高三数学对称问题教案19。

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，有效的提高课堂的教学效率。那么怎么才能写出优秀的高中教案呢？下面是小编精心为您整理的“高三数学对称问题教案19”，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。

7.6对称问题
一、明确复习目标
1．掌握求已知曲线的轴对称曲线和中心对称曲线方程的方法.
2．掌握判断曲线(或曲线间)对称的方法.
二．建构知识网络
1.点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y)
事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。
2.点关于直线的对称点
即对称轴为两对称点连线的“垂直平分线“，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，方法：
设点(x0,y0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x’,y’)，则
3.曲线关于点（中心），直线（轴）的对称问题的一般思想是用代入转移法。
（1）曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=0
（2）曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法：
设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P0(x0,y0)，在已知曲线f(x,y)=0上，由两点关于直线对称的解法，求得x0,y0，代入f(x0,y0)=0，即得对称曲线方程。
4、常用的对称关系
点(a,b)关于x轴的对称点(a,-b)，关于y轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b)
关于直线y=x的对称点为(b,a)，关于直线y=-x的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m),关于直线y=-x+m的对称点(m-b,m-a).

三、双基题目练练手
1.(2004全国II)已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为()
A.(x＋1)2＋y2＝1B.x2＋y2＝1
C.x2＋(y＋1)2＝1D.x2＋(y－1)2＝1
2.方程|2x+y|+|2x-y|=4表示的曲线曲线()
A.关于x轴对称但不关于y轴对称B.关于y轴对称但不关于x轴对称
C.关于原点对称D.以上都不对
3.(2004全国II)函数y＝－ex的图象()
A.与y＝ex的图象关于y轴对称B.与y＝ex的图象关于坐标原点对称
C.与y＝e－x的图象关于y轴对称D.与y＝e－x的图象关于坐标原点对称
4．曲线x2＋4y2＝4关于点M（3，5）对称的曲线方程为____________.
5.光线从点A（-3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（-2，6），求射入y轴后的反射线的方程。
6.直线交x、y轴于A、B两点，试在直线上求一点P，使最小，则P点的坐标是_________

简答:1-3.CCD；4.（x－6）2+4（y－10）2=4；
5.解：A（-3，4）关于x轴的对称点（-3，-4）在经x轴反射的光线上；A1（-3，-4）关于y轴的对称点（3，-4）在经过射入y轴的反射的光线上，∴=
∴所求直线方程为，即
6.(0,0)

四、经典例题做一做
【例1】求直线a：2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线b的方程.
分析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：（1）若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；（2）若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；（3）a以l为轴旋转180°，一定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.
2x+y－4=0，
3x+4y－1=0，
方法一：设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为－2，直线l的斜率为－.
则=.
解得k=－.代入点斜式得直线b的方程为
y－（－2）=－（x－3），
即2x+11y+16=0.
方法二：在直线a：2x+y－4=0上找一点A（2，0），设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0），
3×+4×－1=0，
=，
解得B（，－）.
由两点式得直线b的方程为
=，即2x+11y+16=0.
方法三：设直线b上的动点P（x，y）关于l：3x+4y－1=0的对称点Q（x0，y0），则有
3×+4×－1=0，
=.
解得x0=，y0=.
Q（x0，y0）在直线a：2x+y－4=0上，
则2×+－4=0，
化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程.
方法四：设直线b上的动点P（x，y），直线a上的点Q（x0，4－2x0），且P、Q两点关于直线l：3x+4y－1=0对称，则有
=，
=.
消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y－4=0（舍）.
◆提炼方法：1.方法一与方法二，除了点E外，分别找出确定直线位置的另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程;
2.方法三与方法四是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数.
【例2】.已知ΔABC中点A(3,-1),AB边上的中线为:6x+10y-59=0,∠B的平分线为:x-4y+10=0,求BC边所在直线的方程.
解:设B(a,b),在∠B的平分线上,则a-4b+10=0①
又AB的中点在CM上,有:
②
解①,②得B(0,5).设∠B平分线交AC于点T.
∵,
由
∴BC的方程为2x+9y-65=0.
法2:(1)求B的坐标;(2)求A关于∠B的平分线对称的点A′,写出A′的方程即为所求(BC).
【例3】已知点M（3，5），在直线：和y轴上各找一点P和Q，使的周长最小。
解：可求得点M关于的对称点为（5，1），
点M关于y轴的对称点为（-3，5），则
的周长就是，连，
则直线与y轴及直线的交点P、Q即为所求。
直线的方程为，直线
与y轴的交点坐标为，由方程组
得交点，∴点、即为所求。
◆特别提示：注意平面几何的知识在解析几何中的灵活运用。
【例4】已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1x42，求tanθ的取值范围.

解：设P1B=x，∠P1P0B=θ，则CP1=1－x，
∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3均为θ，
∴tanθ==x.
又tanθ===x，
∴CP2==－1.
而tanθ====x，
∴DP3=x（3－）=3x－1.
又tanθ====x，
∴AP4==－3.
依题设1AP42，即1－32，
∴45，.
∴tanθ.
【研讨.欣赏】已知抛物线y=ax2－1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围.
解法一：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x1，y1）、Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x0，y0），设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，即得方程
ax2－x－（1+b）=0.①
判别式Δ=1+4a（1+b）＞0.②
由①得x0==，y0=x0+b=+b.
∵M∈l，∴0=x0+y0=++b，
即b=－，代入②解得a＞.
解法二：设同解法一，由题意得
将①②代入③④，并注意到a≠0，x1－x2≠0，得
由二元均值不等式易得
2（x12+x22）＞（x1+x2）2（x1≠x2）.
将⑤⑥代入上式得
2（－+）＞（）2，解得a＞.
解法三：同解法二，由①－②，得
y1－y2=a（x1+x2）（x1－x2）.
∵x1－x2≠0，∴a（x1+x2）==1.
∴x0==.∵M（x0，y0）∈l，
∴y0+x0=0，即y0=－x0=－，从而PQ的中点M的坐标为（，－）.
∵M在抛物线内部，
∴a（）2－（－）－1＜0.
解得a＞.（舍去a＜0，为什么?）
五．提炼总结以为师
1.对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理.
2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法。
3.求对称曲线的常用思想方法：代入转移法
4.许多问题中都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等

同步练习7.6对称问题
【选择题】
1.已知直线l1:x+my+5=0和直线l2:x+ny+P=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是()
A、B、p=-5C、m=-n且p=-5D、且p=-5
2.已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为（）
A（a，b）B（b，a）C（－a，－b）D（－b，－a）
3.方程x2+y2+2ax-2ay=0所表示的圆（）
A、关于x轴对称B、关于y轴对称
C、关于直线x-y=0对称D、关于直线x+y=0对称
【填空题】
4.直线关于定点对称的直线方程是______
5.直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A（4，－1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是____________.
6．如果直线ax─y+3=0与直线3x─y─b=0关于直线x─y+1=0对称，则a=,b=
答案提示：1－3.CBD；4.；
5.解：易知A（4，－1）、B（3，4）在直线l：2x－y－4=0的两侧.作A关于直线l的对称点A1（0，1），当A1、B、P共线时距离之差最大.答案：（5，6）
6.答案：1/3,5说明：掌握k=±1时，求对称点的方法

【解答题】
7.一条光线经过P(2,3)点，射在直线：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1,1)
（1）求入射光线所在的直线方程
（2）求这条光线从P到Q的长度。
解：(1)设Q(1,1)关于：x+y+1=0的对称点，易证
入射光线所在直线方程，即5x-4y+2=0
（2）是的垂直平分线，因而即为所求
8.已知△ABC的一个顶点A（－1，－4），∠B、∠C的平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求边BC所在直线的方程.
解：设点A（－1，－4）关于直线y+1=0的对称点为A′（x1，y1），则x1=－1，y1=2×（－1）－（－4）=2，即A′（－1，2）.
在直线BC上，再设点A（－1，－4）关于l2：x+y+1=0的对称点为A″（x2，y2），则有
×（－1）=－1，
++1=0.
x2=3，
y2=0，
即A″（3，0）也在直线BC上，由直线方程的两点式得=，即x+2y－3=0为边BC所在直线的方程.
9.已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y－2=0，在直线l上求一点P.
（1）使|PA|+|PB|最小；
（2）使|PA|－|PB|最大.
解：（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）.
+2－2=0，
（－）=－1.
x1=－，
y1=－.
由两点式求得直线A1B的方程为y=（x－4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（，－）.
由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小.
（2）由两点式求得直线AB的方程为y－1=－（x－4），即x+y－5=0.
直线AB与l的交点可求得为P（8，－3），它使|PA|－|PB|最大.
10若抛物线y=2x2上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称且x1x2=－，求m的值
解：设直线AB的方程为y=－x+b，代入y=2x2得2x2+x－b=0，
∴x1+x2=－，x1x2==－∴b=1，即AB的方程为y=－x+1
设AB的中点为M（x0，y0），则x0==－，代入y0=－x0+1，
得y0=又M（－，）在y=x+m上，∴=－+m∴m=

【探索题】已知椭圆方程为，试确定实数的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称。
解法一：该问题等价于存在直线，使得这直线与椭圆有两个不同的交点、，线段的中点落在直线上。
由消去y得
∵直线与椭圆有两个不同交点。
∴①
由韦达定理得：，。
故中点为又在直线上
∴，∴②
由①②知
解法二：设、是椭圆上关于直线对称的相异的两点，中点为。则,,
由点差法得，代入解得，点坐标为。
而是中点，∴点在椭圆内部。
∴。解得。

扩展阅读

08届高三数学轨迹问题1

1.常见的轨迹:(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线.(2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.(4)平面内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.2.求动点的轨迹的步骤:(1)建立坐标系,设动点坐标M(x,y);(2)列出动点M(x,y)满足的条件等式;(3)化简方程;(4)验证(可以省略);(5)说明方程的轨迹图形,最后"补漏"和"去掉增多"的点.

高三数学解析几何综合问题

高考数学专题复习解析几何综合问题
一．高考要求
解析几何历来是高考的重要内容之一，所占分值在30分以上，大题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题．
二．两点解读
重点：①运用方程（组）求圆锥曲线的基本量；②运用函数、不等式研究圆锥曲线有关量的范围；③运用“计算”的方法证明圆锥曲线的有关性质．
难点：①对称性问题；②解析几何中的开放题、探索题、证明题；③数学思想的运用．
三．课前训练
1．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值（D）
（A）（B）（C）（D）
2．已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是(C)
（A）（B）6（C）（D）12
3．椭圆的内接矩形的面积最大值为
4．两点，动点P在线段AB上运动，则xy的最大值为3
四．典型例题
例1和圆关于直线对称的圆的方程是（）(A)(B)
(C)(D)
解：只要求圆心关于直线的对称点的坐标为，半径不变，故选A
例2椭圆的一个焦点是，那么
解：椭圆化为，解得：
例3直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为（）
（A）（B）（C）（D）
解：由得，，
，中点
，选B
例4设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使的面积为1的点P的个数为()
（A）1(B)2(C)3(D)4
解：直线为，观察图形可知在直线右侧不可能存在点，在左侧有两个点，故选B
例5已知三点P（5，2）、（-6，0）、（6，0）
（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程．
解：（I）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距
，∴，
，故所求椭圆的标准方程为+；
（II）点P（5，2）、（-6，0）、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：
、（0，-6）、（0，6）
设所求双曲线的标准方程为-，由题意知半焦距，
，∴，
，故所求双曲线的标准方程为
例6如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若点P在直线上运动，求∠F1PF2的最大值．
解：解：(Ⅰ)设椭圆方程为，半焦距为，则

高三数学下册《空间角问题》知识点

高三数学下册《空间角问题》知识点

一、直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

二、直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为。

②平面的垂线与平面所成的角：规定为。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：一作，二证，三计算。

在作角时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，

三、解题技巧

在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息

(1)斜线上一点到面的垂线;

(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

(3)二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直;反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。

④求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角。

垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角。

高三数学数列问题的题型与方法1

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，作为教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助教师提高自己的教学质量。关于好的教案要怎么样去写呢？下面是由小编为大家整理的“高三数学数列问题的题型与方法1”，希望对您的工作和生活有所帮助。

1．能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题；2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前项的和；3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．