八年级竞赛讲座(第15讲平行四边形)。

一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，大家都在十分严谨的想教案课件。只有规划好教案课件计划，新的工作才会更顺利！你们清楚有哪些教案课件范文呢？小编收集并整理了“八年级竞赛讲座(第15讲平行四边形)”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

第十五讲平行四边形
平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在边、角、对角线上，矩形、菱形是特殊的平行四边形，矩形的特殊性体现在有一个角是直角，菱形的特殊性体现在邻边相等，所以，它们既有平行四边形的性质，又有各自特殊的性质．
对角线是解决四边形问题的常用线段，对角线本身的特征又可以决定四边形的形状、大小，连对角线后，平行四边形就产生特殊三角形，因此解平行四边形相关问题时，既用到全等三角形法，特殊三角形性质，又要善于在乎行四边形的背景下探索问题，利用平行四边形丰富的性质为解题服务．
熟悉以下基本图形、基本结论：

例题求解
【例1】如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为．
(全国初中数学联赛试题)

思路点拨分别求出PE、PF困难，△AOD为等腰三角形，若联想“到等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高”这一性质，则问题迎刃而解．
注特殊与一般是对立统一的，在一定条件下可以互相转化，相对于一般而言，特殊的事物往往更简单、更直观、更具体．因而人们常常通过特殊去认识一般；另一方面，一般概括了特殊，一般比特殊更为深刻地反映着事物的本质，所以人们也往往通过一般去了解特殊．
一般与特殊，是知识之间联系的一种重要形式，知识常常在一般到特殊或特殊到一般的变化过程中，不斩地得到延伸与拓展．
【例2】已知四边形ABCD，从下列条件中：(1)AB∠CD，(2)BC∥AD；(3)AB=CD；（4）BC=AD；(5)∠A=∠C；(6)∠B=∠D．
任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（）
A．4种B．9种C．13种D．15种
(山东省竞赛题)
思路点拨根据平行四边形的判定方法及新的组合方式判定．
【例3】】如图，在△ADC中，∠DAC=90°，AD⊥BC，DC、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：GF∥AC．
(湖北省荆州市中考题)

思路点拨从角的角度证明困难，连结CF，在四边形AGFE的背景下思考问题，证明四边形AGFE为特殊平行四边形，证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形．
【例4】如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF于G点，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD＝PC，求证：BC⊥BD，且BC=BD．
(全国初中数学联赛试题)

思路点拨尽管图形复杂，但证明目标明确，只需证明△CPB≌△DPB，应从图中分离出特殊三角形、特殊四边形，充分运用它们的性质为证题服务．
【例5】如图，在等腰三角形ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连结DE，恰有AD=BC=CE=DE．求∠BAC的度数．
(北京市竞赛题)

思路点拨题设条件给出的是线段的等量关系，要求的却是角的度数，相等的线段可得到全等三角形、特殊三角形，为此需通过构造平行四边形改变它们的位置．
注课本中平行四边形的判定定理是从边、角、对角线三个方面探讨的，一般情况是，从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题．其中有真命题与假命题，对于假命题，要善于并熟悉构造反例．
构造反例是学习数学的一种重要技能，可以帮助我们理解概念．培养推理能力，数学史上就曾有许多著名的论断被一个巧妙的反例推翻的实例．
若题设条件中有彼此平行的线段或造成平行的因素，则通过作平行线，构造平行四边形，这是解四边形问题的常用技巧，这是由于平行四边形能使角的位置更理想，送线段到恰当的地方，使线段比良性传递．
学力训练
1．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是(填上你认为正确的一个即可，不必考
虑所有可能情形)
(宁波市中考题)
2．(1)如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若∠DAE：∠BAE＝3：1，则∠CAC＝；(河南省中考题)
(2)矩形的一个角的平分线分矩形一边为lcm和3cm两部分，则这个矩形的面积
为cm2．(武汉市中考题)

3．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．
(1)四边形ADEF是；
(2)当△ABC满足条件时，四边形ADEF为矩形；
(3)当△ABC满足条件时，四边形ADEF不存在．(2000年贵州省中考题)
4．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+，则这两边之积为．(2001年天津市选拔赛试题)
5．四边形的四条边长分别是a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足，则这个四边形一定是()
A．平行四边形B．两组对角分别相等的四边形
C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形
6．如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为()
A．98B．196C．280D．284
(湖北省荆州市中考题)

7．如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠B＝60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长(粗线部分)为()
A．12mB．20mC．22mD．24m
(吉林省中考题)
8．在凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+DA，则()
A．AD>BCB．ADC．AD=BCD．AD与BC的大小关系不能确定
(“希望杯”邀请赛试题)
9．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADC．
(1)求证：△ACD≌△CNBF；
(2)当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°?
证明你的结论．(南通市中考题)

10．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于C，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．
(黑龙江省中考题)
11．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
(1)求证：CO＝FO；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论．
(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形?
12．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，图中有对四边形面积相等，它们是．
(常州市中考题)
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，△AOB的周长为3+，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积为．

14．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则∠BOE=．
15．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．(山东省竞赛题)
16．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是()
A．60°B．65°C．70°D．75°(“希望杯”邀请赛试题)

17．如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是()
A．70°B．75°C．80°D．95°
(重庆市竞赛题)
18．如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=，PC=，则PD=()
A．2B．C．3D．(“五羊杯”竞赛题)

19．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CZ⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=
54°，则∠B=()
A．54°B．60°C．66°D．72°
(武汉市选拔赛试题)
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C=60°，BC＝2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连结DF，求DF的长．

21．如图，菱形的对角线AC与BD交于点O，延长BA到E，使AE=AB，连结OE，延长DE交CA的延长线于F．求证：OE=DF．
22．阅读下面短文：
如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个便点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB(如图2)．

解答问题；
(1)设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为Sl、S2，则S1S2(填“>”，“=”或“”)；
(2)如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图3把它画出来；
(3)如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出个，利用图4把它画出来；
(4)在(3)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小?为什么?
(陕西省中考题)
23．如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM＝AC，N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．
(杭州市“求是杯”竞赛题)
24．如图，在锐角△ABC中，AD、CZ分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连结PQ、DE．
(1)求证；直线PQ是线段DE的垂直平分线；
(2)如果△ABC是钝角三角形，∠BAC>90°，那么上述结论是否成立?
请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．
(“希望杯”邀请赛试题)

相关知识

特殊平行四边形

一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，到写教案课件的时候了。我们制定教案课件工作计划，才能更好地安排接下来的工作！你们清楚教案课件的范文有哪些呢？下面是小编精心为您整理的“特殊平行四边形”，仅供参考，欢迎大家阅读。

课题3.2特殊平行四边形（三）课型新授课

教学目标1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。

2．能运用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论。

3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。

教学重点掌握正方形的性质和判定以及证明方法。

教学难点运用综合法证明。

教学方法讲练结合法

教学后记

教学内容及过程备注

一、回顾交流

提问：1.正方形有哪些性质？

2.判定一个四边形是正方形有哪些方法？

学生回忆与交流，知识迁移。

二、小组合作

猜一猜

依次连接任意四边形各边的中点可以得到

一个平行四边形，那么，依次连接正方形各边

的中点能够得到一个怎样的图形呢？你能证明

所得出的结论吗？

学生分四人小组合作探究。

拓展：这个问题还有其他不同的证法吗？

三、合作交流

议一议

1.依次连接菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形？先猜一猜，再证明。

2.依次连接平行四边形四边中点呢？

3.依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？

学生分四人小组先各自进行猜测，再进行交流，最后独立证明，上台演示。

做一做

在图中，ABCDXA表示一条环形高速

公路，X表示一座水库，B，C表示两

个大市镇，已知ABCD是一个正方形，

XAD是一个等边三角形，假设政府要

铺设两条输水管XB和XC，从水库向

B、C两个市镇供水，那么这两条水管

的夹角（即∠BXC）是多少度？

学生进行推理，发表自己的观点。

四、随堂练习

课本随堂练习1

五、课堂总结

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。

四边形→平行四边形→矩形→正方形

四边形→平行四边形→菱形→正方形

平行四边形的识别

22.2平行四边形的识别
教学目标
1．在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生合情推理的能力，进一步培养学生数学说理的习惯与能力。
2．在理解平行四边形的简单识别方法的活动中，让学生获得成功的喜悦，体验到数学活动充满着探索和创造，感受到数学推理的严谨性。
3．培养学生独立思考的习惯。
教学重点与难点
重点：探索平行四边形的识别方法。
难点：理解平行四边形的识别方法与应用。
教学准备方格纸、直尺、图钉、剪刀。
教学过程
一、提问。
1．平行四边形对边（），对角（），对角线（）。
2.()是平行四边形。
二、探索，概括。
1．探索。
(1)按照下面的步骤，在力格纸上画一个有一组对边平行且相等的四边形。
步骤1：画一线段AB。
步骤2：平移线段AD到BC。
步骤3：连结AB、DC，得到四边形ABCD，其中AD∥BC，AD=BC。
(2)如图，沿四边形的边剪下四边形，再在一张纸上沿四边形的边画出一个四边形。把两个四边形重合放在一起，重合的点分别记为A、B、C、D。通过连结对角线确定对角线的交点O，用一枚图钉穿过点O，把其中一个四边形绕点O旋转，观察旋转180°后的四边形与原来的四边形是否重合，重复旋转几次，看看是否得到同样的结果。
根据上述的过程，能否断定这个四边形是平行四边形?
2．概括。
我们可以看到旋转后的四边形与原来的四边形重合，即C点与A点重合，B点与D点重合。这样，我们就可以得到∠_BAC=∠ACD，从而AB∥DC，又AD∥BC，根据平行四边形的定义，可知道四边形ABCD是平行四边形。由此可以得到：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(一步一步的引导学生得出结论，然后让学生用自己的语言叙述。)
三、应用举例。
例4如图，在平行四边形ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE=CF，连结CE和AF，试说明四边形AFCE是平行四边形。
四、巩固练习。
如图，在平行四边形ABCD中，已知M和N分别是AB、CD上的中点，试说明四边形BMDN也是平行四边形。
五、拓展延伸。
在下面的格点图中，以格点为顶点，你能画出多少个平行四边形?
六、看谁做的既快又正确?
七、课堂小结。
这节课你有什么收获?学到了什么?还有什么疑问吗?
八、布置作业。
补充习题

八年级数学竞赛例题专题-平行四边形、矩形、菱形

专题19平行四边形、矩形、菱形

阅读与思考
平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.
连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.
熟悉以下基本图形：
例题与求解
【例l】如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝15°，那么∠BOE＝________.
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.

【例2】下面有四个命题：
①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；
②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；
其中，正确的命题的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
(全国初中数学联赛试题)

解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定.

【例3】如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点且满足AE+CF＝2.
（1）判断△BEF的形状，并说明理由；
（2）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.
(烟台中考试题)

解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2），只需求出BE的取值范围.

【例4】如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF于点G，延长GP并在春延长线上取一点D，使得PD＝PC.
求证：BC⊥BD，BC＝BD.
(全国初中数学联赛试题)

解题思路：只需证明△CPB≌△DPB，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.

【例5】在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F.
（1）在图1中证明CE＝CF；
（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB，DG（如图3），求∠BDG的度数.
(北京市中考试题)

解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形；
对于（2），用测量的方法可得∠BDG=45°，进而想到等腰直角三角形，连CG，BD，只需证明△BGC≌△DGF，这对解决（3），有不同的解题思路.
对于（3）

【例6】如图，△ABC中，∠C＝90°，点M在BC上，且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM与BN相交于点P.
求证：∠BPM＝45°.
(浙江省竞赛试题)

解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN或AC，即作ME⊥AN，ME＝AN，构造平行四边形.

，

能力训练
A级
1.如图，□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E、F，若CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则□ABCD的面积为________.
2.如图，□ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，若△CDM周长为a，那么□ABCD的周长为________.
(浙江省中考试题)

3.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝78°，过C作CF∥AB，连结AF与BC相交于G，若GF＝2AC，则∠BAG的大小是________.
(“希望杯”竞赛试题)

4.如图，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，则∠CEF的大小是________.
(“希望杯”邀请赛试题)

5.四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且满足，则这个四边形一定是（）
A.两组角分别相等的四边形B.平行四边形
C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形

6.现有以下四个命题：
①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.
其中，正确的命题有（）
A.①②B.③④C.③D.①②③④

7.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过点C作CE⊥BD于E，延长AF，EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED.正确的是（）
A.②③B.③④C.①②④D.②③④
(齐齐哈尔中考试题)

8.如图，矩形ABCD的长为a，宽为b，如果，则＝（）
A.B.C.D.
(“缙云杯”竞赛试题)

9.已知四边形ABCD，现有条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D.从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请具体写出这些组合.
(江苏省竞赛试题)

10.如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE.
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF＝30°，证明你的结论.
(江苏省南通市中考试题)

11.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D为BC上任一点，DF⊥AC于F，DE⊥AC于E，M为BC中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论.
(河南省中考试题)

12.如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，求四边形AEFD的面积.
(山东省竞赛试题)

B级
1.如图，已知ABCD是平行四边形，E在AC上，AE＝2EC，F在AB上，BF＝2AF，如果△BEF的面积为2，则□ABCD的面积是________.
(“希望杯”竞赛试题)

2.如图，已知P为矩形ABCD内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，则PB＝________.
(山东省竞赛试题)

3.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF长为________.
(武汉市竞赛试题)

4.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，使点D落在点处，交AB于点F，则重叠部分△AFC的面积为________.
(山东省竞赛试题)

5.如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为________.
(全国初中数学联赛试题)

6.如图，菱形ABCD的边长为4cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为________.
(“希望杯”邀请赛试题)

7.如图，△ABC的周长为24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（）
A.30B.24C.16D.12
(全国初中数学联赛试题)

8.如图，□ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，则∠AED的大小是（）
A.60°B.65°C.70°D.75°
9.如图，已知∠A＝∠B，，，均垂直于，＝17，＝16，＝20，＝12，则AP+PB的值为（）
A.15B.14C.13D.12
(全国初中数学联赛试题)

10.如图1，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB（如图2）.
解答问题：
（1）设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为，，则________（填“＞”、“＝”或“＜”）.
（2）如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图3画出来.
（3）如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图4画出来.
（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？
(陕西中考试题)

11.四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝120°，M为BC上一点，N为CD上一点.求证：若△AMN有一个内角等于60°，则△AMN为等边三角形.

12.如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED－AB＝AF－CD＞0.
求证：该六边形的各角相等.
(全俄数学奥林匹克试题)