高三数学下册《三角函数》知识点复习。

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助高中教师更好的完成实现教学目标。写好一份优质的高中教案要怎么做呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《高三数学下册《三角函数》知识点复习》，仅供参考，欢迎大家阅读。

高三数学下册《三角函数》知识点复习

三角函数线的定义：

设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过P点作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线

设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线，即：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT

三角函数常考题型：

1.三角函数恒等变形的基本策略。

(1)常值代换：特别是用1的代换，如等。

(2)项的分拆与角的配凑,学习效率。

如分拆项：

配凑角：=()-，=-等。

(3)降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。

(4)化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切)。

(5)引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。

(6)万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan的有理式。

2.证明三角等式的思路和方法。

(1)思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

(2)证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的差异分析。

(2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

(3)合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

三角函数公式：

锐角三角函数公式

sinα=∠α的对边/斜边

cosα=∠α的邻边/斜边

tanα=∠α的对边/∠α的邻边

cotα=∠α的邻边/∠α的对边

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)

(注：SinA^2是sinA的平方sin2(A))

三倍角公式

sin3α=4sinα,学习方法?sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα?cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a=tana?tan(π/3+a)?tan(π/3-a)

三倍角公式推导

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

辅助角公式

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina

=3sina-4sin3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa

=4cos3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin3a

=4sina(3/4-sin2a)

=4sina[(√3/2)2-sin2a]

=4sina(sin260°-sin2a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos3a-3cosa

=4cosa(cos2a-3/4)

=4cosa[cos2a-(√3/2)2]

=4cosa(cos2a-cos230°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

三角函数记忆口诀：

三角函数是函数,象限符号坐标注。函数图象单位圆,周期奇偶增减现。

同角关系很重要,化简证明都需要。正六边形顶点处,从上到下弦切割；

中心记上数字1,连结顶点三角形；向下三角平方和,倒数关系是对角,

顶点任意一函数,等于后面两根除。诱导公式就是好,负化正后大化小,

变成锐角好查表,化简证明少不了。二的一半整数倍,奇数化余偶不变,

将其后者视锐角,符号原来函数判。两角和的余弦值,化为单角好求值,

余弦积减正弦积,换角变形众公式。和差化积须同名,互余角度变名称。

计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。

逆反原则作指导,升幂降次和差积。条件等式的证明,方程思想指路明。

万能公式不一般,化为有理式居先。公式顺用和逆用,变形运用加巧用；

1加余弦想余弦,1减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范；

三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围；

利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集。

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高二数学下册《反三角函数》知识点总结

高二数学下册《反三角函数》知识点总结

反三角函数主要是三个：

y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-/2]图象用红色线条;

y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,]，图象用蓝色线条;

y=arctan(x)，定义域(-,+)，值域(-/2)，图象用绿色线条;

sin(arcsinx)=x,定义域[-1,1],值域[-1,1]arcsin(-x)=-arcsinx

其他公式:

三角函数其他公式

arcsin(-x)=-arcsinx

arccos(-x)=-arccosx

arctan(-x)=-arctanx

arccot(-x)=-arccotx

arcsinx+arccosx=/2=arctanx+arccotx

sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)

当x[/2，/2]时，有arcsin(sinx)=x

当x[0,],arccos(cosx)=x

x(/2，/2),arctan(tanx)=x

x(0，),arccot(cotx)=x

x〉0,arctanx=/2-arctan1/x,arccotx类似

若(arctanx+arctany)(/2，/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

练习题：

1.y=arccosx(x属于[-1,0]]的反函数是多少?

2.已知cosx=3/5(x属于3π/2,2π])用反三角函数值表示x的结果是多少?

答案：

1.y=arccosx(x属于[-1,0]]的反函数是多少

x=cosy

将x,y互换,得到反函数解析式

y=cosx

因为原来的函数的定义域是x属于[-1,0]

所以反函数的定义域是原来函数的值域[π/2,π]

反函数是：y=cosx,定义域是[π/2,π]

2.已知cosx=3/5(x属于[3π/2,2π])用反三角函数值表示x的结果是多少?

x属于[3π/2,2π]

所以2π-x属于[0,π/2]

cosx=cos(2π-x)=3/5

2π-x=arccos(3/5)

x=2π-arccos(3/5)

三角函数

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助教师能够井然有序的进行教学。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？小编收集并整理了“三角函数”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

第二十四教时
教材：倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式
目的：继续复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练；同时，让学生推导出和差化积和积化和差公式，并对此有所了解。
过程：
一、复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程：
例一、已知，，tan=，tan=，求2+
（《教学与测试》P115例三）
解：∴
又∵tan20，tan0∴，
∴∴2+=
例二、已知sincos=，，求和tan的值
解：∵sincos=∴
化简得：∴
∵∴∴即
二、积化和差公式的推导

sin(+)+sin()=2sincossincos=[sin(+)+sin()]
sin(+)sin()=2cossincossin=[sin(+)sin()]
cos(+)+cos()=2coscoscoscos=[cos(+)+cos()]
cos(+)cos()=2sinsinsinsin=[cos(+)cos()]
这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。（在告知公式前提下）
例三、求证：sin3sin3+cos3cos3=cos32
证：左边=(sin3sin)sin2+(cos3cos)cos2
=(cos4cos2)sin2+(cos4+cos2)cos2
=cos4sin2+cos2sin2+cos4cos2+cos2cos2
=cos4cos2+cos2=cos2(cos4+1)
=cos22cos22=cos32=右边
∴原式得证
三、和差化积公式的推导
若令+=，=φ，则，代入得：
∴
这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用。
例四、已知coscos=，sinsin=，求sin(+)的值
解：∵coscos=，∴①
sinsin=，∴②
∵∴∴
∴
四、小结：和差化积，积化和差
五、作业：《课课练》P36—37例题推荐1—3
P38—39例题推荐1—3
P40例题推荐1—3

2012届高三理科数学三角函数总复习教学案

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，使教师有一个简单易懂的教学思路。教案的内容要写些什么更好呢？小编为此仔细地整理了以下内容《2012届高三理科数学三角函数总复习教学案》，欢迎您参考，希望对您有所助益！

2012届高三理科数学三角函数总复习教学案

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考试要求重难点击命题展望
1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.
2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
3.能利用单位圆中的三角函数线推导出，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.
4.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在(－,)上的单调性.
5.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.
6.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.
7.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).
9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.本章重点：1.角的推广，三角函数的定义，诱导公式的运用；2.三角函数的图象与性质，y＝Asin(ωx＋)
(ω＞0)的性质、图象及变换；3.用三角函数模型解决实际问题；4.以和、差、倍角公式为依据，提高推理、运算能力；5.正、余弦定理及应用.
本章难点：1.任意角的三角函数的几何表示，图象变换与函数解析式变换的内在联系；2.灵活运用三角公式化简、求值、证明；3.三角函数的奇偶性、单调性的判断，最值的求法；4.探索两角差的余弦公式；5.把实际问题转化为三角函数问题.三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型.三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的基础知识之一.在高考中主要考查对三角函数概念的理解；运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、作图、识图等.解三角形的问题往往与其他知识(如立体几何、解析几何、向量等)相联系，考查考生的数学应用意识，体现以能力立意的高考命题原则.

知识网络

5.1任意角的三角函数的概念

典例精析
题型一象限角与终边相同的角
【例1】若α是第二象限角，试分别确定2α、的终边所在的象限.
【解析】因为α是第二象限角，
所以k360°＋90°＜α＜k360°＋180°(k∈Z).
因为2k360°＋180°＜2α＜2k360°＋360°(k∈Z)，故2α是第三或第四象限角，或角的终边在y轴的负半轴上.
因为k180°＋45°＜α2＜k180°＋90°(k∈Z)，
当k＝2n(n∈Z)时，n360°＋45°＜α2＜n360°＋90°，
当k＝2n＋1(n∈Z)时，n360°＋225°＜α2＜n360°＋270°.
所以α2是第一或第三象限角.
【点拨】已知角α所在象限，应熟练地确定α2所在象限.
如果用α1、α2、α3、α4分别表示第一、二、三、四象限角，则α12、α22、α32、α42分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟记右图，解有关问题就方便多了.
【变式训练1】若角2α的终边在x轴上方，那么角α是()
A.第一象限角B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角D.第一或第四象限角
【解析】由题意2kπ＜2α＜2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＜α＜kπ＋π2，k∈Z.
当k是奇数时，α是第三象限角.
当k是偶数时，α是第一象限角.故选C.
题型二弧长公式，面积公式的应用
【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值.
【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
因为α＝60°＝π3，R＝10cm，所以l＝10π3cm，
S弓＝S扇－SΔ＝12×10×10π3－12×102×sin60°＝50(π3－32)cm2.
(2)因为C＝2R＋l＝2R＋αR，所以R＝C2＋α，
S扇＝12αR2＝12α(C2＋α)2＝C22αα2＋4α＋4＝C221α＋4α＋4≤C216，
当且仅当α＝4α时，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形的面积有最大值为C216.
【点拨】用弧长公式l＝|α|R与扇形面积公式S＝12lR＝12R2|α|时，α的单位必须是弧度.
【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S，当圆心角α为多少弧度时，该扇形的周长C有最小值？并求出最小值.
【解析】因为S＝12Rl，所以Rl＝2S，
所以周长C＝l＋2R≥22Rl＝24S＝4S，
当且仅当l＝2R时，C＝4S，
所以当α＝lR＝2时，周长C有最小值4S.

题型三三角函数的定义，三角函数线的应用
【例3】(1)已知角α的终边与函数y＝2x的图象重合，求sinα；(2)求满足sinx≤32的角x的集合.
【解析】(1)由交点为(－55，－255)或(55，255)，
所以sinα＝±255.
(2)①找终边：在y轴正半轴上找出点(0，32)，过该点作平行于x轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2两点，连接OP1、OP2，则为角x的终边，并写出对应的角.
②画区域：画出角x的终边所在位置的阴影部分.
③写集合：所求角x的集合是{x|2kπ－4π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z}.
【点拨】三角函数是用角α的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.
【变式训练3】函数y＝lgsinx＋cosx－12的定义域为.
【解析】
2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z.
所以函数的定义域为{x|2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z}.
总结提高
1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.
2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k360°＋π3的错误书写.
3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.

5.2同角三角函数的关系、诱导公式

典例精析
题型一三角函数式的化简问题
【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将α视为锐角后，再判断所求角的象限.
【变式训练1】已知f(x)＝1－x，θ∈(3π4，π)，则f(sin2θ)＋f(－sin2θ)＝.
【解析】f(sin2θ)＋f(－sin2θ)＝1－sin2θ＋1＋sin2θ＝(sinθ－cosθ)2＋(sinθ＋cosθ)2＝|sinθ－cosθ|＋|sinθ＋cosθ|.
因为θ∈(3π4，π)，所以sinθ－cosθ＞0，sinθ＋cosθ＜0.
所以|sinθ－cosθ|＋|sinθ＋cosθ|＝sinθ－cosθ－sinθ－cosθ＝－2cosθ.
题型二三角函数式的求值问题
【例2】已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2).
(1)若a∥b，求tanθ的值；
(2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求θ的值.
【解析】(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，
于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝14.
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，
所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，
于是sin(2θ＋π4)＝－22.
又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，
所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.
因此θ＝π2或θ＝3π4.
【变式训练2】已知tanα＝12，则2sinαcosα＋cos2α等于()
A.45B.85C.65D.2
【解析】原式＝2sinαcosα＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tanα＋11＋tan2α＝85.故选B.
题型三三角函数式的简单应用问题
【例3】已知－π2＜x＜0且sinx＋cosx＝15，求：
(1)sinx－cosx的值；
(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)的值.
【解析】(1)由已知得2sinxcosx＝－2425，且sinx＜0＜cosx，
所以sinx－cosx＝－(sinx－cosx)2＝－1－2sinxcosx＝－1＋2425＝－75.
(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)＝cos3x－sin3x＝(cosx－sinx)(cos2x＋cosxsinx＋sin2x)
＝75×(1－1225)＝91125.
【点拨】求形如sinx±cosx的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sinx±cosx取值符号.
【变式训练3】化简1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.
【解析】原式＝1－[(cos2α＋sin2α)2－2sin2αcos2α]1－[(cos2α＋sin2α)(cos4α＋sin4α－sin2αcos2α)]
＝2sin2αcos2α1－[(cos2α＋sin2α)2－3sin2αcos2α]＝23.
总结提高
1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin2(－2α)＋cos2(－2α)＝1是恒成立的.
2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.

5.3两角和与差、二倍角的三角函数

典例精析
题型一三角函数式的化简
【例1】化简(0＜θ＜π).
【解析】因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，
所以原式＝
＝＝－cosθ.
【点拨】先从角度统一入手，将θ化成θ2，然后再观察结构特征，如此题中sin2θ2－cos2θ2＝－cosθ.
【变式训练1】化简2cos4x－2cos2x＋122tan(π4－x)sin2(π4＋x).
【解析】原式＝12(2cos2x－1)22tan(π4－x)cos2(π4－x)＝cos22x4cos(π4－x)sin(π4－x)＝cos22x2sin(π2－2x)＝12cos2x.
题型二三角函数式的求值
【例2】已知sinx2－2cosx2＝0.
(1)求tanx的值；
(2)求cos2x2cos(π4＋x)sinx的值.
【解析】(1)由sinx2－2cosx2＝0tanx2＝2，所以tanx＝＝2×21－22＝－43.
(2)原式＝cos2x－sin2x2(22cosx－22sinx)sinx
＝(cosx－sinx)(cosx＋sinx)(cosx－sinx)sinx＝cosx＋sinxsinx＝1tanx＋1＝(－34)＋1＝14.
【变式训练2】2cos5°－sin25°sin65°＝.
【解析】原式＝2cos(30°－25°)－sin25°cos25°＝3cos25°cos25°＝3.
题型三已知三角函数值求解
【例3】已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.
【解析】因为tan2(α－β)＝2tan(α－β)1－tan2(α－β)＝43，
所以tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2(α－β)＋tanβ1－tan2(α－β)tanβ＝1，
又tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tanβ1－tan(α－β)tanβ＝13，
因为α∈(0，π)，所以0＜α＜π4，
又π2＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4.
【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.
【变式训练3】若α与β是两锐角，且sin(α＋β)＝2sinα，则α与β的大小关系是()
A.α＝βB.α＜β
C.α＞βD.以上都有可能
【解析】方法一：因为2sinα＝sin(α＋β)≤1，所以sinα≤12，又α是锐角，所以α≤30°.
又当α＝30°，β＝60°时符合题意，故选B.
方法二：因为2sinα＝sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＜sinα＋sinβ，
所以sinα＜sinβ.
又因为α、β是锐角，所以α＜β，故选B.
总结提高
1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.
(1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题；
(2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”；
(3)掌握角的演变规律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.
2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.

5.4三角恒等变换

典例精析
题型一三角函数的求值
【例1】已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，3sinβ＝sin(2α＋β)，4tanα2＝1－tan2α2，求α＋β的值.
【解析】由4tanα2＝1－tan2α2，得tanα＝＝12.
由3sinβ＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
所以3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，
即2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα，所以tan(α＋β)＝2tanα＝1.
又因为α、β∈(0，π4)，所以α＋β＝π4.
【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.
【变式训练1】如果tan(α＋β)＝35，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)等于()
A.1318B.1322C.723D.318
【解析】因为α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)，
所以tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan(α＋β)－tan(β－π4)1＋tan(α＋β)tan(β－π4)＝723.
故选C.

题型二等式的证明
【例2】求证：sinβsinα＝sin(2α＋β)sinα－2cos(α＋β).
【证明】证法一：
右边＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinαsinα＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinαsinα
＝sin[(α＋β)－α]sinα＝sinβsinα＝左边.
证法二：sin(2α＋β)sinα－sinβsinα＝sin(2α＋β)－sinβsinα＝2cos(α＋β)sinαsinα＝2cos(α＋β)，
所以sin(2α＋β)sinα－2cos(α＋β)＝sinβsinα.
【点拨】证法一将2α＋β写成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.
【变式训练2】已知5sinα＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tanβ＝0.
【证明】因为5sinα＝3sin(α－2β)，所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，
所以5sin(α－β)cosβ＋5cos(α－β)sinβ＝3sin(α－β)cosβ－3cos(α－β)sinβ，
所以2sin(α－β)cosβ＋8cos(α－β)sinβ＝0.
即tan(α－β)＋4tanβ＝0.
题型三三角恒等变换的应用
【例3】已知△ABC是非直角三角形.
(1)求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC；
(2)若A＞B且tanA＝－2tanB，求证：tanC＝sin2B3－cos2B；
(3)在(2)的条件下，求tanC的最大值.
【解析】(1)因为C＝π－(A＋B)，
所以tanC＝－tan(A＋B)＝－(tanA＋tanB)1－tanAtanB，
所以tanC－tanAtanBtanC＝－tanA－tanB，
即tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.
(2)由(1)知tanC＝－(tanA＋tanB)1－tanAtanB＝tanB1＋2tan2B＝sinBcosBcos2B＋2sin2B＝
＝sin2B2(2－1＋cos2B2)＝sin2B3－cos2B.
(3)由(2)知tanC＝tanB1＋2tan2B＝12tanB＋1tanB≤122＝24，
当且仅当2tanB＝1tanB，即tanB＝22时，等号成立.
所以tanC的最大值为24.
【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识.
【变式训练3】在△ABC中，tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，3tanA＋3tanB＋1＝tanAtanB，试判断△ABC的形状.
【解析】由已知得tanB＋tanC＝3(1－tanBtanC)，
3(tanA＋tanB)＝－(1－tanAtanB)，
即tanB＋tanC1－tanBtanC＝3，tanA＋tanB1－tanAtanB＝－33.
所以tan(B＋C)＝3，tan(A＋B)＝－33.
因为0＜B＋C＜π，0＜A＋B＜π，所以B＋C＝π3，A＋B＝5π6.
又A＋B＋C＝π，故A＝2π3，B＝C＝π6.
所以△ABC是顶角为2π3的等腰三角形.
总结提高
三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：①统一角度，即化为同一个角的三角函数；②统一名称，即化为同一种三角函数；③统一结构形式.

5.5三角函数的图象和性质

典例精析
题型一三角函数的周期性与奇偶性
【例1】已知函数f(x)＝2sinx4cosx4＋3cosx2.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)令g(x)＝f(x＋π3)，判断g(x)的奇偶性.
【解析】(1)f(x)＝2sinx4cosx4＋3cosx2＝sinx2＋3cosx2＝2sin(x2＋π3)，
所以f(x)的最小正周期T＝2π12＝4π.
(2)g(x)＝f(x＋π3)＝2sin[12(x＋π3)＋π3]＝2sin(x2＋π2)＝2cosx2.
所以g(x)为偶函数.
【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.
【变式训练1】函数y＝sin2x＋sinxcosx的最小正周期T等于()
A.2πB.πC.π2D.π3
【解析】y＝1－cos2x2＋12sin2x＝22(22sin2x－22cos2x)＋12
＝22sin(2x－π4)＋12，所以T＝2π2＝π.故选B.
题型二求函数的值域
【例2】求下列函数的值域：
(1)f(x)＝sin2xsinx1－cosx；
(2)f(x)＝2cos(π3＋x)＋2cosx.
【解析】(1)f(x)＝2sinxcosxsinx1－cosx＝2cosx(1－cos2x)1－cosx＝2cos2x＋2cosx
＝2(cosx＋12)2－12，
当cosx＝1时，f(x)max＝4，但cosx≠1，所以f(x)＜4，
当cosx＝－12时，f(x)min＝－12，所以函数的值域为[－12，4).
(2)f(x)＝2(cosπ3cosx－sinπ3sinx)＋2cosx
＝3cosx－3sinx＝23cos(x＋π6)，
所以函数的值域为[－23，23].
【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键.
【变式训练2】求y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域.
【解析】令t＝sinx＋cosx，则有t2＝1＋2sinxcosx，即sinxcosx＝t2－12.
所以y＝f(t)＝t＋t2－12＝12(t＋1)2－1.
又t＝sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)，所以－2≤t≤2.
故y＝f(t)＝12(t＋1)2－1(－2≤t≤2)，
从而f(－1)≤y≤f(2)，即－1≤y≤2＋12.
所以函数的值域为[－1，2＋12].
题型三三角函数的单调性
【例3】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示.
(1)求ω，φ的值；
(2)设g(x)＝f(x)f(x－π4)，求函数g(x)的单调递增区间.
【解析】(1)由图可知，T＝4(π2－π4)＝π，ω＝2πT＝2.
又由f(π2)＝1知，sin(π＋φ)＝1，又f(0)＝－1，所以sinφ＝－1.
因为|φ|＜π，所以φ＝－π2.
(2)f(x)＝sin(2x－π2)＝－cos2x.
所以g(x)＝(－cos2x)[－cos(2x－π2)]＝cos2xsin2x＝12sin4x.
所以当2kπ－π2≤4x≤2kπ＋π2，即kπ2－π8≤x≤kπ2＋π8(k∈Z)时g(x)单调递增.
故函数g(x)的单调增区间为[kπ2－π8，kπ2＋π8](k∈Z).
【点拨】观察图象，获得T的值，然后再确定φ的值，体现了数形结合的思想与方法.
【变式训练3】使函数y＝sin(π6－2x)(x∈[0，π])为增函数的区间是()
A.[0，π3]B.[π12，7π12]
C.[π3，5π6]D.[5π6，π]
【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选C.
总结提高
1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.
2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.
3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.
4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.

5.6函数y＝Asin(ωx＋)的图象和性质

典例精析
题型一“五点法”作函数图象
【例1】设函数f(x)＝sinωx＋3cosωx(ω＞0)的周期为π.
(1)求它的振幅、初相；
(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到.
【解析】(1)f(x)＝sinωx＋3cosωx＝2(12sinωx＋32cosωx)＝2sin(ωx＋π3)，
又因为T＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋π3)，
所以函数f(x)＝sinωx＋3cosωx(ω＞0)的振幅为2，初相为π3.
(2)列出下表，并描点画出图象如图所示.
(3)把y＝sinx图象上的所有点向左平移π3个单位，得到y＝sin(x＋π3)的图象，再把
y＝sin(x＋π3)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y＝sin(2x＋π3)的图象，然后把y＝sin(2x＋π3)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin(2x＋π3)的图象.
【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)形式，再令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π求出相应的x值及相应的y值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.

【变式训练1】函数

的图象如图所示，则()
A.k＝12，ω＝12，φ＝π6
B.k＝12，ω＝12，φ＝π3
C.k＝12，ω＝2，φ＝π6
D.k＝－2，ω＝12，φ＝π3
【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k＝12.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数ω由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T＝4×(8π3－5π3)＝4π，故ω＝12.将点(5π3，0)代入解析式y＝2sin(12x＋φ)，得12×5π3＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－5π6，k∈Z.结合各选项可知，选项A正确.
题型二三角函数的单调性与值域
【例2】已知函数f(x)＝sin2ωx＋3sinωxsin(ωx＋π2)＋2cos2ωx，x∈R(ω＞0)在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.
(1)求ω的值；
(2)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间.
【解析】(1)f(x)＝32sin2ωx＋12cos2ωx＋32＝sin(2ωx＋π6)＋32.
令2ωx＋π6＝π2，将x＝π6代入可得ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋π6)＋32，经过题设的变化得到函数g(x)＝sin(12x－π6)＋32，
当x＝4kπ＋43π，k∈Z时，函数g(x)取得最大值52.
令2kπ＋π2≤12x－π6≤2kπ＋32π，
即[4kπ＋4π3，4kπ＋103π](k∈Z)为函数的单调递减区间.
【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.
【变式训练2】若将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点(π3，0)对称，则|φ|的最小值是()
A.π4B.π3C.π2D.3π4
【解析】将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到y＝2sin[3(x－π4)＋φ]＝2sin(3x－3π4＋φ)的图象.
因为该函数的图象关于点(π3，0)对称，所以2sin(3×π3－3π4＋φ)＝2sin(π4＋φ)＝0，
故有π4＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－π4(k∈Z).
当k＝0时，|φ|取得最小值π4，故选A.
题型三三角函数的综合应用
【例3】已知函数y＝f(x)＝Asin2(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).
(1)求φ的值；
(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2008).
【解析】(1)y＝Asin2(ωx＋φ)＝A2－A2cos(2ωx＋2φ)，
因为y＝f(x)的最大值为2，又A＞0，
所以A2＋A2＝2，所以A＝2，
又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，
所以12×2π2ω＝2，所以ω＝π4.
所以f(x)＝22－22cos(π2x＋2φ)＝1－cos(π2x＋2φ)，
因为y＝f(x)过点(1,2)，所以cos(π2＋2φ)＝－1.
所以π2＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，
解得φ＝kπ＋π4(k∈Z)，
又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π4.
(2)方法一：因为φ＝π4，
所以y＝1－cos(π2x＋π2)＝1＋sinπ2x，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4，
又因为y＝f(x)的周期为4,2008＝4×502.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＝4×502＝2008.
方法二：因为f(x)＝2sin2(π4x＋φ)，
所以f(1)＋f(3)＝2sin2(π4＋φ)＋2sin2(3π4＋φ)＝2，
f(2)＋f(4)＝2sin2(π2＋φ)＋2sin2(π＋φ)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，
又因为y＝f(x)的周期为4,2008＝4×502.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＝4×502＝2008.
【点拨】函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ，可得x＝kπ－φω，两相邻对称轴间的距离为周期的一半，解决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决.
【变式训练3】已知函数f(x)＝Acos2ωx＋2(A＞0，ω＞0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(20)＝.
【解析】f(x)＝Acos2ωx＋2＝A×1＋cos2ωx2＋2＝Acos2ωx2＋A2＋2，则由题意知A＋2＝6，2π2ω＝8，所以A＝4，ω＝π8，所以f(x)＝2cosπ4x＋4，所以f(2)＝4，f(4)＝2，f(6)＝4，f(8)＝6，f(10)＝4，…观察周期性规律可知f(2)＋f(4)＋…＋f(20)＝2×(4＋2＋4＋6)＋4＋2＝38.
总结提高
1.用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，关键是五个点的选取，一般令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整ωx＋φ的取值，以便列表时能使x在给定的区间内取值.
2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x本身而言的，无论沿x轴平移还是伸缩，变化的总是x.
3.在解决y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质时，应将ωx＋φ视为一个整体x后再与基本函数
y＝sinx的性质对应求解.

5.7正弦定理和余弦定理

典例精析
题型一利用正、余弦定理解三角形
【例1】在△ABC中，AB＝2，BC＝1，cosC＝34.
(1)求sinA的值；(2)求的值.
【解析】(1)由cosC＝34得sinC＝74.
所以sinA＝BCsinCAB＝1×742＝148.
(2)由(1)知，cosA＝528.
所以cosB＝－cos(A＋C)＝－cosAcosC＋sinAsinC
＝－15232＋7232＝－24.
所以＝(＋)＝＋
＝－1＋1×2×cosB＝－1－12＝－32.
【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识.
【变式训练1】在△ABC中，已知a、b、c为它的三边，且三角形的面积为a2＋b2－c24，则∠C＝.
【解析】S＝a2＋b2－c24＝12absinC.
所以sinC＝a2＋b2－c22ab＝cosC.所以tanC＝1，
又∠C∈(0，π)，所以∠C＝π4.
题型二利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题
【例2】设△ABC是锐角三角形，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边长，并且sin2A＝sin(π3＋B)sin(π3－B)＋sin2B.
(1)求角A的值；
(2)若＝12，a＝27，求b，c(其中b＜c).
【解析】(1)因为sin2A＝(32cosB＋12sinB)(32cosB－12sinB)＋sin2B＝34cos2B－14sin2B＋sin2B＝34，所以sinA＝±32.又A为锐角，所以A＝π3.
(2)由＝12可得cbcosA＝12.①
由(1)知A＝π3，所以cb＝24.②
由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcosA，将a＝27及①代入得c2＋b2＝52.③
③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10.
因此，c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根.
又b＜c，所以b＝4，c＝6.
【点拨】本小题考查两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力.
【变式训练2】在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且满足(2a－c)cosB＝
bcosC.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝7，a＋c＝4，求△ABC的面积.
【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
代入(2a－c)cosB＝bcosC，
整理得2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB，
即2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sinA，
在△ABC中，sinA＞0,2cosB＝1，
因为∠B是三角形的内角，所以B＝60°.
(2)在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB
＝(a＋c)2－2ac－2accosB，
将b＝7，a＋c＝4代入整理，得ac＝3.
故S△ABC＝12acsinB＝32sin60°＝334.
题型三正、余弦定理在实际问题中的应用
【例3】(2010陕西)如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点需要多长时间？
【解析】由题意知AB＝5(3＋3)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，
所以DB＝＝
＝＝53(3＋1)3＋12＝103(海里).
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203海里，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BDBCcos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，
所以CD＝30(海里)，则需要的时间t＝3030＝1(小时).
所以，救援船到达D点需要1小时.
【点拨】应用解三角形知识解决实际问题的基本步骤是：
(1)根据题意，抽象地构造出三角形；
(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边与角的对应关系；
(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解；
(4)给出结论.
【变式训练3】如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进mkm后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围nkm范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件时，该船没有触礁危险.
【解析】由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得BMsin(90°－α)＝msin(α－β)，解得BM＝mcosαsin(α－β)，要使船没有触礁危险需要BMsin(90°－β)＝mcosαcosβsin(α－β)＞n.所以α与β的关系满足mcosαcosβ＞nsin(α－β)时，船没有触礁危险.
总结提高
1.正弦定理、余弦定理体现了三角形中角与边存在的一种内在联系，如证明两内角A＞B与sinA＞sinB是一种等价关系.
2.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系转化，统一转化为边的关系或统一转化为角的关系，再用恒等变形(如因式分解、配方)求解，注意等式两边的公因式不要随意约掉，否则会漏解.
3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条件判断角的范围，以免增解或漏解.

5.8三角函数的综合应用

典例精析
题型一利用三角函数的性质解应用题
【例1】如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是一半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在上，相邻两边CQ、CR分别落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.
【解析】如图，连接AP，过P作PM⊥AB于M.
设∠PAM＝α，0≤α≤π2，
则PM＝90sinα，AM＝90cosα，
所以PQ＝100－90cosα，PR＝100－90sinα，
于是S四边形PQCR＝PQPR
＝(100－90cosα)(100－90sinα)
＝8100sinαcosα－9000(sinα＋cosα)＋10000.
设t＝sinα＋cosα，则1≤t≤2，sinαcosα＝t2－12.
S四边形PQCR＝8100t2－12－9000t＋10000
＝4050(t－109)2＋950(1≤t≤2).
当t＝2时，(S四边形PQCR)max＝14050－90002m2；
当t＝109时，(S四边形PQCR)min＝950m2.
【点拨】同时含有sinθcosθ，sinθ±cosθ的函数求最值时，可设sinθ±cosθ＝t，把sinθcosθ用t表示，从而把问题转化成关于t的二次函数的最值问题.注意t的取值范围.
【变式训练1】若0＜x＜π2，则4x与sin3x的大小关系是()
A.4x＞sin3xB.4x＜sin3x
C.4x≥sin3xD.与x的值有关
【解析】令f(x)＝4x－sin3x，则f′(x)＝4－3cos3x.因为f′(x)＝4－3cos3x＞0，所以f(x)为增函数.又0＜x＜π2，所以f(x)＞f(0)＝0，即得4x－sin3x＞0.所以4x＞sin3x.故选A.
题型二函数y＝Asin(ωx＋φ)模型的应用
【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t).下表是某日各时的浪花高度数据.
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放.请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
【解析】(1)由表中数据知，周期T＝12，所以ω＝2πT＝2π12＝π6.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
所以A＝0.5，b＝1，所以振幅为12.所以y＝12cosπ6t＋1.
(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，
所以12cosπ6t＋1＞1，所以cosπ6t＞0，
所以2kπ－π2＜π6t＜2kπ＋π2，即12k－3＜t＜12k＋3.①
因为0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.
故在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.
【点拨】用y＝Asin(ωx＋φ)模型解实际问题，关键在于根据题目所给数据准确求出函数解析式.
【变式训练2】如图，一个半径为10m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P到水面的距离为dm(P在水面下则d为负数)，则d(m)与时间t(s)之间满足关系式：d＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)，且当点P从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：①A＝10；②ω＝2π15；③φ＝π6；④k＝5.其中正确结论的序号是.
【解析】①②④.
题型三正、余弦定理的应用
【例3】为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如图所示)，飞机能测量的数据有俯角和A、B之间的距离，请设计一个方案，包括：(1)指出需测量的数据(用字母表示，并在图中标示)；(2)用文字和公式写出计算M、N间距离的步骤.
【解析】(1)如图所示：①测AB间的距离a；②测俯角∠MAB＝φ，∠NAB＝θ，∠MBA＝β，∠NBA＝γ.(2)在△ABM中，∠AMB＝π－φ－β，由正弦定理得
BM＝ABsinφsin∠AMB＝asinφsin(φ＋β)，
同理在△BAN中，BN＝ABsinθsin∠ANB＝asinθsin(θ＋γ)，
所以在△BMN中，由余弦定理得
MN＝
＝a2sin2φsin2(φ＋β)＋a2sin2θsin2(θ＋γ)－2a2sinθsinφcos(γ－β)sin(φ＋β)sin(θ＋γ).
【变式训练3】一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是海里/小时.
【解析】本题考查实际模型中的解三角形问题.依题意作出简图，易知AB＝10，∠OCB＝60°，∠OCA＝75°.我们只需计算出OC的长，即可得出船速.在直角三角形OCA和OCB中，显然有OBOC＝tan∠OCB＝tan60°且OAOC＝tan∠OCA＝tan75°，
因此易得AB＝OA－OB＝OC(tan75°－tan60°)，即有
OC＝ABtan75°－tan60°＝10tan75°－tan60°
＝10tan(30°＋45°)－tan60°
＝10tan30°＋tan45°1－tan30°tan45°－tan60°＝1013＋11－13－3＝5.
由此可得船的速度为5海里÷0.5小时＝10海里/小时.
总结提高
1.解三角形的应用题时应注意：
(1)生活中的常用名词，如仰角，俯角，方位角，坡比等；
(2)将所有已知条件化入同一个三角形中求解；
(3)方程思想在解题中的运用.
2.解三角函数的综合题时应注意：
(1)与已知基本函数对应求解，即将ωx＋φ视为一个整体X；
(2)将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsinx＋c；
(3)换元方法在解题中的运用.

高三数学三角函数的图象解析式

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师能够井然有序的进行教学。写好一份优质的教案要怎么做呢？以下是小编为大家收集的“高三数学三角函数的图象解析式”仅供您在工作和学习中参考。

一、明确复习目标1.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，2.会用"五点法"画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解Aω、φ的物理意义3.会由图象求y=Asin(ωx+φ)的解析式.二．建构知识网络1．三角函数线[见课本]利用三角函数线可以:比较三角函数值的大小,求取值范围,证明:"若0