不等式的性质3。
作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助高中教师能够井然有序的进行教学。那么如何写好我们的高中教案呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《不等式的性质3》，希望能为您提供更多的参考。
不等式的性质3探究活动能得到什么结论
题目已知且,你能够推出什么结论?
分析与解:由条件推出结论,我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大,对已知变量作运算,运用不等式的性质,或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。
思路一:改变的范围,可得:
1.且;
2.且;
思路二:由已知变量作运算,可得:
3.且;
4.且;
5.且;
6.且;
7.且;
思路三:考虑含有的数学表达式具有的性质,可得:
8.(其中为实常数)是三次方程;
9.(其中为常数)的图象不可能表示直线。
说明从已知信息能够推出什么结论?这是我们经常需要思考的问题,这里给出的都是必要非充分条件,读者可以考虑是否能够写出充要条件;另外,运用推出关系的传递性,在推出结论的基础上进一步进行推理,还可得出很多结果,请读者考虑.
探究关系式是否成立的问题
题目当成立时,关系式是否成立?若成立,加以证实;若不成立,说明理由。
解:因为,所以,所以,
所以,
所以或
所以或
所以或
所以不可能成立。
说明:像本例这样的探索题,题目的结论是“两可”(即两种可能性)情形,而我们知道,说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析,不仅说明结论不成立,而且得出,必须同时大于1或同时小于1的结论。
探讨增加什么条件使命题成立
例适当增加条件,使下列命题各命题成立:
(1)若,则;
(2)若,则;
(3)若,,则;
(4)若,则
思路分析:本例为条件型开放题,需要依据不等式的性质,寻找使结论成立时所缺少的一个条件。
解:(1)
(2)。当时,
当时,
(3)
(4)
引申发散对命题(3),能否增加条件,或,,使其成立?请阐述你的理由。
相关知识
不等式的性质2
不等式的性质2第二课时
教学目标
1.理解同向不等式,异向不等式概念;
2.把握并会证实定理1,2,3;
3.理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据,定理3是移项法则的依据;
4.初步理解证实不等式的逻辑推理方法.
教学重点:定理1,2,3的证实的证实思路和推导过程
教学难点:理解证实不等式的逻辑推理方法
教学方法:引导式
教学过程
一、复习回顾
上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法,主要根据的是实数运算的符号法则,而这也是推证不等式性质的主要依据,因此,我们来作一下回顾:
这一节课,我们将利用比较实数的方法,来推证不等式的性质.
二、讲授新课
在证实不等式的性质之前,我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念.
1.同向不等式:两个不等号方向相同的不等式,例如:是同向不等式.
异向不等式:两个不等号方向相反的不等式.例如:是异向不等式.
2.不等式的性质:
定理1:若,则
定理1说明,把不等式的左边和右边交换,所得不等式与原不等式异向.在证实时,既要证实充分性,也要证实必要性.
证实:∵,
∴
由正数的相反数是负数,得
说明:定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证,注重向学生强调实数运算的符号法则的应用.
定理2:若,且,则.
证实:∵
∴
根据两个正数的和仍是正数,得
∴说明:此定理证实的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.
定理3:若,则
定理3说明,不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向.
证实:∵
∴
说明:(1)定理3的证实相当于比较与的大小,采用的是求差比较法;
(2)不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边,理由是:根据定理3可得出:若,则即.
定理3推论:若.
证实:∵,
∴①
∵
∴②
由①、②得
说明:(1)推论的证实连续两次运用定理3然后由定理2证出;
(2)这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即:两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向;
(3)两个同向不等式的两边分别相减时,就不能作出一般的结论;
(4)定理3的逆命题也成立.(可让学生自证)
三、课堂练习
1.证实定理1后半部分;
2.证实定理3的逆定理.
说明:本节主要目的是把握定理1,2,3的证实思路与推证过程,练习穿插在定理的证实过程中进行.
课堂小结
通过本节学习,要求大家熟悉定理1,2,3的证实思路,并把握其推导过程,初步理解证实不等式的逻辑推理方法.
课后作业
1.求证:若
2.证实:若
板书设计
§6.1.2不等式的性质
1.同向不等式3.定理24.定理35.定理3
异向不等式证实证实推论
2.定理1证实说明说明证实
第三课时
教学目标
1.熟练把握定理1,2,3的应用;
2.把握并会证实定理4及其推论1,2;
3.把握反证法证实定理5.
教学重点:定理4,5的证实.
教学难点:定理4的应用.
教学方法:引导式
教学过程:
一、复习回顾
上一节课,我们一起学习了不等式的三个性质,即定理1,2,3,并初步熟悉了证实不等式的逻辑推理方法,首先,让我们往返顾一下三个定理的基本内容.
(学生回答)
好,我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论,并进一步熟悉不等式性质的应用.
二、讲授新课
定理4:若
若
证实:
根据同号相乘得正,异号相乘得负,得
当
说明:(1)证实过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正,异号相乘得负”来完成的;
(2)定理4证实在一个不等式两端乘以同一个正数,不等号方向不变;乘以同一个负数,不等号方向改变.
推论1:若
证实:
①
又
∴②
由①、②可得.
说明:(1)上述证实是两次运用定理4,再用定理2证出的;
(2)所有的字母都表示正数,假如仅有,就推不出的结论.
(3)这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说,两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.
推论2:若
说明:(1)推论2是推论1的非凡情形;
(2)应强调学生注重n∈N的条件.
定理5:若
我们用反证法来证实定理5,因为反面有两种情形,即,所以不能仅仅否定了,就“归谬”了事,而必须进行“穷举”.
说明:假定不大于,这有两种情况:或者,或者.
由推论2和定理1,当时,有;
当时,显然有
这些都同已知条件矛盾
所以.
接下来,我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.
例2已知
证实:由
例3已知
证实:∵
两边同乘以正数
说明:通过例3,例4的学习,使学生初步接触不等式的证实,为以后学习不等式的证实打下基础.在应用定理4时,应注重题目条件,即在一个等式两端乘以同一个数时,其正负将影响结论.接下来,我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.
三、课堂练习
课本P7练习1,2,3.
课堂小结
通过本节学习,大家要把握不等式性质的应用及反证法证实思路,为以后不等式的证实打下一定的基础.
课后作业
课本习题6.14,5.
板书设计
§6.1.3不等式的性质
定理4推论1定理5例3学生
内容内容
证实推论2证实例4练习
不等式的性质（2）
作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助高中教师提前熟悉所教学的内容。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？小编经过搜集和处理，为您提供不等式的性质（2），相信您能找到对自己有用的内容。
课题：不等式的性质（2）
教学目的：
1理解同向不等式，异向不等式概念；
2理解不等式的性质定理1—3及其证明；
3理解证明不等式的逻辑推理方法．
4通过对不等式性质定理的掌握，培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯
教学重点：掌握不等式性质定理1、2、3及推论，注意每个定理的条件
教学难点：1理解定理1、定理2的证明，即“a＞bb＜a和a＞b，b＞ca＞c”的证明这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则
2定理3的推论，即“a＞b，c＞da＋c＞b＋d”是同向不等式相加法则的依据但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能得出一般结论
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
教学方法:
引导启发结合法——即在教师引导下，由学生利用已学过的有关知识，顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用
教学过程：
一、复习引入：
1．判断两个实数大小的充要条件是：
2．(1)如果甲的年龄大于乙的年龄，那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么?
(2)如果甲的个子比乙高，乙的个子比丙高，那么甲的个子比丙高吗?为什么?
从而引出不等式的性质及其证明方法．
二、讲解新课：
1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：ab，cd，是同向不等式异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：ab，cd，是异向不等式
2．不等式的性质：
定理1：如果ab，那么ba，如果ba，那么ab．(对称性)
即：abba；baab
证明：∵ab∴a-b0
由正数的相反数是负数，得-(a-b)0
即b-a0∴ba(定理的后半部分略)．
点评：可能个别学生认为定理l没有必要证明，那么问题：若ab，则和谁大？根据学生的错误来说明证明的必要性“实数a、b的大小”与“a-b与零的关系”是证明不等式性质的基础，本定理也称不等式的对称性．
定理2：如果ab，且bc，那么ac．(传递性)
即ab，bcac
证明：∵ab，bc∴a-b0，b-c0
根据两个正数的和仍是正数，得
(a-b)+(b-c)0即a-c0
∴ac
根据定理l，定理2还可以表示为：cb，baca
点评：这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n个的情形．
定理3：如果ab，那么a+cb+c．
即aba+cb+c
证明：∵ab，∴a-b0，
∴(a+c)-(b+c)0即a+cb+c
点评：(1)定理3的逆命题也成立；
(2)利用定理3可以得出：如果a+bc，那么ac-b，也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边．
推论：如果ab，且cd，那么a+cb+d．(相加法则)
即ab，cda+cb+d．
证法一：
a+cb+d
证法二：
a+cb+d
点评：（1）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；
（2）两个同向不等式的两边分别相减时，不能作出一般的结论；
三、讲解范例：
例已知ab，cd，求证：a-cb-d．(相减法则)
分析：思路一：证明“a－c＞b－d”，实际是根据已知条件比较a－c与b－d的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的
证法一：∵a＞b，c＜d
∵a－b＞0，d－c＞0
∴（a－c）－（b－d）
＝（a－b）＋（d－c）＞0(两个正数的和仍为正数)
故a－c＞b－d
思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的
证法二：∵c＜d∴－c＞－d
又∵a＞b
∴a＋（－c）＞b＋（－d）
∴a－c＞b－d
四、课堂练习：
1判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)如果a＞b，那么a－c＞b－c；
(2)如果a＞b，那么＞
分析：从不等式性质定理找依据，与性质定理相违的为假，与定理相符的为真
答案：(1)真因为推理符号定理3
(2)假由不等式的基本性质2，3(初中)可知，当c＜0时，＜即不等式两边同乘以一个数，必须明确这个数的正负
2回答下列问题：
（1)如果a＞b，c＞d，能否断定a＋c与b＋d谁大谁小?举例说明；
(2)如果a＞b，c＞d，能否断定a－2c与b－2d谁大谁小?举例说明
答案：(1)不能断定例如：2＞1，1＜32＋1＜1＋3；而2＞1，－1＜－0８2－1＞1－0８异向不等式作加法没定论
(2)不能断定例如a＞b，c＝1＞d＝－1a－2c＝a－2，b＋2＝b－2d，其大小不定a＝８＞1＝b时a－2c＝６＞b＋2＝3而a＝2＞1＝b时a－2c＝0＜b＋2＝3
3求证：(1)如果a＞b，c＞d，那么a－d＞b－c；
(2)如果a＞b，那么c－2a＜c－2b
证明：(1)
(2)a＞b－2a＜－2bc－2a＜c－2b
4已和a＞b＞c＞d＞0，且，求证：a＋d＞b＋c
证明：∵
∴
∴（a－b）d＝（c－d）b
又∵a＞b＞c＞d＞0
∴a－b＞0，c－d＞0，b＞d＞0且＞1
∴＞1
∴a－b＞c－d即a＋d＞b＋c
评述：此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速这道题不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧
五、小结：本节课我们学习了不等式的性质定理1～定理3及其推论，理解不等式性质的反对称性(a＞bb＜a＝、传递性(a＞b，b＞ca＞c)、可加性(a＞ba＋c＞b＋c)、加法法则（a＞b，c＞da＋c＞b＋d），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法
六、课后作业：
1．如果，求不等式同时成立的条件．
解：
2．已知，求证：
证：∵∴
又∵∴0∴
∵且
∴
3．已知比较与的大小．
解：-
当时∵即
∴∴
当时∵即
∴∴
4．如果求证：
证：∵∴∴
∵∴∴
七、板书设计（略）
八、课后记：
不等式的性质1
作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？下面是由小编为大家整理的“不等式的性质1”，相信您能找到对自己有用的内容。
不等式的性质1教学目标1.理解不等式的性质,把握不等式各个性质的条件和结论之间的逻辑关系,并把握它们的证实方法以及功能、运用;
2.把握两个实数比较大小的一般方法;
3.通过不等式性质证实的学习,提高学生逻辑推论的能力;
4.提高本节内容的学习,;培养学生条理思维的习惯和认真严谨的学习态度;
教学建议
1.教材分析
(1)知识结构
本节首先通过数形结合,给出了比较实数大小的方法,在这个基础上,给出了不等式的性质,一共讲了五个定理和三个推论,并给出了严格的证实。
知识结构图
(2)重点、难点分析
在“不等式的性质”一节中,联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法,复习了初中学过的不等式的基本性质。
不等式的性质是穿越本章内容的一条主线,无论是算术平均数与几何平均数的定理的证实及其应用,不等式的证实和解一些简单的不等式,无不以不等式的性质作为基础。
本节的重点是比较两个实数的大小,不等式的五个定理和三个推论;难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。
①比较实数的大小
教材运用数形结合的观点,从实数与数轴上的点一一对应出发,与初中学过的知识“在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。
指出比较两实数大小的方法是求差比较法:
比较两个实数a与b的大小,归结为判定它们的差a-b的符号,而这又必然归结到实数运算的符号法则.
比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.
②理清不等式的几个性质的关系
教材中的不等式共5个定理3个推论,是从证实过程安排顺序的.从这几个性质的分类来说,可以分为三类:
(Ⅰ)不等式的理论性质:(对称性)
(传递性)
(Ⅱ)一个不等式的性质:
(n∈N,n1)
(n∈N,n1)
(Ⅲ)两个不等式的性质:
2.教法建议
本节课的核心是培养学生的变形技能,练习学生的推理能力.为今后证实不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础.
授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式.通过问答形式不断地给学生设置疑问(即:设疑);对教学难点,再由讲授形式解决疑问.(即:解疑).主要思路是:教师设疑→学生讨论→教师启发→解疑.
教学过程可分为:发现定理、定理证实、定理应用,采用由形象思维到抽象思维的过渡,发现定理、证实定理.采用类比联想,变形转化,应用定理或应用定理的证实思路;解决一些较简单的证实题.
第一课时
教学目标
1.把握实数的运算性质与大小顺序间关系;
2.把握求差法比较两实数或代数式大小;
3.强调数形结合思想.
教学重点
比较两实数大小
教学难点
理解实数运算的符号法则
教学方法
启发式
教学过程
一、复习回顾
我们知道,实数与数轴上的点是一一对应的,在数轴上不同的两点中,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如,在右图中,点A表示实数,点B表示实数,点A在点B右边,那么.
我们再看右图,表示减去所得的差是一个大于0的数即正数.一般地:
若,则是正数;逆命题也正确.
类似地,若,则是负数;若,则.它们的逆命题都正确.
这就是说:(打出幻灯片1)
由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了,这也是我们这节课将要学习的主要内容.
二、讲授新课
1.比较两实数大小的方法——求差比较法
比较两个实数与的大小,归结为判定它们的差的符号,而这又必然归结到实数运算的符号法则.
比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.
接下来,我们通过具体的例题来熟悉求差比较法.
2.例题讲解
例1比较与的大小.
分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,判定差值正负,并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.
解:
∴
例2已知,比较(与的大小.
分析:此题与例1基本类似,也属于两个代数式比较大小,但是其中的x有一定的限制,应该在对差值正负判定时引起注重,对于限制条件的应用经常被学生所忽略.
由得,从而
请同学们想一想,在例2中,假如没有这个条件,那么比较的结果如何?
(学生回答:若没有这一条件,则,从而大于或等于)
为了使大家进一步把握求差比较法,我们来进行下面的练习.
三、课堂练习
1.比较的大小.
2.假如,比较的大小.
3.已知,比较与的大小.
要求:学生板演练习,老师讲评,并强调学生注重加限制条件的题目.
课堂小结
通过本节学习,大家要明确实数运算的符号法则,把握求差比较法来比较两实数或代数式的大小.
课后作业
习题6.11,2,3.
板书设计
§6.1.1不等式的性质
1.求差比较法例1学生
……
例2板演
不等式的性质教案
教学设计
3．1.2不等式的性质
整体设计
教学分析
本节将在初中学习的不等式的三条基本性质的基础上，系统归纳整理不等式的其他性质，这是进一步学习不等式的基础．要求学生掌握不等式的基本性质与推论，并能用这些基本性质证明简单不等式，进而更深层地从理性角度建立不等观念．对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学的观点与等式的基本性质作类比、归纳逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量之间的比较过程．
基本性质2、3、4在初中是由实例验证，在高中里要进行逻辑证明．教学中教师一定要认识到对学生进行逻辑训练的必要性，注意启发学生要求证明的欲望．
在中学数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与中学数学几乎所有章节都有联系，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点．为此，在进行本节教学时，教材中基本性质的推论可由学生自己证明，课后的练习A、B要求学生全做．
三维目标
1．通过对初中三条基本性质的回忆，以及上节学习的知识，证明不等式的基本性质和推论．
2．在了解不等式的基本性质的基础上，利用它们来证明一些简单的不等式．
3．通过本节的学习，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度．体会数学的结构美和系统美，激发学生学习数学更大的热情．
重点难点
教学重点：理解并证明不等式的基本性质与推论，并能用基本性质证明一些简单的不等式．
教学难点：不等式基本性质的灵活应用．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(复习导入)让学生回忆并叙述初中所学的不等式的三条基本性质，即不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．让学生根据上一节的学习将上面的文字语言用不等式表示出来，并进一步探究，由此而展开新课．
思路2.(类比导入)等式具有许多性质，其中有：在等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，所得的仍是等式．我们自然会联想到，不等式是否也会有此同样的性质呢？学生会进一步探究验证这个联想，由此而展开新课．
推进新课
新知探究
提出问题
1怎样比较两个实数或代数式的大小？2初中都学过不等式的哪些基本性质？你能给出证明吗？3不等式有哪些基本性质和推论？这些性质有哪些作用？
活动：教师引导学生一起回忆等式的性质：等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，所得到的仍是等式．利用这些性质，我们可以对等式进行化简、变形或证明．那么不等式会不会也有类似的性质呢？也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，结果会不会不变呢？为此教师引导学生回忆上节课学过的实数的基本性质(或用多媒体展示)，即a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b.
根据实数的基本性质，要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差．这是我们研究不等关系的一个出发点．
从实数的基本性质，我们可以证明下列常用的不等式性质：
性质1，如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b，即a＞b?b＜a.这种性质称为不等式的对称性．
性质2，如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞c?a＞c.这种性质称为不等式的传递性．
性质3，如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，
即不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向．
由此得到推论1，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．这个推论称为不等式的移项法则．
推论2，如果a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d.
这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式，同向不等式可以相加，这个推论可以推广为更一般的结论．
性质4，如果a＞b，c＞0，则ac＞bc；如果a＞b，c＜0，则ac＜bc.
推论1，如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
推论2，如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N＋，n＞1)．
推论3，如果a＞b＞0，那么na＞nb(n∈N＋，n＞1)．
以上这些不等式的性质是解决不等式问题的基本依据．其中性质1是不等式的对称性；性质2是不等式的传递性；性质3表明不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向，由此可得不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边；性质4表明，不等式两边允许用非零数(或式)去乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号，这点与等式的性质不同；性质4的推论1说明两边都是正数的同向不等式可以相乘；性质4的推论2说明两边都是正数的不等式可以乘方；性质4的推论3说明两边都是正数的不等式可以开方．
对以上性质的逻辑证明，教师可与学生一起完成.5个推论可由学生自己完成，教师给予适当点拨．这是训练学生逻辑推理能力的极佳机会，不可错过．
讨论结果：
(1)(2)略．
(3)4条性质，5个推论．
应用示例
例1(教材本节例题)
活动：本节教材上共安排了这一个例题，含3个小题，都是不等式性质的简单应用，教师不可忽视本例的训练，过高估计了学生逻辑推理的书写能力．实践证明，学生往往推理不严密．教学时应指导学生根据不等式的性质的条件和结论，强调推理要有理有据，严谨细致，条理清晰．
点评：应用不等式性质对已知不等式进行变形，从而得出要证的不等式，是证明不等式的常用方法之一.
变式训练
已知a＞b＞0，c＜0，求证：ca＞cb.
证明：∵a＞b＞0，∴ab＞0，1ab＞0.
于是a1ab＞b1ab，即1b＞1a.
由c＜0，得ca＞cb.
例2已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．
活动：教师引导学生回忆本题的背景，这类问题是学习三角函数内容时经常遇到的，由于当时所学知识所限，往往容易出错．这里我们在已知的基础上，运用不等式的基本性质得出所要得到的结果．
解：∵－π2≤α＜β≤π2，
∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4.
上面两式相加，得－π2＜α＋β2＜π2.
∵－π4＜β2≤π4，
∴－π4≤－β2＜π4.
∴－π2≤α－β2＜π2.
又知α＜β，∴α－β2＜0.
故－π2≤α－β2＜0.
点评：在三角函数化简求值中，角的范围的确定往往成为正确解题的关键.
变式训练
已知函数f(x)＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()
A．一定大于0B．一定小于0
C．等于0D．正负都有可能
答案：B
解析：由题意知f(x)是奇函数，且在R上为单调增函数，
所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x3)＝－f(x3)，f(－x1)＝－f(x1)，
且x1＜－x2，x2＜－x3，x3＜－x1.
所以f(x1)＜－f(x2)，f(x2)＜－f(x3)，f(x3)＜－f(x1)．
由不等式的性质3推论2知
f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜－f(x1)－f(x2)－f(x3)．
因此，f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0.
3已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：ea－c＞eb－d.
活动：教师引导学生观察结论，由于e＜0，因此即证1a－c＜1b－d，引导学生作差，利用本节所学的不等式基本性质．
证明：c＜d＜0?－c－d0ab0?a－c＞b－d＞0?1a－c1b－de0ea－c＞eb－d.
点评：本例是灵活运用不等式的性质．证明时一定要推理有据，思路条理清晰.
变式训练
若1a＜1b＜0，则下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b中，正确的不等式有()
A．0个B．1个C．2个D．3个
答案：B
解析：由1a＜1b＜0得b＜a＜0，ab＞0，则①正确，②错误，③错误.
知能训练
1．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是()
A.1a＜1bB．a2＞b2
C.ac2＋1＞bc2＋1D．a|c|＞b|c|
2．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是()
A.ba＞b＋1a＋1B．a＋1a＞b＋1b
C．a＋1b＞b＋1aD.2a＋ba＋2b＞ab
3．有以下四个条件：
①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.
其中能使1a＜1b成立的有__________个条件．
答案：
1．C解法一：∵a＞b，c2＋1＞0，∴ac2＋1＞bc2＋1.
解法二：令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A、B、C、D中，可知A、B、D均错．
2．C解法一：由a＞b＞00＜1a＜1ba＋1b＞b＋1a.
解法二：令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝12，b＝13，排除B.
3．3解析：①∵b＞0，∴1b＞0.∵a＜0，∴1a＜0.∴1a＜1b.
②∵b＜a＜0，∴1b＞1a.
③∵a＞0＞b，∴1a＞0，1b＜0.∴1a＞1b.
④∵a＞b＞0，∴1a＜1b.
课堂小结
1．教师与学生共同完成本节的小结．从实数的基本性质与三条基本性质的回顾，到所有性质的推得，推论的证明，以及例题的探究、变式训练等．真正温故知新，将本节课所学内容纳入已有的知识体系．
2．教师进一步强调代数逻辑推理的方法要领，指出利用不等式的性质时容易忽略的地方，以及证明不等式时需要注意的问题．
作业
习题3—1A组4、5；习题3—1B组4.
设计感想
1．本节设计更加关注学生的发展．通过具体问题的解决，让学生去感受、体验，并从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯．
2．本节设计注重学生的探究活动．学生在学习过程中，通过对问题的探究思考、体验认识、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯和积极主动的学习品质，从而提高学习质量．
3．本节设计注重了学生个性品质的发展．通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探索精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美、数学推理的严谨美，从而激发学生强烈的探究兴趣．
备课资料
备用习题
1．如果a、b、c、d是任意实数，则()
A．a＞b，c＝dac＞bdB.ac＞bca＞b
C．a3＞b3，ab＞01a＜1bD．a2＞b2，ab＞01a＜1b
2．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系是()
A．a＞b＞－b＞－aB．a＞－b＞－a＞b
C．a＞－b＞b＞－aD．a＞b＞－a＞－b
3．已知－1＜a＜b＜0，则下面不等式中正确的是()
A.1a＜1b＜b2＜a2B.1a＜1b＜a2＜b2
C.1b＜1a＜a2＜b2D.1b＜1a＜b2＜a2
4．设a、b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是()
A．b－a＞0B．a3＋b3＜0
C．a2－b2＜0D．b＋a＞0
5．若α、β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是()
A．－π＜α－β＜πB．－π＜α－β＜0
C．－π2＜α－β＜π2D．－π2＜α－β＜0
6．已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围为__________，xy的取值范围为__________．
7．已知a＜b，c＞d，求证：c－a＞d－b.
8．已知x＞y＞z＞0，求证：yx－y＞zx－z.
参考答案：
1．CA项中，当c、d为负数时，ac＜bd，A错；B项中，当c为负数时，a＜b，B错；C项中，a3＞b3，得出a＞b，又由ab＞0可得1a＜1b，C项正确；D项中，若a、b均为负数时，由a2＞b2得出a＜b，由ab＞0得出1a＞1b，D错．
2．C由a＋b＞0，b＜0可知a＞0，b＜0，故a，－b为正，－a，b为负，又由a＋b＞0知a＞－b，b＞－a，所以a＞－b＞b＞－a.
3．D由－1＜a＜b＜0知ab＞0，所以1b＜1a＜0，a2＞b2＞0，故1b＜1a＜b2＜a2.
4．D利用赋值法：不妨令a＝1，b＝0，则排除A，B，C.
5．B由α＜β知α－β＜0，又由α＞－π2，β＜π2，故α－β＞(－π2)－π2＝－π，
即－π＜α－β＜0.
6．(27,56)(2011，3)∵28＜y＜33，∴－33＜－y＜－28.
又60＜x＜84，∴27＜x－y＜56，yx∈(2884，3360)．
∴xy∈(6033，8428)，
即2011＜xy＜3.
7．证明：∵a＜b，∴－a＞－b.
又∵c＞d，∴c＋(－a)＞d＋(－b)，即c－a＞d－b.
8．证明：∵x＞y，∴x－y＞0.∴1x－y＞0.
又y＞z＞0，∴yx－y＞zx－y.①
∵y＞z，∴－y＜－z.∴x－y＜x－z.
∴0＜x－y＜x－z.∴1x－y＞1x－z.
又z＞0，∴zx－y＞zx－z.②
由①②得yx－y＞zx－z.
