指数函数的图像与性质。
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指数函数的图像与性质
一、教材分析
（一）教材的地位和作用
“指数函数”的教学共分三个课时完成，第1课时为指数函数的概念，具体指数函数的图像和性质；第2课时为指数函数的图像和性质及简单应用；第三课时为指数函数的性质应用。本课时主要通过对指数函数图像的研究归纳其性质，并进行简单的应用。“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，此外还可类比学习后面的其它函数。
（二）教学目标
1、知识目标：
i会做指数函数的图像；
ii能归纳出指数函数的几个基本性质；
iii会进行指数函数性质的简单应用。
2、能力目标：
通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。
3、情感目标：
通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法。
（三）教学重点和难点
1、重点：指数函数的性质和图像。
2、难点：指数函数性质的归纳。
二、教法分析
（一）教学方式
直接讲授与启发探究相结合
（二）教学手段
借助多媒体，展示学生的做图结果；演示指数函数的图像
三、教学基本思路：
1、引入
1）复习指数函数概念
2）回忆指数函数图像的画法
2、探究指数函数的性质
1）研究指数函数的图象
2）归纳总结指数函数的性质
3、指数函数性质的简单应用
4、巩固练习
5、小结
6、作业布置
四、教学过程
教学
环节教学程序及设计设计意图
新
课
引
入
复习（1）指数函数的概念
（2）画指数函数图像的方法
一、指数函数的图像与性质：
1、绘制图像
（1）y=2x和y=3x
（2）y=和
投影电脑已制作好的图象，
2．探究性质：
请同学们尝试归纳出图象的变化规律与特性：
（1）图象全在x轴上方，与x轴无限接近;
（2）图象过定点（0，1）;
（3）a1时，自左向右图象逐渐上升;
0a1时，自左向右图象逐渐下降；
（4）a1时，图象分布在左下和右上两个区域内；
0a1时，图象分布在左上和右下两个区域内；
其他规律（指数函数间图象的特性）：
当指数函数的底数互为倒数时，图象关于y轴对称；
当底数a1时，底数越大函数值增长越快越靠近y轴即底大图高，底数0a1时，情况相反。
3、归纳性质
将指数函数y=ax(a0且a≠1)的性质（对应图象）归纳如下表，进行课件演示：
指数函数y=ax的性质
a10a1
(1)定义域：R；值域：（0，+∞）
(2)当x=0时，y=1(即过点（0，1）)
(3)单调性：在(-∞,+∞)上是在(-∞,+∞)上是减函数增函数
(4)当x0时,y1;当x0时,0y1;
当x0时,0y1.当x0时,y1.
三、指数函数的应用
例1、根据指数函数的性质，判断下列题目中两值的大小：
（第一题学生尝试判断，第二题给出书写步骤）
例2、求使不等式4x32成立的x的集合；
点评：同底的两个幂的大小比较方法
（1）构造函数并指明函数的单调性
（2）比较自变量的大小
（3）得函数值的大小
教材第73页，练习1的第1题
借助多媒体，在电脑中将几个图同时展示于一个坐标系，从而使学生较直观地认识到指数函数的图象。由具体的几个指数函数的图像发现指数函数的图像特征。
通过引导学生分析图像特征，帮助学生总结函数性质，培养学生形数结合的能力。
以表格的形式归纳总结指数函数的性质，以展示研究函数的一般方法：研究定义域；值域；单调性等。
简单应用指数函数单调性判断大小。
让学生体验用指数函数的单调性比较两数大小，
检验课堂掌握情况。
小
结
以上我们研究指数函数经历了一个由“具体”（研究几个具体的指数函数）到“一般”（归纳指数函数的一般性质），再由“一般”到“具体”（应用指数函数的一般性质研究解决指数函数的具体问题）的思维过程。
主要学习内容
1．指数函数的图像；
2．指数函数的性质；
3．指数函数性质的简单应用
概括、总结一堂课主要的思想方法与内容，便于学生系统性考虑所学知识。
作
业1、课本：77页A组：4、5
2、思考题：（1）求函数、和的定义域和值域。（2）求函数的单调区间及最值。
五、教学设计说明
1、探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”——图象突破，体会数形结合的思想。通过研究几个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的一般性质，经历一个由特殊到一般的探究过程。让学生在研究出指数函数的一般性质后进行总结归纳函数的其他性质，从而对函数进行较为系统的研究。
2、进行一些巩固练习从而能对函数进行较为基本的应用。
六、课后反思
七、板书设计
课题
一、指数函数图像和性质二、指数函数性质的简单应用
例1
例2
点评：
学生练习区域
扩展阅读
指数函数的图像及性质
指数函数的图像及性质
一内容及其解析
（一）内容：指数函数的图像及性质
（二）解析：函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。
二目标及其解析
（一）目标：掌握指数函数的图像、性质及其简单应用；
（二）解析:回顾函数性质的一般研究方式，通过以前学过的对于函数图像的基本做法，作出指数函数的大致图像，使学生从函数图像的直观感受上观察、分析、归纳指数函数的基本性质，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法，增强识图用图的能力
三问题诊断分析
根据这一节课的内容特点以及学生对指数幂的掌握情况,指数函数的图像形成过程是学生缺乏感性认识的最重要的问题，因此，为解决这一问题，从最初始的函数图像做法（五点作图）入手，使学生对于图像的形成有一个很清楚的认识，在此基础上来分析、总结指数函数的简单性质，解决指数函数中值的分布问题以及由此来小结指数函数的图像和性质及指数函数图像与底的关系，并能够在基本问题的处理中回扣指数函数模型，利用性质解决基本问题。
四教学支持条件
五教学过程
问题一：指数函数有什么样的性质？
设计意图：明确本节课的学习目标，并且借此回顾函数的基本性质
师生活动：由学生回忆总结
问题二：对于函数性质的研究，一般方式是什么？
设计意图：将学生的思维由函数解析式上转变到函数图像上来
师生活动：由学生自己思考、提出函数图像的基本作法
问题三：指数函数的图像
设计意图：巩固函数图像的基本做法
师生活动：通过学生自己取点、在坐标系中描点、连线的过程中，让学生进一步体会函数图像的形成过程，让学生自己进行总结
1、指数函数的函数图像
列表
……-2-1012……
…124…
2、作出的函数图像
列表
……210-1-2……
…124…
3、通过上述实例，你能画出函数与的大致图像吗？
问题四：指数函数的性质
设计意图：在函数的基本图像的基础上，让学生观察、分析、归纳函数的基本性质
师生活动：从学生的回答中把握认识程度，从中进行引导：
1由此回顾函数的基本概念，函数学习过哪些基本性质？进一步巩固函数性质的概念、判断、和理解
2通过函数的图像观察函数的定义域及值域，加强识图，用图的能力
3通过函数的图像，认识指数函数中值的分布，体会数形结合和分类讨论的思想，加深函数定义域和值域之间的依存关系
4通过函数的图像，认识底数与图像之间的变换关系
小问题串
函数
图
象
性
质定义域
值域
定点
单调性在上是减函数
在上是增函数
取值若，则若，则
若，则若，则
对称性函数与的图象关于轴对称
问题五：例题及变式
变式训练1：
变式训练2：:函数，，，的图像如图所示，则的大小关系为；
变式训练：
六目标检测：
1已知按大小顺序排列.
七课堂小结
1、指数函数的图像及性质
2、指数函数图像和底的关系
3、指数幂大小比较过程中中间量的引入
八目标检测
A组
教材P597、8.
B组
1．函数与的图象关于下列那种图形对称()
A．轴B．轴C．直线D．原点中心对称
2.函数（a0,且a≠1）的图像恒过定点的坐标是什么？
C组
已知函数（x∈R），a为实数
1试证明对任意实数a，f(x)为增函数
2试确定a的值，使f(x)为奇函数
指数函数及其性质
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课题：§2.1.2指数函数及其性质
教学任务：（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；
（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；
（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．
教学重点：指数函数的的概念和性质．
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．
教学过程：
一、引入课题
（备选引例）
1．（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．
我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
○1按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？
○2到2050年我国的人口将达到多少？
○3你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？
2．上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？
3．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？
4．上面的几个函数有什么共同特征？
二、新课教学
（一）指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数（exponentialfunction），其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：○1指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；
○2注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．
巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P68例2、3）
（二）指数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
探索研究：
1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2．从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系？可否利用的图象画出的图象？
3．从画出的图象（、和）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？
4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？
图象特征函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1）
自左向右看，
图象逐渐上升自左向右看，
图象逐渐下降增函数减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；
5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；
（4）当时，若，则；
（三）典型例题
例1．（教材P66例6）．
解：（略）
问题：你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？
例2．（教材P66例7）
解：（略）
问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？
说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式．
巩固练习：（教材P69习题A组第7题）
三、归纳小结，强化思想
本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的方法．
四、作业布置
1．必做题：教材P69习题2．1（A组）第5、6、8、12题．
2．选做题：教材P70习题2．1（B组）第1题．
指数函数的性质的应用
2.1.2.3指数函数的性质的应用
一、内容及其解析
（一）内容：指数函数的性质的应用。
（二）解析：通过进一步巩固指数函数的图象和性质，掌握由指数函数和其他简单函数组成的复合函数的性质：定义域、值域、单调性，最值等性质。
二、目标及其解析
（一）教学目标
指数函数的图象及其性质的应用；
（二）解析
通过进一步掌握指数函数的图象和性质，能够构建指数函数的模型来解决实际问题;体会指数函数在实际生活中的重要作用，感受数学建模在解题中的作用，提高学生分析问题与解决问题的能力。
三、问题诊断分析
解决实际问题本来就是学生的一个难点，并且学生对函数模型也不熟悉，所以在构建函数模型解决实际问题是学生的一个难点，解决的方法就是在实例中让学生加强理解，通过实例让学生感受到如何选择适当的函数模型。
四、教学过程设计
探究点一：平移指数函数的图像
例１：画出函数的图像，并根据图像指出它的单调区间．
解析：由函数的解析式可得：
＝
其图像分成两部分，一部分是将（ｘ＜－１）的图像作出，而它的图像可以看作的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的，另一部分是将的图像作出，而它的图像可以看作将的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的．
解：图像由老师们自己画出
单调递减区间［－，－１］，单调递增区间［－１，＋］．
点评：此类函数需要先去绝对值再根据平移变换画图，单调性由图像易知。
变式训练一：已知函数
(1)作出其图像；
(2)由图像指出其单调区间；
解：（１）的图像如下图：
(2)函数的增区间是(－∞，－2]，减区间是[－2，＋∞)．
探究点二：复合函数的性质
例2：已知函数
（１）求ｆ（ｘ）的定义域；
（２）讨论ｆ（ｘ）的奇偶性；
解析：求定义域注意分母的范围，判断奇偶性需要注意定义域是否关于原点对称。
解：（１）要使函数有意义，须－１，即ｘ１，所以，定义域为（－，０）（０，＋）．
（２）
则ｆ（－ｘ）＝=
所以，ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）是偶函数．
点评：此问题难度不是太大，但是很多同学不敢尝试去化简，只要按照常规的方式去推理，此函数的奇偶性很容易判断出来。
变式训练二：已知函数,试判断函数的奇偶性；
简析：∵定义域为,且是奇函数；
探究点三应用问题
例3某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的
84%．写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式．
【解】
设该物质的质量是1,经过年后剩留量是.
经过1年,剩留量
经过2年,剩留量
…………………………
经过年,剩留量
点评:先考虑特殊情况，然后抽象到一般结论．
变式：储蓄按复利计算利息，若本金为元，每期利率为，设存期是，本利和（本金加上利息）为元．
（1）写出本利和随存期变化的函数关系式；
（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．
分析：复利要把本利和作为本金来计算下一年的利息．
【解】
(1)已知本金为元,利率为则:
1期后的本利和为
2期后的本利和为
……………………………
期后的本利和为
(2)将代入上式得
(元).
答:5期后的本利和为1117.68元
点评:审清题意是求函数关系式的关键；同时要能从具体的、特殊的结论出发，归纳、总结出一般结论．
六．小结
通过本节课的学习，本节课应用了指数函数的性质来解决了什么问题？如何构建指数函数模型，解决生活中的实际问题？
指数函数与对数函数性质复习学案
一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。那么，你知道教案要怎么写呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“指数函数与对数函数性质复习学案”，供您参考，希望能够帮助到大家。
指数函数与对数函数性质复习学案
一、指数函数与对数函数的图象和性质：
定义域
值域
定点
单调性
二、基础训练
1、用“”或“”填空。
(1)(2)
2、已知函数在R上是减函数，则实数的取值范围是（）
（A）（2，+）（B）（3，+）（C）（2,3）（D）（1,2）
3、当时，函数的值域是（）
（A）（0，+）（B）（1，+）（C）（0，1）（D）（3，+）
4、函数的定义域是（）
(A)（1，+）(B)（1,2）(C)，+）(D)（0，+）
三、关于指数函数和对数函数的不等式
例1、解关于的不等式：
变式一：解关于的不等式：
变式二：解关于的不等式：（）
小结：
四、利用函数单调性求最值
例2、若函数在区间上的最大值与最小值之差为，
求实数的值。
延拓：已知，函数。
（1）设，求实数的取值范围；
（2）求函数的最值。
变式：已知，求函数的最值。
小结：
五、巩固练习
1、已知，，，则，，的大小关系是（）
(A)abc(B)acb(C)cba(D)bac
2、当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是（）
（A）（1，+）（B）（2，+）（C）（1，2）（D）（0，1）
3、下列函数中，值域是（0，+）的函数是（）
（A）+1（）（B）
（C）（D）
4、已知函数，若，则实数的取值范围是（）
（A）（B）或
（C）（D）或
5、已知函数，（且）。
（1）求函数的定义域；
（2）求使函数的值为正数的的取值范围。
6、已知1，函数，求函数的最值。
