九上数学第4单元锐角三角函数小结与复习导学案(新湘教版)。

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湘教版九年级上册数学导学案
第四章小结与复习
【学习目标】
1.掌握锐角三角函数（正弦.余弦.正切）的概念.掌握30°.45°.60°角的三角函数值.会使用计算器求锐角三角函数值，及求三角函数值对应的角度（锐角）..
2.会利用锐角三角函数解决实际问题.
3.梳理知识，融汇贯通.
重点：梳理知识，融汇贯通．
难点：灵活运用锐角三角函数解决实际问题.
【预习导学】
学生通过自主预习、回顾教材第四章内容完成下列问题。
1.在直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切分别是哪两条边的比？
2.200，450，600角的正弦值、余弦值、正切值分别是多少？
3.在直角三角形中，已知几个元素就可以解直角三角形？
4.锐角三角函数在生活中有着广泛的应用，试结合实例谈谈如何将实际问题转化为解直角三角形的问题。

【探究展示】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a.b.c.∠A.∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系：sinA=cosA=tanA=
(2)三边之间关系：(勾股定理)
(3)锐角之间关系：∠A+∠B=．
2.特殊角度的三角函数值

0＜sinA＜1，0＜cosA＜1
3.我们可以利用计算器计算任意一个锐角的三角函数值，反过来，已知一个三角函数值，我们也可以利用计算器求出相应的锐角的大小.
1.在RtABC中，∠C=900，AB=12cm，BC=10cm，分别求∠A.∠B的正弦.余弦和正切值.

2.求下列各式的值
（1）；（2）；
（3）；（4）

3.在RtABC中，∠C=900，∠A=300，c=12cm，求∠B，a，b.

4.如图示，△ABC中，∠A=30°，AB=8，AC=6,求△ABC的面积S及A到BC边的距离d.

此题由小组合作完成，然后小组派代表上台展示.
要求面积，先作高.过点B作BD⊥AC于D点.
在RtABD中，根据锐角三角函数可以求得BD=，AD=
△ABC的面积S=
CD=AC-AD=在RtBCD中，根据勾股定理可求得BC=
由△ABC的面积S=，
可得d=
5.在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c
（1）ABC的面积S与∠A，b，c之间有什么关系？

解：过点C作ABC的高CD.
在RtACD中，sinA=，得出CD=
所以，S=
（2）求证：

【学后反思】
通过本节课的学习，
1.你学到了什么？
2.你还有什么样的困惑？
3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？

扩展阅读

《锐角三角函数》学案1

教案课件是老师上课中很重要的一个课件，大家正在计划自己的教案课件了。各行各业都在开始准备新的教案课件工作计划了，未来工作才会更有干劲！你们知道多少范文适合教案课件？以下是小编为大家精心整理的“《锐角三角函数》学案1”，仅供参考，欢迎大家阅读。

《锐角三角函数》学案1

教学目标：
1.探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。
2.掌握三角函数定义式：sinA=，cosA=，tanA=。
重点和难点
重点：三角函数定义的理解。
难点：直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系及求三角函数值。
【教学过程】
一、情境导入
如图是两个自动扶梯，甲、乙两人分别从1、2号自动扶梯上楼，谁先到达楼顶?如果AB和A′B′相等而∠α和∠β大小不同，那么它们的高度AC和A′C′相等吗？AB、AC、BC与∠α，A′B′、A′C′、B′C′与∠β之间有什么关系呢？------导出新课
二、新课教学
1、合作探究
见课本
2、三角函数的定义
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.
∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即sinA＝
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA，即cosA=
∠A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即
锐角A的正弦、余弦和正切统称∠A的三角函数.
注意：sinA，cosA，tanA都是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义，其中A前面的“∠”一般省略不写。
师：根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数值的取值范围吗？
师：（点拨）直角三角形中，斜边大于直角边．
生：独立思考，尝试回答，交流结果．
明确：0＜sina＜1，0＜cosa＜1.
巩固练习：课内练习T1、作业题T1、2
3、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=5,BC=3,求∠A,∠B的正弦,余弦和正切.
分析：由勾股定理求出AC的长度，再根据直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系求出各函数值。
师：观察以上计算结果,你发现了什么?
明确：sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1
4、课堂练习：课本课内练习T2、3，作业题T3、4、5、6
三、课堂小结：谈谈今天的收获
1、内容总结
（1）在RtΔABC中,设∠C=900，∠α为RtΔABC的一个锐角，则
∠α的正弦，∠α的余弦，
∠α的正切
（2）一般地，在Rt△ABC中,当∠C=90°时，sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1
2、方法归纳
在涉及直角三角形边角关系时，常借助三角函数定义来解
四、布置作业：
1.课后作业题
2.见作业本相关节次

中考数学锐角三角函数复习

初三第一轮复习第33课时：锐角三角函数

【知识梳理】

1、锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中,∠C=90°,则

正弦：sinA==，余弦：cosA==，正切：tanA==.

2、锐角三角函数的取值范围：0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0

3、各锐角三角函数间的关系：①sin（90○－A）=cosA，cos（90○－A）=sinA；

②＝1；

4、锐角三角函数的增减性：

正弦、正切函数值随角的增大而增大，余弦函数值随角的增大而减小。

5、特殊角的三角函数值

αsinαcosαtanα

30°

45°

60°

【课前预习】

1、已知在中，，则的值为.

2、等腰三角形底边为10，周长为36，则其底角的正切值是.

3、如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则.

4、已知∠A为锐角，且cosA≤0.5，那么（）

A．0°＜∠A≤60°B．60°≤∠A＜90°C．0°＜∠A≤30°D．30°≤∠A＜90°

5、化简的结果是.

6、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=，则∠A=.

7、计算：

【例题讲解】

例1如图所示，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，

若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC=.

例2如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点在格点上，请按要求完成下列各题：

（1）画AD∥BC（D为格点），连接CD；

（2）线段CD的长为；

（3）请你在的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角

是，则它所对应的正弦函数值是.

（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是.

例3如图，在△ABC中，AD是BC边上的，若tanB=cos∠DAC，(1)AC与BD相等吗？说明理由；

(2)若sinC=12/13，BC=12，求AD的长.

例4如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，点D在AC上，∠BDC=60°，AD=l．

求BD、DC的长．

【巩固练习】

1、(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=.

(2)在△ABC中，若BC=，AB=，AC=5，则cosA=.

(3)在△ABC中，AB=2，∠B=30°，AC=，则∠BAC的度数是.

(4)一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为.

(5)若∠A为锐角，且cos(A+15°)=，则∠A=.

2、已知α为锐角,当无意义时，则tan(α+15°)-tan(α-15°)=.

3、已知sinα0.5，那么锐角α的取值范围.

4、计算：（1）；（2）

5、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，CD⊥AB，

求：①sin∠ACD的值；②tan∠BCD的值

【课后作业】班级姓名

一、必做题:

1、在中，，则的值是.

2、=______．

3、已知α为锐角，若cosα＝12，则sinα＝，tan(90°－α)＝

4、Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝3b，则∠A＝，sinA＝

5、已知sina=1213，a为锐角，则cosa＝，tana＝.

6、已知正三角形，一边上的中线长为，则此三角形的边长为

7、Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，则a:b:c＝()

(A)1:2:3(B)1:2:3(C)1:3:2(D)1:2:3

8、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA=1∶3，

且AC=10，则DE的长度是（）

(A)3(B)5(C)(D)

9、正方形网格中，∠AOB如图所示放置，则cos∠AOB的值为（）

(A)(B)2(C)(D)

10、如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得，在C点测得，又测得米，则小岛B到公路l的距离为()

(A)25米（B）米（C）米（D）（）米

11、计算：

（1）（2）

（3）先化简再求代数式的值.，其中a＝tan60°－2sin30°．

12、某片绿地的形状如图所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB=200m，CD=100m．

求AD、BC的长（结果保留根号）

13、如图，AC⊥BC，cos∠ADC＝45，∠B＝30°，AD＝10，求BD的长.

14、如图，在ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12，SinB=4／5.求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值.

15、某班学生利用周末参观博物馆.下面是两位同学的一段对话：

甲：我站在此处看塔顶仰角为60°，乙：我站在此处看塔顶仰角为30°，

甲：我们的身高都是1.5m，乙：我们相距20m。

如图所示，请你根据两位同学的对话，计算塔的高度（精确到1m）

二、选做题：

15、如图，是一张宽的矩形台球桌，一球从点（点在长边上）出发沿虚线射向边，然后反弹到边上的点.如果，.那么点与点的距离为.

16、将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕的长是（）

(A)cm(B)cm(C)cm(D)2cm

17、等腰三角形的腰长为2cm，面积为1cm2，则顶角的度数为

18、如图所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8m的A、B两处测得点D和点C的仰角分别为45°和60°，且A、B、E三点在一条直线上，若BE=15m，求这块广告牌的高度.（取≈1.73，计算结果保留整数）

《锐角三角函数》学案2

一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，大家在认真准备自己的教案课件了吧。只有规划好新的教案课件工作，新的工作才会更顺利！你们知道哪些教案课件的范文呢？下面是小编精心为您整理的“《锐角三角函数》学案2”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

《锐角三角函数》学案2

教学目标
(一)教学知识点
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
(二)思维训练要求
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.
2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
(三)情感与价值观要求
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.
2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
教学重点
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.比较锐角三角函数值的大小.
教学难点
进一步体会三角函数的意义.
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)
[生]我们组设计的方案如下：
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
[生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE=a米，则AD＝a米，如何求CD呢?
[生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一
半，即AC＝2CD，根据勾股定理，(2CD)2＝CD2+a2.
CD＝a.
则树的高度即可求出.
[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=，则CD=
atan30°，岂不简单.
你能求出30°角的三个三角函数值吗?
Ⅱ.讲授新课
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
[师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?
[生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°.
[师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.
[生]sin30°＝.
sin30°表示在直角三角
形中，30°角的对边与
斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a，所以sin30°＝.
[师]cos30°等于多少?tan30°呢?
[生]cos30°＝.
tan30°=
[师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?
[生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin60°=,
cos60°=,
tan60°＝.
[生]也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=cos60°=sin(90°-
60°)=sin30°=.
[师生共析]我们一同来
求45°角的三角函数值.含
45°角的直角三角形是等腰
直角三角形.(如图)设其中一
条直角边为a，则另一条直角
边也为a，斜边a.由此可求得
sin45°=,
cos45°＝,
tan45°=
[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)
30°、45°、60°角的三角函数值
三角函数角
sinα
coα
tanα
30°
45°
1
60°
这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.
为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?
[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为，，，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.
[师]再来看第二列函数值，有何特点呢?
[生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为，，，余弦值随角度的增大而减小.
[师]第三列呢?
[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°=1比较特殊.
[师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、
45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.
2.例题讲解(多媒体演示)
[例1]计算：
(1)sin30°+cos45°；
(2)sin260°+cos260°-tan45°.
分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin260°表示(sin60°)2，cos260°表示
(cos60°)2.
解：(1)sin30°+cos45°=,
(2)sin260°+cos260°-tan45°
=()2+()2-1
=+-1
＝0.
[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01m)
分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
解：根据题意(如图)
可知，∠BOD=60°，
OB=OA＝OD=2.5m，
∠AOD＝×60°＝30°，
∴OC=OD·cos30°
=2.5×≈2.165(m).
∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m).
所以，最高位置与最低位置的高度约为
0.34m.
Ⅲ.随堂练习
多媒体演示
1.计算：
(1)sin60°-tan45°；
(2)cos60°+tan60°；
(3)sin45°+sin60°-2cos45°.
解：(1)原式＝-1=；
(2)原式=+=
(3)原式=×+×；
=
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7m，扶梯的长度是多少?
解：扶梯的长度为=14(m)，
所以扶梯的长度为14m.
Ⅳ.课时小结
本节课总结如下：
(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.
sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；
cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝；
tan30°=，tan45°＝1，tan60°=.
(2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
(3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小.
Ⅴ.课后作业
作业本
Ⅵ.活动与探究
(2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30m，两楼问的距离AC=24m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?
(精确到0.1m，≈1.41，≈1.73)
[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E，直射到乙楼D点，D点向下便接受不到光线，过D作DB⊥AE(甲楼).在Rt△BDE中.BD=AC＝24m，∠EDB＝30°.可求出BE，由于甲、乙楼一样高，所以DF=BE.
[结果]在Kt△BDE中，BE=DB·tan30°＝24×=8m.
∵DF＝BE，
∴DF=8≈8×1.73＝13.84(m).
甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84≈16.2(m).