高一数学上册《函数模型及其应用》知识点新人教版。
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高一数学上册《函数模型及其应用》知识点新人教版
知识点总结
本节主要包括函数的模型、函数的应用等知识点。主要是理解函数解应用题的一般步骤灵活利用函数解答实际应用题。
1、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。
2、用函数解应用题的基本步骤是：(1)阅读并且理解题意.(关键是数据、字母的实际意义);(2)设量建模;(3)求解函数模型;(4)简要回答实际问题。
误区提醒
1、求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围。
2、求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型。
【典型例题】
例1(1)某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和(不计复利).
(2)按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式.如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少?
解：(1)利息=本金×月利率×月数.
y=100+100×0.36%·x=100+0.36x，当x=5时，y=101.8，∴5个月后的本息和为101.8元.
相关知识
高一数学教案：《函数模型及其应用》教学设计（一）
高一数学教案：《函数模型及其应用》教学设计（一）
教学目标：
1．能根据实际问题的情境建立数学模型，利用计算工具，结合对函数性质的研究，给出问题的解答；
2．通过实例，理解一次函数、二次函数等常见函数在解决一些简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；
3．在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.
教学重点：
一次函数、二次函数以及指、对数函数等常见函数的应用．
教学难点：
从生活实例中抽象出数学模型.
教学过程：
一、问题情境
某城市现有人口总数为100万，如果人口的年自然增长率为1.2﹪，问:
（1）写出该城市人口数y(万人)与经历的年数x之间的函数关系式;
（2）计算10年后该城市的人口数；
（3）计算大约多少年后，该城市人口将达到120万?
（4）如果20年后该城市人口数不超过120万，年人口自然增长率应该控制在多少？
二、学生活动
回答上述问题，并完成下列各题：
1．等腰三角形顶角y(单位：度)与底角x的函数关系为 ．
2．某种茶杯，每个0.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数 ，其定义域为 ．
三、数学应用
例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(万元)、单位成本P(万元)、销售收入R(元)以及利润L(万元)关于总产量x台的函数关系式．
例2 大气温度y(℃)随着离开地面的高度x(km)增大而降低，到上空11 km为止，大约每上升1 km，气温降低6℃，而在更高的上空气温却几乎没变(设地面温度为22℃)．
求：（1） y与x的函数关系式；
（2）x＝3.5 km以及x＝12km处的气温．
变式：在例2的条件下，某人在爬一座山的过程中，分别测得山脚和山顶的温度为26℃和14.6℃，试求山的高度．
四、建构数学
利用数学某型解决实际问题时，一般按照以下步骤进行：
1．审题：理解问题的实际背景，概括出数学实质，尝试将抽象问题函数化；
2．引进数学符号，建立数学模型，即根据所学知识建立函数关系式，并确定函数的定义域；
3．用数学的方法对得到的数学模型予以解答，求出结果；
4．将数学问题的解代入实际问题进行检验，舍去不合题意的解，并作答.
五、巩固练习
1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为x件时的成本函数是C(x)＝200＋10x＋0.5x2(元)，若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达到元．
2．有m部同样的机器一起工作，需要m小时完成一项任务．设由x部机
器（x为不大于m的正整数）完成同一任务，求所需时间y(小时)与机器的
部数x的函数关系式．
3．A，B两地相距150千米，某人以60千米/时的速度开车从A到B，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A，则汽车离开A地的距离x与时间t的函数关系式为．
4．某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到达终点需16min，快车比慢车晚发车3min，且行驶10min到达终点站.试分别写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式．两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？
5．某产品总成本C(万元)与产量x(台)满足关系C＝3000＋20x－0.1x2，其中0＜x＜240．若每台产品售价25万元，要使厂家不亏本，则最少应生产多少台？
六、要点归纳与方法小结
1．利于函数模型解决实际问题的基本方法和步骤；
2．一次函数、二次函数等常见函数的应用．
七、作业
课本P100－练习1，2，3．
函数模型及其应用
一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，作为高中教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师掌握上课时的教学节奏。高中教案的内容具体要怎样写呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“函数模型及其应用”，希望对您的工作和生活有所帮助。
函数模型及其应用（1）
【本课重点】：能根据实际问题建立适当的数学模型，重点掌握一次、二次、反比例以及分段函数模型；体会数学建模的基本思想
【预习导引】：
1、某地高山上温度从山脚起每升高100米降低0.7℃。已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃。则此山高米。
2、某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，则生产台计算机的总成本C=
____________（万元），单位成本P=（万元），销售收入R=（万元），利润L=（万元），若要创利不低于100万元，则至少应生产这种计算机______(台)。
3、某汽车运输公司购买了豪华型大客车投入客运，据市场分析，每辆客车的总利润y万元与营运年数x(x)的函数关系式为y=-x2+12x-25,则每辆客车营运年使其营运年平均利润最大。
【典例练讲】：
例1、某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到终点需要16min，快车比
慢车晚发3min，且行使10min后到达终点站。试分别写出两车所行路程关于慢车行使时间的函数关系式。两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？
例2、某地上年度电价为元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55—0.75元之间，经测算，若电价调至元，则本年度新增用电量亿度与(x-0.4)成反比例，又当x=0.65元时，y=0.8。
（1）求y与x之间的函数关系式。
（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益=用电量×（实际电价-成本价）]
例3、在经济学中，函数的边际函数定义为，某公司
每月最多生产100台报警系统装置,生产台的收入函数为
（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差。
(1)求利润函数及边际利润函数；
(2)利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值？
例4、经市场调查，某商品在过去100天内的销售和价格均为时间t（天）的函数，且销售量近似地满足g（t）=。前40天价格为，后60天价格为。试写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系，并求最大销售额。
【课后检测】：
1、李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了一段时间，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校，在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程S（km）与行驶时间t(h)的函数图象的示意图，你认为正确的是（）
（A）（B）（C）（D）
2、将进货单价为80元的商品400个，按90元每个售出能全部售出（未售出商品可以原价退货）。已知这种商品每个涨价一元，其销售量就减少20个，为了获得最大利润，售价应定为（）
A、每个110元B、每个105元C、每个100元D、每个95元
3、某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km,按1.8元/km收费。另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）
A、5~7kmB、9~11kmC、7~9kmD、3~5km
4、假设某做广告的商品的销售收入R与广告费A之间的关系满足（为正常数），那么广告效应为，则当广告费A=______时，取得最大广告效应。
5、某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km,火车10分钟行驶13km后，以120km/h匀速行驶，试写出火车行驶路程S(km)与匀速行驶的时间t（h）之间的函数关系式，并求出火车离开北京2h内行驶的路程。
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6、某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，当顾客在商场内消费一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：
消费金额（元）的范围[200,400)[400,500)[500,700)[700,900)...
获得奖券的金额（元）3060100130...
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2+30=110元设购买商品得到的优惠率＝。试问
（1）购买一件标价为1000元的商品，优惠率是多少？
（2）对于标价在[500，800]内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？
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7、电信局为了方便客户不同需要，设有两种优惠方案，这两种方案应付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示实线部分（注：图中）试问：
（1）若通话时间为2小时，按方案各付话费多少元？
（2）方案从500分钟后，每分钟收费多少元？
（3）通话时间在什么范围内，方案才会比方案优惠？
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高一数学函数模型的应用实例44
3.2.2函数模型的应用实例（Ⅱ）
一、三维目标
1.知识与技能能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.
2.过程与方法进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.
二、教学重点
重点利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.
难点将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.
三、学法与教学用具
1.学法：自主学习和尝试，互动式讨论.
2.教学用具：多媒体
四、教学设想
（一）创设情景，揭示课题.
现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.
（二）实例尝试，探求新知
例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.
1）写出速度关于时间的函数解析式；
2）写出汽车行驶路程关于时间的函数关系式，并作图象；
3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数与时间的函数解析式，并作出相应的图象.
本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.
教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.
注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式.
例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：
其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年均增长率.
下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）
年份19501951195219531954
人数5519656300574825879660266
年份19551956195719581959
人数
1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？
探索以下问题：
1）本例中所涉及的数量有哪些？
2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？
3）根据表中数据如何确定函数模型？
4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应做出如何评价？
如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？
本例的题型是利用给定的指数函数模型解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数与.
完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以借助计算器.
在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度，并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式.
引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定的近似值.
课堂练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
探索以下问题：
1）本例给出两种函数模型，如何根据已知数据确定它们？
2）如何对所确定的函数模型进行评价？
本例是不同函数的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定具体的函数模型.
引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度，这也是对函数模评价的依据.
本例渗透了数学思想方法，要培养学生有意识地运用.
三.归纳小结，发展思维.
利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；
1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；
2）利用待定系数法，确定具体函数模型；
3）对所确定的函数模型进行适当的评价；
4）根据实际问题对模型进行适当的修正.
从以上各例体会到：根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象，判断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.
图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式.在实际应用时，经常需要将函数对应关系的一种形式向另一种转化.
高一数学函数模型的应用实例45
§3.2.2函数模型的应用实例（Ⅲ）
一、三维目标
1、知识与技能能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。
2、过程与方法体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。
3、情感、态度、价值观深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。
二、教学重点、难点：
重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。
难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。
三、学学与教学用具
1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。
2、教学用具：多媒体
四、教学设想
（一）创设情景，揭示课题
2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。
这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。
这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。
本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。
（二）尝试实践探求新知
例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表
（身高：cm；体重：kg）
身高60708090100110
体重6.137.909.9912.1515.0217.50
身高120130140150160170
体重20.9226.8631.1138.8547.2555.05
1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。
2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？
探索以下问题：
1）借助计算器或计算机，根据统计数据，画出它们相应的散点图；
2）观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？
3）你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重与身高的函数关系比较合适？
4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价.
5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？
本例给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的，要引导学生借助计算器或计算机画图，帮助判断.
根据散点图，利用待定系数法确定几种可能的函数模型，然后进行优劣比较，选定拟合度较好的函数模型.在此基础上，引导学生对模型进行适当修正，并做出一定的预测.此外，注意引导学生体会本例所用的数学思想方法.
例2.将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表：
时间（S）60120200240300
温度（℃）86.8681.3776.4466.1161.32
时间（S）360420480540600
温度（℃）53.0352.2049.9745.9642.36
1）描点画出水温随时间变化的图象；
2）建立一个能基本反映该变化过程的水温（℃）关于时间的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.
3）水杯所在的室内温度为18℃，根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10℃？对此结果，你如何评价？
本例意图是引导学生进一步体会，利用拟合函数解决实际问题的思想方法，可依照例1的过程，自主完成或合作交流讨论.
课堂练习：某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件.由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好.为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？
探索过程如下：
1）首先建立直角坐标系，画出散点图；
2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：
一次函数模型：
二次函数模型：
幂函数模型：
指数函数模型：（＞0，）
利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定.
（三）归纳小结，巩固提高.
通过以上三题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法.利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：
符合
实际
不符合实际
