角的平分线的性质。
每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，大家在认真写教案课件了。对教案课件的工作进行一个详细的计划，才能对工作更加有帮助！有多少经典范文是适合教案课件呢？以下是小编为大家精心整理的“角的平分线的性质”，仅供参考，欢迎大家阅读。
12.3角的平分线的性质
1．角的平分线的性质
(1)内容
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
(2)书写格式
如图所示，
∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE.
谈重点角平分线的性质的理解和应用
(1)使用角的平分线的性质有两个条件：①点在角的平分线上；②过这一点作角的两边的垂线段．结论是：这点到角的两边的距离相等，即两条垂线段相等．
(2)角的平分线的性质是证明两线段相等的方法之一，而且不用再证明两个三角形全等．
(3)如果已知一个点在角的平分线上，常作出该点到角两边的垂线段，运用性质得到两线段相等．
【例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.若CD＝2cm，则点D到直线AB的距离是__________cm.
解析：因为点D在∠ABC的角平分线上，所以点D到直线AB的距离等于点D到直线BC的距离，即点D到直线AB的距离等于CD的长．
答案：2
2．角的平分线的判定
(1)内容
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
(2)书写格式
如图所示，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴点P在∠AOB的角平分线上．
(3)作用
运用角的平分线的判定，可以证明两个角相等和一条射线是角的平分线．
警误区角的平分线的性质和判定适用的条件在运用角的平分线的性质和判定时，往往错误地将一线段当作“距离”，主要原因是不能正确理解角平分线的性质和判定，因此在运用角的平分线的性质和判定时，一定要注意“距离”必须有垂直的条件．
【例2】如图所示，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D，求证：AD平分∠BAC.
证明：∵BF⊥AC，AB⊥CE，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∵∠DEB＝∠DFC，∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
∴DE＝DF.
又∵BF⊥AC，AB⊥CE，
∴AD平分∠BAC(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上)．
3．运用角的平分线的性质解决实际问题
运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离．
在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可．
运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法．
4．运用角的平分线的判定解决实际问题
在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)．然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题．
解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键．找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点．
5．综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题
角的平分线的性质和判定的关系如下：
对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据．
析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等．同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可．
【例3】如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m．根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100000)
解：如图．
作法：(1)以点C为圆心，以任意长为半径画弧，交两河岸于A，B两点，分别以A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点O，过C，O作射线CO.
(2)按比例尺计算得古塔与P的图上距离为3cm，以古塔为圆心，以3cm长为半径画弧交CO于点P，则点P即为所求．
【例4】如图所示，有一名民警在值班，他位于到平行的大街两侧以及过街天桥AB的距离相等的点P处．此时，这位民警发现有一可疑分子从天桥A处走向B处，请问民警在注视可疑分子从A处走到B处时，他的视线转过了多大角度？
解：连接PA，PB.
∵点P到BE，AF，AB的距离相等，
∴PA，PB分别是∠FAB，∠EBA的角平分线，即∠PBA＝12∠EBA，∠PAB＝12∠FAB.
∵BE∥AF，∴∠EBA＋∠FAB＝180°.
∴∠PBA＋∠PAB＝12(∠EBA＋∠FAB)＝90°.
∴∠APB＝180°－(∠PBA＋∠PAB)＝180°－90°＝90°，即民警的视线转过的角度为90°.
【例5】如图，AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们相交于点P，PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F，求证：BP为∠MBN的平分线．
分析：要证BP为∠MBN的平分线，只需证PD＝PF，而AP，CP为外角平分线，故可过点P作PE⊥AC于点E，根据角平分线的性质有PD＝PE，PF＝PE，所以PF＝PD.因此BP为∠MBN的平分线．
证明：过点P作PE⊥AC于点E.
∵AP，CP分别是∠MAC与∠NCA的平分线，PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F，
∴PD＝PE，PF＝PE(角平分线上的点到角两边的距离相等)．∴PD＝PF.
又∵PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F，
∴点P在∠MBN的平分线上(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上)．
∴BP为∠MBN的平分线．
6．运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题
在实际问题中，确定位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题，常常用到角的平分线的性质来解决．尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法．
三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点．
三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等．
三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个．
【例6】如下图所示，三条公路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？
解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；∠ACB，∠ABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在∠CAB的平分线上，且到公路l1，l2，l3的距离相等；同理还有∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点；∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点，因此满足条件的点共有4个．
作法：(1)如右图所示，作出△ABC两内角∠BAC，∠ABC的平分线的交点O1.
(2)分别作出∠ACB，∠ABC的外角平分线的交点O2，∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点O3，∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点O4；故满足条件的修建点有四处，即点O1，O2，O3，O4处．
扩展阅读
角的平分线的性质学案
1、通过探究理解角平分线的性质并会运用
2、掌握尺规作图作角平分线
1、怎样用尺规作角的平分线？
2、角的平分线上的点到角的两边的距离有什么关系？
（一）课前巩固
1、如图，AB＝AD，BC＝DC，求证AC是∠DAB的平分线
（二）自学：教材P19
（三）用尺规作一个角的平分线
1、已知：∠AOB，2、练习，画出下列角的平分线
求作：∠AOB的平分线OC
3、练习，教材P19
角平分线的性质
1、探究，教材P20
2、归纳，角平分线的性质是：角平分线上的到角两边的相等。
3、用三角形全等证明性质，
如图，已知：∠BAF=∠CAF,点O在AF上，OE⊥AB,OD⊥AC,垂足分别为E,D.求证：OE=OD
证明：F
符号语言：
△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F,求证EB＝FC
如图，△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角的平分组CE相交于P,求证点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。
《角平分线的性质》导学案
《角平分线的性质》导学案
一、教学目标
（一）知识与技能
1.会作已知角的平分线；
2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；
3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算.
（二）过程与方法
在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
（三）情感、态度与价值观
在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.
二、教学重点、难点
重点：角的平分线的性质的证明及应用；
难点：角的平分线的性质的探究.
三、教法学法
三步导学的教学模式；自主探索,合作交流的学习方式
四，教学过程：
(一）复习：
（1)点到直线的距离:P
ABCD
2.角平分线的概念：A
OC
3.根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
A
（二）新授
1.利用尺规作图：作出一只角的角平分线
A
MD
ONC
2.探究：
(1)折一折：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为直角边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
（2）画一画
画一∠AOB的角平分线OC,点P在OC上任意一点，取点P的三个不同位置，过P点做垂线段PD.PE。并测量PD.PE的长。将三次数据记录下来，你会有什么发现？
A
C
O
B
（3）理论证明：
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证:PD=PE
结论：角平分线上的点到角两边的距离相等
几何语言：
∵∠1=∠2,
PD⊥OA，
PE⊥OB（已知）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
实践应用
例。如图△ABC中的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB,BC,CA的距离相等，A
N
M
P
BC
三，当堂检测练习：
（1）下列描述对不对？
已知如图，AD平分∠BAC.DC⊥AC.DB⊥ABB
求证：DB=CD
证明：(1)∵AD平分∠BAC
∴DB=CDD
(2)∵DC⊥AC.DB⊥AB
∴DB=CD
（3)∵AD平分∠BAC
DC⊥AC.DB⊥ABAC
∴DB=CD
2.如图1，∠1=∠2,PD⊥OA.PE⊥OB，垂足分别是D.E。结论：（1）PD=PE
(2)0D=OE(3)∠DPO=∠EPO(4)PD=POA
D
正确的有：————————————————————————
P
O
EB
2.如图2，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E,且DE=5.8cm，BC=11.2cm，则BD=————————B
E
D
CA
12.3.2角的平分线性质（2）
作为老师的任务写教案课件是少不了的，大家应该在准备教案课件了。只有规划好新的教案课件工作，这对我们接下来发展有着重要的意义！有没有出色的范文是关于教案课件的？下面是小编为大家整理的“12.3.2角的平分线性质（2）”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！
12.3角的平分线的性质
第2课时角的平分线性质（2）
【教学目标】
1.掌握角的平分线的性质“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.
2.能应用性质解决一些简单的实际问题.
【重点难点】
重点：角的平分线的性质及其应用.
难点：灵活应用两个性质解决问题.
┃教学过程设计┃
教学过程设计意图
一、创设情境，导入新课
问题：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺1∶20000)?
依据新课程理念，教师要创造性地使用教材，作为本课的一个引例，从学生的生活出发，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，复习了角平分线的性质，为后续的学习作好知识上的储备.
二、师生互动，探究新知
刚才大家对上述问题进行了讨论，并且得出了做法，我们进而从做法中总结出了新的结论：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这个新结论正确吗？请大家分组讨论、交流.
已知：如图，点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，PD＝PE，
求证：∠AOC＝∠BOC.
由此我们又可以得到一个性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
追问：这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？
结论：可以判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等.
问题解决：让我们回到刚上课时的问题：怎样找到点P?
结论：1.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500m处.
2.在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题.1m＝100cm，所以比例尺为1∶20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思.如图：
第一步：尺规作图作出∠AOB的平分线OP.
第二步：在射线OP上截取OC＝2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了.
总结：应用角平分线的性质，可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题.经历实践→猜想→证明→归纳的过程，培养学生的动手操作能力和观察能力，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现其不可替代性，从而更利于学生的直观体验上升到理性思维.
三、运用新知，解决问题
例题如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P在∠BAC的平分线上.
思路点拨：要证点P在∠BAC的平分线上，只要证明点P到∠BAC的两边的距离相等就行，而且点P在另外两个角的平分线上，可以利用上一节课讲的性质得到线段相等，然后利用等量代换就可得到结论.让学生体验利用角平分线的性质解决问题的优越性，并对前面所讲的三角形的三条角平分线交于一点进行了补充证明，增强学生学习数学的兴趣.
四、课堂小结，提练观点
你学习了什么？你会应用了什么？你有什么感受？为了进一步培养学生的概括能力、语言表达能力，鼓励学生对本节知识归纳总结.
五、布置作业，巩固提升
教材第51页第3、4题.
【板书设计】
角的平分线的性质(2)
性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
例题已知：如图，点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，PD＝PE，求证：∠AOC＝∠BOC.
【教学反思】
本教学设计本着以观察为起点，以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨；遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则，情景引入，激发兴趣.
