八年级竞赛讲座(第35讲应用题)。

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第三十五讲应用题
¬¬¬¬¬在本讲中将介绍各类应用题的解法与技巧．
当今数学已经渗入到整个社会的各个领域，因此，应用数学去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活问题，成为各类数学竞赛的一个热点．
应用性问题能引导学生关心生活、关心社会，使学生充分体会到数学与自然和人类社会的密切联系，增强对数学的理解和应用数学的信心．
解答应用性问题，关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，将其转化为数学模型．其求解程序如下：

在初中范围内常见的数学模型有：数式模型、方程模型、不等式模型、函数模型、平面几何模型、图表模型等．
例题求解
一、用数式模型解决应用题
数与式是最基本的数学语言，由于它能够有效、简捷、准确地揭示数学的本质，富有通用性和启发性，因而成为描述和表达数学问题的重要方法．
【例1】(2003年安徽中考题)某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变。有关数据如下表所示：
景点ABCDE
原价（元）1010152025
现价（元）55152530
平均日人数（千人）11232
（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平。问风景区是怎样计算的？
（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%。问游客是怎样计算的？
（3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？
思路点拨（1）风景区是这样计算的：
调整前的平均价格：，设整后的平均价格：
∵调整前后的平均价格不变，平均日人数不变．
∴平均日总收入持平．
（2）游客是这样计算的：
原平均日总收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元）
现平均日总收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元）
∴平均日总收入增加了
（3）游客的说法较能反映整体实际．
二、用方程模型解应用题
研究和解决生产实际和现实生恬中有关问题常常要用到方程组)的知识，它可以帮助人们从数量关系和相等关系的角度去认识和理解现实世界．
【例2】(重庆中考题)某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2min内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4mln内可以通过800名学生．
(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?
(2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20％．安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5min内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门整否符合安全规定?请说明理由．
思路点拨列方程(组)的关键是找到题中等量关系：两种测试中通过的学生数量．设未知数时一般问什么设什么．“符合安全规定”之义为最大通过量不小于学生总数．
(1)设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生，由题意得：
,解得：
(2)这栋楼最多有学生4×8×45=1440(名)．
拥挤时5min4道门能通过．
5×2(120+80)(1－20％)=1600(名),
因1600>1440，故建造的4道门符合安全规定．
三、用不等式模型解应用题
现实世界中的不等关系是普遍存在的，许多问题有时并不需要研究它们之间的相等关系，只需要确定某个量的变化范围，即可对所研究的问题有比较清楚的认识．
【例3】(苏州中考题)我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内月平均的风速不小于3m／s的时间共约160天，其中日平均风速不小于6m／s的时间占60天．为了充分利用“风能”这种“绿色资源”，该地拟建一个小型风力发电场，决定选用A、B两种型号的风力发电机，根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表：一天的发电量)如下表：
日平均风速v(米/秒)v<3>日发电量(千瓦•时)A型发电机O≥36≥150
B型发电机O≥24≥90
根据上面的数据回答：
(1)若这个发电场购x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为千瓦•时；
(2)已知A型风力发电机每台O.3万元，B型风力发电机每台O.2万元．该发电场拟购置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电场每年的发电总量不少于102000千瓦•时，请你提供符合条件的购机方案．
根据上面的数据回答：
思路点拨(1)(100×36+60×150)x=12600x；
(2)设购A型发电机x台，则购B型发电机(10—x)台,
解法一根据题意得：
解得5≤x≤6．
故可购A型发电机5台，B型发电机5台；或购A型发电机6台，B型发电视4台．
四、用函数知识解决的应用题
函数类应用问题主要有以下两种类型：(1)从实际问题出发，引进数学符号，建立函数关系；(2)由提供的基本模型和初始条件去确定函数关系式．
【例4】(扬州)杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润杨”报刊零售点．对经营的某种晚报，杨嫂提供丁如下信息：
①买进每份0.20元，卖出每份0.30元；
②一个月内(以30天计)，有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份；
③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同．当天卖不掉的报纸，以每份0.10元退回给报社；
(1)填表：
一个月内每天买进该种晚报的份数100150
当月利润(单位：元)
(2)设每天从报社买进该种晚报x份，120≤x≤200时，月利润为y元，试求出y与x的函数关系式，并求月利润的最大值．
思路点拨(1)填表：

一个月内每天买进该种晚报的份数100150
当月利润(单位：元)300390
(2)由题意可知，一个月内的20天可获利润：
20×=2x(元)；其余10天可获利润：
10=240—x(元)；
故y=x+240，(120≤x≤200)，当x=200时，月利润y的最大值为440元．
注根据题意，正确列出函数关系式，是解决问题的关键，这里特别要注意自变量x的取值范围．
另外，初三还会提及统计型应用题，几何型应用题．
【例5】(桂林市)某公司需在一月(31天)内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．
(2)如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙工程队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程；B．请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上方案哪一种花钱最少?
思路点拨这是一道策略优选问题．工程问题中：工作量=工作效率×工时．
(1)设乙工程队单独完成此项工程需x天，根据题意得：
,x=30合题意，
所以，甲工程队单独完成此项工程需用20天，乙队需30天．wWw.jAb88.com

(2)各种方案所需的费用分别为：
A．请甲队需2000×20=40000元；
B．请乙队需1400×30=4200元；
C．请甲、乙两队合作需(2000+1400)×12=40800元．
所队单独请甲队完成此项工程花钱最少．
【例6】(2全国联赛初赛题)一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天17km的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km后回到出发点，试问：科学考察队的生态区考察了多少天?
思路点拨挖掘题目中隐藏条件是关键!
设考察队到生态区去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，则x+y+z=60，
17x－25y=－1，即25y－17x=1．①
这里x、y是正整数，现设法求出①的一组合题意的解，然后计算出z的值．
为此，先求出①的一组特殊解(x0，y0)，(这里x0，y0可以是负整数)．用辗转相除法．
25=l×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3×17-2×25．
与①的左端比较可知，x0=－3，y0=－2．
下面再求出①的合题意的解．
由不定方程的知识可知，①的一切整数解可表示为x=－3+25t，y=－2+17t，
∴x+y=42t－5，t为整数．按题意0<60，故仅当t=1时才合题意，这时x+y>∴z=60—(x+y)=23．
答：考察队在生态区考察的天数是23天．
注本题涉及到的未知量多，最终转化为二元一次不定方程来解，希读者仔细咀嚼所用方法．
【例7】(江苏省第17届初中竞赛题)华鑫超市对顾客实行优惠购物，规定如下：
(1)若一次购物少于200元，则不予优惠；
(2)若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；
(3)若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．
小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元．现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少?
思路点拨应付198元购物款讨论：
第一次付款198元，可是所购物品的实价，未享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款．故应分两种情况加以讨论．
情形1当198元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为198元．
又554=450+104，其中450元为购物500元打九折付的钱，104元为购物打八折付的钱；104÷0.8=130(元)．
因此，554元所购物品的原价为130+500=630(元)，于是购买小呀花198+630=828(元)所购的全部物品，小亮一次性购买应付500×0.9+(828－500)×0.8=712.4（元）．
情形2当198元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为198÷0.9=220(元)．仿情形1的讨论，，购220+630=850{元}物品一次性付款应为500×0.9+(850－500)×0.8=730(元)．
综上所述，小亮一次去超市购买小明已购的同样多的物品，应付款712.40元或730元
【例8】(2002年全国数学竞赛题)某项工程，如果由甲、乙两队承包，2天完成，需180000元；由乙、丙两队承包，3天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，2天完成，需付160000元．现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少?
思路点拨关键问题是甲、乙、丙单独做各需的天数及独做时各方日付工资．分两个层次考虑：
设甲、乙、丙单独承包各需x、y、z天完成．
则，解得
再设甲、乙、丙单独工作一天，各需付u、v、w元，
则，解得
于是，由甲队单独承包，费用是45500×4=182000(元)．
由乙队单独承包，费用是29500×6=177000(元)．
而丙队不能在一周内完成．所以由乙队承包费用最少．
学历训练
（A级）
1．(河南)在防治“SARS”的战役中，为防止疫情扩散，某制药厂接到了生产240箱过氧乙酸消毒液的任务．在生产了60箱后，需要加快生产，每天比原来多生产15箱，结果6天就完成了任务．求加快速度后每天生产多少箱消毒液?
2．(山东省竞赛题)某市为鼓励节约用水，对自来水妁收费标准作如下规定：每月每户用水中不超过10t部分按0.45元／吨收费；超过10t而不超过20t部分按每吨0.8元收费；超过20t部分按每吨1.50元收费，某月甲户比乙户多缴水费7.10元，乙户比丙户多缴水费3.75元，问甲、乙、丙该月各缴水费多少?(自来水按整吨收费)
3．(江苏省竞赛题)甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题．试问：难题多还是容易题多?多的比少的多几道题?
4．某人从A地到B地乘坐出租车有两种方案，一种出租车收费标准是起步价10元，每千米1.2元；另一种出租车收费标准是起步价8元，每千米1.4元，问选择哪一种出租车比较合适?
(提示：根据目前出租车管理条例，车型不同，起步价可以不同，但起步价的最大行驶里程是相同的，且此里程内只收起步价而不管其行驶里程是多少)
（B级）
1．(全国初中数学竞赛题)江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40min可抽完；如果用4台抽水机抽，16min可抽完．如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水机台．
2．(希望杯)有一批影碟机(VCD)原售价：800元／台．甲商场用如下办法促销：
购买台数1~5台6~10台11~15台16~20台20台以上
每台价格760元720元680元640元600元

乙商场用如下办法促销：每次购买1~8台，每台打九折；每次购买9~16台，每台打八五折；每次购买17~24台，每台打八折；每次购买24台以上，每台打七五折．
（1）请仿照甲商场的促销列表，列出到乙商场购买VCD的购买台数与每台价格的对照表；
(2)现在有A、B、C三个单位，且单位要买10台VCD，B单位要买16台VCD，C单位要买20台VCD，问他们到哪家商场购买花费较少?
3．(河北创新与知识应用竞赛题)某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币要多于2分的硬币．请你据此设计兑换方案．
4．从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶)，如果男孩和女孩都做匀速运动且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍，已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达扶梯顶部(设男孩、女孩每次只踏—级)．问：
(1)扶梯露在外面的部分有多少级?
(2)如果扶梯附近有一从二楼到一楼的楼梯，楼梯的级数和扶梯的级数相等，两孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘扶梯(不考虑扶梯与楼梯间距离)则男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶?
5．某化肥厂库存三种不同的混合肥，第一种含磷60％，钾40％，第二种含钾10％，氮90％；第三种含钾50％，磷20％，氮30％，现将三种肥混合成含氮45％的混合肥100㎏(每种肥都必须取)，试问在这三种不同混合肥的不同取量中，新混合肥含钾的取值范围．
6．(黄冈竞赛题)有麦田5块A、B、C、D、E，它们的产量，(单位：吨)、交通状况和每相邻两块麦田的距离如图21-2所示，要建一座永久性打麦场，这5块麦田生产的麦子都在此打场．问建在哪快麦田上(不允许建在除麦田以外的其他地方)才能使总运输量最小?图中圆圈内的数字为产量，直线段上的字母a、b、d表示距离，且b

相关知识

八年级竞赛讲座(第19讲平行截割)

第十九讲平行截割
平行线是初中平面几何中基本而重要的图形，平行线能改变角的位置并传递角，可“送”线段到恰当处，完成等积变形，当一组平行线截两条直线时就得到比例线段，平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论．
利用、挖掘、创造平行线，是运用平行线分线段成比例定理解题的关键，另一方面，需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造如下形如“E”、“A”型或“X”型的基本图形：

例题求解
【例1】如图，已知在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC=．
(河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)

思路点拨图中有形如“X”型的基本图形，建立含AP，PQ，QC的比例式，并把AP，PQ，QC用同一条线段的代数式表示．
【例2】如图，已知在△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则的值为()
A．B．1C．D．2
(江苏省泰州市中考题)
思路点拨已知条件没有平行线，需恰当作平行线，构造基本图形，产生含，的比例线段，并设法沟通已知比例式与未知比例式的联系．
【例3】如图，BD、BA，分别是∠ADC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D为垂足．
(1)求证：四边形AEBD为矩形；
(2)若=3，F、G分别为AE、AD上的点，FG交AB于点H，且，求证：△AHG是等腰三角形．
(厦门市中考题)

思路点拨对于(2)，由比例线段导出平行线，证明∠HAG=∠AHG．
【例4】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．
(1)如果P、E、F分别是BC、AC、BD的中点，求证：AB=PE+PF；
(2)如果P是BC上的任意一点(中点除外)，PE∥AB，PF∥DC，那么AB=PE+PF这个结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
(上海市闽行区中考题)

思路点拨对于(2)，先假设结论成立，从平行线出发证明AB=PC+PF，即需证明，将线段和差问题的证明转化为与比例线段有关问题的证明．
注若题设条件无平行线，需作平行线．而作平行线要考虑好过哪一点作平行线，一般是由比的两条线段启发而得的，其目的是构造基本图形．
平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，比例线段丰富了我们研究几何问题的方法，主要体现在：
(1)利用比例线段求线段的长度；
(2)运用比例线段证明线段相等，线段和差倍分关系、两直线平行等问题．
【例5】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P，求证：PM×PN=PR×PS
(山东省竞赛题)

思路点拨由于PM、PN、PR、PS在同一条直线上，所以不能直接应用平行线分线段成比例推得结论，需观察分解图形，利用中间比沟通不同比例式的联系
学力训练
1．如图，△ABC中有菱形AMPN，如果，则．
(南通市中考题)
2．如图，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若，则；若，则．(江苏省镇江市中考题)

3．如图，已知点D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若，BC=8，则AE的长为．
(苏州市中考题)
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，BC=lcm，E是CD边上一动点，AE、BC的延长线交于点F，设DE=x(㎝)，BF=y(cm)，用x的代数式表示y得．
(黑龙江省中考题)

5．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论：
①；②；③；④．
其中正确比例式的个数有()
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q是BD、CE的中点，则等于()
A．B．C．D．
7．如图，已知在平行四边形ABCD中，O1、O2，O3为对角线BD上三点，且BO1=OlQ2=
O2O3=O3D，连结AOl并延长交BC于点C，连结EO3延长交AD于点F，则AD：FD等于()
A．19：2B．9：1C．8：1D．7：1
(河北省中考题)

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，BD=3CE，DE交BC于F，则DF：FE等于()
A．5：2B．2：lC．3：1D．4：1
(江苏省竞赛题)
9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，E是AB上一点，AE=2BE，M是腰BC的中点，连结EM并延长交DC的延长线于点F，连结BD交EF于点N求证：BN：ND=l：10．(河南省中考题)
10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD．
(1)求证：OE=OF，(2)求的值；
（3）求证：．

11．已知如图1，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD于F，我们可以证明成立．若将图1中的垂直改为斜交，如图2，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过点E作EF∥AB，交BD于点F，则：
(1)还成立吗?如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由；
(2)请找出S△ABD，S△BED，S△BDC间的关系式，并给出证明．
(黄冈市中考题)
12．如图，在梯形ABCD中．AB∥CD，AB＝3CD，E是对角线AC的中点，BE延长后交AD于F，那么=．
(“祖冲之杯”邀请赛试题)

13．如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，过O任作一直线与CD、BC的延长线分别交于F、E点，设BC=a，CD=b，CE=c，则CF=．
(山东赛区选拔赛试题)
14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b，E、F分别是AD、BC的中点，且AF交BE于P，CE交DF于Q，则PQ的长为．
15．如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15m，分别自两杆上高出地面4m、6m的A、C处，向两侧地面上的E、D、B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为m．
(2000年全国初中数学联赛试题)
16．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E，F是BC的三等分点．AE、AF分别交BD于M、N两点，则BM：MN：ND=()
A．3：2；1B．4：2：lC．5：2：1D．5：3：2
(2004年武汉市选拔赛试题)

17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD＝4，若EF∥BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则EF的长为()
A．B．C．D．
(山东省竞赛题)
18．如图，平行四边形ABCD中，F、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，试判断下列结论：①BE=DF；②AG=GH=HC；③EG=BG；
④S△ABE=3S△AGE，其中正确的结论有()
A．1个B．2个C．3个D．4个

19．如图，已知△ABC，，，AD、BE交于F，则的值()
A．B．C．D．
20．如图，已知AB∥EF∥CD，AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF．
(山东省竞赛题)

21．如图，已知在平行四边形ABCD中，F为AB边的中点，AF=FD，FE与AC相交于G，求证：AG=AC．
22．如图，已知M、N为△ABC的边BC上的两点，且满足BM=MN=NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F，求证：EF=3DE．
(湖北省黄冈市竞赛题)
23．在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O．某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
(1)当时，有(如图甲)；
（2）当时，有(如图乙)；
(3)当时，有(如图丙)；
在图丁中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用表示的一般结论，并给出证明(其中n是正整数)
(山西省中考题)

24．如图，在平行四边形ABCD中，P1，P2，…，Pn是BD的n等分点，连结AP2并延长交BC于点E，连结APn-2并延长交CD于点F．
(1)求证：EF∥BD；
(2)设平行四边形ABCD的面积是S，若S△AEF=S，求n的值．(山东省竞赛题)

八年级竞赛讲座(第24讲配方法的解题功能)

第二十四讲配方法的解题功能
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．
运用配方法解题的关键是恰当地“配凑”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．
例题求解
【例1】已知有理数x，y，z满足，那么(x—yz)2的值为．(北京市竞赛题)
思路点拨三元不定方程，尝试从配方法人手．
【例2】若，则可取得的最小值为()
A．3B．C．D．6
(武汉市选拔赛试题)
思路点拨通过引参，设，把x，y，z用k的代数式表示，则转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值．
【例3】怎样的整数a、b、c满足不等式：．
(匈牙利数学奥林匹克试题)
思路点拨一个不等式涉及三个未知量，运用配方法试一试．
【例4】求方程m2－2mn+14n2=217的自然数解．(上海市竞赛题)
思路点拨本例是个复杂的不定方程，由等式左边的特点，不难想到配方法．
【例5】求实数x、y的值，使得(y－1)2+(x+y－3)2+(2x+y－6)2达到最小值．
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨展开整理成关于x(或y)的二次三项式，从配方的角度探求式子的最小值，并求出最小值存在时的x、y的值．
【例6】为了美化校园环境，某中学准备在一块空地(如图，矩形ABCD，AB=10m，BC=20m)上进行绿化，中间的一块(图中四边形EFGH)上种花，其他的四块(图中的四个直角三角形)上铺设草坪，并要求AC＝AH=CF=CG，那么在满足上述条件的所有设计中，是否存在一种设计，使得四边形EFGH(中间种花的一块)面积最大?若存在，请求出该设计中AE的长和四边形EFGH的面积；若不存在，请说明理由．
(2温州市中考题)
思路点拨这是一道探索性几何应用题，解题的关键是代数化．设AE=AH=CF=CG=xm，则BE=DG=(20－x)m，四边形EFGH的面积可用x的代数式表示，利用配方法求该代数式的最大值．
注配方的对象具有多样性，数，字母、等式、不等式都可以配方；同一个式于可以有不同的配方结果，可以配一个平方式，也可以配多个平方式．
配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质：
(1)若有限个非负数的和为0，则每一个非负数都为零；
(2)非负教的最小值为零．
学历训练
1．若，则．
(2江西省中考题)
2．设，，则的值等于．
(“希望杯”邀请赛试题)
3．分解因式：=．
4，已知实数x、y、z满足，，那么=．
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
5．若实数x、y满足，则的值是（）
A．1B．C．D．
6．已知，，，则多项式的值为()
A．0B．1C．2D．3
(全国初中数学竞赛题)
7．整数x、y满足不等式，则x+y的值有()
A．1个B．2个C．3个D．4个(“希望杯”邀请赛试题)
8．化简为()
A．5－4B．4－lC．5D．1(2003年天津市竞赛题)
9．已知正整数a、b、c满足不等式，求a、b、c的值．
(江苏省竞赛题)
10．已知x、y、z为实数，且满足，求的最小值．
(第12届“希望杯”邀请赛试题)
11．实数x、y、z满足，则的值为．
12．若，则a+b+c的值为．
13．x、y为实数，且，则x、y的值为x=，y=．
14．已知，那么当x=，y=时，M的值最小，M的最小值为．
15．已知，，则a+b＝()
A．4B．0C．2D．－2
(重庆市竞赛题)
16．设，，则的值为()
A．B．C．2D．(江苏省竞赛题)
17．若a、b、c、d是乘积为l的4个正数，则代数式的最小值为()
A．0B．4C．8D．10
18．若实数a、b、c满足，代数式的最大值是()
A．27D．18C．15D．12
19．已知x+y+z=1，求证：．
(苏奥尔德莱尼基市竞赛题)
20．已知a>b，且，a、b为自然数，求a、b的值．
21．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足，，，试求
△ABC的面积．
22．某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果获利润最大的产晶是第k档次(最低档次为第一档次，档次依次随质量增加)，求k的值．(山东省竞赛题)

八年级竞赛讲座(第6讲实数的概念及性质)

第六讲实数的概念及性质
数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．
从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系．
由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．
有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：
1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式，这里、是互质的整数，且．
2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．
例题求解
【例1】若a、b满足3=7，则S＝的取值范围是．
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨运用、的非负性，建立关于S的不等式组．
注：古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死．
【例2】设是一个无理数，且a、b满足ab－a－b+1=0，则b是一个()
A．小于0的有理数B．大于0的有理数C．小于0的无理数D．大于0的无理数
(武汉市选拔赛试题)
思路点拨对等式进行恰当的变形，建立a或b的关系式．
【例3】已知a、b是有理数，且，求a、b的值．
思路点拔把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a、b的方程组．
【例4】(1)已知a、b为有理数，x，y分别表示的整数部分和小数部分，且满足axy+by2＝1，求a+b的值．(南昌市竞赛题)
(2)设x为一实数，表示不大于x的最大整数，求满足=x+1的整数x的值．(江苏省竞赛题)
思路点拨(1)运用估算的方法，先确定x，y的值，再代入xy+by2＝1中求出a、b的值；(2)运用的性质，简化方程．
注：设x为一实数，则表示不大于x的最大整数，]又叫做实数x的整数部分，有以下基本性质：
(1)x－1≤x(2)若y

【例5】已知在等式中，a、b、c、d都是有理数，x是无理数，解答：
(1)当a、b、c、d满足什么条件时，s是有理数；
(2)当a、b、c、d满足什么条件时，s是无理数．
(“希望杯”邀请赛试题)
思路点拨(1)把s用只含a、b、c、d的代数式表示；(2)从以下基本性质思考：
设a是有理数，r是无理数，那么①a+r是无理数；②若a≠0，则ar也是无理数；③
r的倒数也是无理数，解本例的关键之一还需运用分式的性质，对a、b、c、d取值进行详细讨论．
注：要证一个数是有理数，常证这个数能表示威几十有理数的和，差，积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推出矛盾．

学力训练
1．已知x、y是实数，，若，则a=．
(2002年个数的平方根是和，那么这个数是．
3．方程的解是．
4．请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴；同样∵1112=12321，∴；…由此猜想．
(济南市中考题)
5．如图，数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是()
A．B．C．D．
(江西省中考题)
6．已知x是实数，则的值是()
A．B．C．D．无法确定的
(“希望杯”邀请赛试题)
7．代数式的最小值是()
A．0B．C．1D．不存在的
(“希望杯”邀请赛试题)
8．若实数a、b满足，求2b+a－1的值．
(山西省中考题)

9．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
，；，；，；…
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA10的长；
(3)求出Sl2+S22+S32+…+S210的值．(烟台市中考题)
10．已知实数a、b、c满足，则a(b+c)=．
11．设x、y都是有理数，且满足方程，那么x－y的值是．
(“希望杯’邀请赛试题)
12．设a是一个无理数，且a、b满足ab+a－b＝1，则b=．
(四川省竞赛题)
13．已知正数a、b有下列命题：
①若a=1，b＝1，则；②若，则；
③若a＝2，b=3，则；④若a=1，b=5，则．
根据以上几个命题所提供的信息，请猜想，若a=6，b=7，则．
(黄冈市竞赛题)
14．已知：，那么代数式的值为()
A．B．C．D．
(重庆市竞赛题)
15．设表示最接近x的整数(x≠n+0.5，n为整数)，则+++…+的值为()
A．5151B．5150C．5050D．5049
(“五羊杯”邀请赛试题)
16．设aA．B．C．D．3
(全国初中数学竞赛题)
17．若a、b、c为两两不等的有理数，求证：为有理数．
18．某人用一架不等臂天平称一铁块a的质量，当把铁块放在天平左盘中时，称得它的质量为300克，当把铁块放在天平的右盘中时，称得它的质量为900克，求这一铁块的实际质量．
(安徽省中考题)．
19．阅读下面材料，并解答下列问题：
在形如ab=N的式于中，我们已经研究过两种情况：
①已知a和b，求N，这是乘方运算，②已知b和N，求a，这是开方运算．
现在我们研究第三种情况；已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．
定义：如果ab=N(a>0，a≠1，N>0)，则b叫做以a为底的N的对数，记作b=logaN．
例如：因为23=8，所以log28=3；因为2-3=，所以log2=－3．
(1)根据定义计算:
①log381=；②log33=；③log3l=；④如果logx16=4，那么x=．
(2)设ax=M，ay＝N，则logaM=x；logaN＝y(a>0，a≠1，N>0，M，N均为正数)．
用logAM，logAN的代数式分别表示logaMN及loga，并说明理由．
(泰州市中考题)
20．设，a、b、c、d都是有理数，x是无理数．求证：
(1)当bc=ad时，y是有理数；
(2)当bc≠ad时，y是无理数．
设△ABC的三边分别是a、b、c，且，试求AABC的形状．