八年级数学上册《分式》教案分析。

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八年级数学上册《分式》教案分析

12.1分式
一、学习内容分析
分式是在整式后对代数式的进一步研究，是对分数的进一步抽象.这是本章的起始课，是整章的理论基础.在此之前，学生已经学习了分数、整式的运算以及因式分解等知识，而本节课的学习将为后来学习分式的基本性质、运算、解分式方程奠定基础.
二、教材的处理
本节内容分为两个课时，根据学生的学习特点以及“分式的基本性质”与“分式约分”之间的密切关系，本节课没有讲授“分式的基本性质”，而是将其与“约分”相结合，放在了第二课时.第一课时以“分式表示两个整式的商”这条主线，添加了分式的值为正（负）数这部分内容，使对于分式值的研究完整化，使学生初步形成对分式值的认知体系.
三、学情分析
在数的范畴内，学生已经学习了“整数”和“分数”，在代数式中，学习了“整式”，在本节课学生将类比数的学习历程，理解和认识分式的相关性质.学生已经了解了除法运算及其相关性质，以除法相关知识为抓手，研究分式问题。
四、教学目标、重点、难点
教学目标：1.理解分式的概念，能够分辨一个代数式是否为分式；
2.掌握分式有意义、无意义和值为0、正数、负数的条件，并能够运用；
3.通过探究分式的相关性质，把除法的、有理数和除法法则等知识融会贯通，使知识系统化.
教学重点：分式的概念以及分式有意义、无意义、值为0的条件；
教学难点：分式的值为正数、负数的条件以及建立所学知识之间关联.
五、教学过程
（一）温故知新，揭示概念
1.“温故”——根据实际意义列代数式，
（1）已知A车的速度为nkm/h，B车比A车每小时多行20km，
①A车2小时行驶km，B车2小时行驶km.
②如果甲、乙两地之间的路程为mkm.那么从甲地到乙地，A车和B车所用的时间各、.
（2）期中考试，小明语、数、英三科的成绩分别为80分，a分，则他两科的平均分为.
*（3）圆的周长为C，则圆的直径为.
（3）把上面所得的式子按“已学”和“未学”进行分类，指出其中所含有“整式”.
设计意图：课本“做一做”中所列出的式子可以清楚地表明分式的特征——表示整式之间的除法运算，且分母当中含有字母，所以本环节选用“做一做”并进行了适当地改动，以实际问题中的数量关系为背景，抽象分式的概念，体会分式是刻画数量关系的一类代数式.
操作注意事项：学生按已学和未学分类时，回顾关于“式”的知识体系，紧抓式是用运算来描述这一特征，并板书。回忆代数式、整式、单项式、多项式的概念，重点强调以下几点：
（1）代数式是用运算符号把数字和字母连接起来所得的式子；
（2）单项式是数字与字母的乘积；
（3）多项式是单项式的和.
对比“整数”和“分数”，指出本节课所学代数式的名称与“整式”相对，与“分数”类似，叫做“分式”.
设计意图：数学学习具有明显的前后关联性，学习任何一个知识点，要首先让学生明白这个知识点在他的知识框架中处于什么地位，与前面所学的知识有何联系，所以本节课设计了这个环节，让学生明晰“分式”这一节的地位，使学生更加系统地完善“代数式”的概念.
2.“知新”——揭示“分式”的概念；
从运算的角度分析上面所得的分母中含有字母的代数式，它们表示两个整式相（填“加、减、乘、除”），这样的代数式就称为分式.
归纳总结：一般地，我们把形如的代数式称为分式，其中A、B表示两个整式，且B中必须含有字母。由此可见，分式是两个整式的（填“和、差、积或商”）.
预习自测：判断下列分式是整式还是分式（填序号）.
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦.
整式：，分式
设计意图：抓住“代数式”概念中用“运算符号”连接数字和字母这是关键点，提示分式的本质是“除法”运算，为学习分式有意义、无意义、值的各类情况埋下伏笔.
（二）自主探究——分式有意义、无意义和值为0
开放性问题：分式就是整式与整式之间做除法运算，那么，关于除法运算，你有哪些记忆犹新的知识呢？说一说，跟同学交流一下。
教学预设：学生可能回忆起，除数不为0，0除以任何一个非零数都等于0，整除，两数相除，同号得正，异号得负，除以一个非零数等于乘以这个数的倒数等等。
设计意图：寻找新旧知识的连接点，让新知识生长于旧知识之上。
以为例，
1.依据“除数不能为0”，分别讨论这些分式什么时候有意义？什么时候没有意义？
总结归纳：对于分式，当时，分式有意义；当时，分式没有意义.
2.依据“0除以任何一个非零数都等于0”，讨论“当x取什么值时，分式的值为0”。
总结归纳：对于分式，当时，分式的值为0.
设计意图：抓住“分式表示两个整式相除”，根据除法的意义——除数不能为0，得到分式有意义和没有意义的条件，再根据“0除以任何非0数都得0”推导出分式值为0的条件，这样把新知识完全植根于旧知识当中，让学生找到了自己知识的生长点，以旧推新，体会数学学习的内存规律性.
操作注意事项：根据学生的理解程度以及时间进度，对以上题目适当变式，如：改变分子，让学生观察对分式有（无）意义是否有影响；改变分母中的数字或符号，再次让学生解答；改变最后一个分式分母中的符号，变为x2+1，让学生讨论等等。
（三）拓展提升——分式的值为正数或负数
1.依据“两数相除，同号得正，异号得负”，讨论“当x取什么值时，分式的值为正数”和“当x取什么值时，分式的值为负数”。
归纳总结：对于分式，当时，分式的值为正数；当时值为负数.
设计意图：继续以“分式表示两个整式的商”为线索，结合有理数除法的法则，较为容易地解决本节课的难点，运用不等式组解决此类问题，让学生体会数学知识的综合运用以及之间的相互联系.
操作注意事项：所给的四个例子中，不存在化为一元一次不等式组的类型，抓住这个契机，让学生对题目进行变式，增强学生对题目的理解。
（四）课堂小结
填写思维导图，完成本节课的小结：
（五）布置作业：根据除法的相关知识，你还能提出哪些问题？自己试着写一写，并解答。

延伸阅读

八年级数学上册《分式》教案二

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八年级数学上册《分式》教案二

一、教学目标
1．了解分式、有理式的概念.
2．理解分式有意义的条件，能熟练地求出分式有意义的条件.
二、重点、难点
1．重点：理解分式有意义的条件.
2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件.
三、课堂引入
1．让学生填写P127[思考]，学生自己依次填出：，，，.
2．学生看问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它沿江以最大航速顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？
请同学们跟着教师一起设未知数，列方程.
设江水的流速为vkm/h.
轮船顺流航行90km所用的时间为小时，逆流航行60km所用时间小时，所以=.
3.以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
四、例题讲解
P128例1.当下列分式中的字母为何值时，分式有意义.
[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解
出字母的取值范围.
[补充提问]如果题目为：当字母为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.
(补充)例2.当m为何值时，分式的值为0？
（1）（2）（3）
[分析]分式的值为0时，必须同时满足两个条件：分母不能为零；分子为零，这样求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解.
[答案]（1）m=0（2）m=2（3）m=1
五、随堂练习
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
9x+4,,,,，
2.当x取何值时，下列分式有意义？
（1）（2）（3）
3.当x为何值时，分式的值为0？
（1）（2）（3）
六、课后练习
1．下列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？
（1）甲每小时做x个零件，则他8小时做零件个，做80个零件需小时.
（2）轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是千米/时，轮船的逆流速度是千米/时.
（3）x与y的差于4的商是.
2．当x取何值时，分式无意义？
3.当x为何值时，分式的值为0？

八年级数学上册《分式》知识点湘教版

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八年级数学上册《分式》知识点湘教版

知识点

1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

2.分式有意义、无意义的条件：

分式有意义的条件：分式的分母不等于0;分式无意义的条件：分式的分母等于0。

3.分式值为零的条件：

分式AB=0的条件是A=0，且B≠0.

(首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。)

4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示为(其中A、B、C是整式)，

5.分式的通分：

和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点：

(1)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;

(2)如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;

(3)如果分母是多项式，一般应先分解因式。

6.分式的约分：

和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。

约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分;

(2)找公因式的方法：

①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式;

②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。

八年级数学上册第1章分式（湘教版）

第1章分式
1.1分式
第1课时分式
1.理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式.
2.能写出分式存在的条件，会求分式的值为0时字母的取值范围.(重难点)
3.能根据字母的取值求分式的值.(重点)
4.能用分式表示现实情境中的数量关系.(重点)
自学指导：阅读教材P2～3，完成下列问题.
(一)知识探究
1.一般地，如果一个整式f除以一个非零整式g(g中含有字母)，所得商fg叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0.
2.(1)分式fg存在的条件是g≠0；(2)分式fg不存在的条件是g＝0；(3)分式fg的值为0的条件是f＝0，g≠0.
(二)自学反馈
1.下列各式中，哪些是分式？
①2b－s；②3000300－a；③27；④vs；⑤s32；⑥2x2＋15；⑦45b＋c；⑧－5；⑨3x2－1；⑩x2－xy＋y22x－1；5x－7.
解：分式有①②④⑦⑩.
判断是否是分式主要看分母是不是含有字母.这是判断分式的唯一条件.

2.当x取何值时，下列分式的值不存在？当x取何值时，下列分式的值等于0?
(1)3－xx＋2；(2)x＋53－2x.
解：(1)当x＋2＝0时，即x＝－2时，分式3－xx＋2的值不存在.当x＝3时，分式3－xx＋2的值等于0.
(2)当3－2x＝0时，即x＝32时，分式x＋53－2x的值不存在.当x＝－5时，分式x＋53－2x的值等于0.
分母是否为0决定分式的值是否存在.

活动1小组讨论
例1列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？
(1)甲每小时做x个零件，他做80个零件需多少小时；
(2)轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是多少千米/时，轮船的逆流速度是多少千米/时；
(3)x与y的差除以4的商是多少.
解：(1)80x；分式.(2)a＋b，a－b；整式.(3)x－y4；整式.
例2当x取何值时，分式2x－5x2－4的值存在？当x取何值时，分式2x－5x2－4的值为零？
解：当2x－5x2－4的值存在时，x2－4≠0，即x≠±2；
当2x－5x2－4的值为0时，有2x－5＝0且x2－4≠0，即x＝52.
分式的值存在的条件：分式的分母不能为0.分式的值不存在的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的.

活动2跟踪训练
1.下列各式中，哪些是分式？
①4x；②a4；③1x－y；④3x4；⑤12x2.
解：①③是分式.
2.当x取何值时，分式x2＋13x－2的值存在？
解：3x－2≠0，即x≠23时，x2＋13x－2存在.
3.求下列条件下分式x－2x＋3的值.
(1)x＝1；(2)x＝－1.
解：(1)当x＝1时，x－2x＋3＝－14.
(2)当x＝－1时，x－2x＋3＝－32.
活动3课堂小结
1.分式的定义及根据条件列分式.
2.分式的值存在的条件，以及分式值为0的条件.

第2课时分式的基本性质
1.理解并掌握分式的基本性质.(重点)
2.能运用分式的基本性质约分，并进行简单的求值运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P4～6，完成下列问题.
(一)知识探究
1.分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为fg＝（fh）gh(h≠0).
2.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分.
3.分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.
(二)自学反馈
1.下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)a2b＝ac2bc(c≠0)；(2)x3xy＝x2y.
解：(1)由c≠0，知a2b＝ac2bc＝ac2bc.
(2)由x≠0，知x3xy＝x3÷xxy÷x＝x2y.
应用分式的基本性质时，一定要确定分式在有意义的情况下才能应用.

2.填空，使等式成立：
(1)34y＝3（x＋y）4y（x＋y）(其中x＋y≠0)；(2)y＋2y2－4＝1（y－2）.
在分式有意义的情况下，正确运用分式的基本性质，保证分式的值不变，给分式变形.

3.约分：
(1)a2bcab；(2)－32a3b2c24a2b3d.
解：(1)公因式为ab，所以a2bcab＝ac.
(2)公因式为8a2b2，所以－32a3b2c24a2b3d＝－4ac3bd.
活动1小组讨论
例1约分：
(1)－3a3a4；(2)12a3（y－x）227a（x－y）；(3)x2－1x2－2x＋1.
解：(1)－3a3a4＝－3a.
(2)12a3（y－x）227a（x－y）＝4a2（x－y）9.
(3)x2－1x2－2x＋1＝（x＋1）（x－1）（x－1）2＝x＋1x－1.
约分的过程中注意完全平方式(a－b)2＝(b－a)2的应用.像(3)这样的分子分母是多项式，应先分解因式再约分.
例2先约分，再求值：x2y＋xy22xy，其中x＝3，y＝1.
解：x2y＋xy22xy＝xy（x＋y）2xy＝x＋y2.
当x＝3，y＝1时，x＋y2＝3＋12.
活动2跟踪训练
1.约分：
(1)－15（a＋b）2－25（a＋b）；(2)m2－3m9－m2.
解：(1)－15（a＋b）2－25（a＋b）＝3（a＋b）5.
(2)m2－3m9－m2＝m（m－3）（3＋m）（3－m）＝－mm＋3.
2.先约分，再求值：
(1)3m＋n9m2－n2，其中m＝1，n＝2；
(2)x2－4y2x2－4xy＋4y2，其中x＝2，y＝4.
解：(1)3m＋n9m2－n2＝13m－n＝13×1－2＝1.
(2)x2－4y2x2－4xy＋4y2＝（x＋2y）（x－2y）（x－2y）2＝x＋2yx－2y＝2＋2×42－2×4＝－53.
活动3课堂小结
1.分数的基本性质.
2.约分、化简求值.
1.2分式的乘法和除法
第1课时分式的乘法和除法
1.理解分式的乘、除法的法则.(重点)
2.会进行分式的乘除运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P8～9，完成下列问题.
(一)知识探究
分式的乘、除法运算法则：
(1)分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.用式子表示为fguv＝fugv.
(2)分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为：如果u≠0，则规定fg÷uv＝fgvu＝fvgu.
(二)自学反馈
1.计算xyy2x的结果是12.
2.化简m－1m÷m－1m2的结果是m.
3.下列计算对吗？若不对，要怎样改正？
(1)baab＝1；(2)ba÷a＝b；
(3)－x2b6bx2＝3bx；(4)4x3a÷a2x＝23.
解：(1)对.(2)错.正确的是ba2.(3)错.正确的是－3x.(4)错.正确的是8x23a2.
活动1小组讨论
例1计算：
(1)4x3yy2x3；(2)ab22c2÷－3a2b24cd.
解：(1)原式＝4xy3y2x3＝4xy6x3y＝23x2.
(2)原式＝ab22c24cd－3a2b2＝－ab24cd2c23a2b2＝－2d3ac.
例2计算：
(1)a2－4a＋4a2－2a＋1a－1a2－4；(2)149－m2÷1m2－7m.
解：(1)原式＝（a－2）2（a－1）2a－1（a＋2）（a－2）＝（a－2）2（a－1）（a－1）2（a－2）（a＋2）＝a－2（a－1）（a＋2）.
(2)原式＝149－m2m2－7m1＝1（7＋m）（7－m）m（m－7）1＝m（m－7）（7＋m）（7－m）＝－m7＋m.
整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式.注意变换过程中的符号.
活动2跟踪训练
1.计算：
(1)3a4b16b9a2；(2)12xy5a÷8x2y；(3)－3xy÷2y23x.
解：(1)原式＝3a16b4b9a2＝43a.
(2)原式＝12xy5a18x2y＝12xy5a8x2y＝310ax.
(3)原式＝－3xy3x2y2＝－3xy3x2y2＝－9x22y.
(2)和(3)要把除法转换成乘法运算，然后约分，运算结果要化为最简分式.
2.计算：
(1)x2－4x2－4x＋3÷x2＋3x＋2x2－x；
(2)2x＋64－4x＋x2÷(x＋3)x2＋x－63－x.
解：(1)原式＝x2－4x2－4x＋3x2－xx2＋3x＋2＝（x＋2）（x－2）（x－3）（x－1）x（x－1）（x＋1）（x＋2）＝x（x－2）（x－3）（x＋1）＝x2－2xx2－2x－3.
(2)原式＝2x＋64－4x＋x21x＋3x2＋x－63－x＝2（x＋3）（x－2）21x＋3（x＋3）（x－2）－（x－3）＝－2（x＋3）（x－2）（x－3）.
分式的乘除要严格按着法则运算，除法必须先换算成乘法，如果分式的分子或分母是多项式，那么就把分子或分母分解因式，然后约分，化成最简分式.运算过程一定要注意符号.
活动3课堂小结
1.分式的乘、除运算法则.
2.分式的乘、除法法则的运用.

第2课时分式的乘方
1.理解分式乘方的运算法则.(重点)
2.熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P10～11，完成下列问题.
(一)知识探究
分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方.用式子表示为(fg)n＝fngn.(其中n为正整数)
(二)自学反馈
1.计算：
(1)(2ab)2；(2)(－b2a)3.
解：(1)(2ab)2＝4a2b2.
(2)(－b2a)3＝－b6a3.
2.计算：
(1)(－2ab)2b36a2；(2)(3a2b)2÷(－b2a)2.
解：(1)原式＝4a2b2b36a2＝23b.
(2)原式＝9a4b2÷b24a2＝9a4b24a2b2＝36a6.
活动1小组讨论
例1计算：
(1)(n2m)3；(2)(a2b－cd3)3.
解：(1)(n2m)3＝n6m3.
(2)(a2b－cd3)3＝（a2b）3（－cd3）3＝a6b3－c3d9.
分式的乘方运算将分式的分子、分母分别乘方，再根据幂的乘方进行运算.
例2计算：
(1)m3n2÷(mn)3；(2)(－n2m)2÷(n2m3)3(2nm)3.
解：(1)m3n2÷(mn)3＝m3n2÷m3n3＝m3n2n3m3＝n5.
(2)(－n2m)2÷(n2m3)3(2nm)3＝n24m2÷n6m98n3m3＝n24m2m9n68n3m3＝2m4n.
分式混合运算，要注意：(1)化除法为乘法；(2)分式的乘方；(3)约分化简成最简分式.
活动2跟踪训练
1.计算：
(1)2m2n3pq25p2q4mn2÷5mnp3q；
(2)16－a2a2＋8a＋16÷a－42a＋8a－2a＋2；
(3)(a－1a＋3)2÷(a－1)9－a2a－1.
解：(1)原式＝2m2n3pq25p2q4mn23q5mnp＝12n2.
(2)原式＝（4＋a）（4－a）（a＋4）22（a＋4）a－4a－2a＋2＝－2（a－2）a＋2.
(3)原式＝（a－1）2（a＋3）21a－1（3＋a）（3－a）a－1＝3－aa＋3.
2.计算：
(1)(－2x4y23z)3；(2)(2ab3－c2d)2÷6a4b3(－3cb2)3.
解：(1)原式＝（－2x4y2）3（3z）3＝－8x12y627z3.
(2)原式＝4a2b6c4d2b36a4－27c3b6＝－18b3a2cd2.
3.化简求值：b2a2－ab÷(ba－b)2a2ba－b，其中a＝12，b＝－3.
解：化简结果是ab；求值结果为－32.
化简过程中注意“－”.化简中，乘除混合运算顺序要从左到右.
活动3课堂小结
1.分式乘方的运算.
2.分式乘除法及乘方的运算方法.

1.3整数指数幂
1.3.1同底数幂的除法
1.理解同底数幂的除法法则.(重点)
2.熟练进行同底数幂的除法运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P14～15，完成下列问题.
(一)知识探究
同底数幂相除，底数不变，指数相减.设a≠0，m，n是正整数，且m＞n，则aman＝an（am－n）an＝am－n.
(二)自学反馈
1.计算a10÷a2(a≠0)的结果是(C)
A.a5B.－a5C.a8D.－a8
2.计算：x5÷(－x)2＝x3；(ab)5÷(ab)2＝a3b3.
活动1小组讨论
例1计算：
(1)（－x）5x3；(2)（xy）8（－xy）5.
解：(1)（－x）5x3＝－x5－3＝－x2.
(2)（xy）8（－xy）5＝x8y8－x5y5＝－x3y3.
例2计算：(x－y)6÷(y－x)3÷(x－y).
解：原式＝(x－y)6÷[－(x－y)]3÷(x－y)＝－(x－y)6－3－1＝－(x－y)2.
活动2跟踪训练
1.计算：
(1)a5a2；(2)（x2y3）2（－x2y3）2.
解：(1)原式＝a3.(2)原式＝1.
2.计算：(p－q)4÷(q－p)3(p－q)2.
解：原式＝(p－q)4÷[－(p－q)3](p－q)2＝－(p－q)(p－q)2＝－(p－q)3.
活动3课堂小结
同底数幂的除法的运算.

1.3.2零次幂和负整数指数幂
1.理解零次幂和整数指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题.(重难点)
2.理解零指数幂和负整数指数幂的意义.(重点)
3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.(重难点)
自学指导：阅读教材P16～18，完成下列问题.
(一)知识探究
1.任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a0＝1(a≠0).
2.a－n＝1an(n是正整数，a≠0).
(二)自学反馈
1.计算：30＝1；(－2)－3＝－18.
2.用科学记数法表示数0.0002016为2.016×10－4.
3.计算：23－(12)0－(12)－2.
解：原式＝8－1－4＝3.
活动1小组讨论
例1计算：
(1)3－2；(2)(10)－3；(3)(45)－2.
解：(1)3－2＝132＝19.(2)10－3＝1103＝0.001.
(3)(45)－2＝(54)2＝2516.
例2把下列各式写成分式的形式：
(1)3x－3；(2)2x－23y－3.
解：(1)3x－3＝3x3.(2)2x－23y－3＝6x2y3.
例3用科学记数法表示下列各数：
(1)0.0003267；(2)－0.0011.
解：(1)0.0003267＝3.267×10－4.(2)－0.0011＝－1.10×10－3.
活动2跟踪训练
1.计算：(－2)0＝1；3－1＝13.
2.把(－100)0，(－3)－2，(－13)2按从小到大的顺序排列为(－100)0(－13)2＝(－3)－2.
3.计算：(－1)2012×(3－π)0＋(12)－1.
解：原式＝1×1＋2＝3.
活动3课堂小结
1.零次幂和整数指数幂的运算性质.
2.零指数幂和负整数指数幂的意义.
3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.

1.3.3整数指数幂的运算法则
1.理解整数指数幂的运算法则.(重点)
2.熟练掌握整数指数幂的各种运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P19～20，完成下列问题.
(一)知识探究
1.aman＝am＋n(a≠0，m，n都是整数).
2.(am)n＝amn(a≠0，m，n都是整数).
3.(ab)n＝anbn(a≠0，b≠0，m，n都是整数).
(二)自学反馈
计算：
(1)a3a－5＝a－2＝1a2；(2)a－3a－5＝a－8＝1a8；
(3)a0a－5＝a－5＝1a5；(4)aman＝am＋n(m，n为任意整数).
aman＝am＋n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用.同样正整数指数幂的运算可以推广到整数指数幂的运算.
活动1小组讨论
例1计算：
(1)(a－1b2)3；(2)a－2b2(a2b－2)－3.
解：(1)原式＝a－3b6＝b6a3.
(2)原式＝a－2b2a－6b6＝a－8b8＝b8a8.
例2下列等式是否正确？为什么？
(1)am÷an＝ama－n；(2)(ab)n＝anb－n.
解：(1)正确.理由：am÷an＝am－n＝am＋(－n)＝ama－n.
(2)正确.理由：(ab)n＝anbn＝an1bn＝anb－n.
活动2跟踪训练
1.下列式子中，正确的有(D)
①a2÷a5＝a－3＝1a3；②a2a－3＝a－1＝1a；③(ab)－3＝1（ab）3＝1a3b3；④(a3)－2＝a－6＝1a6.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.计算：[x(x2－4)]－2(x2－2x)2＝1（x＋2）2.
活动3课堂小结
牢记整数指数幂的运算法则.

1.4分式的加法和减法
第1课时同分母分式的加减法
1.掌握同分母分式的加、减法则，并能运用法则进行同分母分式的加减运算.(重点)
2.会将分母互为相反数的分式化为同分母分式进行运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P23～24，完成下列问题.
(一)知识探究
1.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.即，fg±hg＝f±hg.
2.－fg＝f－g＝－fg，－f－g＝fg.
(二)自学反馈
1.计算：yx＋2x＝y＋2x；5y－ay＝5－ay.
2.计算：
(1)32－3x－1＋3x2－3x；(2)a2a－b－b2－2abb－a.
解：(1)32－3x－1＋3x2－3x＝3－1－3x2－3x＝2－3x2－3x＝1.
(2)a2a－b－b2－2abb－a＝a2a－b＋b2－2aba－b＝（a－b）2a－b＝a－b.
活动1小组讨论
例1计算：
(1)x－1x＋1x；(2)5x＋3yx2－y2－2xx2－y2.
解：(1)原式＝x－1＋1x＝xx＝1.
(2)原式＝5x＋3y－2xx2－y2＝3x＋3y（x＋y）（x－y）＝3（x＋y）（x＋y）（x－y）＝3x－y.
例2计算：
(1)mm－1－11－m；(2)5xx2－x－51－x.
解：(1)原式＝mm－1＋1m－1＝m＋1m－1.
(2)原式＝5xx（x－1）－51－x＝5x－1＋5x－1＝5＋5x－1＝10x－1.
活动2跟踪训练
1.化简x2x－1＋x1－x的结果是(D)
A.x＋1B.x－1
C.－xD.x
2.化简a2a－b－b2a－b的结果是(A)
A.a＋bB.a－b
C.a2－b2D.1
3.计算：(1)x＋1x－1x；(2)ab＋1＋2ab＋1－3ab＋1.
解：(1)原式＝x＋1－1x＝1.(2)原式＝a＋2a－3ab＋1＝0.
1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；
2.注意：计算过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.
活动3课堂小结
1.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.
2.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).

第2课时通分
1.了解什么是最简公分母，会求最简公分母.(重点)
2.了解通分的概念，并能将异分母分式通分.(重难点)
自学指导：阅读教材P25～26，完成下列问题.
(一)知识探究
1.异分母分式进行加减运算时，也要先化成同分母分式，然后再加减.
2.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分.
3.通分时，关键是确定公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.
(二)自学反馈
1.12x，13y的最简公分母是6xy.
2.对分式y2x，x3y2，14xy通分时，最简公分母是12xy2.
3.通分：
(1)3c2ab2与－a8bc2；(2)x4a（x＋2）与x6b（x＋2）.
解：(1)3c2ab2＝3c4c22ab24c2＝12c38ab2c2；－a8bc2＝－aab8bc2ab＝－a2b8ab2c2.
(2)x4a（x＋2）＝3bx12ab（x＋2），y6b（x＋2）＝2ay12ab（x＋2）.
活动1小组讨论
例1通分：(1)32a2b与a－bab2c；(2)2xx－5与3xx＋5.
解：(1)最简公分母是2a2b2c.
32a2b＝3bc2a2bbc＝3bc2a2b2c，
a－bab2c＝（a－b）2aab2c2a＝2a（a－b）2a2b2c.
(2)最简公分母是(x＋5)(x－5).
2xx－5＝2x（x＋5）（x－5）（x＋5）＝2x2＋10xx2－25，
3xx＋5＝3x（x－5）（x＋5）（x－5）＝3x2－15xx2－25.
例2通分：(1)2cbd与3ac4b2；(2)1x2－4与x4－2x.
解：(1)最简公分母是4b2d.
2cbd＝8bc4b2d，3ac4b2＝3acd4b2d.
(2)最简公分母是2(x＋2)(x－2).
1x2－4＝1×2（x＋2）（x－2）×2＝22x2－8，
x4－2x＝x－2（x－2）＝－x（x＋2）2（x＋2）（x－2）＝－x2＋2x2x2－8.
活动2跟踪训练
1.分式1x2－4，x2（x－2）的最简公分母为(B)
A.(x＋2)(x－2)B.2(x＋2)(x－2)
C.2(x＋2)(x－2)2D.－(x＋2)(x－2)2
2.分式1x2－1，x－1x2－x，1x2＋2x＋1的最简公分母是x(x＋1)2(x－1).
3.通分：
(1)x3y与3x2y2；(2)x－y2x＋2y与xy（x＋y）2；(3)2mn4m2－9与2m－32m＋3.
解：(1)x3y＝2xy6y2，3x2y2＝9x6y2.
(2)x－y2x＋2y＝x2－y22（x＋y）2，xy（x＋y）2＝2xy2（x＋y）2.
(3)2mn4m2－9＝2mn4m2－9，2m－32m＋3＝（2m－3）24m2－9.
活动3课堂小结
1.确定最简公分母.
2.将异分母分式通分.

第3课时异分母分式的加减法
1.熟练掌握求最简公分母的方法.
2.能根据异分母分式的加减法则进行计算.(重难点)
自学指导：阅读教材P27～29，完成下列问题.
(一)知识探究
异分母的分式相加减时，要先通分，即把各个分式的分子、分母同乘一个适当的整式，化成同分母分式，然后再加减.
(二)自学反馈
1.化简分式1x＋1x（x－1）的结果是(C)
A.xB.1x2
C.1x－1D.xx－1
2.下列计算正确的是(D)
A.1x＋12x＝13xB.1x－1y＝1x－y
C.xx＋1＋1＝1x＋1D.1a－1－1a＋1＝2a2－1
活动1小组讨论
例1计算：
(1)3x＋2y；(2)1a＋1－1a－1.
解：(1)原式＝3yxy＋2xxy＝3y＋2xxy.
(2)原式＝a－1（a＋1）（a－1）－（a＋1）（a＋1）（a－1）＝－2（a＋1）（a－1）.
例2计算：
(1)(1－ba＋b)÷aa2－b2；(2)12p＋3q＋12p－3q.
解：(1)原式＝a＋b－ba＋ba2－b2a＝aa＋b（a＋b）（a－b）a＝a－b.
(2)原式＝2p－3q（2p＋3q）（2p－3q）＋2p＋3q（2p＋3q）（2p－3q）＝2p－3q＋2p＋3q（2p＋3q）（2p－3q）＝4p4p2－9q2.
活动2跟踪训练
1.计算(a2a－3＋93－a)÷a＋3a的结果为(A)
A.aB.－a
C.(a＋3)2D.1
2.化简(1＋4a－2)÷aa－2的结果是(A)
A.a＋2aB.aa＋2
C.a－2aD.aa－2
3.化简x2－1x2－2x＋1x－1x2＋x＋2x的结果是3x.
4.化简(1－1m＋1)(m＋1)的结果是m.
1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；
2.注意：化简过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.

活动3课堂小结
1.分式加减运算的方法思路：
异分母相加减――→通分转化为同分母相加减――→分母不变分子（整式）相加减
2.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.
3.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).

1.5可化为一元一次方程的分式方程
第1课时可化为一元一次方程的分式方程
1.理解分式方程的意义.
2.了解分式方程的基本思路和解法.(重点)
3.理解分式方程可能无解的原因，并掌握验根的方法.(重点)
自学指导：阅读教材P32～34，完成下列问题.
(一)知识探究
1.分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
2.在检验分式方程的根时，将所求的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根.
3.解分式方程有可能产生增根，因此解分式方程必须检验.
(二)自学反馈
1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
①x－22＝x3；②4x＋3y＝7；③1x－2＝3x；④x（x－1）x＝－1；⑤3－xπ＝x2；⑥2x＋x－15＝10；⑦x－1x＝2；⑧2x＋1x＋3x＝1.
解：①⑤⑥是整式方程，②③④⑦⑧是分式方程.
判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数.
2.解分式方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)验根；(4)小结.
活动1小组讨论
例1解方程：2x－3＝3x.
解：方程两边同乘x(x－3)，得2x＝3(x－3).
解得x＝9.
检验：当x＝9时，x(x－3)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝9.
例2解方程：xx－1－1＝3（x－1）（x＋2）.
解：方程两边同乘(x－1)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0.
所以x＝1不是原方程的解.所以，原方程无解.
活动2跟踪训练
解方程：
(1)12x＝2x＋3；(2)xx＋1＝2x3x＋3＋1；(3)2x－1＝4x2－1；(4)5x2＋x－1x2－x＝0.
解：(1)方程两边同乘2x(x＋3)，得x＋3＝4x.化简得3x＝3.解得x＝1.
检验：当x＝1时，2x(x＋3)≠0.所以x＝1是方程的解.
(2)方程两边同乘3(x＋1)，得3x＝2x＋3x＋3.解得x＝－32.
检验：当x＝－32时，3x＋3≠0.
所以x＝－32是方程的解.
(3)方程两边同乘x2－1，得2(x＋1)＝4.解得x＝1.
检验：当x＝1时，x2－1＝0，所以x＝1不是方程的解.所以原方程无解.
(4)方程两边同乘x(x＋1)(x－1)，得5(x－1)－(x＋1)＝0.解得x＝32.
检验：当x＝32时，x(x＋1)(x－1)≠0.
所以x＝32是原方程的解.
方程中分母是多项式，要先分解因式再找公分母.
活动3课堂小结
解分式方程的思路是：

第2课时分式方程的应用
能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结.(重难点)
自学指导：阅读教材P35～36，完成下列问题.
(一)知识探究
列分式方程解应用题的一般步骤是：
(1)审题设未知数；
(2)找等量关系列方程；
(3)去分母，化分式方程为整式方程；
(4)解整式方程.
(5)验根是否符合实际意义；
(6)答题.
(二)自学反馈
重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半.后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半.乙型挖土机单独挖这块地需要几天？
甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖12÷4＝18，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x天，那么一天挖1x；两台挖土机一天共挖18＋1x；两台一天完成另一半.所以列方程为18＋1x＝12；解得x＝83，即乙单独挖需83天.
认真分析题意.根据等量关系列方程.
活动1小组讨论
例甲、乙两人分别从相距36千米的A，B两地相向而行，甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点处相遇.已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？
分析：

路程速度时间
甲18＋1×2x＋0.518＋1×2x＋0.5

乙18x18x

等量关系：t甲＝t乙.
解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为(x＋0.5)千米/小时.
根据题意，列方程得
18＋1×2x＋0.5＝18x.
解得x＝4.5.
检验：当x＝4.5时，x(x＋0.5)≠0.
所以x＝4.5是原方程的解.则x＋0.5＝5.
答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时.
等量关系是时间相等，那么就要找到相等时间里每个人所走的路程，甲的路程比乙的路程多两个1千米.
活动2跟踪训练
1.A、B两地相距135千米，有大、小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度.
解：设大汽车的速度为2x千米/小时，则小汽车的速度为5x千米/小时.
根据题意，列方程得135－2x×52x＝135－12×5x5x.
解得x＝9.
检验：当x＝9时，10x≠0.
所以，x＝9是原方程的解.
则2x＝18，5x＝45.
答：大汽车的速度是18千米/小时，小汽车的速度是45千米/小时.
等量关系是大汽车5小时后剩下路程所走的时间，等于小汽车去掉30分钟路程所用的时间.
2.一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？
解：设规定日期是x天，则甲队独做需x天，乙队独做需(x＋3)天，根据题意，列方程得
2x＋xx＋3＝1.解得x＝6.
检验：当x＝6时，x(x＋3)≠0.所以，x＝6是原方程的解.
答：规定日期是6天.
活动3课堂小结
1.列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤.
2.列方程的关键是要在准确设元(可直接设，也可设间接)的前提下找出等量关系.
3.解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系.
4.注意不要遗漏检验和写答案.