二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数的关系第2课时学案。

老师职责的一部分是要弄自己的教案课件，到写教案课件的时候了。我们要写好教案课件计划，新的工作才会如鱼得水！有多少经典范文是适合教案课件呢？小编特地为大家精心收集和整理了“二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数的关系第2课时学案”，但愿对您的学习工作带来帮助。

第2课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数的关系
出示目标
1.熟练掌握函数与方程的综合应用.
2.能利用函数知识解决一些简单的实际问题.
合作探究1
活动1小组讨论
例1将抛物线y=x2+2x-4向左平移2个单位，又向上平移3个单位，最后绕顶点旋转
180°.
①求变换后新抛物线对应的函数解析式；
②若这个新抛物线的顶点横纵坐标恰为x的整系数方程x2-(4m+n)x+3m2-2n=0的两根，求m、n的值.
解：①y=x2+2x-4=(x+1)2-5.由题意，可得平移旋转后抛物线的解析式为y=-x2-6x-11.
②该抛物线顶点坐标为(-3，-2).
设方程两根为x1,x2，则有x1+x2=4m+n=-5,x1x2=3m2-2n=6.即解得或
熟练运用二次函数平移规律解决问题，二次函数与一元二次方程的转化，以及一元二次方程根与系数的关系也是解决问题的常用之法.
活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1,当x=2时，对应的函数值y=-8.
x…-3-20135…
y…70-8-9-57…

2.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图，则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=-1.
可根据抛物线的对称性.
3.函数y=(x-2)(3-x)取得最大值时，x=.
先化成顶点式，再确定其最大值.
4.二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴交于A、B两点，点C在该函数图象上运动，若S△ABC=2，求点C的坐标.
解：C1(4+,2)或C2(4-，2).
合作探究2
活动1小组讨论
例2如图Rt△AOB的两直角边OA，OB的长分别是1和3，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，至△DOC的位置.
①求过C、B、A三点的二次函数的解析式；
②若①中抛物线的顶点是M，判定△MDC的形状，并说明理由.
解:①由题可得A(1，0)、B(0，3)、C(-3，0).设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-1)，将B(0，3)代入解得a=-1.∴y=-(x+3)(x-1).即y=-x2-2x+3；
②△MDC为等腰直角三角形.
理由：过点M作MN⊥y轴于点N,由①求得点M坐标为(-1,4)，∵OD=OA=1，∴MN=OD=1，ND=OC=3.∴Rt△MDN≌Rt△DCO.∴MD=CD，∠MDN=∠DCO∵∠DCO+
∠CDO=90°，∴∠MDN+∠CDO=90°.即∠MDC=90°.∴△MDC是等腰直角三角形.
有旋转就要联想到全等形，就有相等的角和线段.
活动2跟踪训练(小组内讨论解题思路)
如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为D.
(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
(2)连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m.
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形?
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式.
解：(1)A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)，对称轴为直线x=1;
(2)①PF=-m2+3m；当m=2时，四边形PEDF为平行四边形;②S=-m2+m.
活动3课堂小结
学生试述:这节课你学到了些什么？
当堂训练
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.

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二次函数y=ax²+bx+c图象的图象和性质

老师会对课本中的主要教学内容整理到教案课件中，到写教案课件的时候了。将教案课件的工作计划制定好，才能够使以后的工作更有目标性！你们清楚有哪些教案课件范文呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“二次函数y=ax²+bx+c图象的图象和性质”，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

二次函数y=ax2+bx+c图象

一、教学目标

⒈通过作图以及图象的对比分析，经历二次函数y=ax2+k、y=a(x-h)2图象与性质的形成与应用过程，进而掌握这二类特殊二次函数图象的性质，以及它们的图象与抛物线y=ax2的位置关系.

⒉渗透数形结合和化归的思想，掌握类比、转化，从局部到整体、从特殊到一般等学习数学的方法,增强作图、观察、类比、归纳的能力.

⒊渗透抛物线美的教育，注重学习过程中师生间、学生间情感的交流，充分利用各种手段，激发学习的兴趣，体验成功的喜悦.并通过探索与交流，学会与人合作.

二、教学重点、难点

重点：能快速画出两类二次函数y=ax2+k，y=a(x-h)2的图象,掌握这两类二次函数图象的性质，能根据图象，正确地说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，能比较它们图象之间的位置关系.

难点：会由特殊情形向一般情形转化，理解图象间的平移规律.

三、教法、学法

1、教法：根据我校推行的“以人为本、以学定教”的教育理念,我从学生原有的认知基础出发，充分发挥学生的主体作用，以“教师着眼于引导，学生着眼于探索、发现，注重学生学习的体验”为本质特征的“引探式”体验教学法为主完成教学.

2、学法：注重新旧知识的联系，类比迁移，自主学习.通过探索交流，形成自己对数学知识的理解，学会归纳，由特殊向一般转化，使自己的能力得到全面提高.

四、教具

直尺、网格纸、多媒体课件

五、教学过程

教学环节教学内容与师生活动设计意图

创设情境

1、问题情境

①请快速画出二次函数y=x2的图象，通过作图，你认为作图中哪一步骤最关键？

②二次函数y=ax2的图象有哪些性质？

教师活动：出示问题，启发引导，检查反馈，补充完善.

学生活动：利用已学知识，独立解题.

（第1题答案是开放的，学生可各抒己见，注重个人感受.老师可适当强调根据函数图象对称性取值列表的重要性.）

通过问题情境，复习前面已学的内容，使学生从已有的认知基础出发进行学习，“温故”而欲“知新”，为新课的学习打好基础.

2、游戏情境

①演示与观察：把已画的y=x2图象向上、下、右、左四个方向平移1个单位长度

②问题：平移所得的四条抛物线与抛物线y=x2形状、大小如何？

③游戏：学生任指平移所得的一条抛物线，由老师作答，说出它的解析式、对称轴和顶点坐标.

教师活动：动画演示，游戏作答.

学生活动：观察、思考、质疑.

通过学生的积极参与，激发学生强烈的求知欲望和认知冲突，让学生明确学习的任务与目标，从而主动地投入到后面环节的问题探索中来.

教学环节教学内容与师生活动设计意图

探求新知

1、（在已画有抛物线y=x2的坐标系中）学生独立画出二次函数y=x2+1，y=x2-1的图象.

2、进行观察和比较，分别说出抛物线y=x2+1，y=x2-1的开口方向、对称轴和顶点坐标.

3、合作交流，比较抛物线y=x2+1，y=x2-1与抛物线y=x2的位置关系.

教师活动：组织引导，巡视检查.

学生活动：独立作图，思考，完成后全班交流.

（通过作图、观察、比较，让学生理解抛物线y=x2+1、y=x2-1与y=x2形状一样，大小相同，只有位置不同。抛物线y=x2向上、下平移一个单位长度，可得y=x2+1、y=x2-1的图象）

让学生在兴趣的牵引下，主动地探求抛物线y=ax2+k的性质，通过作图、观察与交流，一方面验证游戏中老师的作答，另一方面让学生经历知识的形成过程，从而突破重难点.

猜

想

验

证

1、猜想y=（x+1）2，y=（x-1）2的图象与y=x2的图象间位置关系

2、作图验证

3完成下表

抛物线开口方向对称轴顶点坐标

y=x2

y=（x+1）2

y=（x－1）2

教师活动：指导学生恰当地选值列表，帮助学生理解图象间的位置关系.

学生活动：小组讨论，大胆猜想，作图验证.

（这是本节课的难点，要注重学生学习的体验，通过学生广泛的合作交流，掌握方法，得出结论，突破图象间是左、右平移关系这个难点）.

激活学生的思维，引导学生思考，通过猜想、验证，让学生更好地掌握二次函数y=a(x－h)2图象的性质，更好地比较抛物线y=a(x－h)2、y=ax2+k与y=ax2的异同，更好地突破重难点

教学环节教学内容与师生活动设计意图

当堂训

练

1、（情景练习）把抛物线y=12x2向上、下、右、左、四个方向平移1个单位长度，老师任指其中一条，由学生说出它的解析式、顶点坐标和对称轴.

2、不画图,请说出二次函数y=3x2+1、y=3(x+1)2图象的特征.（集体要求)

3、在同一坐标系内，画出二次函数y=2x2、y=2x2+1、y=2x2－1的图象，并分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标，能说出它们图象间的位置关系.（中下层次学生完成）

4、猜想二次函数y=－2x2、y=－2x2+1、y=－2（x2+1）图象间的位置关系，说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标，并作图验证.（中上层次学生完成）

教师活动：通过练习，了解学生掌握知识的情况，矫正教学.

学生活动：独立完成，完成后全班交流.

第1小题是一道情景练习题，与情境创设的问题前后呼应，学生可很快作答，让学生感受乐趣，体验成功.

第2小题是针对本节课基本内容的反馈练习，通过练习，了解学生掌握基础知识的情况.让学生能在头脑中有图形,要能用图象回答它的有关性质

第3、4题分层练习，让不同层次的学生在数学上得到不同的发展.

小结归纳

通过列表，对本节课所学两类特殊二次函数图象的性质以及它们之间的平移规律进行归纳.

教师活动：引导学生归纳，明确重难点，由特殊向一般转化.

学生活动：反思和发表对本堂课的体验和收获.

通过学生的自主小结，理清知识脉络，突出重难点，掌握一般的方法与规律.就本节课的内容,师生进行双向沟通.

作

业

布

置A、必做题（略）

B、选做题

试说出二次函数y=3(x+1)2+1图象的性质，猜想它与抛物线y=3x2、y=3(x+1)2的位置关系，并作图验证.1、巩固基础知识，发现不足，改进教学.

2、强化基本技能，促进不同层次学生能力的提高.

六、板书设计：

课题

1、情境问题3、猜想结果5、本课归纳

2、例1小结4、例2小结

关于《二次函数y=ax2+bx+c图象(一)》的教案说明

一、教案的设计思路

本节课的教学是在学习了一元二次方程、一次函数以及二次函数y=ax2图象性质的基础上进行的.因此，在教学中应引导学生从已有的认知基础上主动构建.由于本节课的教学是二次函数一般情形教学的基础，所以要尽可能使学生学好,为今后的学习做好准备.

考虑到学生已会用描点法画出y=ax2图象，而二次函数y=ax2+k、y=a(x－h)2图象的画法又与y=ax2图象的画法相似，所以我把本节课的重点确定为利用二次函数的图象，正确说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握它们图象的性质，难点是理解它们图象的平移规律.相对淡化了作图过程.

为突破重难点，新知识的获得都由学生自主探索、合作交流来完成.通过探索发现，一方面培养学生的自学能力，另一方面让学生经历知识的形成过程，加深对所学知识的理解，有利于重难点的突破.

本节课的教学始终贯穿“发展”、“创新”两个主要思想，努力实现“三维”目标，并以训练思维为主线，重视知识的形成过程，方法和规律的概括过程，知识的应用过程，使学生在这过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，提高获取新知识，运用新知识，以及用数学语言进行交流的能力.

二、教学策略

1、创设的情境分问题情境和游戏情境，前者可以巩固已学的知识，使学生的学习建立在已有的认知结构上；后者可以引发学生的认知冲突，激发学生强烈的求知欲望，从而积极主动地投入到问题的探索中来.

2、学生是学习的主体，是课堂的主人，只有让学生经历数学知识形成与应用过程，才能形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.因此，教师应是学生学习活动的组织者、引导者.

3、考虑到学生的个体差异，为满足不同层次学生的学习需求，在教学的各个环节进行分层施教，全程关注学生的学习状态，适时调控，实现有“差异”的发展.

4、注重学生的训练量和思维量。在教学过程中，努力培养学生探索问题，发现规律，解决问题的能力，引导学生积极参与，让每一个学生动手、动眼、动脑，使教与学融为一体.

二次函数y=ax2的图象和性质学案

22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
出示目标
1.能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并能根据图象认识和理解其性质.
2.初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化，体会数学内在的美感.
预习导学
阅读教材第29至32页，自学“例1”“思考”“探究”，掌握用描点法画出函数y=ax2的图象，理解其性质.
自学反馈学生独立完成后集体订正
①画函数图象的一般步骤:列表-描点-连线.
②在同一坐标系中画出函数y=x2、y=x2和y=2x2的图象.
解：略
根据y≥0，可得出y有最小值，此时x=0，所以以(0，0)为对称点，再对称取点.
③观察上述图象的特征:形状是抛物线，开口向上，图象关于y轴对称，其顶点坐标是(0,0)，其顶点是最低点(最高点或最低点).
④找出上述三条抛物线的异同:开口向上，关于y轴对称，顶点坐标为(0,0).
可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律.
⑤在同一坐标系中画出函数y=-x2、y=-x2和y=-2x2，并找出它们图象的异同.
解：略
归纳一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是(0，0)，当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大.
合作探究
活动1小组讨论
例1填空:①函数y=(-x)2的图象是____，顶点坐标是____，对称轴是____，开口方向是____.
②函数y=x2、y=x2和y=-2x2的图象如图所示，请指出三条抛物线.
解:①抛物线，(0，0)，y轴，向上；
②根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为y=x2，中间为y=x2，在x轴下方的为y=-2x2.
解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.抛物线y=ax2中，当a0时，开口向上；当a0时，开口向下，a越大，开口越小.
例2已知函数y=(m+2)x是关于x的二次函数.
①求满足条件的m的值；
②m为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x为何值时，y随x的增大而增大？
③m为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？
解:①由题意得解得
∴当m=2或m=-3时，原函数为二次函数.
②若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m+20，即m-2.∴只能取m=2.
∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，∴当x0时，y随x的增大而增大.
③若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m+20，即m-2.∴只能取m=-3.
∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为(0，0)，∴当m=-3时，函数有最大值为0.∴当x0时，y随x的增大而减小.
要结合图象来分析完成此题.
活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.函数y=ax2与y=-ax2(a≠0)的图象之间有何关系？
解：关于x轴对称
2.已知函数y=ax2经过点(1，2).①求a的值；②当x0时，y的值随x值的增大而变化的情况.
解：①a=2②当x0时，y的值随x值的增大而减小
3.当m=-2时,抛物线y=(m-1)x开口向下，对称轴为y轴，当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y随x的增大而减小.
二次项系数a是决定开口方向和开口大小的，同时根据开口方向也可以判断a的正负.
4.二次函数y=-x2，当x1x20，则y1与y2的关系是y1y2.
要结合图象分析解题.
5.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是(B)
活动3课堂小结
学生试述:这节课你学到了些什么？
当堂训练
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.

九年级《二次函数y＝ax2的图象》导学案

《二次函数y＝ax2的图象》导学案
一、学习目标：
函数类型
一般形式
图象
性质
一次函数

反比例函数

1．知道二次函数的图象是一条抛物线；2．会画二次函数y＝ax2的图象；3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．
二、学习过程：（一）复习回顾：
（二）探索新知：在坐标纸上画二次函数y＝x2的图象．
【提示】：画图象的一般步骤：①列表（自变量是全体实数时以x=___为中心列表；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．
列表：描点，并连线（在坐标纸上进行）
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…

…
由图象可得二次函数y＝x2的性质：
1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________．
3．自变量x的取值范围是____________．
4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
5．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（，）叫做抛物线y＝x2的_________．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．
6．抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”）．
三、例题分析
例1在y＝x2的图象所在的坐标系中，画出函数y＝x2，，y＝2x2的图象．
解：列表并填：
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝x2
…
…
x
…
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y＝2x2
…
…
归纳：抛物线y＝x2，y＝x2，y＝2x2的二次项系数a_______0；顶点都是__________；对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）．
例2请在例1的直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－x2，y＝－2x2的图象．
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝－x2
…
…
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y=－x2
…
…
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝－2x2
…

…
列表：

归纳：抛物线y＝－x2，y＝－x2，y＝－2x2的二次项系数a______0，顶点都是________，
对称轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”）．
四、理一理
1．抛物线y＝ax2的性质
图象（草图）
开口
方向
顶点
对称轴
有最高或最低点
最值
a＞0

当x＝____时，y有最______值，是______．
a＜0

当x＝____时，y有最______值，是______．
2．抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称，因此，抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_______
对称，开口大小_______________．
3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；
当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_________；
因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．
五、课堂检测
1．填表：
开口方向
顶点
对称轴
有最高或最低点
最值
y＝x2
当x＝____时，y有最_______值，是______．
y＝－8x2

当x＝____时，y有最_______值，是______．
2．若二次函数y＝ax2的图象过点（1，－2），则a的值是___________．
3．二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向下，则m____________．
4．如图，①y＝ax2②y＝bx2③y＝cx2④y＝dx2
比较a、b、c、d的大小，用“＞”连接．____________________________
六、强化作业：
1．函数y＝x2的图象开口向_______，顶点是__________，
对称轴是________，当x＝___________时，有最________
值是_________．
2．二次函数y＝mx有最低点，则m＝___________．
3．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值
范围为___________．
4．写出一个过点（1，2）的函数表达式______