高三语文总复习教学案1。
一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助教师提前熟悉所教学的内容。那么怎么才能写出优秀的教案呢？下面是小编帮大家编辑的《高三语文总复习教学案1》，供大家借鉴和使用，希望大家分享！
高三语文总复习教学案
第四专题像山那样思考
现代文部分
【知识梳理】
一、语音吧台
给下列加点的字注音：
品茗涮羊肉蛰居远阜
脂粉曝背谈天铭刻 嘈杂
乌桕赭色 冬霖 粗犷
恣意槎桠剔透弥漫
吻合 震天撼地诞语 惊骇
天籁咆哮山脊 深邃
大龙湫奔放不羁 欢跃 诞语
翡翠 深邃千峰万壑 惊骇
气氛安谧 垭口 攫来
倚托 混沌 瘴气瞅着
物什 酝酿 炫目 阴霾
土坯 浸润 涟漪蓊郁
瞭望忧悒 毛蕊花惬意
正月追溯丧服地窖
莴苣蔑视迸发蠕动
饿殍艾蒿补偿蜿蜒
二、字形超市
改正下列词语中的错别字：
莫明其妙渲羊肉蜇居丰臾
惊世胲俗回光反照稳丝不动游戈
深隧一弘湖水毛骨耸然残羹冷灸
三、词语网络
（一）近义词辨析
1．怀恋怀念
怀念：思念。重在表达现在对已逝过去的思念之情。例如：怀念故乡/怀念亲人。
怀恋：怀念。重在表达现在对过去的事物或过去所经历的时光的喜爱，进而产生的一种怀念。例如：怀恋故园风物。
2．面目一新耳目一新
面目一新：样子完全变新（指变好）。例如：这个工厂经过改建，已经面目一新了。
耳目一新：听到的看到的都换了样子，感到很新鲜。例如：油画家王秀章将油画与雕塑相结合创作的“立体油画”令观众耳目一新。
3．黯淡暗淡
黯淡：指色彩昏暗，不鲜艳。例如：色彩黯淡。
暗淡：指光线、色彩、前景等昏暗、不鲜明、不光明。例如：屋子里灯光暗淡。
4．观念理念
观念：①思想意识；②客观事物在人脑里留下的概括的形象。例如：新形势下，我们应该破除旧的传统观念。
理念：①信念；②思想、观念：经营，文化；例如：企业应该奉行安全第一、质量至上、开发创新、互动多赢的经营理念。
5．振荡震荡
振荡：①振动；②电流的周期性变化。多用于具体的事物，例如：电磁振荡。
震荡：震动，动荡。多用于较抽象的事物，例如：社会震荡，思想震荡。
6．反省反思
反省：回想自己的思想行动，检查其中的错误。“反省”测重于检查错误，例如：近年来，我国煤炭企业事故不断，给国家和个人造成巨大的损失，有关责任人应该好好反省。
反思：思考过去的事情，从中总结经验教训。“反思”测重总结经验教训，例如：我们应该
对自己的错误进行深刻反思。
7．沟通勾通
沟通：指使两方能通连，褒义，如：沟通感情。
勾通：指暗中串通，勾结，贬义，如：他经常勾通土匪来村里骚扰。
8．暴力暴戾
暴力：名词，①强制的力量，武力，如：因为格里高尔犯了什么暴力行为；②特指国家的强制力，如：军队对于敌对阶级是一种暴力。
暴戾：形容词，指粗暴乖张，残酷凶恶，如：这个老板真是暴戾，动辄对工人进行打骂。
9．埋没湮没
埋没：具有理在地下的形象比喻色彩和“糟蹋”的意味，一般用于人才、天才，使用频率较高。例如：领导阶层要善于发现人才，而不是埋没人才。
湮没：含有像淤塞似地、盖死的意味，是书面语，除用于人才外，还可用于某些事物，可以同“无闻”或“失传”搭配。例如：如此英雄将才,竟湮没无闻,可惜可叹!
10．年青年轻
年青：含有处于青春朝气蓬勃时期的意味，只用在绝对意义下的十几岁至二十几岁，不能相对地用于四五十岁或中年以上。例如：你正年青，应把精力用到学习上去。
年轻：既可用在绝对意义下的十几岁至二十几岁、三十上下，也可用在相对来说岁数不算很大的情形，如八十岁的人说五六十岁的人是年轻。
11．偶尔偶然
偶尔：（也写作“偶而”）着眼于数量，次数少，有时跟“经常”相对。例如：他经常写小说，偶尔也写诗。
偶然：①着眼于意外，从一般事理或一般规律上看，事情的发生是意外的，是在规律之外，跟“必然”相对。例如：出现这一情况十分偶然。②“偶然”还有形容词意义，表示并非必然，常作定语、谓语；“偶尔”一般不这么用。如“偶然事故”。
（二）熟语积累
【莫名其妙】（也作“莫明其妙”）：没有人能说出它的奥妙（道理）。表示事情很奇怪，使人不明白。例如：我又没做错事,他却向我大吼大叫,真是莫名其妙。
【直截了当】（言语、行动等）简单爽快。如：明快的语言风格的特点是遣词造句,明白畅快,表情达意,直截了当。
【浩浩荡荡】①水势大。②形容广阔或壮大。例如：游行队伍浩浩荡荡地通过天安门广场。
【千姿百态】形容姿态多种多样，各不相同。例如：天上的云变化多端,有时如透明的纱巾,有时像盛开的棉花,有时似奔腾的骏马,真是千姿百态,美不胜收。
【惊天动地】①形容声音特别响亮。②形容声势浩大或事业伟大。如“惊天动地的伟业”。
【洋洋洒洒】①形容文章或谈话丰富明快，连续不断。②形容规模或气势盛大。如：作文本身就是一项大工程,它不是简单的组词或造句,就算来了一个灵感,你要洋洋洒洒地写上好几百个字也非易事。
【气势磅礴】气势盛大。例如：《沁园春长沙》是一首力敌千钧,气势磅礴的豪放词作。
【惊世骇俗】因言行异于寻常而使人震惊，也说惊世震俗。例如：
【无中生有】凭空捏造。
【回光返照】指太阳刚落到地平线下时，由于反射作用而发生的天空中短时发亮的现象。比喻人临死之前精神忽然兴奋的现象。也比喻旧事物灭亡之前暂时兴旺的现象。
【恍然如梦】好像刚从梦中醒来，像做梦一样。也形容忽然醒悟。
【愤世嫉俗】对于不合理的社会和习俗表示愤恨憎恶。
【息息相通】也说息息相关。呼吸相关连，比喻关系密切。
【毛骨悚然】形容很害怕的样子。毛骨：毛发和脊骨。悚然：怕的样子。
【无动于衷】心里一点不受感动；一点也不动心。“衷”也作“中”。
【洋洋洒洒】形容文章讲话篇幅长，语言明快流畅，连续不断。
【莫名其妙】（也作“莫明其妙”）；没有人能说出它的奥妙。表示事情很奇怪，使人不明白。
文言文部分
【知识梳理】
一．一词多义
解释下列加点的实词：
②歌曰：桂棹兮兰桨
③倚歌而和之
望①七月既望
②望美人兮天一方
如①飘飘乎如遗世独立
②纵一苇之所如
②始指异之
③人甚异之
志①故为之文为志
②故天将降大任于是人也，必先苦其心志
③博闻强志，明于治乱
④得其船，便扶向路，处处志之
二、辨析虚词
解释下列加点虚词的意义或用法：
①浩浩乎如冯虚御风
乎②此非曹孟德之困于周郎者乎
③相与枕藉乎舟中
之
④此非孟德之因于周郎者乎
①不知东方之既白
②惟江上之清风
③月出于东山之上
④故为之文以志
⑤望西山，始指异之
①其声呜呜然，如怨如慕
②自其不变者而观之
③日与其徒上高山
④悠悠乎与颢气俱，而莫得其涯
⑤方其破荆州，下江陵
而
①方其破荆州，下江陵，顺流而东也
②到则披草而坐，倾壶而醉
③洋洋乎与造物者游，而不知其所穷
①苏子与客泛舟，游于赤壁之下
②少焉，月出于东山之上
③此非孟德之因于周郎者乎
④箕畚运于渤海之尾
三．通假总汇
写出下列各句中的通假字的本字及意义：
①如冯虚御风
②举酒属客
③山川相缪
④举匏尊以相属
⑤自余为僇人
⑥梦亦同趣
四．活用串烧
西望夏口，东望武昌。西、东：名词作状语，向西，向东
侣鱼虾而友麋鹿 侣、友：名词意动，以……为伴侣，以……为朋友
正襟危坐正：名词使动用法，使……正
舞幽壑之潜蛟，泣孤舟之嫠妇。舞、泣：动词使动用法，使……起舞，使……哭泣
渔樵于江渚之上 渔樵：名词用作动词，打鱼、砍柴
日与其徒上高山，入深林。日：名词作状语，每天。
醉则相枕以卧，卧而梦。 梦：名词作动词，入梦，入睡。
望西山，始指异之异：形容词意动以……为异
五、判断句式
1．判断句
此非孟德之困于周郎者乎？（用“非”表示判断）
固一世之雄也。 （用“……也”表示判断）
是造物者之无尽藏也。（用“……也”表示判断）
是岁，元和四年也。 （用“……也”表示判断）
2．被动句
此非孟德之困于周郎者乎？（“于”引出施动者，表示被动）
3．倒装句
（1）宾语前置句：
而今安在哉？（疑问句，疑问代词“安”作宾语，前置）
（2）定语后置句：
客有吹洞萧者。 （“吹洞萧者”作“客”的定语，“者”定语后置的标志）
州之山水有异态者。 （“有异态者”作“山水”的定语，“者”定语后置的标志）
（3）状语后置句：
苏子与客泛舟游于赤壁之下。（介词结构“于赤壁之下”后置）
少焉，月出于东山之上，徘徊于斗牛之间。（介词结构“于东山之上”“于斗牛之间”后置）
况吾与子渔樵于江渚之上。（介词结构“于江渚之上”后置）
六．异义细解
⑴以为凡是州之山水有异态者，皆我有也。而未始知西山之怪特。
凡是 古义：两个词。所：所有。是：代词，这。
今义：总括某个范围内的一切。
⑵游于是乎始，故为之文以志。
于是 古义：两个词。于：介词，从。是：代词，此，指这次游西山。
今义：连词，表示后一事紧接着前一事，后一事往往是由前一事引起的
七、集结名句
1．白露横江，水光接天。纵一苇之所如，凌万顷之茫然。浩浩乎如冯虚御风，而不知其所止；飘飘乎如遗世独立，羽化而登仙。
2．其声呜呜然，如怨如慕，如泣如诉，余音袅袅，不绝如缕。舞幽壑之潜蛟，泣孤舟之嫠妇。
3．况吾与子渔樵于江渚之上，侣鱼虾而友麋鹿，驾一叶之扁舟，举匏樽以相属。寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟。哀吾生之须臾，羡长江之无穷。挟飞仙以遨游，抱明月而长终。知不可乎骤得，托遗响于悲风。
4．惟江上之清风，与山间之明月，耳得之而为声，目遇之而成色，取之无禁，用之不竭，是造物者之无尽藏也，而吾与子之所共适。
5．日与其徒上高山，入深林，穷回溪；幽泉怪石，无远不到。到则披草而坐，倾壶而醉，醉则更相枕以卧，卧而梦。意有所极，梦亦同趣。觉而起，起而归。
6．其高下之势，岈然洼然，若垤若穴，尺寸千里，攒蹙累积，莫得遁隐；萦青缭白，外与天际，四望如一。
7．悠悠乎与灏气俱，而莫得其涯；洋洋乎与造物者游，而不知其所穷。
达标练习
1.下列词语中加点字的注音全都正确的一项是（）
A．煮茗(mínɡ)蛰(zhé)居深邃(suì)煊(xuān)赫一时
B．丰腴(yú)愀(qiū)然赭(zhě)色一曝(pù)十寒
C．咆(páo)哮粗犷(ɡuǎnɡ)横槊(shuò)冯(fénɡ)虚御风
D．桂棹(zhào)酾(shāi)酒枕藉(jiè)倚歌而和(hé)
2.下列词语字形全都正确的一项是（）
A．深邃铭刻曝背谈天元霄节
B．喧哗逍遥震天撼地气势磅礴
C．嘶鸣咆哮直接了当千姿百态
D．颤栗驯顺莫明其妙振耳欲聋
3．在下列横线上依次填入词语，最恰当的一项是（）
①对于外国文化，排外文化的方针是错误的，应当尽量____进步的外国文化，以为发展我国新文化的____。
②蜘蛛的丝，即使放弃了科学的____，从实用上看，也是很有意思的。
③科学技术日新月异的发展，____神话、童话的幻想故事，都可能成为现实。
A．吸收借鉴体察以致B．吸收借鉴观察以至
C．吸取跳板体察以至D．吸取跳板观察以致
4.选出加点的成语运用错误的一项是（）
A．陪我来的朋友指着一湖碧水，无动于衷地告诉我：“这就是诺日朗。”
B．难道我不该与土地息息相通吗？我自己不也是一部分绿叶与青菜的泥土吗？
C．即使是愤世嫉俗的可怜人和最最忧悒的人也能在大自然中找到最甜蜜、最天真和鼓舞人的伴侣。
D．狼的嗥叫使那些在夜里听到声音，白天去察看狼的足迹的人毛骨悚然。
5．下列各句中没有语病的一句是()
A．考古学家在清理墓穴时，收集到大理石制工具，其中有砍刀器、石核等是用石英砂岩打制而成的。
B．“七一”空难是瑞士空中交通管制塔台和座舱警报系统在撞机前十几秒钟向俄罗斯飞行员发出了相互矛盾的指令。
C．据世界野生动物保护协会的最新统计，目前全世界的动物园总数至少有900家以上。
D．在全球经济衰退的情况下，我国的对外贸易进出口依然保持增长势头，1月份，我国进出口总值比去年同期增长17．5％。 第9课时(总第9课时)
阅读与写作
课时目标
1、从不同的角度培养学生的鉴赏能力
2、积累“人与自然”的作文素材
一、精品鉴赏
从内容上对语段一进行鉴赏
语段一
凡在北国过过冬天的人，总都知道围炉煮茗，或吃煊羊肉，剥花生米，饮白干的滋味。而有地炉、暖炕等设备的人家，不管它门外面是雪深几尺，或风大若雷，而躲在屋里过活的两三个月的生活，却是一年之中最有劲的一段蛰居异境；老年人不必说，就是顶喜欢活动的小孩子们，总也是个个在怀恋的，因为当这中间，有的是萝卜、雅儿梨等水果的闲食，还有大年夜、正月初一、元宵等热闹的节期。
但在江南，可又不同；冬至过后，大江以南的树叶，也不至于脱尽。寒风——西北风——间或吹来，至多也不过冷了一日两日。到得灰云扫尽，落叶满街，晨霜白得像黑女脸上的脂粉似的清早，太阳一上屋檐，鸟雀便又在吱叫，泥地里便又放出水蒸气来，老翁小孩就又可以上门前的隙地里去坐着曝背谈天，营屋外的生涯了；这一种江南的冬景，岂不也可爱得很么？
请对语段二的“跳跃”“颤抖”“一跃”等动词的使用之妙进行鉴赏
语段二
落日在沉入西地平线以下那一刻，是跳跃着，颤抖着降落的。它先是纹丝不动，突然，它颤抖了两下，往下一跃，于是只剩下了半个。半个的它继续依恋地慈爱地注视着人间，好像有些贪恋，不愿离去，或者说不愿离去正在注视它的我们。但是，在停驻了片刻以后，它突然又一一跃，当我们揉揉眼睛，再往西看时，它已经消失了。一切都为雾霭所取代，我们刚才见到的那一场奇异的风景，恍然若一场梦境。
对语段三的环境描写进行鉴赏
语段三
在我的房屋中有许多伴侣；特别在早上还没有人来访问我的时候。让我来举几个比喻，或能传达出我的某些状况。我并不比湖中高声大笑的潜水鸟更孤独，我并不比瓦尔登湖更寂寞。我倒要问问这孤独的湖有谁作伴？然而在它的蔚蓝的水波上，却有着不是蓝色的魔鬼，而是蓝色的天使呢。太阳是寂寞的，除非乌云满天，有时候就好像有两个太阳，但那一个是假的。上帝是孤独的，——可是魔鬼就绝不孤独；他看到许多伙伴；他是要结成帮的。我并不比一朵毛蕊花或牧场上的一朵蒲公英寂寞，我不比一张豆叶，一枝酢酱草，或一只马蝇，或一只大黄蜂更孤独。我不比密尔溪，或一只风信鸡，或北极星，或南风更寂寞，我不比四月的雨或正月的溶雪，或新屋中的第一只蜘蛛更孤独。
二、素材提纯
从课文中提取下列话题的素材
话题：人与自然
达标练习
（一）课外语段阅读
阅读下面的文字，完成１——３题。
我现在想，正是因为鹿群在对狼的极度恐惧中生活着，那一座山就要在对它的鹿的极度恐惧中生活。而且，大概就比较充分的理由来说，当一只被狼拖去的公鹿在两年或三年就可得到补偿时，一片被太多的鹿拖疲惫了的草原，可能在几十年里都得不到复原。
牛群也是如此，清除了其牧场上的狼的牧牛人并未意识到，他取代了狼用以调整牛群数目以适应其牧场的工作。他不知道像山那样去思考。正因为如此，我们才有了尘暴，河水把未来冲刷到大海去。
我们大家都在为安全、繁荣、舒适、长寿和平静而奋斗着。鹿用轻快的四肢奋斗着，牧牛人用套圈和毒药奋斗着，政治家用笔，而我们大家则用机器、选票和美金。所有这一切带来的都是同一种东西：我们这——时代的和平。用这一点去衡量成就，全部是很好的，而且大概也是客观的思考所不可缺少的，不过，太多的安全似乎产生的仅仅是长远的危险。也许，这也就是梭罗的名言潜在的含义。这个世界的启示在荒野。大概，这也是狼的嗥叫中隐藏的内涵，它已被群山所理解，却还极少为人类所领悟。
１.“牛群也是如此”中“此”指代什么？“正因为如此”中“此”指代什么？
２.最后一段“这也就是梭罗的名言潜在的含义”、“这也是狼的嗥叫中隐藏的内涵”中，“这”指代的意义相同吗？指代什么？最后一句的含义是什么？
３.这三段文字结构上有何特点？
（二）文言文语段阅读
阅读下面的文字，完成４—８题。
后赤壁赋
苏轼
是岁十月之望，步自雪堂，将归于临皋。二客从予，过黄泥之坂。霜露既降，木叶尽脱，人影在地，仰见明月。顾而乐之，行歌相答。
已而叹曰：“有客无酒，有酒无肴；月白风清，如此良夜何？”客曰：“今者薄暮，举网得鱼，巨口细鳞，状如松江之鲈，顾安所得酒乎？”归而谋诸妇。妇曰：“我有斗酒，藏之久矣，以待予不时之需。”
于是携酒与鱼，复游于赤壁之下。江流有声，断岸千尺。山高月小，水落石出。曾日月之几何，而江山不可复识矣。予乃摄衣而上，履巉岩，披蒙茸，踞虎豹，登虬龙；攀栖鹘之危巢，俯冯夷之幽宫。盖二客不能从焉。划然长啸，草木震动，山鸣谷应，风起水涌。余亦悄然而悲肃然而恐，凛乎其不可留也。返而登舟，放乎中流，听其所止而休焉。时夜将半，四顾寂寥。适有孤鹤，横江东来，翅如车轮，玄裳缟衣，戛然长鸣，掠予舟而西也。
须臾客去，予亦就睡。梦一道士，羽衣蹁跹，过临皋之下，揖予而言曰：“赤壁之游乐乎？”问其姓名，俯而不答。“呜呼噫嘻！我知之矣。团昔之夜，飞鸣而过我者，非予也耶？”道士顾笑，予亦惊悟。开户视之，不见其处。
４．下面各句加点字解释有误的一项是()
A.断岸千尺陡峭的江岸B.如此良夜何美好的
C.攀栖鹘之危巢危险D.放乎中流不拘束，使任意行动
５．下面两组句子加点字的意思，用法解说正确的一项是()
①是岁十月之望壬戌之秋，七月既望
②以待子不时之须咸以愚辱
A.两个“望”相同，两个“以”不同。B.两个“望”相同，两个“以”相同
C.两个“望”不同，两个“以”相同。D.两个“望”不同，两个“以”不同。
６．下面各句中不含通假字的一项是()
A.以待子不时之须B.反而登舟，放乎中流
C.俯冯夷之幽宫D.浩浩乎如冯虚御风
７．下面对文章解说有误的一项是()
A.这篇文赋，是《前赤壁赋》的姊妹篇。两赋抒情写意，大体相同，而此篇表现作者幻想超尘出世以求解脱的情思比前篇更为具体而深沉，末尾鹤化道士的幻觉幻境，更多具一层浪漫主义的艺术特色。
B.全文以游踪为线索，以时空的变化，逐步推出新境，显现出作者文思奔涌、奇想联翩、幽情妙趣、随文毕现的艺术特色。
C.苏轼秋天刚写完《赤壁赋》，由于情犹未尽，又在隆冬写了这篇《后赤壁赋》。
D.《后赤壁赋》写的是月夜之游，但描绘的不再是江上明月，而是山间草木，景色也由清幽转为峭拔。
８．翻译下列句子：
（1）顾而乐之，行歌相答。
（2）今者薄暮，举网得鱼，巨口细鳞，状如松江之鲈，顾安所得酒乎？
（3）山高月小，水落石出。
第四专题
现代文部分
【知识梳理】
一、语音吧台
茗--míng）涮--shuàn） 蛰--zhé阜—fù
脂—zhī曝—pù铭—míng 嘈—cáo
桕—jiù赭—zhě霖—líng犷---guǎng
恣—zì槎桠--cháyā剔—tī弥—mí
吻—wěn撼—hàn 诞—dàn骇—hài
籁—lài咆哮--páoxiào脊—jǐ邃—suì
湫—qiū羁—jī 跃—yuè 诞--dàn
翡—fěi 邃—suì 壑—hè 骇—hài
氛—fēn谧—mì垭—yā 攫—jué
倚—yǐ混沌--hùndùn 瘴—zhàng瞅—chǒu
什—shí酝酿--yùnniàng炫—xuàn霾—mái
坯—pī 浸—jìn漪—yī蓊—wěng
瞭—liào悒—yì 蕊—ruǐ惬—qiè
正—zhēng溯—sù丧—sāng窖—jiào
莴苣--wōjù蔑—miè 迸—bèng蠕—rú
殍—piǎo艾蒿--àihāo偿—cháng蜿—wān
二、字形超市
明--名渲--煊蜇--蛰臾--腴
惊--惊反--返稳--纹戈--弋
隧--邃弘--泓耸--悚灸--炙
文言文部分
一．一词多义
歌①动词，唱歌 ②名词，歌 ③名词，歌声
望①农历的每月十五日 ②动词，眺望
如①动词，像 ②动词，往
异①形容词，特别的，特殊的②意动用法，以……为异 ③动词，惊奇、诧异
志①记，记事的书或文章 ②心意，志向 ③记忆，记住 ④标记，标志
二．辨析虚词
乎：①助词，用在动词、形容词词尾 ②语气助词，用于句末，相当于“吗”
③介词，在
之：①用在主谓之间，取消句子独立性 ②用在主谓之间，取消句子独立性
③结构助词，的 ④助词，不译 ⑤指示代词，这
⑥代词，代物，它
其：①指示代词，那 ②代词，它们 ③指示代词，那些 ④代词，它的
⑤人称代词，他
而：①表修饰，不译 ②表顺承，相当于“就”，“才” ③表转折，却
于：①介词，在 ②介词，从 ③表被动 ⑤介词，到
三．通假总汇
①“冯”同“凭”，凭借。
②“属”通“嘱”，劝酒。
③“缪”同“缭”，连结，盘绕。
④“尊”同“樽”，酒杯。
⑤“僇”同“戮”，刑辱的意思。
⑥“趣”同“趋”，往、赴。
四．活用串烧
西望夏口，东望武昌。西、东：名词作状语，向西，向东
侣鱼虾而友麋鹿 侣、友：名词意动，以……为伴侣，以……为朋友
正襟危坐正：名词使动用法，使……正
舞幽壑之潜蛟，泣孤舟之嫠妇。舞、泣：动词使动用法，使……起舞，使……哭泣
渔樵于江渚之上 渔樵：名词用作动词，打鱼、砍柴
日与其徒上高山，入深林。日：名词作状语，每天。
醉则相枕以卧，卧而梦。 梦：名词作动词，入梦，入睡。
望西山，始指异之异：形容词意动以……为异
达标练习
1.A（B愀qiǎoC冯píngD和hè酾shī）
2.B（A“元霄节”应为“宵”；C“直接了当”应为“截”；D“振耳欲聋”应为“震”）
3．B(“以致”一般带不好的结果。)
4.A（“无动于衷”应为“不动声色”。）
5．D（A.最后一个分句句式杂糅；B.成分残缺，应加上“……造成的”；C.“至少有……以上”矛盾）
阅读与写作
一、精品鉴赏
【语段一赏析】：文章题为“江南的冬天”却从北国的冬天写起，而且把北国“躲在屋里过活的两三个月的生活”，写成“一年之中最有劲的一段蛰居异境”，老人、小孩“个个在怀恋”，这里，作者并没用因为对江南的冬天“铭刻特深”而否定北方的冬天没有情调的意思。“这一种江南的冬景，岂不也可爱得很么？”一个“也”字充分表明作者对北国冬景的肯定和喜爱。写北国的冬天是为了写江南的冬天，写北国的冬天的蛰居生活是为了突出江南冬天的“明朗”和“特殊”。一方水土养一方人，一方人爱一方水土，这“一方水土”也应该包括这一方水土的气候。正是这样，郁达夫才对江南的冬天如此的熟识，爱得如此深沉。
【语段二赏析】：“跳跃”“颤抖”“一跃”等动词的使用不仅准确的写出了落日消失的过程，而且运用拟人的修辞将落日人格化，活泼自然。“依恋地慈爱地注视着人间，好像有些贪恋，不愿离去，或者说不愿离去正在注视它的我们”更是通过拟人手法赋予了落日人的情感，丰富了文章内容。这里，对落日逝去过程具体细致的描写不正反映了作者对落日美景的喜爱以及无比珍惜和眷恋之情吗？
【语段三赏析】：这里的环境是寂寞的，而作者的心灵并不孤独。作者与自然息息相通，融为一体，在作者眼里连“每一枝小小松针都富于同情心的胀大起来”，成了朋友，还有什么不能成为朋友呢？还有什么能让“我”感到孤独呢？“我”“在任何大自然的事物中，都能找出最甜蜜温柔，最天真和鼓舞人的伴侣”。所以说“我并不比湖中高声大笑的潜水鸟更孤独，我并不比瓦尔登湖更寂寞。”大自然的一切最富有人性，在大自然的事物中，只要有五官，不可能有阴郁的忧虑。享受四季的友爱，生活不能成为我沉重的负担，佳雨是大自然丰厚的馈赠，我比别人更得诸神宠爱，短暂的怀疑更坚定了回归自然的决心，更对自然一往情深。大自然为作者提供了心灵栖息的家园，找到了思考的空间，使作者的胸怀更广阔。本部分写出了作者心灵探索的痕迹，真实而自然。
二、素材提纯
话题：人与自然
1.如果冬天已经来了，春天还会远吗？
2.在那一刻我突然掉下泪来，我感到，死亡原来也可以是一件充满庄严和尊严的事情啊！
3．正像当初鹿群在对狼的极度恐惧中生活着那样，那一座山将要在对它的鹿的极度恐惧中生活。
4．太多的眼前安全似乎产生的仅仅是长远的危险。
5．无论两条腿怎样努力也不能使两颗心灵更形接近。
6．牛蛙鸣叫，邀来黑夜，夜鹰的乐音乘着吹起涟漪的风从湖上传来。摇曳的赤杨和白杨，激起我的情感使我几乎不能呼吸了；然而像湖水一样，我的宁静只有涟漪而没有激荡。
达标练习
（一）课外语段阅读
１.第一个“此”指牛群在对狼的极度恐惧中生活着，草原就要在对它的牛的极度恐惧中生活。第二个“此”指牧牛人杀死狼，不知像山那样思考。（解答代词指代含义的题目，应注意上下文，尤其是相邻的上文内容。）
２.一样。指人类用自己的奋斗换来了和平，但太多的安全似乎产生的仅仅是长远的危险。由于狼的消失导致鹿增加，从而使大山伤痕累累，维护生态环境这也是山的愿望。但人类却为了短期利益不惜以牺牲环境为代价，还没有认识到保护环境、维护生态环境的意义，这是人类悲哀之所在。
３.层层递进。（先写对狼的消失、鹿的增多导致后果的直接认识，依次类推到牧牛人杀死狼，再联想到人类对大自然的破坏导致“长远的危险”，从而得出要保护环境，维护生态平衡的结论。由浅入深，层层递进，发人深思。）
（二）文言文语段阅读
４．C（危：高，高处）
５．A（两个“望”相同，都是“阴历十五日”；前一个“以”是目的连词“来”，后一个“以”是“因”的意思）
６．C（A.“须”通“需”B.“反”通“返”D.“冯”通“凭”）18．B（应为“客”）７．C（应为“只是从哪里能弄到酒呢?”）
13．C（前后《赤壁赋》是苏轼先后两次游览黄州赤鼻矶的“借地抒情”之作，表达的感情不同，因此不能说后赋是前赋的“情犹未尽”之作）
８.（1）环顾四周夜景，心中十分愉快，于是我们边走边唱，相互唱和应答。
（2）今天傍晚，我撒网捕到了鱼，大嘴巴，细鳞片，形状就像吴淞江的鲈鱼。只是从哪里能弄到酒呢?
（3）山显得那样高，月亮显得那样小，江水已经跌落，石头便露出水面来了。
文言文参考译文：
这一年十月十五日，我从雪堂出发，准备回临皋亭。有两位客人跟随着我，一起走过黄泥坂。这时霜露已经降下，树叶全都脱落。我们的身影倒映在地上，抬头望见明月高悬。四下里瞧瞧，心里十分快乐；于是一面走一面吟诗，相互酬答。
过了一会儿，我叹惜地说：有客人却没有酒，有酒却没有菜。月色皎洁，清风吹拂，这样美好的夜晚，我们怎么度过呢？一位客人说：今天傍晚，我撒网捕到了鱼，大嘴巴，细鳞片，形状就象吴淞江的鲈鱼。不过，到哪里去弄到酒呢？我回家和妻子商量，妻子说：我有一斗酒，保藏了很久，为了应付您突然的需要。
就这样，我们携带着酒和鱼，再次到赤壁的下面游览。长江的流水发出声响，陡峭的江岸高峻直耸；山峦很高，月亮显得小了，水位降低，礁石露了出来。才相隔多少日子，上次游览所见的江景山色再也认不出来了！我就撩起衣襟上岸，踏着险峻的山岩，拨开纷乱的野草；蹲在虎豹形状的怪石上，又不时拉住形如虬龙的树枝，攀上猛禽做窝的悬崖，下望水神冯夷的深宫。两位客人都不能跟着我到这个极高处。我划地一声长啸，草木被震动，高山与我共鸣，深谷响起了回声，大风括起，波浪汹涌。我也不觉忧伤悲哀，感到恐惧，觉得这里使人害怕，不可久留。回到船上，把船划到江心，任凭它漂流到哪里就在那里停泊。
这时快到半夜，望望四周，觉得冷清寂寞得很。正好有一只鹤，横穿江面从东边飞来，翅膀象车轮一样大小，尾部的黑羽如同黑裙子，身上的白羽如同洁白的衣衫，它戛戛地拉长声音叫着，擦过我们的船向西飞去。
过了会儿，客人离开了，我也回家睡觉。梦见一位道士，穿着羽毛编织成的衣裳，轻快地走来，走过临皋亭的下面，向我拱手作揖说：赤壁的游览快乐吗？我问他的姓名，他低头不回答。噢！哎呀！我知道你的底细了。昨天夜晚，边飞边叫经过我船上的，不就是你吗?道士回头笑了起来，我也忽然惊醒。开门一看，却看不到他在什么地方。
精选阅读
高三理科数学复数总复习教学案
一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助教师缓解教学的压力，提高教学质量。优秀有创意的教案要怎样写呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“高三理科数学复数总复习教学案”，希望能为您提供更多的参考。
第十五章复数
高考导航
考试要求重难点击命题展望
1.理解复数的基本概念、复数相等的充要条件.
2.了解复数的代数表示法及其几何意义.
3.会进行复数代数形式的四则运算.了解复数的代数形式的加、减运算及其运算的几何意义.
4.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想，体会理性思维在数系扩充中的作用.本章重点：1.复数的有关概念；2.复数代数形式的四则运算.
本章难点：运用复数的有关概念解题.近几年高考对复数的考查无论是试题的难度，还是试题在试卷中所占比例都是呈下降趋势，常以选择题、填空题形式出现，多为容易题.在复习过程中，应将复数的概念及运算放在首位.
知识网络
15.1复数的概念及其运算
典例精析
题型一复数的概念
【例1】(1)如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m＝；
(2)在复平面内，复数1＋ii对应的点位于第象限；
(3)复数z＝3i＋1的共轭复数为z＝.
【解析】(1)(m2＋i)(1＋mi)＝m2－m＋(1＋m3)i是实数1＋m3＝0m＝－1.
(2)因为1＋ii＝i(1＋i)i2＝1－i，所以在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限.
(3)因为z＝1＋3i，所以z＝1－3i.
【点拨】运算此类题目需注意复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，并注意复数分为实数、虚数、纯虚数，复数的几何意义，共轭复数等概念.
【变式训练1】(1)如果z＝1－ai1＋ai为纯虚数，则实数a等于()
A.0B.－1C.1D.－1或1
(2)在复平面内，复数z＝1－ii(i是虚数单位)对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【解析】(1)设z＝xi，x≠0，则
xi＝1－ai1＋ai1＋ax－(a＋x)i＝0或故选D.
(2)z＝1－ii＝(1－i)(－i)＝－1－i，该复数对应的点位于第三象限.故选C.
题型二复数的相等
【例2】(1)已知复数z0＝3＋2i，复数z满足zz0＝3z＋z0，则复数z＝；
(2)已知m1＋i＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝；
(3)已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，则这个实根为，实数k的值为.
【解析】(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，又z0＝3＋2i，
代入zz0＝3z＋z0得(x＋yi)(3＋2i)＝3(x＋yi)＋3＋2i，
整理得(2y＋3)＋(2－2x)i＝0，
则由复数相等的条件得
解得所以z＝1－.
(2)由已知得m＝(1－ni)(1＋i)＝(1＋n)＋(1－n)i.
则由复数相等的条件得
所以m＋ni＝2＋i.
(3)设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得
由复数相等的充要条件得
解得或
所以方程的实根为x＝2或x＝－2，
相应的k值为k＝－22或k＝22.
【点拨】复数相等须先化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，再由相等得实部与实部相等、虚部与虚部相等.
【变式训练2】(1)设i是虚数单位，若1＋2i1＋i＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b的值是()
A.－12B.－2C.2D.12
(2)若(a－2i)i＝b＋i，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝.
【解析】(1)C.1＋2i1＋i＝(1＋2i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝3＋i2，于是a＋b＝32＋12＝2.
(2)3.2＋ai＝b＋ia＝1，b＝2.
题型三复数的运算
【例3】(1)若复数z＝－12＋32i，则1＋z＋z2＋z3＋…＋z2008＝；
(2)设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么z＝.
【解析】(1)由已知得z2＝－12－32i，z3＝1，z4＝－12＋32i＝z.
所以zn具有周期性，在一个周期内的和为0，且周期为3.
所以1＋z＋z2＋z3＋…＋z2008
＝1＋z＋(z2＋z3＋z4)＋…＋(z2006＋z2007＋z2008)
＝1＋z＝12＋32i.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋x2＋y2＝2＋i，
所以解得所以z＝＋i.
【点拨】解(1)时要注意x3＝1(x－1)(x2＋x＋1)＝0的三个根为1，ω，ω－，
其中ω＝－12＋32i，ω－＝－12－32i，则
1＋ω＋ω2＝0，1＋ω－＋ω－2＝0，ω3＝1，ω－3＝1，ωω－＝1，ω2＝ω－，ω－2＝ω.
解(2)时要注意|z|∈R，所以须令z＝x＋yi.
【变式训练3】(1)复数11＋i＋i2等于()
A.1＋i2B.1－i2C.－12D.12
(2)(2010江西鹰潭)已知复数z＝23－i1＋23i＋(21－i)2010，则复数z等于()
A.0B.2C.－2iD.2i
【解析】(1)D.计算容易有11＋i＋i2＝12.
(2)A.
总结提高
复数的代数运算是重点，是每年必考内容之一，复数代数形式的运算：①加减法按合并同类项法则进行；②乘法展开、除法须分母实数化.因此，一些复数问题只需设z＝a＋bi(a，b∈R)代入原式后，就可以将复数问题化归为实数问题来解决.
高三理科数学算法初步总复习教学案
第十一章算法初步
高考导航
考试要求重难点击命题展望
1.了解算法的含义，了解算法的思想.
2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.
3.理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.
4.了解几个古代的算法案例，能用辗转相除法及更相减损术求最大公约数；用秦九韶算法求多项式的值；了解进位制，会进行不同进位制之间的转化.本章重点：1.算法的三种基本逻辑结构即顺序结构、条件结构和循环结构；2.输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句(两种形式)的结构、作用与功能及各种语句的格式要求.
本章难点：1.用自然语言表示算法和运用程序框图表示算法；2.用算法的基本思想编写程序解决简单问题.弄清三种基本逻辑结构的区别，把握程序语言中所包含的一些基本语句结构.算法初步作为数学新增部分，在高考中一定会体现出它的重要性和实用性.
高考中将重点考查对变量赋值的理解和掌握、对条件结构和循环结构的灵活运用，学会根据要求画出程序框图；预计高考中，将考查程序框图、循环结构和算法思想，并结合函数与数列考查逻辑思维能力.因此算法知识与其他知识的结合将是高考的重点，这也恰恰体现了算法的普遍性、工具性，当然难度不会太大，重在考查算法的概念及其思想.
1.以选择题、填空题为主，重点考查算法的含义、程序框图、基本算法语句以及算法案例等内容.
2.解答题中可要求学生设计一个计算的程序并画出程序框图，能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力.
知识网络
11.1算法的含义与程序框图
典例精析
题型一算法的含义
【例1】已知球的表面积是16π，要求球的体积，写出解决该问题的一个算法.
【解析】算法如下：
第一步，s＝16π.
第二步，计算R＝s4π.
第三步，计算V＝4πR33.
第四步，输出V.
【点拨】给出一个问题，设计算法应该注意：
(1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法，此问题涉及到的各种情况；
(2)将此问题分成若干个步骤；
(3)用简练的语句将各步表述出来.
【变式训练1】设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法.图中给出程序的一部分，则在横线①上不能填入的数是()
A.13
B.13.5
C.14
D.14.5
【解析】当I＜13成立时，只能运算
1×3×5×7×9×11.故选A.
题型二程序框图
【例2】图一是某县参加2010年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数).图二是统计图一中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是()
A.i＜6？B.i＜7？C.i＜8？D.i＜9？
图一
【解析】根据题意可知，i的初始值为4，输出结果应该是A4＋A5＋A6＋A7，因此判断框中应填写i＜8？，选C.
【点拨】本题的命题角度较为新颖，信息量较大，以条形统计图为知识点进行铺垫，介绍了算法流程图中各个数据的引入来源，其考查点集中于循环结构的终止条件的判断，考查了学生合理地进行推理与迅速作出判断的解题能力，解本题的过程中不少考生误选A，实质上本题中的数据并不大，考生完全可以直接从头开始限次按流程图循环观察，依次写出每次循环后的变量的赋值，即可得解.
【变式训练2】(2009辽宁)某店一个月的收入和支出，总共记录了N个数据a1，a2，…，aN.其中收入记为正数，支出记为负数，该店用如图所示的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的()
A.A＞0？，V＝S－T
B.A＜0？，V＝S－T
C.A＞0？，V＝S＋T
D.A＜0？，V＝S＋T
【解析】选C.
题型三算法的条件结构
【例3】某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：
f＝
其中f(单位：元)为托运费，ω为托运物品的重量(单位：千克)，试写出一个计算费用f的算法，并画出相应的程序框图.
【解析】算法如下：
第一步，输入物品重量ω.
第二步，如果ω≤50，那么f＝0.53ω，
否则，f＝50×0.53＋(ω－50)×0.85.
第三步，输出托运费f.
程序框图如图所示.
【点拨】求分段函数值的算法应用到条件结构，因此在程序框图的画法中需要引入判断框，要根据题目的要求引入判断框的个数，而判断框内的条件不同，对应的框图中的内容或操作就相应地进行变化.
【变式训练3】(2010天津)阅读如图的程序框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写()
A.i＜3？
B.i＜4？
C.i＜5？
D.i＜6？
【解析】i＝1，s＝2－1＝1；
i＝3，s＝1－3＝－2；
i＝5，s＝－2－5＝－7.所以选D.
题型四算法的循环结构
【例4】设计一个计算10个数的平均数的算法，并画出程序框图.
【解析】算法步骤如下：
第一步，令S＝0.
第二步，令I＝1.
第三步，输入一个数G.
第四步，令S＝S＋G.
第五步，令I＝I＋1.
第六步，若I＞10，转到第七步，
若I≤10，转到第三步.
第七步，令A＝S/10.
第八步，输出A.
据上述算法步骤，程序框图如图.
【点拨】(1)引入变量S作为累加变量，引入I为计数变量，对于这种多个数据的处理问题，可通过循环结构来达到；(2)计数变量用于记录循环次数，同时它的取值还用于判断循环是否终止，累加变量用于输出结果.
【变式训练4】设计一个求1×2×3×…×10的程序框图.
【解析】程序框图如下面的图一或图二.
图一图二
总结提高
1.给出一个问题，设计算法时应注意：
(1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法；
(2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况；
(3)借助有关的变量或参数对算法加以表述；
(4)将解决问题的过程划分为若干个步骤；
(5)用简练的语言将各个步骤表示出来.
2.循环结构有两种形式，即当型和直到型，这两种形式的循环结构在执行流程上有所不同，当型循环是当条件满足时执行循环体，不满足时退出循环体；而直到型循环则是当条件不满足时执行循环体，满足时退出循环体.所以判断框内的条件，是由两种循环语句确定的，不得随便更改.
3.条件结构主要用在一些需要依据条件进行判断的算法中.如分段函数的求值，数据的大小关系等问题的算法设计.
11.2基本算法语句
典例精析
题型一输入、输出与赋值语句的应用
【例1】阅读程序框图(如下图)，若输入m＝4，n＝6，则输出a＝，i＝.
【解析】a＝12，i＝3.
【点拨】赋值语句是一种重要的基本语句，也是程序必不可少的重要组成部分，使用赋值语句，要注意其格式要求.
【变式训练1】(2010陕西)如图是求样本x1，x2，…，x10的平均数的程序框图，则图中空白框中应填入的内容为()
A.S＝S＋xnB.S＝S＋xnnC.S＝S＋nD.S＝S＋1n
【解析】因为此步为求和，显然为S＝S＋xn，故选A.
题型二循环语句的应用
【例2】设计算法求11×2＋12×3＋13×4＋…＋199×100的值.要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序.
【解析】这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法.程序框图如下图所示：
程序如下：
s＝0
k＝1
DO
s＝s＋1/(k*(k＋1))
k＝k＋1
LOOPUNTILk＞99
PRINTs
END
【点拨】(1)在用WHILE语句和UNTIL语句编写程序解决问题时，一定要注意格式和条件的表述方法，WHILE语句是当条件满足时执行循环体，UNTIL语句是当条件不满足时执行循环体.
(2)在解决一些需要反复执行的运算任务，如累加求和、累乘求积等问题中应注意考虑利用循环语句来实现.
(3)在循环语句中，也可以嵌套条件语句，甚至是循环语句，此时需要注意嵌套的这些语句，保证语句的完整性，否则就会造成程序无法执行.
【变式训练2】下图是输出某个有限数列各项的程序框图，则该框图所输出的最后一个数据是.
【解析】由程序框图可知，当N＝1时，A＝1；N＝2时，A＝13；N＝3时，A＝15，…，即输出各个A值的分母是以1为首项以2为公差的等差数列，故当N＝50时，A＝11＋(50－1)×2＝199，即为框图最后输出的一个数据.故填199.
题型三算法语句的实际应用
【例3】某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间3分钟以内，收取通话费0.2元，如果通话时间超过3分钟，则超过部分以每分钟0.1元收取通话费(通话不足1分钟时按1分钟计算).试设计一个计算通话费用的算法，要求写出算法，编写程序.
【解析】我们用c(单位：元)表示通话费，t(单位：分钟)表示通话时间，
则依题意有
算法步骤如下：
第一步，输入通话时间t.
第二步，如果t≤3，那么c＝0.2；否则c＝0.2＋0.1×[t－2].
第三步，输出通话费用c.
程序如下：
INPUTt
IFt＜3THEN
c＝0.2
ELSE
c＝0.2＋0.1*INT（t-2）
ENDIF
PRINTc
END
【点拨】在解决实际问题时，要正确理解其中的算法思想，根据题目写出其关系式，再写出相应的算法步骤，画出程序框图，最后准确地编写出程序，同时要注意结合题意加深对算法的理解.
【变式训练3】(2010江苏)下图是一个算法流程图，则输出S的值是.
【解析】n＝1时，S＝3；n＝2时，S＝3＋4＝7；n＝3时，S＝7＋8＝15；n＝4时，S＝15＋24＝31；n＝5时，S＝31＋25＝63.因为63≥33，所以输出的S值为63.
总结提高
1.输入、输出语句可以设计提示信息，加引号表示出来，与变量之间用分号隔开.
2.赋值语句的赋值号左边只能是变量而不能是表达式；赋值号左右两边不能对换，不能利用赋值语句进行代数式计算，利用赋值语句可以实现两个变量值的互换，方法是引进第三个变量，用三个赋值语句完成.
3.在某些算法中，根据需要，在条件语句的THEN分支或ELSE分支中又可以包含条件语句.遇到这样的问题，要分清内外条件结构，保证结构的完整性.
4.分清WHILE语句和UNTIL语句的格式，在解决一些需要反复执行的运算任务，如累加求和，累乘求积等问题中应主要考虑利用循环语句来实现，但也要结合其他语句如条件语句.
5.编程的一般步骤：
(1)算法分析；(2)画出程序框图；(3)写出程序.
11.3算法案例
典例精析
题型一求最大公约数
【例1】(1)用辗转相除法求840与1764的最大公约数；
(2)用更相减损术求440与556的最大公约数.
【解析】(1)用辗转相除法求840与1764的最大公约数：
1764＝840×2＋84，
840＝84×10＋0.
所以840与1764的最大公约数是84.
(2)用更相减损术求440与556的最大公约数：
556－440＝116，
440－116＝324，
324－116＝208，
208－116＝92，
116－92＝24，
92－24＝68，
68－24＝44，
44－24＝20，
24－20＝4，
20－4＝16，
16－4＝12，
12－4＝8，
8－4＝4.
所以440与556的最大公约数是4.
【点拨】(1)辗转相除法与更相减损术是求两个正整数的最大公约数的方法，辗转相除法用较大的数除以较小的数，直到大数被小数除尽结束运算，较小的数就是最大公约数；更相减损术是用两数中较大的数减去较小的数，直到所得的差和较小数相等为止，这个较小数就是这两个数的最大公约数.一般情况下，辗转相除法步骤较少，而更相减损术步骤较多，但运算简易，解题时要灵活运用.
(2)两个以上的数求最大公约数，先求其中两个数的最大公约数，再用所得的公约数与其他各数求最大公约数即可.
【变式训练1】求147,343,133的最大公约数.
【解析】先求147与343的最大公约数.
343－147＝196，
196－147＝49，
147－49＝98，
98－49＝49，
所以147与343的最大公约数为49.
再求49与133的最大公约数.
133－49＝84，
84－49＝35，
49－35＝14，
35－14＝21，
21－14＝7，
14－7＝7.
所以147,343,133的最大公约数为7.
题型二秦九韶算法的应用
【例2】用秦九韶算法写出求多项式f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.01667x3＋0.04167x4＋0.00833x5在x＝－0.2时的值的过程.
【解析】先把函数整理成f(x)＝((((0.00833x＋0.04167)x＋0.16667)x＋0.5)x＋1)x＋1，
按照从内向外的顺序依次进行.
x＝－0.2，
a5＝0.00833，v0＝a5＝0.00833；
a4＝0.04167，v1＝v0x＋a4＝0.04；
a3＝0.01667，v2＝v1x＋a3＝0.00867；
a2＝0.5，v3＝v2x＋a2＝0.49827；
a1＝1，v4＝v3x＋a1＝0.90035；
a0＝1，v5＝v4x＋a0＝0.81993；
所以f(－0.2)＝0.81993.
【点拨】秦九韶算法是多项式求值的最优算法，特点是：
(1)将高次多项式的求值化为一次多项式求值；
(2)减少运算次数，提高效率；
(3)步骤重复实施，能用计算机操作.
【变式训练2】用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1当x＝2时的值为.
【解析】1397.
题型三进位制之间的转换
【例3】(1)将101111011(2)转化为十进制的数；
(2)将53(8)转化为二进制的数.
【解析】(1)101111011(2)＝1×28＋0×27＋1×26＋1×25＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1＝379.
(2)53(8)＝5×81＋3＝43.
所以53(8)＝101011(2).
【点拨】将k进制数转换为十进制数，关键是先写成幂的积的形式再求和，将十进制数转换为k进制数，用“除k取余法”，余数的书写是由下往上，顺序不能颠倒，k进制化为m进制(k，m≠10)，可以用十进制过渡.
【变式训练3】把十进制数89化为三进制数.
【解析】具体的计算方法如下：
89＝3×29＋2，
29＝3×9＋2，
9＝3×3＋0，
3＝3×1＋0，
1＝3×0＋1，
所以89(10)＝10022(3).
总结提高
1.辗转相除法和更相减损术都是用来求两个数的最大公约数的方法.其算法不同，但二者的原理却是相似的，主要区别是一个是除法运算，一个是减法运算，实质都是一个递推的过程.用秦九韶算法计算多项式的值，关键是正确的将多项式改写，然后由内向外，依次计算求解.
2.将k进制数转化为十进制数的算法和将十进制数转化为k进制数的算法操作性很强，要掌握算法步骤，并熟练转化；要熟练应用“除基数，倒取余，一直除到商为0”.
高三理科数学导数及其应用总复习教学案
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第三章导数及其应用
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1.导数概念及其几何意义
(1)了解导数概念的实际背景；
(2)理解导数的几何意义.
2.导数的运算
(1)能根据导数定义，求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数；
(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.
3.导数在研究函数中的应用
(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；
(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
4.生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题.
5.定积分与微积分基本定理
(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；
(2)了解微积分基本定理的含义.本章重点：
1.导数的概念；
2.利用导数求切线的斜率；
3.利用导数判断函数单调性或求单调区间；
4.利用导数求极值或最值；
5.利用导数求实际问题最优解.
本章难点：导数的综合应用.导数与定积分是微积分的核心概念之一，也是中学选学内容中较为重要的知识之一.由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数、数列问题提供了更一般、更有效的方法.因此，本章知识在高考题中常在函数、数列等有关最值不等式问题中有所体现，既考查数形结合思想，分类讨论思想，也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力.考题可能以选择题或填空题的形式来考查导数与定积分的基本运算与简单的几何意义，而以解答题的形式来综合考查学生的分析问题和解决问题的能力.
知识网络
3.1导数的概念与运算
典例精析
题型一导数的概念
【例1】已知函数f(x)＝2ln3x＋8x，
求f(1－2Δx)－f(1)Δx的值.
【解析】由导数的定义知：
f(1－2Δx)－f(1)Δx＝－2f(1－2Δx)－f(1)－2Δx＝－2f′(1)＝－20.
【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx的极限.
【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可以近似地表示为f(t)＝t2100，则在时刻t＝10min的降雨强度为()
A.15mm/minB.14mm/min
C.12mm/minD.1mm/min
【解析】选A.
题型二求导函数
【例2】求下列函数的导数.
(1)y＝ln(x＋1＋x2)；
(2)y＝(x2－2x＋3)e2x；
(3)y＝3x1－x.
【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.
(1)y′＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)′
＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2.
(2)y′＝(2x－2)e2x＋2(x2－2x＋3)e2x
＝2(x2－x＋2)e2x.
(3)y′＝13(x1－x1－x＋x(1－x)2
＝13(x1－x1(1－x)2
＝13x(1－x)
【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝；f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(用数字作答).
【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2，
由导数定义f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f′(1).
当0≤x≤2时，f(x)＝4－2x，f′(x)＝－2，f′(1)＝－2.
题型三利用导数求切线的斜率
【例3】已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且l与C切于点P(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标.
【解析】由l过原点，知k＝y0x0(x0≠0)，又点P(x0，y0)在曲线C上，y0＝x30－3x20＋2x0，
所以y0x0＝x20－3x0＋2.
而y′＝3x2－6x＋2，k＝3x20－6x0＋2.
又k＝y0x0，
所以3x20－6x0＋2＝x20－3x0＋2，其中x0≠0，
解得x0＝32.
所以y0＝－38，所以k＝y0x0＝－14，
所以直线l的方程为y＝－14x，切点坐标为(32，－38).
【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.
【变式训练3】若函数y＝x3－3x＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程.
【解析】设切点为P(x0，y0)，则由
y′＝3x2－3得切线的斜率为k＝3x20－3.
所以函数y＝x3－3x＋4在P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(3x20－3)(x－x0).
又切线经过点(－2,2)，得
2－y0＝(3x20－3)(－2－x0)，①
而切点在曲线上，得y0＝x30－3x0＋4，②
由①②解得x0＝1或x0＝－2.
则切线方程为y＝2或9x－y＋20＝0.
总结提高
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数通常有以下两种求法：
(1)导数的定义，即求ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的值；
(2)先求导函数f′(x)，再将x＝x0的值代入，即得f′(x0)的值.
2.求y＝f(x)的导函数的几种方法：
(1)利用常见函数的导数公式；
(2)利用四则运算的导数公式；
(3)利用复合函数的求导方法.
3.导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，就是函数y＝f(x)的曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率.
3.2导数的应用(一)
典例精析
题型一求函数f(x)的单调区间
【例1】已知函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)，求函数f(x)的单调区间.
【解析】函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)的定义域是(1，＋∞).
f′(x)＝2x－a－ax－1＝2x(x－a＋22)x－1，
①若a≤0，则a＋22≤1，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤0时，f(x)的增区间为(1，＋∞).
②若a＞0，则a＋22＞1，
故当x∈(1，a＋22]时，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≤0；
当x∈[a＋22，＋∞)时，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≥0，
所以a＞0时，f(x)的减区间为(1，a＋22]，f(x)的增区间为[a＋22，＋∞).
【点拨】在定义域x＞1下，为了判定f′(x)符号，必须讨论实数a＋22与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.
【变式训练1】已知函数f(x)＝x2＋lnx－ax在(0,1)上是增函数，求a的取值范围.
【解析】因为f′(x)＝2x＋1x－a，f(x)在(0,1)上是增函数，
所以2x＋1x－a≥0在(0,1)上恒成立，
即a≤2x＋1x恒成立.
又2x＋1x≥22(当且仅当x＝22时，取等号).
所以a≤22，
故a的取值范围为(－∞，22].
【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时f′(x)≥0在(a，b)上恒成立；同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时f′(x)≤0在(a，b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.
题型二求函数的极值
【例2】已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由.
【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
因为x＝±1是函数f(x)的极值点，
所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的两根.
由根与系数的关系，得
又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1.③
由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.
(2)由(1)得f(x)＝12x3－32x，
所以当f′(x)＝32x2－32＞0时，有x＜－1或x＞1；
当f′(x)＝32x2－32＜0时，有－1＜x＜1.
所以函数f(x)＝12x3－32x在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数.
所以当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f(x)来讲，f(x)在点x＝x0处取极值的必要条件是f′(x)＝0.但是，当x0满足f′(x0)＝0时，f(x)在点x＝x0处却未必取得极值，只有在x0的两侧f(x)的导数异号时，x0才是f(x)的极值点.并且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f′(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值.
【变式训练2】定义在R上的函数y＝f(x)，满足f(3－x)＝f(x)，(x－32)f′(x)＜0，若x1＜x2，且x1＋x2＞3，则有()
A.f(x1)＜f(x2)B.f(x1)＞f(x2)
C.f(x1)＝f(x2)D.不确定
【解析】由f(3－x)＝f(x)可得f[3－(x＋32)]＝f(x＋32)，即f(32－x)＝f(x＋32)，所以函数f(x)的图象关于x＝32对称.又因为(x－32)f′(x)＜0，所以当x＞32时，函数f(x)单调递减，当x＜32时，函数f(x)单调递增.当x1＋x22＝32时，f(x1)＝f(x2)，因为x1＋x2＞3，所以x1＋x22＞32，相当于x1，x2的中点向右偏离对称轴，所以f(x1)＞f(x2).故选B.
题型三求函数的最值
【例3】求函数f(x)＝ln(1＋x)－14x2在区间[0,2]上的最大值和最小值.
【解析】f′(x)＝11＋x－12x，令11＋x－12x＝0，化简为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2或x2＝1，其中x1＝－2舍去.
又由f′(x)＝11＋x－12x＞0，且x∈[0,2]，得知函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，同理，得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，所以f(1)＝ln2－14为函数f(x)的极大值.又因为f(0)＝0，f(2)＝ln3－1＞0，f(1)＞f(2)，所以，f(0)＝0为函数f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln2－14为函数f(x)在[0,2]上的最大值.
【点拨】求函数f(x)在某闭区间[a，b]上的最值，首先需求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后，将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数f(x)在[a，b]上的最值.
【变式训练3】(2008江苏)f(x)＝ax3－3x＋1对x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝.
【解析】若x＝0，则无论a为何值，f(x)≥0恒成立.
当x∈(0,1]时，f(x)≥0可以化为a≥3x2－1x3，
设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝3(1－2x)x4，
x∈(0，12)时，g′(x)＞0，x∈(12，1]时，g′(x)＜0.
因此g(x)max＝g(12)＝4，所以a≥4.
当x∈[－1,0)时，f(x)≥0可以化为
a≤3x2－1x3，此时g′(x)＝3(1－2x)x4＞0，
g(x)min＝g(－1)＝4，所以a≤4.
综上可知，a＝4.
总结提高
1.求函数单调区间的步骤是：
(1)确定函数f(x)的定义域D；
(2)求导数f′(x)；
(3)根据f′(x)＞0，且x∈D，求得函数f(x)的单调递增区间；根据f′(x)＜0，且x∈D，求得函数f(x)的单调递减区间.
2.求函数极值的步骤是：
(1)求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)判断f′(x)在方程根左右的值的符号，确定f(x)在这个根处取极大值还是取极小值.
3.求函数最值的步骤是：
先求f(x)在(a，b)内的极值；再将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3.3导数的应用(二)
典例精析
题型一利用导数证明不等式
【例1】已知函数f(x)＝12x2＋lnx.
(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的值域；
(2)求证：x＞1时，f(x)＜23x3.
【解析】(1)由已知f′(x)＝x＋1x，
当x∈[1，e]时，f′(x)＞0，因此f(x)在[1，e]上为增函数.
故f(x)max＝f(e)＝e22＋1，f(x)min＝f(1)＝12，
因而f(x)在区间[1，e]上的值域为[12，e22＋1].
(2)证明：令F(x)＝f(x)－23x3＝－23x3＋12x2＋lnx，则F′(x)＝x＋1x－2x2＝(1－x)(1＋x＋2x2)x，
因为x＞1，所以F′(x)＜0，
故F(x)在(1，＋∞)上为减函数.
又F(1)＝－16＜0，
故x＞1时，F(x)＜0恒成立，
即f(x)＜23x3.
【点拨】有关“超越性不等式”的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.
【变式训练1】已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时()
A.f′(x)＞0，g′(x)＞0B.f′(x)＞0，g′(x)＜0
C.f′(x)＜0，g′(x)＞0D.f′(x)＜0，g′(x)＜0
【解析】选B.
题型二优化问题
【例2】(2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
【解析】(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
即n＝mx－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x
＝256(mx－1)＋mx(2＋x)x
＝256mx＋mx＋2m－256.
(2)由(1)知f′(x)＝－256mx2＋12mx＝m2x2(x－512).
令f′(x)＝0，得x＝512.所以x＝64.
当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数.
所以f(x)在x＝64处取得最小值.
此时n＝mx－1＝64064－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小.
【变式训练2】(2010上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).
【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，
则由已知可得4(4r＋2h)＝9.6，所以2r＋h＝1.2.
S＝2.4πr－3πr2，h＝1.2－2r＞0，所以r＜0.6.
所以S＝2.4πr－3πr2(0＜r＜0.6).
令f(r)＝2.4πr－3πr2，则f′(r)＝2.4π－6πr.
令f′(r)＝0得r＝0.4.所以当0＜r＜0.4，f′(r)＞0；
当0.4＜r＜0.6，f′(r)＜0.
所以r＝0.4时S最大，Smax＝1.51.
题型三导数与函数零点问题
【例3】设函数f(x)＝13x3－mx2＋(m2－4)x，x∈R.
(1)当m＝3时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β.若对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】(1)当m＝3时，f(x)＝13x3－3x2＋5x，f′(x)＝x2－6x＋5.
因为f(2)＝23，f′(2)＝－3，所以切点坐标为(2，23)，切线的斜率为－3，
则所求的切线方程为y－23＝－3(x－2)，即9x＋3y－20＝0.
(2)f′(x)＝x2－2mx＋(m2－4).
令f′(x)＝0，得x＝m－2或x＝m＋2.
当x∈(－∞，m－2)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，m－2)上是增函数；
当x∈(m－2，m＋2)时，f′(x)＜0，f(x)在(m－2，m＋2)上是减函数；
当x∈(m＋2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(m＋2，＋∞)上是增函数.
因为函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且f(x)＝13x[x2－3mx＋3(m2－4)]，
所以
解得m∈(－4，－2)∪(－2,2)∪(2,4).
当m∈(－4，－2)时，m－2＜m＋2＜0，
所以α＜m－2＜β＜m＋2＜0.
此时f(α)＝0，f(1)＞f(0)＝0，与题意不合，故舍去.
当m∈(－2,2)时，m－2＜0＜m＋2，
所以α＜m－2＜0＜m＋2＜β.
因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，
所以α＜1＜β.
所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值.
因为当x＝m＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，
所以m＋2＝1，即m＝－1.
当m∈(2,4)时，0＜m－2＜m＋2，
所以0＜m－2＜α＜m＋2＜β.
因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，
所以α＜1＜β.
所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值.
因为当x＝m＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，
所以m＋2＝1，即m＝－1(舍去).
综上可知，m的取值范围是{－1}.
【变式训练3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范围.
【解析】(1)当a＞0时，F(x)的递增区间为(1a，＋∞)，递减区间为(0，1a)；
当a≤0时，F(x)的递减区间为(0，＋∞).
(2)[12ln2，1e).
总结提高
在应用导数处理方程、不等式有关问题时，首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值.
3.4定积分与微积分基本定理
典例精析
题型一求常见函数的定积分
【例1】计算下列定积分的值.
(1)(x－1)5dx；
(2)(x＋sinx)dx.
【解析】(1)因为[16(x－1)6]′＝(x－1)5，
所以(x－1)5dx＝＝16.
(2)因为(x22－cosx)′＝x＋sinx，
所以(x＋sinx)dx＝＝π28＋1.
【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；
(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；
(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：
①若f(x)是偶函数时，则f(x)dx＝2f(x)dx；
②若f(x)是奇函数时，则f(x)dx＝0.
【变式训练1】求(3x3＋4sinx)dx.
【解析】(3x3＋4sinx)dx表示直线x＝－5，x＝5，y＝0和曲线y＝3x3＋4sinx所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.
又f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)
＝－(3x3＋4sinx)＝－f(x).
所以f(x)＝3x3＋4sinx在[－5,5]上是奇函数，
所以(3x3＋4sinx)dx＝－(3x3＋4sinx)dx，
所以(3x3＋4sinx)dx＝(3x3＋4sinx)dx＋(3x3＋4sinx)dx＝0.
题型二利用定积分计算曲边梯形的面积
【例2】求抛物线y2＝2x与直线y＝4－x所围成的平面图形的面积.
【解析】方法一：如图，
由
得交点A(2,2)，B(8，－4)，
则S＝[2x－(－2x)]dx＋[4－x－(－2x)]dx
＝＋
＝163＋383＝18.
方法二：S＝[(4－y)－y22]dy
＝＝18.
【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x＝φ(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.
【变式训练2】设k是一个正整数，(1＋xk)k的展开式中x3的系数为116，则函数y＝x2与y＝kx－3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为.
【解析】Tr＋1＝Crk(xk)r，令r＝3，得x3的系数为C3k1k3＝116，解得k＝4.由得函数y＝x2与y＝4x－3的图象的交点的横坐标分别为1,3.
所以阴影部分的面积为S＝(4x－3－x2)dx＝(2x2－3x－＝43.
题型三定积分在物理中的应用
【例3】(1)变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置；
(2)一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x＝0运动到x＝a时阻力所做的功.
【解析】(1)当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)≤0，所以前2秒内所走过的路程为
s＝v(t)dt＋(－v(t))dt
＝(1－t2)dt＋(t2－1)dt
=＋＝2.
2秒末所在的位置为
x1＝x0＋v(t)dt＝1＋(1－t2)dt＝13.
所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x1＝13.
(2)物体的速度为v＝(bt3)′＝3bt2.
媒质阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k为比例常数，且k＞0.
当x＝0时，t＝0；
当x＝a时，t＝t1＝(ab)，
又ds＝vdt，故阻力所做的功为
W阻＝ds＝kv2vdt＝kv3dt
＝k(3bt2)3dt＝277kb3t71＝277k3a7b2.
【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v(t)＝a(t)dt，s(t)＝v(t)dt和W＝F(x)dx这三个公式.
【变式训练3】定义F(x，y)＝(1＋x)y，x，y∈(0，＋∞).令函数f(x)＝F[1，log2(x2－4x＋9)]的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A(0，m)，过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n＞0)，设曲线C1在点A，B之间的曲线段与线段OA，OB所围成图形的面积为S，求S的值.
【解析】因为F(x，y)＝(1＋x)y，所以f(x)＝F(1，log2(x2－4x＋9))＝＝x2－4x＋9，故A(0,9)，又过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n＞0)，f′(x)＝2x－4.
所以解得B(3,6)，
所以S＝(x2－4x＋9－2x)dx＝(x33－3x2＋9x)=9.
总结提高
1.定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.?
2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.?
3.利用定积分求平面图形面积的步骤：?
（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；?
（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；?
（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；?
（4）计算定积分，写出答案.
高三理科数学排列组合总复习教学案
一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师能够更轻松的上课教学。高中教案的内容具体要怎样写呢？下面是小编精心为您整理的“高三理科数学排列组合总复习教学案”，希望对您的工作和生活有所帮助。
第十二章排列组合、二项式定理、概率
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排列
、
组合1.理解并运用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；
2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；
3.能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.本章重点：排列、组合的意义及其计算方法，二项式定理的应用.
本章难点：用二项式定理解决与二项展开式有关的问题.排列组合是学习概率的基础，其核心是两个基本原理.高考中着重考查两个基本原理，排列组合的概念及二项式定理.
随机事件的概率1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；
2.了解两个互斥事件的概率加法公式和相互独立事件同时发生的概率乘法公式；
3.理解古典概型及其概率计算公式；会计算一些随机事件所包含的基本事件的个数及事件发生的概率；
4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，了解几何概型的意义.本章重点：1.随机事件、互斥事件及概率的意义，并会计算互斥事件的概率；2.古典概型、几何概型的概率计算.
本章难点：1.互斥事件的判断及互斥事件概率加法公式的应用；2.可以转化为几何概型求概率的问题.本部分要求考生能从集合的思想观点认识事件、互斥事件与对立事件，进而理解概率的性质、公式，还要求考生了解几何概型与随机数的意义.在高考中注重考查基础知识和基本方法的同时，还常考查分类与整合，或然与必然的数学思想方法，逻辑思维能力以及运用概率知识解决实际问题的能力.
离散型随机变量1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；
2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用；
3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题；
4.理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；
5.利用实际问题的直方图，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.本章重点：1.离散型随机变量及其分布列；2.独立重复试验的模型及二项分布.
本章难点：1.利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题；2.正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.求随机变量的分布列与期望，以及在此基础上进行统计分析是近几年来较稳定的高考命题态势.考生应注重对特殊分布(如二项分布、超几何分布)的理解和对事件的意义的理解.
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12.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
典例精析
题型一分类加法计数原理的应用
【例1】在1到20这20个整数中，任取两个数相加，使其和大于20，共有种取法.
【解析】当一个加数是1时，另一个加数只能是20，有1种取法；
当一个加数是2时，另一个加数可以是19,20，有2种取法；
当一个加数是3时，另一个加数可以是18,19,20，有3种取法；
……
当一个加数是10时，另一个加数可以是11,12，…，19,20，有10种取法；
当一个加数是11时，另一个加数可以是12,13，…，19,20，有9种取法；
……
当一个加数是19时，另一个加数只能是20，有1种取法.
由分类加法计数原理可得共有1＋2＋3＋…＋10＋9＋8＋…＋1＝100种取法.
【点拨】采用列举法分类，先确定一个加数，再利用“和大于20”确定另一个加数.
【变式训练1】(2010济南市模拟)从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()
A.3B.4C.6D.8
【解析】当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为32时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为12、13、23时，也有4个.故选D.
题型二分步乘法计数原理的应用
【例2】从6人中选4人分别到张家界、韶山、衡山、桃花源四个旅游景点游览，要求每个旅游景点只有一人游览，每人只游览一个旅游景点，且6个人中甲、乙两人不去张家界游览，则不同的选择方案共有种.
【解析】能去张家界的有4人，依此能去韶山、衡山、桃花源的有5人、4人、3人.则由分步乘法计数原理得不同的选择方案有4×5×4×3＝240种.
【点拨】根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步之间既不能重复也不能遗漏.
【变式训练2】(2010湘潭市调研)要安排一份5天的值班表，每天有一人值班，现有5人，每人可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一人值班，问此值班表共有种不同的排法.
【解析】依题意，值班表须一天一天分步完成.第一天有5人可选有5种方法，第二天不能用第一天的人有4种方法，同理第三天、第四天、第五天也都有4种方法，由分步乘法计数原理共有5×4×4×4×4＝1280种方法.
题型三分类和分步计数原理综合应用
【例3】(2011长郡中学)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有.
【解析】方法一：由题意知，有且仅有两个区域涂相同的颜色，分为4类：1与5同；2与5同；3与5同；1与3同.对于每一类有A44种涂法，共有4A44＝96种方法.
方法二：第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法(此前三步已经用去三种颜色)；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法.所以，不同的涂色种数有4×3×2×(1×1＋1×3)＝96种.
【点拨】染色问题是排列组合中的一类难题.本题能运用两个基本原理求解，要注意的是分类中有分步，分步后有分类.
【变式训练3】(2009深圳市调研)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边)小正方形所涂颜色都不相同，且1,5,9号小正方形涂相同颜色，则符合条件的所有涂法有多少种？
【解析】第一步，从三种颜色中选一种颜色涂1,5,9号有C13种涂法；
第二步，涂2,3,6号，若2,6同色，有4种涂法，若2,6不同色，有2种涂法，故共有6种涂法；
第三步，涂4,7,8号，同第二步，共有6种涂法.
由分步乘法原理知共有3×6×6＝108种涂法.
总结提高
分类加法计数原理和分步乘法计数原理回答的都是完成一件事有多少种不同方法或种数的问题，其区别在于：分类加法计数原理是完成一件事要分若干类，类与类之间要互斥，用任何一类中的任何一种方法都可以独立完成这件事；分步乘法计数原理是完成一件事要分若干步，步骤之间相互独立，各个步骤相互依存，缺少其中任何一步都不能完成这件事，只有当各个步骤都完成之后，才能完成该事件.因此，分清完成一件事的方法是分类还是分步，是正确使用这两个基本计数原理的基础.
12.2排列与组合
典例精析
题型一排列数与组合数的计算
【例1】计算：(1)8！＋A66A28－A410；(2)C33＋C34＋…＋C310.
【解析】(1)原式＝8×7×6×5×4×3×2×1＋6×5×4×3×2×18×7－10×9×8×7＝57×6×5×4×3×256×(－89)＝－5130623.
(2)原式＝C44＋C34＋C35＋…＋C310＝C45＋C35＋…＋C310＝C46＋C36＋…＋C310＝C411＝330.
【点拨】在使用排列数公式Amn＝n！(n－m)！进行计算时，要注意公式成立的条件：m，n∈N+，m≤n.另外，应注意组合数的性质的灵活运用.
【变式训练1】解不等式＞6.
【解析】原不等式即9！(9－x)！＞6×9！(11－x)！，
也就是1(9－x)！＞，
化简得x2－21x＋104＞0，
解得x＜8或x＞13，又因为2≤x≤9，且x∈N*，
所以原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}.
题型二有限制条件的排列问题
【例2】3男3女共6个同学排成一行.
(1)女生都排在一起，有多少种排法？
(2)女生与男生相间，有多少种排法？
(3)任何两个男生都不相邻，有多少种排法？
(4)3名男生不排在一起，有多少种排法？
(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？
【解析】(1)将3名女生看作一人，就是4个元素的全排列，有A44种排法.又3名女生内部可有A33种排法，所以共有A44A33＝144种排法.
(2)男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有2种插法)，所以女生与男生相间共有2A33A33＝72种排法.
(3)女生先排，女生之间及首尾共有4个空隙，任取其中3个安插男生即可，因而任何两个男生都不相邻的排法共有A33A34＝144种.
(4)直接分类较复杂，可用间接法.即从6个人的排列总数中，减去3名男生排在一起的排法种数，得3名男生不排在一起的排法种数为A66－A33A44＝576种.
(5)先将2个女生排在男生甲、乙之间，有A23种排法.又甲、乙之间还有A22种排法.这样就有A23A22种排法.然后把他们4人看成一个元素(相当于一个男生)，这一元素及另1名男生排在首尾，有A22种排法.最后将余下的女生排在其间，有1种排法.故总排法为A23A22A22＝24种.
【点拨】排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题，在分析时，主要按照“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子，对于“相邻”问题可用“捆绑法”，对于“不相邻”问题可用“插空法”.对于直接考虑较困难的问题，可以采用间接法.
【变式训练2】把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列构成一个数列.
(1)43251是这个数列的第几项？
(2)这个数列的第97项是多少？
【解析】(1)不大于43251的五位数A55－(A44＋A33＋A22)＝88个，即为此数列的第88项.
(2)此数列共有120项，而以5开头的五位数恰好有A44＝24个，所以以5开头的五位数中最小的一个就是该数列的第97项，即51234.
题型三有限制条件的组合问题
【例3】要从12人中选出5人去参加一项活动.
(1)A，B，C三人必须入选有多少种不同选法？
(2)A，B，C三人都不能入选有多少种不同选法？
(3)A，B，C三人只有一人入选有多少种不同选法？
(4)A，B，C三人至少一人入选有多少种不同选法？
(5)A，B，C三人至多二人入选有多少种不同选法？
【解析】(1)只须从A，B，C之外的9人中选择2人，C29＝36种不同选法.
(2)由A，B，C三人都不能入选只须从余下9人中选择5人，即有C59＝C49＝126种选法.
(3)可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有C13种选法，再从余下的9人中选4人，有C49种选法，所以共有C13C49＝378种选法.
(4)可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都不入选的情况C59，共有C512－C59＝666种选法.
(5)可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都入选的情况C29种，所以共有C512－C29＝756种选法.
【点拨】遇到至多、至少的有关计数问题，可以用间接法求解.对于有限制条件的问题，一般要根据特殊元素分类.
【变式训练3】四面体的顶点和各棱中点共有10个点.
(1)在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法？
(2)在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法？
【解析】(1)四个点共面的取法可分三类.第一类：在同一个面上取，共有4C46种；第二类：在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点，共有6种；第三类：在六条棱的六个中点中取，取两对对棱的4个中点，共有C23＝3种.故有69种.
(2)用间接法.共C410－69＝141种.
总结提高
解有条件限制的排列与组合问题的思路：
(1)正确选择原理，确定分类或分步计数；
(2)特殊元素、特殊位置优先考虑；
(3)再考虑其余元素或其余位置.
12.3二项式定理
典例精析
题型一二项展开式的通项公式及应用
【例1】已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.
(1)求证：展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有的有理项.
【解析】由题意得2C1n＝1＋C2n()2，
即n2－9n＋8＝0，所以n＝8，n＝1(舍去).
所以Tr＋1＝()
＝(－)r
＝(－1)r(0≤r≤8，r∈Z).
(1)若Tr＋1是常数项，则16－3r4＝0，即16－3r＝0，
因为r∈Z，这不可能，所以展开式中没有常数项.
(2)若Tr＋1是有理项，当且仅当16－3r4为整数，
又0≤r≤8，r∈Z，所以r＝0,4,8，
即展开式中有三项有理项，分别是T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x-2.
【点拨】(1)把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键.除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质；
(2)应用通项公式求二项展开式的特定项，如求某一项，含x某次幂的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是应用通项公式根据题意列方程，在求得n或r后，再求所需的项(要注意n和r的数值范围及大小关系)；
(3)注意区分展开式“第r＋1项的二项式系数”与“第r＋1项的系数”.
【变式训练1】若(xx＋)n的展开式的前3项系数和为129，则这个展开式中是否含有常数项，一次项？如果有，求出该项，如果没有，请说明理由.
【解析】由题知C0n＋C1n2＋C2n22＝129，
所以n＝8，所以通项为Tr＋1＝Cr8(xx)8-r＝，
故r＝6时，T7＝26C28x＝1792x，
所以不存在常数项，而存在一次项，为1792x.
题型二运用赋值法求值
【例2】(1)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，则n＝；
(2)已知(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若5a1＋2a2＝0，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝.
【解析】(1)易知an＝1，令x＝0得a0＝n，所以a0＋a1＋…＋an＝30.
又令x＝1，有2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋…＋an＝30，
即2n＋1－2＝30，所以n＝4.
(2)由二项式定理得，
a1＝－C1n＝－n，a2＝C2n＝n(n－1)2，
代入已知得－5n＋n(n－1)＝0，所以n＝6，
令x＝－1得(1＋1)6＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，
即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝64.
【点拨】运用赋值法求值时应充分抓住代数式的结构特征，通过一些特殊值代入构造相应的结构.
【变式训练2】设(3x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7＋a8x8.求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值.
【解析】令f(x)＝(3x－1)8，
因为f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28，
f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7＋a8＝48，
所以a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝f(1)＋f(－1)2＝27×(1＋28).
题型三二项式定理的综合应用
【例3】求证：4×6n＋5n＋1－9能被20整除.
【解析】4×6n＋5n＋1－9＝4(6n－1)＋5(5n－1)＝4[(5＋1)n－1]＋5[(4＋1)n－1]＝20[(5n－1＋C1n5n－2＋…＋Cn－1n)＋(4n－1＋C1n4n－2＋…＋Cn－1n)]，是20的倍数，所以4×6n＋5n＋1－9能被20整除.
【点拨】用二项式定理证明整除问题时，首先需注意(a＋b)n中，a，b中有一个是除数的倍数；其次展开式有什么规律，余项是什么，必须清楚.
【变式训练3】求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
【解析】0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)1＋15×(－0.002)2＋…＋(－0.002)6.
因为T3＝C26(－0.002)2＝15×(－0.002)2＝0.00006＜0.001，
且第3项以后的绝对值都小于0.001，
所以从第3项起，以后的项都可以忽略不计.
所以0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝1－0.012＝0.988.
总结提高
1.利用通项公式可求展开式中某些特定项(如常数项、有理项、二项式系数最大项等)，解决这些问题通常采用待定系数法，运用通项公式写出待定式，再根据待定项的要求写出n、r满足的条件，求出n和r，再确定所需的项；
2.赋值法是解决二项展开式的系数和、差问题的一个重要手段；
3.利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理的变形，使得二项展开式的每一项都成为除数的倍数.对于余数问题，要注意余数的取值范围.
12.4随机事件的概率与概率的基本性质
典例精析
题型一频率与概率
【例1】某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示.
抽取球数n5010020050010002000
优等品数m45921944709541902
优等品频率
(1)计算表中乒乓球优等品的频率；
(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)
【解析】(1)依据公式，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,
0.940,0.954,0.951.
(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取的球数的增多，却都在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率为0.950.
【点拨】从表中所给的数据可以看出，当所抽乒乓球较少时，优等品的频率波动很大，但当抽取的球数很大时，频率基本稳定在0.95，在其附近摆动，利用概率的统计定义，可估计该批乒乓球的优等率.
【变式训练1】某篮球运动员在最近几场比赛中罚球的结果如下.
投篮次数n8101291016
进球次数m6897712
进球频率
(1)计算表中进球的频率；
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？
【解析】(1)由公式计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为：
(2)由(1)知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总在附近摆动，可知该运动员进球的概率为.
题型二随机事件间的关系
【例2】从一副桥牌(52张)中任取1张.判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”.
【解析】(1)是互斥事件但不是对立事件.因为“抽出红桃”与“抽出黑桃”在仅取一张时不可能同时发生，因而是互斥的.同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能抽出“方块”或“梅花”，因此两者不对立.
(2)是互斥事件又是对立事件.因为两者不可同时发生，但其中必有一个发生.
(3)不是互斥事件，更不是对立事件.因为“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”这两个事件有可能同时发生，如抽得12.
【点拨】要区分互斥事件和对立事件的定义.
【变式训练2】抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为()
A.至多两件次品B.至多一件次品
C.至多两件正品D.至少两件正品
【解析】根据对立事件的定义得选项B.
题型三概率概念的应用
【例3】甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀，统计后，得到如下列联表.
优秀非优秀总计
甲10
乙30
总计105
已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.
(1)请完成上面列联表；
(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”(参考数据P(K2＞6.635)＝0.05)；
(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10人按2到11进行编号，然后两次掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的编号.试求抽到6号或10号的概率.
【解析】(1)
优秀非优秀总计
甲104555
乙203050
总计3075105
(2)计算K2的一个观测值
k＝＝6.109.
因为6.109＜6.635，所以没有95%的把握认为成绩与班级有关.
(3)记被抽取人的序号为ζ，
则P(ζ＝6)＝，P(ζ＝10)＝，
所以P(ζ＝6或ζ＝10)＝P(ζ＝6)＋P(ζ＝10)＝＝.
【点拨】本题考查概率的概念在实际生活中的应用.
【变式训练3】袋内有35个球，每个球上都记有从1~35中的一个号码，设号码为n的球的重量为－5n＋20克，这些球以等可能性从袋里取出(不受重量、号码的影响).
(1)如果取出1球，试求其重量比号码数大5的概率；
(2)如果任意取出2球，试求它们重量相等的概率.
【解析】(1)由不等式－5n＋20＞n＋5，得n＞15或n＜3，
由题意知n＝1,2或者n＝16,17，…，35，于是所求概率为.
(2)设第n号和第m号的两个球的重量相等，
其中n＜m，则有－5n＋20＝－5m＋20，
所以(n－m)(n＋m－15)＝0.
因为n≠m，所以n＋m＝15，
所以(n，m)＝(1,14)，(2,13)，…，(7,8).
故所求概率为.
总结提高
1.对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件.集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪＝U，A∩＝.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.
事件A、B的和记作A＋B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A＋B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的.
当计算事件A的概率P(A)比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P(A)＝1－P().
2.若A与B互相独立，则与，A与，与B都是相互独立事件.判断A与B是否独立的方法是看P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.
12.5古典概型
典例精析
题型一古典概率模型的计算问题
【例1】一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)，
轿车A轿车B轿车C
舒适型100150z
标准型300450600
现按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类10辆.
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本视为一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,
9.6,8.7,9.3,9.0,8.2把这8辆车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
【解析】(1)依题意知，从每层抽取的比率为140，从而轿车的总数为50×40＝2000辆，所以z＝2000－100－150－300－450－600＝400.
(2)由(1)知C类轿车共1000辆，又样本容量为5，故抽取的比率为1200，即5辆轿车中有2辆舒适型、3辆标准型，任取2辆，一共有n＝10种不同取法，记事件A：至少有1辆舒适型轿车，则事件表示抽取到2辆标准型轿车，有m′＝3种不同取法，从而事件A包含：基本事件数为m＝7种，所以P(A)＝710.
(3)样本平均数＝18×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.0，记事件B：从样本中任取一数，该数与样本平均数的绝对值不超过0.5，则事件B包含的基本事件有6种，所以P(B)＝68＝34.
【点拨】利用古典概型求事件的概率时，主要弄清基本事件的总数，及所求事件所含的基本事件的个数.
【变式训练1】已知△ABC的三边是10以内(不包含10)的三个连续的正整数，求任取一个△ABC是锐角三角形的概率.
【解析】依题意不妨设a＝n－1，b＝n，c＝n＋1(n＞1，n∈N)，从而有a＋b＞c，即n＞2，所以△ABC的最小边为2，要使△ABC是锐角三角形，只需△ABC的最大角C是锐角，cosC＝(n－1)2＋n2－(n＋1)22(n－1)n＝n－42(n－1)＞0，所以n＞4，
所以，要使△ABC是锐角三角形，△ABC的最小边为4.另一方面，从{2,3,4，…，9}中，“任取三个连续正整数”共有6种基本情况，“△ABC是锐角三角形”包含4种情况，故所求的概率为46＝23.
题型二有放回抽样与不放回抽样
【例2】现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品.
(1)如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
(2)如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率.
【解析】(1)有放回地抽取3次，按抽取顺序(x，y，z)记录结果，则x，y，z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10＝103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8＝83种，因此，P(A)＝＝0.512.
(2)方法一：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录(x，y，z)，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8＝720种.设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6＝336，所以P(B)＝336720≈0.467.
方法二：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序(x，y，z)记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但(x，y，z)，(x，z，y)，(y，x，z)，(y，z，x)，(z，x，y)，(z，y，x)是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6＝120.按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6＝56，因此P(B)＝56120≈0.467.
【点拨】关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误.
【变式训练2】有5张卡片，上面分别写有0,1,2,3,4中的1个数.求：
(1)从中任取两张卡片，两张卡片上的数字之和等于4的概率；
(2)从中任取两次卡片，每次取一张，第一次取出卡片，记下数字后放回，再取第二次，两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率.
【解析】(1)两张卡片上的数字之和等于4的情形共有4种，任取两张卡片共有10种，所以概率为P＝410＝25；
(2)两张卡片上的数字之和等于4的情形共有5种，任取两张卡片共有25种，所以概率为P＝525＝15.
题型三古典概型问题的综合应用
【例3】甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.从甲、乙两袋中各任取2个球.
(1)若n＝3，求取到的4个球全是红球的概率；
(2)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为34，求n.
【解析】(1)记“取到的4个球全是红球”为事件A，
P(A)＝C22C24C22C25＝16×110＝160.
(2)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，“取到的4个球全是白球”为事件B2.
由题意，得P(B)＝1－34＝14.
P(B1)＝C12C12C24C2nC2n＋2＋C22C24C12C1nC2n＋2＝2n23(n＋2)(n＋1)，
P(B2)＝C22C24C2nC2n＋2＝n(n－1)6(n＋2)(n＋1).
所以P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝2n23(n＋2)(n＋1)＋n(n－1)6(n＋2)(n＋1)＝14，化简得7n2－11n－6＝0，解得n＝2或n＝－37(舍去)，故n＝2.
【变式训练3】甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙二人一次各抽取一题.
(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？
【解析】(1)甲从选择题中抽到一题的可能结果有C16个，乙从判断题中抽到一题的的可能结果是C14，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果为C16×C14＝24.又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有C110×C19＝90，
所以概率为2490＝415.
(2)甲、乙二人一次各抽取一题基本事件的总数是10×9＝90.
方法一：(分类计数原理)
①只有甲抽到了选择题的事件数是：6×4＝24；
②只有乙抽到了选择题的事件数是：6×4＝24；
③甲、乙同时抽到选择题的事件数是：6×5＝30.
故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是24＋24＋3090＝1315.
方法二：(利用对立事件)
事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙两人都未抽到选择题”是对立事件.
事件“甲、乙两人都未抽到选择题”的基本事件个数是4×3＝12.
故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是1－1290＝1－215＝1315.
总结提高
1.对古典概型首先必须使学生明确判断两点：①对于每个随机试验来说，所有可能出现的试验结果数n必须是有限个；②出现的各个不同的试验结果数m其可能性大小必须是相同的.只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式P(A)＝mn得出的结果才是正确的.使用公式P(A)＝mn计算时，确定m、n的数值是关键所在.
2.对于n个互斥事件A1，A2，…，An，其加法公式为P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
3.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.
4.在应用题背景条件下，能否把一个复杂事件分解为若干个互相排斥或相互独立、既不重复又不遗漏的简单事件是解答这类应用题的关键，也是考查学生分析问题、解决问题的能力的重要环节.
12.6几何概型
典例精析
题型一长度问题
【例1】如图，∠AOB＝60°，OA＝2，OB＝5，在线段OB上任取一点C，
试求：
(1)△AOC为钝角三角形的概率；
(2)△AOC为锐角三角形的概率.
【解析】如图，由平面几何知识知：
当AD⊥OB时，OD＝1；当OA⊥AE时，OE＝4，BE＝1.
(1)当且仅当点C在线段OD或BE上时，△AOC为钝角三角形.
记“△AOC为钝角三角形”为事件M，则P(M)＝OD＋EBOB＝1＋15＝0.4，即△AOC为钝角三角形的概率为0.4.
(2)当且仅当点C在线段DE上时，△AOC为锐角三角形.
记“△AOC为锐角三角”为事件N，则P(N)＝DEOB＝35＝0.6，即△AOC为锐角三角形的概率为0.6.
【点拨】我们把每一个事件理解为从某个特定的区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个事件发生则理解为恰好在上述区域内的某个指定的区域内的点，这样的概率模型就可以用几何概型求解.
【变式训练1】点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为.
【解析】如图
可设＝1，则根据几何概率可知其整体事件是其周长3，则其概率是23.
题型二面积问题
【例2】两个CB对讲机(CB即CitizenBand民用波段的英文缩写)持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3：00时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：00时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？
【解析】设x和y分别代表莉莉和霍伊距基地的距离，于是0≤x≤30,0≤y≤40.
他们所有可能的距离的数据构成有序点对(x，y)，这里x，y都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置，他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生(如下图)，因此构成该事件的点由满足不等式x2＋y2≤25的数对组成，
此不等式等价于x2＋y2≤625，右图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为1200平方公里，而事件的面积为(14)×π×(25)2＝625π4，
于是有P＝625×π41200＝625π4800≈0.41.
【点拨】解决此类问题，应先根据题意确定该实验为几何概型，然后求出事件A和基本事件的几何度量，借助几何概型的概率公式求出.
【变式训练2】如图，以正方形ABCD的边长为直径作半圆，重叠部分为花瓣.现在向该正方形区域内随机地投掷一飞镖，求飞镖落在花瓣内的概率.
【解析】飞镖落在正方形区域内的机会是均等的，符合几何概型条件.记飞镖落在花瓣内为事件A，设正方形边长为2r，则
P(A)＝S花瓣SABCD＝12πr2×4－(2r)2(2r)2＝π－22.
所以，飞镖落在花瓣内的概率为π－22.
题型三体积问题
【例3】在线段[0,1]上任意投三个点，设O至三点的三线段长为x、y、z，研究方法表明：x，y，z能构成三角形只要点(x，y，z)落在棱长为1的正方体T的内部由△ADC，△ADB，△BDC，△AOC，△AOB，△BOC所围成的区域G中(如图)，则x，y，z能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大？
【解析】V(T)＝1，V(G)＝13－3×13×12×13＝12，
所以P＝V(G)V(T)＝12.
由此得，能与不能构成三角形两事件的概率一样大.
【点拨】因为任意投的三点x，y，z是随机的，所以使得能构成三角形只与能构成三角形的区域及基本事件的区域有关.
【变式训练3】已知正方体ABCD—A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD—A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是()
A.π4B.π8C.π6D.π12
【解析】设正方体的棱长为a，则点M在球O内的概率P＝V球V正方体＝43π(a2)3a3＝π6，选C.
总结提高
1.几何概型是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.其特点是在一个区域内均匀分布，概率大小与随机事件所在区域的形状和位置无关，只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点，其测度为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件.如果随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，其测度为1，则它出现的概率为1，但它不是必然事件.
2.若试验的全部结果是一个包含无限个点的区域(长度，面积，体积)，一个基本事件是区域中的一个点.此时用点数度量事件A包含的基本事件的多少就毫无意义.“等可能性”可以理解成“对任意两个区域，当它们的测度(长度，面积，体积，…)相等时，事件A对应点落在这两区域上的概率相等，而与形状和位置都无关”.
3.几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.
12.7条件概率与事件的独立性
典例精析
题型一条件概率的求法
【例1】一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0~9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率.
【解析】设第i次按对密码为事件Ai(i＝1,2)，则A＝A1∪(A2)表示不超过2次就按对密码.
(1)因为事件A1与事件A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝110＋9×110×9＝15.
(2)用B表示最后一位是偶数的事件，则
P(A|B)＝P(A1|B)＋P(A2|B)＝15＋4×15×4＝25.
【点拨】此类问题解题时应注意着重分析事件间的关系，辨析所求概率是哪一事件的概率，再运用相应的公式求解.
【变式训练1】设某种动物从出生算起活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是.
【解析】设此种动物活到20岁为事件A，活到25岁为事件B，所求概率为P(B|A)，由于BA，则P(AB)＝P(B)，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝0.40.8＝12.
题型二相互独立事件的概率
【例2】三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别为15，14，13，且他们是否破译出密码互不影响.
(1)求恰有二人破译出密码的概率；
(2)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.
【解析】(1)记三人各自破译出密码分别为事件A，B，C，依题意知A，B，C相互独立，记事件D：恰有二人破译密码，
则P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝15×14×(1－13)＋15×(1－14)×13＋(1－15)×14×13＝960＝320.
(2)记事件E：密码被破译，：密码未被破译，
则P()＝P()＝(1－15)×(1－14)×(1－13)＝2460＝25，
所以P(E)＝1－P()＝35，所以P(E)＞P().
故密码被破译的概率大.
【点拨】解决事件的概率问题的一般步骤：①记取事件；②揭示事件的关系；③计算事件的概率.
【变式训练2】甲、乙、丙三个口袋内都分别装有6个只有颜色不相同的球，并且每个口袋内的6个球均有1个红球，2个黑球，3个无色透明的球，现从甲、乙、丙三个口袋中依次随机各摸出1个球，求恰好摸出红球、黑球和无色球各1个的概率.
【解析】由于各个袋中球的情况一样，而且从每一个袋中摸出红球、黑球、无色球的概率均分别为16，13，12，可得P＝A33×16×13×12＝16.
题型三综合问题
【例3】某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：三门课程中至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
(1)分别求该应聘者在方案一和方案二下考试通过的概率；
(2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由.
【解析】记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P(A)＝a，P(B)＝b，P(C)＝c.
(1)应聘者在方案一下考试通过的概率
P1＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＋P(ABC)
＝ab(1－c)＋bc(1－a)＋ac(1－b)＋abc
＝ab＋bc＋ca－2abc.
应聘者在方案二下考试通过的概率
P2＝13P(AB)＋13P(BC)＋13P(AC)＝13(ab＋bc＋ca).
(2)由a，b，c∈[0,1]，则
P1－P2＝23(ab＋bc＋ca)－2abc＝23[ab(1－c)＋bc(1－a)＋ca(1－b)]≥0，
故P1≥P2，即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大.
【点拨】本题首先以相互独立事件为背景，考查两种方案的概率，然后比较概率的大小，要求运用a，b，c∈[0,1]这一隐含条件.
【变式训练3】甲，乙，丙三人分别独立地进行某项体能测试，已知甲能通过测试的概率是25，甲，乙，丙三人都能通过测试的概率是320，甲，乙，丙三人都不能通过测试的概率是340，且乙通过的概率比丙大.
(1)求乙，丙两人各自通过测试的概率分别是多少？
(2)测试结束后，最容易出现几人通过的情况？
【解析】(1)设乙、丙两人各自通过的概率分别为x，y，依题意得
即或(舍去)，
所以乙、丙两人各自通过的概率分别为34，12.
(2)因为三人都不能通过测试的概率为P0＝340，
三人都能通过测试的概率为P3＝320＝640，
三人中恰有一人通过测试的概率：
P1＝25×(1－34)×(1－12)＋(1－25)×34×(1－12)＋(1－25)×(1－34)×12＝720＝1440，
三人恰有两人通过测试的概率：
P2＝1－(P0＋P1＋P3)＝1740，
所以测试结束后，最容易出现两人通过的情况.
总结提高
1.互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别：
对于事件A、B，在一次试验中，A、B如果不能同时发生，则称A、B互斥.一次试验中，如果A、B互斥且A、B中必有一个发生，则称A、B对立.显然，A＋为必然事件，A、B互斥则不能同时发生，但可能同时不发生.两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件的发生的概率没有影响.事实上：
A、B互斥，则P(AB)＝0；
A、B对立，则P(AB)＝0且P(A)＋P(B)＝1；
A、B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B).
它们是不相同的.
2.由于当事件A、B相互独立时，P(AB)＝P(A)P(B)，因此式子1－P(A)P(B)表示相互独立事件A、B中至少有一个不发生的概率.对于n个随机事件A1，A2，…，An，有
P(A1＋A2＋…＋An)＝1－P(∩∩…∩)，此称为概率的和与积的互补公式.
12.8离散型随机变量及其分布列
典例精析
题型一离散型随机变量的分布列
【例1】设离散型随机变量X的分布列为
X01234
P0.20.10.10.30.3
求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列.
【解析】首先列表如下：
X01234
2X＋113579
|X－1|10123
从而由上表得两个分布列如下：
2X＋1的分布列：
2X＋113579
P0.20.10.10.30.3
|X－1|的分布列：
|X－1|0123
P0.10.30.30.3
【点拨】由于X的不同的值，Y＝f(X)会取到相同的值，这时要考虑所有使f(X)＝Y成立的X1，X2，…，Xi的值，则P(Y)＝P(f(X))＝P(X1)＋P(X2)＋…＋P(Xi)，在第(2)小题中充分体现了这一点.
【变式训练1】某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过渡区，B肯定是受A感染的，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是12，同样也假定D受A、B、C感染的概率都为13，在这种假定之下，B、C、D中受A感染的人数X就是一个随机变量，写出X分布列，并求均值.
【解析】依题知X可取1、2、3，
P(X＝1)＝1×(1－12)×(1－13)＝13，
P(X＝2)＝1×(1－12)×13＋1×12×(1－13)＝12，
P(X＝3)＝1×12×13＝16，
所以X的分布列为
X123
P
均值E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
题型二两点分布
【例2】在掷一枚图钉的随机试验中，令ξ＝如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量ξ的分布列.
【解析】根据分布列的性质，针尖向下的概率是1－p.于是，随机变量的分布列是
ξ01
P1－pp
【点拨】本题将两点分布与概率分布列的性质相结合，加深了两点分布的概念的理解.
【变式训练2】若离散型随机变量ξ＝的分布列为：
ξ01
P9c2－c3－8c
(1)求出c；
(2)ξ是否服从两点分布？若是，成功概率是多少？
【解析】(1)由(9c2－c)＋(3－8c)＝1，解得c＝13或23.
又9c2－c≥0,3－8c≥0，所以c＝13.
(2)是两点分布.成功概率为3－8c＝13.
题型三超几何分布
【例3】有10件产品，其中3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品数X的分布列.
【解析】X的所有可能取值为0,1,2,3，X＝0表示取出的5件产品全是正品，
P(X＝0)＝C03C57C510＝21252＝112；
X＝1表示取出的5件产品有1件次品4件正品，
P(X＝1)＝C13C47C510＝105252＝512；
X＝2表示取出的5件产品有2件次品3件正品，
P(X＝2)＝C23C37C510＝105252＝512；
X＝3表示取出的5件产品有3件次品2件正品，
P(X＝3)＝C33C27C510＝21252＝112.
所以X的分布列为
X0123
P
【点拨】在取出的5件产品中，次品数X服从超几何分布，只要代入公式就可求出相应的概率，关键是明确随机变量的所有取值.超几何分布是一个重要分布，要掌握它的特点.
【变式训练3】一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为()
A.1220B.2755C.27220D.2125
【解析】由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.选C.
总结提高
1.求离散型随机变量分布列的问题，需要综合运用排列、组合、概率等知识和方法.
2.求离散型随机变量ξ的分布列的步骤：
(1)求出随机变量ξ的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…)；
(2)求出各取值的概率P(ξ＝xi)＝pi；
(3)列出表格.
12.9独立重复试验与二项分布
典例精析
题型一相互独立事件同时发生的概率
【例1】甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
【解析】(1)设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.
由题设条件有
即
由①③解得P(C)＝23，将P(C)＝23分别代入③②可得P(A)＝13，P(B)＝14，即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.
(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，
则P(D)＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－23×34×13＝56.
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.
【点拨】相互独立事件是发生的概率互不影响的两个或多个事件.两个相互独立事件同时发生的概率满足P(AB)＝P(A)P(B)，对于求与“至少”、“至多”有关事件的概率，通常转化为求其对立事件的概率.
【变式训练1】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.
(1)求乙至多击中目标2次的概率；
(2)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.
【解析】(1)乙至多击中目标2次的概率为1－C33(23)3＝1927.
(2)设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1、B2为互斥事件.
P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝38×127＋18×29＝124.
所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为124.
题型二独立重复试验
【例2】(2010天津)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响.
(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率.
【解析】(1)设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～B(5，23).在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P(X＝2)＝C25×(23)2×(1－23)3＝40243.
(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则
P(A)＝P(A1A2A3)＋P(A2A3A4)＋P(A3A4A5)＝(23)3×(13)2＋13×(23)3×13＋(13)2×(23)3＝881.
【点拨】独立重复试验是同一试验的n次重复，每次试验成功的概率都相同，恰有k次试验成功的概率为Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k.
【变式训练2】袋子A中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是13.从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止.
(1)求恰好摸5次停止的概率；
(2)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求P(ξ≥2).
【解析】(1)P＝C24×(13)2×(23)2×13＝881.
(2)P(ξ＝2)＝C25×(13)2×(1－13)3＝80243，
P(ξ＝3)＝C35×(13)3×(1－13)2＝40243，
则P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝4081.
题型三二项分布
【例3】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率为13.
(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；
(2)设Y为这名学生在首次遇到红灯前经过的路口数，求Y的分布列；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
【解析】(1)依题意知X～B(6，13)，
P(X＝k)＝Ck6(13)k(23)6－k，k＝0,1,2,3,4,5,6.
所以X的分布列为
X0123
P
X456
P
(2)依题意知Y可取0,1,2,3,4,5,6，
P(Y＝0)＝13，
P(Y＝1)＝13×23＝29，
P(Y＝2)＝13×(23)2＝427，
P(Y＝3)＝13×(23)3＝881，
P(Y＝4)＝13×(23)4＝16243，
P(Y＝5)＝13×(23)5＝32729，
P(Y＝6)＝(23)6＝64729，
所以Y的分布列为
Y0123456
P
(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率为
P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(23)6＝665729.
【点拨】解决离散型随机变量的分布列问题时，要依据相关概念识别离散型随机变量服从什么分布，如第(1)问中X服从二项分布，而第(2)问中并不服从二项分布.
【变式训练3】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求随机变量ξ的分布列.
【解析】方法一：ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,5.
P(ξ＝0)＝2535＝32243，P(ξ＝1)＝＝80243，
P(ξ＝2)＝＝80243，P(ξ＝3)＝＝40243，
P(ξ＝4)＝＝10243，P(ξ＝5)＝135＝1243.
从而ξ的分布列为
ξ012345
P
方法二：考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.
故ξ～B(5，13)，即有
P(ξ＝k)＝Ck5(13)k(23)5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
由此计算ξ的分布列如方法一.
总结提高
独立重复试验是同一试验的n次重复，每次试验结果的概率不受其他次结果的概率的影响，每次试验有两个可能结果：成功和失败.n次试验中A恰好出现了k次的概率为Cknpk(1－p)n－k，这k次是n次中的任意k次，若是指定的k次，则概率为pk(1－p)n-k.
12.10离散型随机变量的期望与方差
典例精析
题型一期望与方差的性质的应用
【例1】设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝16(k＝1,2,3,4,5,6)，求E(ξ)，E(2ξ＋3)和D(ξ)，D(2ξ＋3).
【解析】E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋x6p6＝3.5，
E(2ξ＋3)＝2E(ξ)＋3＝10，
D(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(x6－E(ξ))2p6＝3512，D(2ξ＋3)＝4D(ξ)＝353.
【点拨】在计算离散型随机变量的期望与方差时，首先要弄清其分布特征及分布列，再准确运用公式，特别是利用性质解题.
【变式训练1】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4).现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号.
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值.
【解析】(1)ξ的分布列为：
ξ01234
P
所以E(ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，
D(ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.
(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(ξ)＋b，
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
所以或
题型二期望与方差在风险决策中的应用
【例2】甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ、η，ξ和η的分布列如下：
ξ012
P
η012
P
试对这两名工人的技术水平进行比较.
【解析】工人甲生产出的次品数ξ的期望和方差分别为：
E(ξ)＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，
D(ξ)＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81.
工人乙生产出的次品数η的期望和方差分别为：
E(η)＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D(η)＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.
由E(ξ)＝E(η)知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(ξ)＞D(η)，可见乙的技术比较稳定.
【点拨】期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值的大小还不够.如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差.方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值分散性小或者取值比较集中、稳定.
【变式训练2】利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是.
【解析】利用方案A1、A2、A3、A4盈利的期望分别是：
50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；
70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；
－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；
98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6.故选A3.
题型三离散型随机变量分布列综合问题
【例3】(2010浙江)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落入A或B或C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1,2,3等奖.
(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量ξ为获得k(k＝1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望E(ξ)；
(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η＝2).
【解析】(1)由题意得ξ的分布列为
ξ50%70%90%
p
则E(ξ)＝316×50%＋38×70%＋716×90%＝34.
(2)由(1)可知，获得1等奖或2等奖的概率为316＋38＝916.由题意得η～(3，916)，则P(η＝2)＝C23(916)2(1－916)＝17014096.
【变式训练3】(2010北京市东城区)已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为127.
(1)求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率；
(2)抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望E(ξ).
【解析】(1)设抛掷一次这样的硬币，正面朝上的概率为P，依题意有C33P3＝127，解得
P＝13.
所以抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率为P3(2)＝C23×(13)2×23＝29.
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.
P(ξ＝0)＝C03×(23)3×12＝427；
P(ξ＝1)＝C03×(23)3×12＋C13×13×(23)2×12＝1027；
P(ξ＝2)＝C13×13×(23)2×12＋C23×(13)2×23×12＝13；
P(ξ＝3)＝C23×(13)2×23×12＋C33×(13)3×12＝754；
P(ξ＝4)＝C33×(13)3×12＝154.
所以ξ的分布列为
ξ01234
P
E(ξ)＝0×427＋1×1027＋2×13＋3×754＋4×154＝32.
总结提高
1.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均；E(ξ)是一个实数，由ξ的分布列唯一确定，即作为随机变量ξ是可变的，可取不同值，而E(ξ)是不变的，它描述ξ取值的平均状态.
2.方差D(ξ)表示随机变量ξ对E(ξ)的平均偏离程度，统计中常用标准差D(ξ)描述ξ的分散程度.
12.11正态分布
典例精析
题型一研究正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
【例1】某正态曲线的密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为122π，求总体位于区间[－4，－2]的概率.
【解析】由正态曲线的密度函数是偶函数知μ＝0，由最大值为122π知σ＝2，
所以P(－2≤x≤2)＝P(μ－σ≤x≤μ＋σ)＝0.6826，
P(－4≤x≤4)＝P(μ－2σ≤x≤μ＋2σ)＝0.9544，
所以P(－4≤x≤－2)＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359.
【点拨】应当熟记：
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.6826；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.9544；
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.9974.
【变式训练1】设X~N(1,22)，试求：
(1)P(－1＜X≤3)；
(2)P(X≥5).
【解析】因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826.
(2)因为P(X≥5)＝P(X≤－3)，
所以P(X≥5)＝12[1－P(－3＜X≤5)]
＝12[1－P(1－4＜X≤1＋4)]
＝12[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]
＝12(1－0.9544)＝0.0228.
题型二利用正态总体密度函数估计某区间的概率
【例2】已知某地区数学考试的成绩X~N(60,82)(单位：分)，此次考生共有1万人，估计在60分到68分之间约有多少人？
【解析】由题意μ＝60，σ＝8，
因为P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，
所以P(52＜X≤68)＝0.6826，
又此正态曲线关于x＝60对称，
所以P(60＜X≤68)＝12P(52＜X≤68)＝0.3413，
从而估计在60分到68分之间约有3413人.
【点拨】本题是教材变式题，将原题中单纯(μ－σ，μ＋σ)的概率考查结合了正态曲线的对称性以及概率的意义，使题目更具实际意义.另外，还可将问题变为(44,76)、(68,76)等区间进行探讨.
【变式训练2】某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30,100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率.
【解析】由μ＝30，σ＝10，P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826知此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.6826，又由于P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，所以此人在10分钟至20分钟或40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.9544－0.6826＝0.2718，由正态曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.1359.
总结提高
1.服从正态分布的随机变量X的概率特点
若随机变量X服从正态分布，则X在一点上的取值概率为0，即P(X＝a)＝0，而{X＝a}并不是不可能事件，所以概率为0的事件不一定是不可能事件，从而P(X＜a)＝P(X≤a)是成立的，这与离散型随机变量不同.
2.关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值.
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相同.
②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a).
