勾股定理的应用学案。

每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，是认真规划好自己教案课件的时候了。必须要写好了教案课件计划，未来的工作就会做得更好！究竟有没有好的适合教案课件的范文？以下是小编收集整理的“勾股定理的应用学案”，供您参考，希望能够帮助到大家。

学习目标:
1.能利用勾股定理和直角三角形的判定方法（即勾股定理的逆定理）解决生活中的数学问题；
2.在运用勾股定理及其逆定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值；
重点、难点：经历运用勾股定理及其逆定理的数学化过程，体会数学的应用价值.
学习过程
一.【预学提纲】初步感知、激发兴趣
1.用如图所示的硬纸板，拼成一个能证明勾股定理的图形，画出图形，加以说明.
2.说明以a=m-n,b=2mn,c=m-n为边的三角形是直角三角形.

二.【预学练习】初步运用、生成问题
1.甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了8km，乙往南走了6km后甲、乙两人相距_____km.
2.如图，一块长方形水泥操场，一学生要从A角走到C角，至少走米．

3.一个三角形的三边的比为5：12：13，它的周长为60cm,则它的面积是________.
4.以下列三个数为边长的三角形能组成直角三角形的个数是（）
①6,7,8;②8,15,17;③7,24,25;④12,35,37.
A.1B.2C.3D.4
5.下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么第三边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（ab=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1.其中正确的是（）
A、①②B、①③C、①④D、②④
三.【新知探究】师生互动、揭示通法
问题1.如图，长为10m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.
（1）求梯子的底部距离墙角的水平距离BC；

（2）如果梯子的顶端下滑1m,那么它的底端那么它的底端是否也滑动1m?

（3）如果梯子的顶端下滑2m，那么梯子的底端滑动多少米?
从上面所获的信息中，你对梯子下滑的变化过程有进一步的思考吗？有人说,在滑动过程中,梯子的底端滑动的距离总比顶端下滑的距离大,你赞同吗?

问题2.如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m处.大树在折断之前高多少？

四.【解疑助学】生生互动、突出重点
问题3.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里水深.

五.【变式拓展】能力提升、突破难点
1.一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm？

2.在一个长为2米宽为1米的矩形场地上，如右图堆放着一根长方体的木块，它的棱长与场地宽AD边平行且大于AD，且木块正面视图是边长为0．2米的正方形，求一只蚂蚁从工A处到达C处需要走的最短路程是多少米？

六.【回扣目标】学有所成、悟出方法
1.在运用勾股定理及其逆定理解决实际问题中，感受“转化”思想，把复杂问题转化为简单问题，把立体图形转化为________，把解斜三角形问题转化为________问题；
2.在运用勾股定理及其逆定理解决实际问题的过程中，感受数学的“建模”思想，把实际问题看成一个_________问题.

扩展阅读

勾股定理的应用导学案

2012-2013学年度第一学期八年级数学导学案（10）
2.7勾股定理的应用(1)
2012-9-13
班级学号姓名
【学习目标】
1．能运用勾股定理解决生活中与直角三角形有关的问题；
2．能从实际问题中建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，同时渗透方程、转化等数学思想。
3．进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值
【学习重、难点】
重点：勾股定理的应用
难点：将实际问题转化为数学问题
【新知预习】
1.如图，单杠AC的高度为5m，若钢索的底端B与单杠底端C的距离为12m，求钢索AB的长.
【导学过程】
一、情境创设
欣赏生活中含有直角三角形的图片，如果知道斜拉桥上的索塔AB的高，如何计算各条拉索的长？
二、探索活动
活动一如图，起重机吊运物体，已知BC=6m,AC=10m,求AB的长.

活动二在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？

活动三一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？
三、例题讲解：
1.《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70km/h，如图一辆小汽车在一条城市中的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，这辆小汽车超速了吗？

2.一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部地面半径为2.5cm，高为12cm，吸管斜置于杯中，并在杯口外面至少露出4.6cm，问吸管需要多长？

【反馈练习】
1．(1)在Rt△ABC中，∠C=90°,若BC=4,AC=2,则AB=______;若AB=4,BC=2,则AC=_____;
(2)一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm，3cm，则第三边的长是______;
(3)甲乙两人同时从同一地出发，甲往东走4km，乙往南走6km，这时甲乙两人相距____km.
2．如图，圆柱高为8cm，地面半径为2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取3）是()
A．20cmB．10cmC．14cmD．无法确定

3.如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
【课后作业】P67习题2.71、4题

“勾股定理的应用”

八年级上勾股定理应用之一

目标

重点

难点

1、知识与方法目标：通过对一些典型题目的思考、练习，能正确、熟练的进行勾股定理有关计算，深入对勾股定理的理解。

2、过程与方法目标：通过对一些题目的探讨，以达到掌握知识的目的。

3、情感与态度目标：感受数学在生活中的应用，感受数学定理的美。

勾股定理的应用

勾股定理的灵活应用。

内容

方法

八年级上--勾股定理的应用之一

讲练结合

课前复习

师：勾股定理的内容是什么？

生：勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

师：这个定理为什么是两直角边的平方和呢？

生：斜边是最长边，肯定是两个直角边的平方和等于斜边的平方，否则不正确的。

师：是这样的。在RtΔABC中，∠C＝90°，有：AC2+BC2＝AB2，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。

今天我们来看看这个定理的应用。

新课过程

分析：

师：上面的探究，先请大家思考如何做？

（留几分钟的时间给学生思考）

师：看到这个题让我们想起古代一个笑话，说有一个人拿一根杆子进城，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题，相信同学们不会这样做。

（我略带夸张的比划、语气，学生笑声一片，有知道这个故事的，抢在我的前面说，学生欣欣然，我观察课堂气氛比较轻松，这也正是我所希望氛围，在这样的情况下，学生更容易掌握知识）

师：这里木板横着不能进，竖着不能进，只能试试将木板斜着顺进去。

师：应该比较什么？

李冬：这是一块薄木板，比较AC的长度，是否大于2.2就可以了。

师：李冬说的是正确的。请大家算出来，可以使用计算器。

解：在RtΔABC中，由题意有：

AC＝＝≈2.236

AC大于木板的宽

∴薄木板能从门框通过。

学生进行练习：

1、在RtABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠B=90゜.

已知a=5，b=12，求c；

已知a=20，c=29，求b

（请大家画出图来，注意不要简单机械的套a2+b2＝c2，要根据本质来看问题）

2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？

师：对第二问有什么想法？

生：分情况进行讨论。

师：具体说说分几种情况讨论？

生：3cm和4cm分别是直角边；4cm是斜边，3cm是直角边。

师：呵呵，你们漏了一种情况，还有3cm是斜边，4cm是直角边的这种情况。

众生（顿感机会难得，能有一次战胜老师的机会哪能放过）：啊！斜边应该大于直角边的。这种情况是不可能的。

师：你们是对的，请把这题计算出来。

（学生情绪高涨，为自己的胜利而高兴）

（这样处理对有的学生来说，印象深刻，让每一个地方都明白无误）

解：当6cm和8cm分别为两直角边时；

斜边＝＝10

∴周长为：6+8+10＝24cm

当6cm为一直角边，8cm是斜边时，

另一直角边＝＝2

周长为：6+8+2＝14+2

师：如图，看上面的探究2。

分析：

师：请大家思考，该如何去做？

陈晓玲：运用勾股定理，已知AB、BO，算出AO的长度，又A点下滑了0.4米，再算出OC的长度，再利用勾股定理算出OD的长度即可，最后算出BD的长度就能知道了。

师：这个思路是非常正确的。请大家写出过程。

有生言：是0.4米。

师：猜是0.4米，就是想当然了，算出来看看，是不是与你的猜测一样。

（周飞洋在黑板上来做）

解：由题意有：∠O＝90°，在RtΔABO中

∴AO＝＝2.4（米）

又下滑了0.4米

∴OC＝2.0米

在RtΔODC中

∴OD＝=1.5（米）

∴外移BD＝0.8米

答：梯足将外移0.8米。

师：这与有的同学猜测的答案一样吗？

生：不一样。

师：做题应该是老老实实，不应该想当然的。

例3再来看一道古代名题：

这是一道成书于公元前一世纪，距今约两千多年前的，《九章算术》中记录的一道古代趣题：

原题：“今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”

师：谁来给大家说一说：“葭”如何读？并请解释是什么意思？

黄尚剑：葭（ji），是芦苇的意思。

师：这是正确的。

师：谁来翻译？

吴智勇：现在有一个正方形的池子，一株芦苇长在水中央，露出水面的部分为一尺，拉芦苇到岸边，刚好与搭在岸上……

师：听了吴智勇的翻译，我觉得“适与岸齐”翻译得不达意，应该理解为芦苇与水面与岸的交接线的中点上。

宋婷等：老师，我也认为是刚好到岸边，“齐”就是这个意思的。

师：这是字表面的意思，古人的精炼给我们今天的理解带来了困难，如果照同学们的翻译，这题就无解了，这理的理解应该是芦苇与水面同岸的交接线的中点上，而且还要求不左偏右倒。

（与学生进行争论，能够让师生双方对这个问题都有更深刻的印象，我是欢迎学生们发表自己的见解）

师：正方形的池子，如何理解？

生：指长、宽、高都相等。

师：呵呵！照你们的看法，应该说成是正方体，而不应该是正方形了？再想想，池子的下方是什么形？

生：照这样说来，下面是其它形状也可以啊！

师：我也这样认为，再来具体的说说正方形池子指什么？

生：仅指池口是正方形。

师：是这样的。（用粉笔盒口演示给学生看）

有生：一丈10尺是指什么？

师：我也正想问这个问题呢，谁能来解答？

生：指AD的长度。

师：能指BC的长度吗？

生：不能，刚说的其下方是不能确定的。

我们整理翻译一下：

“现在有一个贮满水的正方形池子，池子的中央长着一株芦苇，水池的边长为10尺，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到岸边，刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上。请求出水深与芦苇的长各有多少尺？

师：请大家思考如何进行计算？

（留几分钟的时间给学生思考）

师：刚才有一部分同学已经做出来了，但还有约一半的同学还未能做出来。

师：没做出来的同学，请思考你是不是遇到了EF与FD两个未知数啊，一是想想1尺有什么用；二是如何把两个未知数变成一个未知数，当然也可以多列一个方程。

（再等一等学生，留时间让他们做出来，这里等一等所花费的时间，对中等与中等偏下的同学是极为有利的，这点时间的付出会得到超值回报的）

解：由题意有：DE＝5尺，DF＝FE+1。

设EF＝x尺，则DF＝（x+1）尺

由勾股定理有：

x2+52＝（x+1）2

解之得：x＝12

答：水深12尺，芦苇长13尺。

生：这题的关键是理解题意。

师：看来还很会点评嘛，属于当领导的哦!（开个善意的玩笑，教室中一片温馨的笑声）。审题，弄清题意也是我们做题的首要的关键的一环，用同学们的总结来说，以后遇到难题不要怕，要敢于深入进去，弄清情景。

例4如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？

师：请思考如何做？至少怎么理解？

生：走直线就短，用勾股定理就可以了，还要做辅助线。

师：是啊，要连哪些线？

生：连结两树顶得AB，过B作高树的垂线就可以了。

师：请解出来。

解：由题意有：BC＝12米，AC＝16－11＝5米。

在RtΔABC中

AB＝＝13

答：小鸟至少要飞13米。

师：这题的计算也不难，关键也是理解题意。

作业：完成书（人教版）P77页1，P78页2、3

勾股定理的应用

3勾股定理的应用

1．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离
长方体(或正方体)是立体图形，但它的每个面都是平面．若计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同面上的两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了．所以立体图形中求两点之间的最短距离，一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题．
谈重点长方体表面上两点间最短距离
因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．
【例1－1】如图①是一个棱长为3cm的正方体，它的6个表面都分别被分成了3×3的小正方形，其边长为1cm.现在有一只爬行速度为2cm/s的蚂蚁，从下底面的A点沿着正方体的表面爬行到右侧表面上的B点，小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是2.5s．经过简短的思考，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光．
你知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗？
解：如图②，在Rt△ABD中，AD＝4cm，BD＝3cm.
由勾股定理，AB2＝BD2＋AD2＝32＋42＝25，AB＝5cm，∴蚂蚁的爬行距离为5cm.
又知道蚂蚁的爬行速度为2cm/s，
∴它从点A沿着正方体的表面爬行到点B处，需要时间为52＝2.5s.
小明通过思考、判断，发现蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最优的方式，所以他感到惊讶和佩服．
【例1－2】如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
解：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式，分别展成平面图形如下：
如图①，在Rt△ABC1中，
AC21＝AB2＋BC21＝42＋32＝52＝25.
故AC1＝5.
如图②，在Rt△ACC1中，
AC21＝AC2＋CC21＝62＋12＝37.
如图③，在Rt△AB1C1中，
AC21＝AB21＋B1C21＝52＋22＝29.
∵25＜29＜37，
∴沿图①的方式爬行路线最短，最短的路线是5.
点技巧巧展长方体
求解此类问题时只需对长方体进行部分展开，画出局部的展开图，若将长方体全部展开，不仅没有必要反而会扰乱视线．
2．圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离
圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其表面看两点之间的连线绝大部分是曲线，那么怎样确定哪一条是最短的呢？解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定理解决，而不能盲目地凭感觉来确定．
【例2】如图①所示，一只蚂蚁在底面半径为20cm，高为30πcm的圆柱下底的点A处，发现自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引起这只小昆虫的注意，它故意不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺旋路线，从背后对小昆虫进行突然袭击，结果蚂蚁偷袭成功，得到了一顿美餐．根据上述信息，请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕捉到小昆虫？
分析：解此题的关键是把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短和勾股定理作答．
解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平如图②，则对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线．
在Rt△ACB中，AC＝40πcm，BC＝30πcm.
由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝(40π)2＋(30π)2＝(50π)2，
∴AB＝50πcm.
∴蚂蚁至少爬行50πcm才能捕捉到小昆虫．
谈重点圆柱体两点间的最短距离
本题文字叙述较多，要求在阅读的基础上提炼有用的信息，具体解题时先将圆柱沿AB剪开，将侧面展开成一矩形，会发现对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线，再运用勾股定理即可求得．
3．生活中两点间的最短距离
用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答．
【例3】如图①是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5dm,3dm和1dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？
分析：由于蚂蚁是沿台阶的表面由A爬行到B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图②)．
解：将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5dm，BC＝3×(3＋1)＝12dm，∠C＝90°.
在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，
∴AB2＝52＋122＝132，
∴AB＝13dm.
故蚂蚁爬到B点的最短路程是13dm.
4．如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题
利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”，再转化为“数”．解题的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形．
解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：
(1)把立体图形展成平面图形；
(2)确定点的位置；
(3)确定直角三角形；
(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．
【例4】如图①，圆柱形玻璃容器的高为18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点F处有一只苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离是__________cm.
解析：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图(如图②)，CD∥AB，且AD＝BC＝12底面周长，BS＝DF＝1cm.则蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF的长度．过S点作SM⊥CD，垂足为M，由条件知，SM＝AD＝12×60＝30cm，MC＝SB＝DF＝1cm，所以MF＝18－1－1＝16cm，在Rt△MFS中，由勾股定理得SF2＝162＋302＝342，所以SF＝34cm.故蜘蛛需要爬行的最短距离是34cm.
答案：34
5．勾股定理与方程相结合的应用
方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．
【例5】如图，有一张直角三角形状纸片ABC，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
解：设CD＝xcm，由题意知DE＝xcm，BD＝(8－x)cm，AE＝AC＝6cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝10cm.
于是BE＝10－6＝4cm.
在Rt△BDE中，由勾股定理得42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.
故CD的长为3cm.