在中,,外心到的距离为,则外接圆的半径为.
9、.已知矩形的边,.
⑴以点为圆心,为半径作⊙,求点、、与⊙的位置关系;
⑵若以点为圆心作⊙,使得、、三点中有且只有一点在圆外,求⊙的半径的取值范围.
二、教师点拔
1、三角形外接圆的圆心叫三角形的,它是三角形三边的交点。三角形的外心到三角形的的距离相等。要注意的是,锐角三角形的外心在三角形的;直角三角形的外心是三角形是三角形的;钝角三角形的外心在三角形的;反之成立;
2、反证法是证明问题的一种方法。反证法证明的一般步骤:首先假设不成立,然后进行,得出与所设相矛盾,或与已知矛盾,或与学过的定义、定理、公理等相矛盾。最后得出结论,成立。
三、课堂检测
1.已知⊙的直径为,若点是⊙内部一点,则的长度的取值范围为()
A.B.C.D.
2.直角三角形的两条直角边分别为和5,则其外接圆的半径为()
A.5B.12C.13D.6.5
3.下列命题不正确的是()
A.三点确定一个圆B.三角形的外接圆有且只有一个
C.经过一点有无数个圆D.经过两点有无数个圆
4.、、是平面内的三点,,,,下列说法正确的是()
A.可以画一个圆,使、、都在圆上B.可以画一个圆,使、在圆上,在圆外
C.可以画一个圆,使、在圆上,在圆外D.可以画一个圆,使、在圆上,在圆内
5.三角形的外心是()
A.三角形三条中线的交点B.三角形三条高的交点
C.三角形三条角平分线的交点D.三角形三条边的垂直平分线的交点
6.若⊙的半径为5,圆心的坐标为(3,4),点的坐标(5,8),则点的位置为()
A.⊙内B.⊙上C.⊙外D.不确定
四、课外训练
1、已知⊙的半径为5,为一点,当时,点在;当时,点在圆内;当时,点在.
2、已知的三边长分别为6、8、10,则这个三角形的外接圆的面积为________.(结果用含π的代数式表示)
3、如图,通过防治“非典”,人们增强了卫生意识,大街随地乱扔生活垃圾的人少了,人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中,如图所示,、、为市内的三个住宅小区,环保公司要建一垃圾回收站,为方便起见,要使得回收站建在三个小区都相等的某处,请问如果你是工程师,你将如何选址.
4、如图,在中,,,,,以点为圆心,为半径画⊙,请判断、、与⊙的位置关系,并说明理由.