九年级数学下册第5章二次函数教案学案（共21套苏科版）。

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二次函数
学生姓名：______班级：
学习目标
1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义；
2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。
学习重点和难点：
体会二次函数意义，确定二次函数关系式中各项的系数
问题导学：
（一）情景
1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是____________。
2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围较大?
设长方形的长为x米，则宽为____________米，如果将面积记为y平方米，那么变量y与x之间的函数关系式为________________________.
3．要给边长为x米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y为多少元？
在这个问题中,地板的费用与____________有关,为____________元,踢脚线的费用与有关,为____________元;其他费用固定不变为____________元,所以总费用y（元）与x（m）之间的函数关系式是________________________。
（二）新知探索
上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？
________________________________________________________________________。
一般地，我们称________________________表示的函数为二次函数。其中___________是自变量，____________函数。
一般地，二次函数中自变量x的取值范围是____________，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？
（三）典例分析
例1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c的值.
(1)(2)(3)
(4)(5)(6)
(7)(8)

例2．当k为何值时，函数为二次函数？

例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
⑴正方体的表面积S（cm2）与棱长a（cm）之间的函数关系；
⑵圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
⑶某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；
⑷菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．

当堂检测：
（1）如图，学校准备将一块长为20m、宽为14m的矩形陆地扩建。如果长、宽都增加xm，则扩建面积S(m2)与x（m）之间的函数关系式为_____________。

(2)如图，把一张长为30cm、宽为20cm的矩形纸片的一角渐趋一个正方形，则剩余扩建面积S(cm2)与所剪正方形边长x（cm）之间的函数关系式为_____________。
（3）圆柱的高14cm，则圆柱的体积V（cm3）与底面半径r之间的函数关系式为.
（4）某化肥厂10月份生产某种化肥200t，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量y(t)与x之间的函数关系式为_____________。

课后作业（1）：
1.已知函数是二次函数，则m=_________.
2.已知二次函数，当x=3时，y=-5，当x=-5时，求y=_________.
3.一个长方形的长是宽的1.6倍，这个长方形的面积S与宽x之间函数关系式为_________。
4.如图，用50m长的护栏围成一块靠墙的矩形花园，则花园的面积y（m2）与边长x（m）之间的函数关系式为__________，x的取值范围是___________。
5.如图，在长200m，宽80m的矩形广场内修建等宽的十字形道路，则陆地面积y（m2）与路宽边长x（m）之间的函数关系式为_____________。
6.一个圆柱的高与底面直径相等，它的表面积S与底面半径r之间的函数关系式为.
7.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．

8.一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5m．
⑴求隧道截面的面积S（m2）关于上部半圆半径r（m）的函数关系式；
⑵求当上部半圆半径为2m时的截面面积．（π取3.14，结果精确到0.1m2）

课后作业（2）：
1.下列函数：（1）y=3x2++1;(2)y=x2+5;(3)y=(x-3)2-x2;(4)y=1+x-,属于二次函数的是(填序号).
2.函数y=(a-b)x2+ax+b是二次函数的条件为.
3.下列函数关系中,满足二次函数关系的是()
A.圆的周长与圆的半径之间的关系B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系
C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系
D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系
4.某超市1月份的营业额为200万元,2、3月份营业额的月平均增长率为x，第一季度营业额y（万元）与x的函数关系式为.
5、一块直角三角尺的形状与尺寸如图，若圆孔的半径为，三角尺的厚度为16，求这块三角尺的体积V与n的函数关系式为.

6.某地区原有20个养殖场，平均每个养殖场养奶牛2000头。后来由于市场原因，决定减少养殖场的数量，当养殖场每减少1个时，平均每个养殖场的奶牛数将增加300头。如果养殖场减少x个，求该地区奶牛总数y（头）与x（个）之间的函数关系式.

7.圆的半径为2cm，假设半径增加xcm时，圆的面积增加到y(cm2).
(1)写出y与x之间的函数关系式；
（2）当圆的半径分别增加1cm、时，圆的面积分别增加多少？
（3）当圆的面积为5πcm2时,其半径增加了多少?

8.已知y+2x2=kx(x-3)(k≠2).
(1)证明y是x的二次函数;
(2)当k=-2时,写出y与x的函数关系式.

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九年级数学上册第22章二次函数教案（共14套新人教版）

22．1.1二次函数
01教学目标
1．结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．

02预习反馈
阅读教材P28～29，理解二次函数的意义及有关概念，完成下列内容．
1．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．
(1)下列函数中，不是二次函数的是(D)
A．y＝1－2x2B．y＝(x－1)2－1
C．y＝12(x＋1)(x－1)D．y＝(x－2)2－x2
(2)二次函数y＝x2＋4x中，二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0．
【点拨】判断二次函数要紧扣定义．
2．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，它们的表达式分别是y＝ax＋b(a，b是常数，a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)．
如：一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式．
解：S表＝4πr2.

03新课讲授
例1(教材P28问题1)n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式．
【解答】每个球队要与其他(n－1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数是m＝12n(n－1)＝12n2－12n.

【跟踪训练1】(22.1.1习题)某校九(1)班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式y＝12x2－12x，它是(填“是”或“不是”)二次函数．

例2(教材P28问题2)某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
【解答】这种产品的原产量是20t，一年后的产量是20(1＋x)t，再经过一年后的产量是20(1＋x)(1＋x)t，即两年后的产量y＝20(1＋x)2．

【跟踪训练2】(22.1.1习题)国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为(C)
A．y＝36(1－x)B．y＝36(1＋x)
C．y＝18(1－x)2D．y＝18(1＋x2)

例3(教材P29练习T2的变式)一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x＋1)cm的小矩形，剩余部分的面积为ycm2.
(1)写出y与x之间的关系式，并指出y是x的什么函数？
(2)当小矩形中x的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是多少？
【解答】(1)y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144.
∴y是x的二次函数．
(2)当x＝2和4时，相应的y的值分别为132和104.
【点拨】几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来．
【跟踪训练3】用总长为60m的篱笆围成矩形场地，写出场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系式．
解：S＝a（60－2a）2＝－a2＋30a.

04巩固训练
1．下列方程是一元二次方程的是(A)
A．(5－a)2＝2B．3x2＋x－y2＝0
C．y2＝5－(2y－y3)D．x－1x2＋1＝0
2．若y＝(b－1)x2＋3是二次函数，则b≠1．
3．有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为y＝x2＋2x＋1．
4．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为xm，则菜园的面积y(m2)与x(m)的函数解析式为y＝－12x2＋15x(不要求写出自变量x的取值范围)．
5．已知函数y＝(m＋1)xm2－3m－2＋(m－1)x(m是常数)．m为何值时，它是二次函数？
解：m＝4.
【点拨】不要忽视m＋1≠0.

05课堂小结
1．二次函数的定义．
2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a≠0，a，b，c为常数．
3．如何表示简单变量之间的二次函数关系？

22.1.2二次函数y＝ax2的图象和性质
01教学目标
1．能够用描点法画函数y＝ax2的图象，并能根据图象认识和理解其性质．
2．初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数与形的结合与转化．

02预习反馈
阅读教材P30～32，自学“例1”“思考”“探究”“归纳”，掌握用描点法画函数y＝ax2图象的方法，理解其性质，完成下列内容．
1．一般地，当a0时，抛物线y＝ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小．
2．一般地，当a0时，抛物线y＝ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小．
3．从二次函数y＝ax2的图象可以看出：如果a0，当x0时，y随x的增大而减小，当x0时，y随x的增大而增大；如果a0，当x0时，y随x的增大而增大，当x0时，y随x的增大而减小．
4．(1)抛物线y＝2x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点；
(2)抛物线y＝－3x2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点；
(3)在抛物线y＝2x2对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；
(4)在抛物线y＝－3x2对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．

03新课导入
回顾：一次函数的图象是一条直线．
思考：二次函数的图象是什么形状呢？还记得如何用描点法画一个函数的图象吗？
画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．
导入：你能画出二次函数y＝x2的图象吗？
第一步：列表：

x…－3－2－10123…
y＝x2…9410149…
第二步：描点，在平面直角坐标系中描出表中各点，如图1.
图1
图2

第三步：连线，用平滑的曲线顺次连接各点，就得到二次函数y＝x2的图象，如图2.
思考：观察函数y＝x2的图象，它有什么特点？
总结：(1)二次函数的图象是一条曲线，它的开口向上，这条曲线叫做抛物线；
(2)抛物线y＝x2的对称轴是y轴，抛物线与它的对称轴的交点是(0，0)，它是图象的最低点，叫做抛物线的顶点；
(3)在对称轴的左侧，抛物线y＝x2从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线y＝x2从左到右上升．也就是说，当x0时，y随x的增大而减小；当x0时，y随x的增大而增大．

04新课讲授
例1(教材P30例1)在同一直角坐标系中，画出函数y＝12x2，y＝2x2的图象．
【解答】分别列表，画出它们的图象，如图．

x…－4－3－2－101234…
y＝12x2
…84.520.500.524.58…

x…－2－1.5－1－0.500.511.52…
y＝2x2…84.520.500.524.58…
思考：函数y＝12x2，y＝2x2的图象与函数y＝x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
总结：共同点是开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点；不同点是开口大小不同，x2的系数越大，抛物线的开口越小．

例2(教材P30例1的变式)在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2，y＝－12x2，y＝－2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？
【解答】画出图象如图．
思考：当a＜0时，二次函数y＝ax2的图象有什么特点？
【点拨】可从开口方向、对称轴、顶点、开口大小去比较和寻找规律．

【跟踪训练1】(1)函数y＝－2x2的图象是抛物线，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴，开口方向是向下；
(2)函数y＝x2，y＝12x2和y＝－2x2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．
解：根据抛物线y＝ax2中a的值来判断，上面最外面的抛物线为y＝12x2，中间为y＝x2，在x轴下方的为y＝－2x2.
【点拨】抛物线y＝ax2，当a0时，开口向上；当a0时，开口向下，|a|越大，开口越小．

例3(补充例题)已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；
(2)当m为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；
(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？当x为何值时，y随x的增大而减小？
【解答】(1)由题意，得
m2＋m－4＝2，m＋2≠0.解得m＝2或m＝－3，m≠－2.
∴当m＝2或m＝－3时，函数为二次函数．
(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，
∴m＋20，即m－2.∴m＝2.
这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，
(3)当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y随x的增大而减小．
【点拨】也可结合图象来分析完成此题．

【跟踪训练2】已知函数y＝(m－1)xm2－2m＋2＋(m－2)x是二次函数，且开口向上．求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化规律．
解：由题意有m－10，m2－2m＋2＝2.
解得m＝0(舍去)，m＝2.
所以二次函数的解析式为y＝x2.
所以当x0时，y随x的增大而减小，
当x0时，y随x的增大而增大．

05巩固训练
1．抛物线y＝－13x2的开口向下，顶点坐标是(0，0)，顶点是抛物线的最高(填“低”或“高”)点．

2．在同一直角坐标系中，抛物线y＝13x2与抛物线y＝－13x2的形状相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称．
3．当m＝－2时，抛物线y＝(m－1)xm2＋m开口向下，对称轴为y轴，当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y随x的增大而减小．
4．二次函数y＝－6x2，当x1x20时，y1与y2的大小关系是y1y2．
5．一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点(－1，14)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)画出这个二次函数的图象；
(3)根据图象指出，当x＞0时，若x增大，y怎样变化？当x＜0时，若x增大，y怎样变化？
解：(1)由题意，设二次函数解析式为y＝ax2，
将(－1，14)代入，得y＝14x2。
(2)画出这个二次函数的图象如图．
(3)当x＞0时，y随x增大而增大；当x＜0时，y随x增大而减小．

06课堂小结
1．画二次函数y＝ax2的图象时，应注意些什么？
2．你是如何理解并熟记抛物线y＝ax2的性质的？

抛物线y＝ax2(a0)y＝ax2(a0)
顶点坐标(0，0)(0，0)
对称轴y轴y轴
位置在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)
开口方向向上向下
增减性在对称轴的左侧，y随x的增大而减小
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大在对称轴的左侧，y随x的增大而增大
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
开口大小a越大，开口越小
a越大，开口越小

九年级数学上册第21章一元二次方程教案（共19套新人教版）

第二十一章一元二次方程
21．1一元二次方程
※教学目标※
【知识与技能】
1.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式.
2.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根.
【过程与方法】
1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其他三种特殊形式.
3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念.
【情感态度】
通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
【教学重点】
一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念．
【教学难点】
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
※教学过程※
一、情境导入
（课件展示问题）雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m，设计者当初设计它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，即下部高度的平方等于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为xm，则其上部高为(2-x)m，由此可得到的等量关系如何？它是关于x的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗?
二、探索新知
由上述问题，我们可以得到，即.显然这个方程只含有一个未知数，且x的最高次数为2，这类方程在现实生活中有广泛的应用.
探究问题1如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四角突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

教师设置如下问题学生讨论：
如果设四角折起的正方形的边长为xcm，则制成的无盖方盒的底面长为多少？宽为多少？由底面积为3600m2可得到的方程又是怎样的？
讨论结果：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100-2x)cm，
宽为(50-2x)cm.根据方盒的底面积为3600m2，得(100-2x)(50-2x)=3600.整理，得.化简得.由次方程可以得出所切正方形的具体尺寸.
探究问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
教师提出以下问题，引导学生思考方程的建模过程：
（1）这次比赛共安排多少场？
（2）若设应邀请x个队参赛，则每个队与其他几个队各赛一场？这样共应有多少场比赛？
（3）由此可列出的方程是什么？化简后的方程是什么？
讨论结果：全部比赛的场数为.设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场.列方程.整理，得.化简，得，即.
观察思考，口答下面的问题：
（1）上面的方程整理后含有几个未知数？
（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？
老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．
归纳总结
像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
想一想
二次项系数a为什么不能为0？在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，a、b、c一定是正数吗？
探究问题3探究问题2中可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，由此可列下表：
x12345678910......
x2-x-56
由上表可得，当x=8时，，所以x=8是方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
学生思考
方程有一个根为x=8，它还有其他的根吗？
当x=-7时，，故x=-7也是方程的一个根.
归纳总结
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的根.一个一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为，．
三、掌握新知
例1求证：关于x的方程，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明即可．
证明：
∵，
∴，即．
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
例2将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
分析：一元二次方程的一般形式是．因此，方程必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：去括号，得．
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式．
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10．
四、巩固练习
1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（）
①,②,③,④.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.已知方程的一个根是，则m的值为________．
3.关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是_________.
4.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;
（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.
答案：1.A2.-133.a≠14.（1），其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-25；（2），其中二次项系数为1，一次项系数为12，常数项为-100.
五、归纳小结
1.本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．
2.通过这节课的学习，你还有那些收获？
※布置作业※
从教材习题21．1中选取.
※教学反思※
1.注重知识的前后练习，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.
2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.
3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.
4.对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.

21．1一元二次方程
01教学目标
1．理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系数和常数项．
2．理解一元二次方程的根的意义，能够运用代入法检验根的正确性．

02预习反馈
1．等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．如：下列方程：①1－x2＝0；②2(x2－1)＝3y；③2x2－3x－1＝0；④1x2－2x＝0中，是一元二次方程的是①③．
2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
3．使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．求方程的解的过程，叫做解方程．
如：下面哪些数是方程x2－x－6＝0的根？－2，3．
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.

03新课讲授
类型1一元二次方程的一般形式
例1(教材P3例)将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
【解答】去括号，得3x2－3x＝5x＋10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2－8x－10＝0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
【方法归纳】1.把一元二次方程化为一般形式，就是把一元二次方程化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式．其中，二次项系数、一次项系数、常数项均包括数字前的符号．
2．将一元二次方程化为一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．

【跟踪训练1】方程x2－2(3x－2)＋(x＋1)＝0的一般形式是(A)
A．x2－5x＋5＝0B．x2＋5x＋5＝0
C．x2＋5x－5＝0D．x2＋5＝0

【跟踪训练2】(21.1习题)一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是2x2＋3x－5＝0．

类型2一元二次方程的解的意义
例2(教材补充例题)关于x的一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a－1＝0的一个根为0，则a＝1．
【思路点拨】将x＝0代入一元二次方程，得到关于a的方程，解方程即可．注意二次项系数a＋1≠0.
【跟踪训练3】已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是x＝－a(a≠0)，则a－b的值为(A)
A．－1B．0C．1D．2

04巩固训练

1．若(p－2)x2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则(D)
A．p＝2B．p≠0C．p＞2D．p≠2
2．把方程(x－2)(x＋2)＋(2x－1)2＝0化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是(D)
A．5、－4、6B．1、－5、0C．5、－2、1D．5、－4、－3
3．若x＝3是关于x的方程2x2＋ax－6＝0的一个根，则a的值是－4．
4．根据题意，列出方程(不必解答)：
(1)两个连续整数的积是210，求这两个数；
(2)在一块长250m、宽150m的草地四周修一条路，路修好后草地的面积减少1191m2，求这条路的宽度．
解：(1)设其中一个整数为x，则另一个整数为(x＋1)，依题意，得x(x＋1)＝210.
(2)设这条路的宽为xm，则(250－2x)(150－2x)＝250×150－1191.

05课堂小结

九年级数学上期终复习要点三(苏科版第五章二次函数)

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2015—2016学年第一学期初三数学期终复习要点三
第5章二次函数
知识点：二次函数，二次函数图像与性质，用待定系数法确定解析式，二次函数与一元二次方程，用二次函数解决问题。
典型例题：
例1．在下列各点中，一定在二次函数y=(x1)2+2图象上的是（）
A．(0，2)B．(1，2)C．(1，2)D．(1，0)
例2．已知二次函数y=x24x+3，当x0时，函数值y的取值范围是（）
A．y＞3B．y＜3C．y≥1D．1≤y＜3
例3．已知抛物线y=ax2+2x+c的顶点坐标为(1，4)，则c的值为.
例4．如图，在抛物线y=x2的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上.按此规律堆垒，第2015个正方形的边长是．
例5．已知点M(2，1)在二次函数y=ax22bx+1的图象上．
(1)b=；（用含的代数式表示）；
(2)该二次函数的图象与x轴的两个交点为A、B，若AB=1，求该二次函数的表达式；
(3)在(2)的条件下，若A(m，y1)，B(m+2，y2)两点都在该函数图象上，试探究y1与y2的大小.

例6．如图，抛物线y=x2+bx4与x轴交于点B(2，0)和C，点M在y轴上．
(1)求抛物线的解析式；(2)连结BM并延长，交抛物线于点D，过点D作DE⊥BC于点E.当以B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似时，求点M的坐标；
(3)连结BM，当∠OMB+∠OAB=∠ACO时，求AM的长.

当堂练习：
1．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)2间的关系为y＝－(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是（）
A．2mB．8mC．10mD．12m
2．已知抛物线y＝a(x＋1)(x－)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的a的值有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如表，则当x＝－1时，y的值为．
4．已知二次函数y＝(a－1)x2－2x＋l的图像与x轴有两个交点，则a的取值范围是．
5．已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，4)．
(1)求该抛物线的函数关系式；(2)判断点B（－，－3）是否在此抛物线上；
(3)若图像上有两点M(x1，y1)、N（x2，y2），其中l，则y1y2(在横线上填“”“＝”或“”）．

6.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x－3与抛物线y＝x2＋mx＋n相交于两个不同的点A、B，其中点A在x轴上．
(1)则A点坐标为▲；
(2)若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值；
(3)在(2)条件下，设该抛物线与x轴的另一个交点为C，请你探索在平面内是否存在点D，使得△DAC与△DCO相似？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

课后作业：
1．已知函数y＝，则自变量x的取值范围是（）
A．x－1B．x－1C．x≤－1D．x≥－1
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋a(a≠0)的图象如图所示，下列说法错误的是（）
A．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最小值是－4；
B．－1和3是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根；
C．当x1时，y随x的增大而增大；
D．当x≤－1或x≥3时，不等式ax2＋bx＋c≥0成立.
（第2题）（第3题）
3．如图，已知抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为直线x＝－3，过其顶点M的一条直线y＝kx＋b与该抛物线的另一个交点为N（－1，1）．若要在y轴上找一点P，使得PM＋PN最小，则点P的坐标为（）
A．(0，2)B．（0，）C．（0，）D．（0，）
4．如图，已知二次函数y＝x2－2x＋3的图象的顶点为A，且与y轴交于点C．
(1)求点A与点C的坐标；
(2)若将此函数的图象沿z轴向右平移1个单位，再沿y轴向下平移3个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式及点C的对应点的坐标；
(3)若A(m，y1)，B(m＋1，y2)两点都在此函数的图象上，试比较y1与y2的大小．

5.如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x－1交z轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
(1)填空：点A坐标为▲，抛物线的解析式为▲；
(2)在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位／秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向E以2个单位／秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．连接PQ，是否存在实数t，使得PQ所在的直线经过点D，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位／秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
参考答案：
典型例题：
1、B；2、C；3、3；4、；5、(1)b=a．2
(2)抛物线的对称轴为：直线x=1．3
∵AB=1，∴点(，0)在抛物线上.4
代入表达式：y=ax22ax+1得：a=．即表达式为：y=x2x+1．5
(3)①当m=0时，y1=y2；6
②当m0时，y1y2；7
③当m0时，y1y2．8
6.解：(1)由题意得：0=22b4，解之得：b=1．1
∴该函数解析式为：y=x2x4．2
(2)易证：△BOM∽△BED．
∴为使△BDE与△AOC相似，只需△BOM与△AOC相似．
易得：OC=4，OB=2，OA=4，∴△AOC为等腰直角三角形．4
∴△BOM也为等腰直角三角形．∴M(0，2)或M(0，2)．6
(3)如图，点M1满足条件∠OM1B+∠OAB=∠ACO.
∵∠ACO=45°，∴∠DBM1=45°.
过点M1作M1D⊥AB于点D.
∴DB=DM1.
在Rt△AOB中，易得：AB=，
tan∠BAO=.
设DM1=x，则在Rt△AOB中，
易得：.
解之得：x=.
∴AM1=DM1=10.8
根据对称性，在y轴负半轴上，OM2=OM1.
∴AM2=OM2OA=1044=2.10
当堂练习：
1、C；2、C；3、-3；4、且；5、
6.
课后作业：
1、D；2、C；3、A；4、