高中三角函数教案

发表时间：2020-10-13

三角函数线。

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第六教时
教材：三角函数线
目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”
二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义：
用单位圆中的线段表示三角函数值
三、新授：
1．介绍（定义）“单位圆”—圆心在原点O，半径等于单位长度的圆
2．作图：（课本P14图4-12）
此处略……………………………
设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，角的终边也与单位圆交于P，坐标轴正半轴分别与单位圆交于A、B两点
过P(x,y)作PMx轴于M，过点A(1,0)作单位圆切线，与角的终边或其反向延长线交于T，过点B(0,1)作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线交于S
3．简单介绍“向量”（带有“方向”的量—用正负号表示）
“有向线段”（带有方向的线段）
方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。
例：有向线段OM，OP长度分别为
当OM=x时若OM看作与x轴同向OM具有正值x
若OM看作与x轴反向OM具有负值x
4．
有向线段MP,OM,AT,BS分别称作
角的正弦线,余弦线,正切线,余切线
四、例一．利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1与2tan与tan3cot与cot
解：如图可知：
tantan
cotcot
例二利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角
1sin≥2tan
解：12
30≤≤1503090或210270
例三求证：若时，则sin1sin2
证明：分别作1,2的正弦线x的终边不在x轴上
sin1=M1P1sin2=M2P2
∵
∴M1P1M2P2即sin1sin2

五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线
六、作业：课本P15练习P20习题4.32
补充：解不等式：()
1sinx≥2tanx3sin2x≤

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任意角的三角函数

一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助高中教师提前熟悉所教学的内容。高中教案的内容要写些什么更好呢？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“任意角的三角函数”，欢迎大家与身边的朋友分享吧！

4-1.2.1任意角的三角函数（二）
教学目的：
知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；
2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；
3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。
教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。
教学过程：
一、复习引入：
1.三角函数的定义
2.诱导公式
练习1.D
练习2.B
练习3.C
二、讲解新课：
当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
有向线段：带有方向的线段。
2．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，
过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延
长线交与点.
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
，，

我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂
足；正切线由切点指向与的终边的交点。
（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的
为负值。
（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
4．例题分析：
例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）；（2）；（3）；（4）．
解：图略。
例5.利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围．

答案：（1）；（2）；
三、巩固与练习：P17面练习
四、小结：本节课学习了以下内容：
1．三角函数线的定义；
2．会画任意角的三角函数线；
3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。
五、课后作业：作业4

参考资料
例1.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1与2与
解：如图可知：
tantan
例2．利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角
1sin≥2tan
解：12

30≤≤150

3090或210270

补充：1．利用余弦线比较的大小；
2．若，则比较、、的大小；
3．分别根据下列条件，写出角的取值范围：
（1）；（2）；（3）．

三角函数教案

二、复习要求
1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念;
2、三角公式,包括诱导公式,同角三角函数关系式和差倍半公式等;
3、三角函数的图象及性质。
三、学习指导
1、角的概念的推广。从运动的角度,在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。这样一来,在直角坐标系中,当角的终边确定时,其大小不一定(通常把角的始边放在x轴正半轴上,角的顶点与原点重合,下同)。为了把握这些角之间的联系,引进终边相同的角的概念,凡是与终边α相同的角,都可以表示成k·3600α的形式,特例,终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800,k∈Z},终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800900,k∈Z},终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900,k∈Z}。
在已知三角函数值的大小求角的大小时,通常先确定角的终边位置,然后再确定大小。
弧度制是角的度量的重要表示法,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度制。在弧度制下,扇形弧长公式l=|α|R,扇形面积公式,其中α为弧所对圆心角的弧度数。
2、利用直角坐标系,可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点,从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。
设P(x,y)是角α终边上任一点(与原点不重合),记,则,,,。
利用三角函数定义,可以得到(1)诱导公式:即与α之间函数值关系(k∈Z),其规律是奇变偶不变,符号看象限;(2)同角三角函数关系式:平方关系,倒数关系,商数关系。
3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式,诱导公式是和差公式的特例,对公式要熟练地正用、逆用、变用。如倍角公式:cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α,变形后得,可以作为降幂公式使用。
三角变换公式除用来化简三角函数式外,还为研究三角函数图象及性质做准备。
4、三角函数的性质除了一般函数通性外,还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义:设T为非零常数,若对f(x)定义域中的每一个x,均有f(xT)=f(x),则称T为f(x)的周期。当T为f(x)周期时,kT(k∈Z,k≠0)也为f(x)周期。
三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法,熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。
5、本章思想方法
(1)等价变换。熟练运用公式对问题进行转化,化归为熟悉的基本问题;
(2)数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题;
(3)分类讨论。
四、典型例题
例1、已知函数f(x)=
(1)求它的定义域和值域;
(2)求它的单调区间;
(3)判断它的奇偶性;
(4)判断它的周期性。
分析:
(1)x必须满足sinx-cosx0,利用单位圆中的三角函数线及,k∈Z
∴函数定义域为,k∈Z
∵
∴当x∈时,
∴
∴
∴函数值域为[)
(3)∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称
∴f(x)不具备奇偶性
(4)∵f(x2π)=f(x)
∴函数f(x)最小正周期为2π
注;利用单位圆中的三角函数线可知,以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准,可区分sinx-cosx的符号;
以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准,可区分sinxcosx的符号,如图。
例2、化简,α∈(π,2π)
分析:
凑根号下为完全平方式,化无理式为有理式
∵
∴原式=
∵α∈(π,2π)
∴
∴
当时,
∴原式=
当时,
∴原式=
∴原式=
注:
1、本题利用了1的逆代技巧,即化1为,是欲擒故纵原则。一般地有,,。
2、三角函数式asinxbcosx是基本三角函数式之一,引进辅助角,将它化为(取)是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx,±sinx±cosx,要熟练掌握变形结论。
例3、求。
分析:
原式=
注:在化简三角函数式过程中,除利用三角变换公式,还需用到代数变形公式,如本题平方差公式。
例4、已知00αβ900,且sinα,sinβ是方程=0的两个实数根,求sin(β-5α)的值。
分析:
由韦达定理得sinαsinβ=cos400,sinαsinβ=cos2400-
∴sinβ-sinα=
又sinαsinβ=cos400
∴
∵00αβ900
∴
∴sin(β-5α)=sin600=
注:利用韦达定理变形寻找与sinα,sinβ相关的方程组,在求出sinα,sinβ后再利用单调性求α,β的值。
例5、(1)已知cos(2αβ)5cosβ=0,求tan(αβ)·tanα的值;
(2)已知,求的值。
分析:
(1)从变换角的差异着手。
∵2αβ=(αβ)α,β=(αβ)-α
∴8cos[(αβ)α]5cos[(αβ)-α]=0
展开得:
13cos(αβ)cosα-3sin(αβ)sinα=0
同除以cos(αβ)cosα得:tan(αβ)tanα=
(2)以三角函数结构特点出发
∵
∴
∴tanθ=2
∴
注;齐次式是三角函数式中的基本式,其处理方法是化切或降幂。
例6、已知函数(a∈(0,1)),求f(x)的最值,并讨论周期性,奇偶性,单调性。
分析:
对三角函数式降幂
∴f(x)=
令
则y=au
∴0a1
∴y=au是减函数
∴由得,此为f(x)的减区间
由得,此为f(x)增区间
∵u(-x)=u(x)
∴f(x)=f(-x)
∴f(x)为偶函数
∵u(xπ)=f(x)
∴f(xπ)=f(x)
∴f(x)为周期函数,最小正周期为π
当x=kπ(k∈Z)时,ymin=1
当x=kπ(k∈Z)时,ynax=
注:研究三角函数性质,一般降幂化为y=Asin(ωxφ)等一名一次一项的形式。
同步

(一)选择题
1、下列函数中,既是(0,)上的增函数,又是以π为周期的偶函数是
A、y=lgx2B、y=|sinx|C、y=cosxD、y=
2、如果函数y=sin2xacos2x图象关于直线x=-对称,则a值为
A、-B、-1C、1D、
3、函数y=Asin(ωxφ)(A0,φ0),在一个周期内,当x=时,ymax=2;当x=时,ymin=-2,则此函数解析式为
A、B、
C、D、
4、已知=1998,则的值为
A、1997B、1998C、1999D、2000
5、已知tanα,tanβ是方程两根,且α,β,则αβ等于
A、B、或C、或D、
6、若,则sinx·siny的最小值为
A、-1B、-C、D、
7、函数f(x)=3sin(x100)5sin(x700)的最大值是
A、5.5B、6.5C、7D、8
8、若θ∈(0,2π],则使sinθcosθcotθtanθ成立的θ取值范围是
A、()B、()C、()D、()
9、下列命题正确的是
A、若α,β是第一象限角,αβ,则sinαsinβ
B、函数y=sinx·cotx的单调区间是,k∈Z
C、函数的最小正周期是2π
D、函数y=sinxcos2φ-cosxsin2x的图象关于y轴对称,则,k∈Z
10、函数的单调减区间是
A、B、
B、D、k∈Z
(二)填空题
11、函数f(x)=sin(xθ)cos(x-θ)的图象关于y轴对称,则θ=________。
12、已知αβ=,且(tanαtanβc)tanα=0(c为常数),那么tanβ=______。
13、函数y=2sinxcosx-(cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为________。
14、已知(x-1)2(y-1)2=1,则xy的最大值为________。
15、函数f(x)=sin3x图象的对称中心是________。
(三)解答题
16、已知tan(α-β)=,tanβ=,α,β∈(-π,0),求2α-β的值。
17、是否存在实数a,使得函数y=sin2xacosx在闭区间[0,]上的最大值是1?若存在,求出对应的a值。
18、已知f(x)=5sinxcosx-cos2x(x∈R)
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)单调区间;
(3)求f(x)图象的对称轴,对称中心。
参考答案
(一)选择题
1、B2、B3、B4、B5、A6、C7、C8、C9、D10、B
(二)填空题
11、,k∈Z12、13、-414、15、(,0)
(三)解答题
16、
17、
18、(1)T=π
(2)增区间[kπ-,kππ],减区间[kπ
(3)对称中心(,0),对称轴,k∈

《任意角三角函数》教学反思

“任意角的三角函数”是三角函数这一章里最重要的一节课，是本章的基础，也是学生难以理解的地方。因此，本节课的重点放在了任意角的三角函数的理解上。在本节课的开头以学生所熟悉的直角三角形的锐角入手，引导学生尝试探究，逐步深入，引出任意三角函数的定义，以问题的形式巩固深化任意角三角函数值的计算。引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在活动中体验数学与社会的联系，新旧知识的内在联系。

通过任意角三角函数的定义，启发学生找到各个三角函数在每个象限的符号以及在坐标轴上的值。并用“一全正，二正弦，三余弦，四正切”这一句话来概括了各个象限的符号。

在例题的设置上，例1是已知一个角终边上一点的坐标，求这个角的三个三角函数值。通过这个例题的练习，让学生更好地巩固了任意三角函数的定义，会求任意一个角的三角函数。例2和例3的设置是让学生进一步熟记各个三角函数在每个象限的范围以及坐标轴上的值。例4是把几个三角函数组合在一起，形成一个新的函数，结合函数的表达形式求定义域，能够让学生反过来已知三角函数值的符号去判断角的大小.

但是，要想让学生真正的学会并且灵活运用所学的知识，只靠老师上课讲是远远不够的，还需要学生在课下多做练习才行，所以，在讲课的基础上，我们还需要督促学生多做练习，因为只有熟才能够生巧，在以后的教学中，我还需要多多反思，多多探索。

三角函数的诱导公式

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助教师营造一个良好的教学氛围。你知道怎么写具体的教案内容吗？考虑到您的需要，小编特地编辑了“三角函数的诱导公式”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

1．3诱导公式（二）
教学目标
（一）知识与技能目标
⑴理解正弦、余弦的诱导公式．
⑵培养学生化归、转化的能力．
（二）过程与能力目标
（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．
（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．
（三）情感与态度目标
通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．
教学重点
掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．
教学难点
运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．
教学过程
一、复习：
诱导公式（一）
诱导公式（二）
诱导公式（三）
诱导公式（四）
sin(p－a)=sinacos(p－a)=－cosatan(p－a)=－tana
诱导公式(五)
诱导公式（六）
二、新课讲授：
练习1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：
练习2：求下列函数值：
例1．证明：（1）
（2）
例2．化简：
解：
例4.