不等式的证实3。

一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师能够井然有序的进行教学。所以你在写教案时要注意些什么呢？下面是由小编为大家整理的“不等式的证实3”，仅供参考，希望能为您提供参考！

不等式的证实3第四课时
教学目标
1.把握分析法证实不等式;
2.理解分析法实质——执果索因;
3.提高证实不等式证法灵活性.
教学重点分析法
教学难点分析法实质的理解
教学方法启发引导式
教学活动
(一)导入新课
(教师活动)教师提出问题,待学生回答和思考后点评.
(学生活动)回答和思考教师提出的问题.
[问题1]我们已经学习了哪几种不等式的证实方法?什么是比较法?什么是综合法?
[问题2]能否用比较法或综合法证实不等式:
[点评]在证实不等式时,若用比较法或综合法难以下手时,可采用另一种证实方法:分析法.(板书课题)
设计意图:复习已学证实不等式的方法.指出用比较法和综合法证实不等式的不足之处,
激发学生学习新的证实不等式知识的积极性,导入本节课学习内容:用分析法证实不等式.
(二)新课讲授
尝试探索、建立新知
(教师活动)教师讲解综合法证实不等式的逻辑关系,然后提出问题供学生研究,并点评.帮助学生建立分析法证实不等式的知识体系.投影分析法证实不等式的概念.
(学生活动)与教师一道分析综合法的逻辑关系,在教师启发、引导下尝试探索,构建新知.
[讲解]综合法证实不等式的逻辑关系:以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论,逐步寻找它成立的必要条件,直到必要条件就是要证实的不等式.
[问题1]我们能不能用同样的思考问题的方式,把要证实的不等式作为结论,逐步去寻找它成立的充分条件呢?
[问题2]当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时,说明了什么呢?
[问题3]说明要证实的不等式成立的理由是什么呢?
[点评]从要证实的结论入手,逆求使它成立的充分条件,直到充分条件显然成立为止,从而得出要证实的结论成立.就是分析法的逻辑关系.
[投影]分析法证实不等式的概念.(见课本)
设计意图:对比综合法的逻辑关系,教师层层设置问题,激发学生积极思考、研究.建立新的知识;分析法证实不等式.培养学习创新意识.
例题示范、学会应用
(教师活动)教师板书或投影例题,引导学生研究问题,构思证题方法,学会用分析法证实不等式,并点评用分析法证实不等式必须注重的问题.
(学生活动)学生在教师引导下,研究问题,与教师一道完成问题的论证.
例1求证
[分析]此题用比较法和综合法都很难入手,应考虑用分析法.
证实:(见课本)
[点评]证实某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难.此例中,我们很难想到从“”入手,因此,在不等式的证实中,分析法占有重要的位置,我们常用分析法探索证实途径,然后用综合法的形式写出证实过程,这是解决数学问题的一种重要思维方法,事实上,有些综合法的表述正是建立在分析法思考的基础上,分析法的优越性正体现在此.
例2已知:,求证:(用分析法)请思考下列证法有没有错误?若有错误,错在何处?
[投影]证法一:因为,所以、去分母,化为,就是.由已知成立,所以求证的不等式成立.
证法二:欲证,因为
只需证,
即证,
即证
因为成立,所以成立.
(证法二正确,证法一错误.错误的原因是:虽然是从结论出发,但不是逐步逆战结论成立的充分条件,事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件,所以不符合分析法的逻辑原理,犯了逻辑上的错误.)
[点评]①用分析法证实不等式的逻辑关系是:
(结论)(步步寻找不等式成立的充分条件)(结论)
分析法是“执果索因”,它与综合法的证实过程(由因导果)恰恰相反.②用分析法证实时要注重书写格式.分析法论证“若A则B”这个命题的书写格式是:
要证命题B为真,
只需证实为真,从而有……
这只需证实为真,从而又有……
……
这只需证实A为真.
而已知A为真,故命题B必为真.
要理解上述格式中蕴含的逻辑关系.
[投影]例3证实:通过水管放水,当流速相同时,假如水管截面(指横截面,下同)的周长相等,那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
[分析]设未知数,列方程,因为当水的流速相同时,水管的流量取决于水管截面面积的大小,设截面的周长为,则周长为的圆的半径为,截面积为;周长为的正方形边长为,截面积为,所以本题只需证实:
证实:(见课本)
设计意图:理解分析法与综合法的内在联系,说明分析法在证实不等式中的重要地位.掌
握分析法证实不等式,非凡重视分析法证题格式及格式中蕴含的逻辑关系.灵活把握分析法的应用,培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.
课堂练习
(教师活动)打出字幕(练习),请甲、乙两位同学板演,巡视学生的解题情况,对正确的证法给予肯定,对偏差及时纠正.点评练习中存在的问题.
(学生活动)在笔记本上完成练习,甲、乙两位同学板演.
字幕练习1.求证
2.求证:
设计意图:把握用分析法证实不等式,反馈课堂效果,调节课堂教学.
分析归纳、小结解法
(教师活动)分析归纳例题和练习的解题过程,小给用分析法证实不等式的解题方法.
(学生活动)与教师一道分析归纳,小结解题方法,并记录笔记.
1.分析法是证实不等式的一种常用基本方法.当证题不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决,非凡是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的.
2.用分析法证实不等式时,要正确运用不等式的性质逆找充分条件,注重分析法的证题格式.
设计意图:培养学生分析归纳问题的能力,把握分析法证实不等式的方法.
(三)小结
(教师活动)教师小结本节课所学的知识.
(学生活动)与教师一道小结,并记录笔记.
本节课主要学习了用分析法证实不等式.应用分析法证实不等式时,把握一些常用技巧:
通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母,两边乘方、开方等.在使用这些技巧变形时,要注重遵循不等式的性质.另外还要适当把握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用.理解分析法和综合法是对立统一的两个方面.有时可以用分析法思考,而用综合法书写证实,或者分析法、综合法相结合,共同完成证实过程.
设计意图:培养学生对所学知识进行概括归纳的能力,巩固所学知识.
(四)布置作业
1.课本作业:P174、5.
2.思考题:若,求证
3.研究性题:已知函数,,若、,且证实
设计意图:思考题供学有余力同学练习,研究性题供学生研究分析法证实有关问题.
(五)课后点评
教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程.本节课在形成分析法证实不等式认知结构中,教师提出问题或引导学生发现问题,然后开拓学生思路,启迪学生聪明,求得问题解决.一个问题解决后,及时地提出新问题,提高学生的思维层次,逐步由非凡到一般,由具体到抽象,由表面到本质,把学生的思维步步引向深入,直到完成本节课的教学任务.总之,本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始,到问题深化,始终处于积极主动状态.
本节课练中有讲,讲中有练,讲练结合.在讲与练的互相作用下,使学生的思维逐步深化.教师提出的问题和例题,先由学生自己研究,然后教师分析与概括.在教师讲解中,又不断让学生练习,力求在练习中加深理解,尽量改变课堂上教师包括办代替的做法.
在安排本节课教学内容时,按熟悉规律,由浅入深,由易及难,逐渐展开教学内容,让学生形成有序的知识结构.
作业答案:
思考题:
.因为,故,所以成立.
研究性题:令,,则:
,,
故原不等式等价于
由已知有.。所以上式等价于,即。所以又等价于.因为,上式成立,所以原不等式成立。
不等式的实际解释
题目:不等式:是正数,且,则。可以给出一个具有实际背景的解释:在溶液里加溶质则浓度增加,即个单位溶液中含有个单位的溶质,其浓度小于加入个单位溶质后的溶液浓度,请你仿照此例,给出两个不等式的解释。
分析与解
1.先看问题中的不等式,建筑学规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好。我们知道假如同时增加相等的窗户面积和地板面积,那么住宅的条件变好。
设地板面积为平方米,窗户面积为平方米,若窗户面积和地板面积同时增加相等的平方米,住宅的采光条件变好了,即有
2.是正数,不等式可以推出,我们可以用混合溶液来解释:两个不同浓度的溶液混合后,其浓度介于混合前两溶液浓度之间。
3.电阻串并联。电阻值为、的电阻,串联电阻为,并联电阻为,串联电阻变大,并联电阻变小,因此有不等式,即
说明许多数学结论是由实际问题抽象为数学问题后,通过数学的运算演变得到的。反过来,把抽象的数学结论还原为实际解释也是一种数学运用,值得大家关注。

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不等式的证实2

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助高中教师更好的完成实现教学目标。关于好的高中教案要怎么样去写呢？下面是由小编为大家整理的“不等式的证实2”，欢迎大家与身边的朋友分享吧！

不等式的证实2第二课时
教学目标
1.进一步熟练把握比较法证实不等式;
2.了解作商比较法证实不等式;
3.提高学生解题时应变能力.
教学重点比较法的应用
教学难点常见解题技巧
教学方法启发引导式
教学活动
(一)导入新课
(教师活动)教师打出字幕(复习提问),请三位同学回答问题,教师点评.
(学生活动)思考问题,回答.
[字幕]1.比较法证实不等式的步骤是怎样的?
2.比较法证实不等式的步骤中,依据、手段、目的各是什么?
3.用比较法证实不等式的步骤中,最关键的是哪一步?学了哪些常用的变形方法?对式子的变形还有其它方法吗?
[点评]用比较法证实不等式步骤中,关键是对差式的变形.在我们所学的知识中,对式子变形的常用方法除了配方、通分,还有因式分解.这节课我们将继续学习比较法证实不等式,积累对差式变形的常用方法和比较法思想的应用.(板书课题)
设计意图:复习巩固已学知识,衔接新知识,引入本节课学习的内容.
(二)新课讲授
尝试探索,建立新知
(教师活动)提出问题,引导学生研究解决问题,并点评.
(学生活动)尝试解决问题.
[问题]
1.化简
2.比较与()的大小.
(学生解答问题)
[点评]
①问题1,我们采用了因式分解的方法进行简化.
②通过学习比较法证实不等式,我们不难发现,比较法的思想方法还可用来比较两个式子的大小.
设计意图:启发学生研究问题,建立新知,形成新的知识体系.
例题示范,学会应用
(教师活动)教师打出字幕(例题),引导、启发学生研究问题,井点评解题过程.
(学生活动)分析,研究问题.
[字幕]例题3已知a,b是正数,且,求证
[分析]依题目特点,作差后重新组项,采用因式分解来变形.
证实:(见课本)
[点评]因式分解也是对差式变形的一种常用方法.此例将差式变形为几个因式的积的形式,在确定符号中,表达过程较复杂,如何书写证实过程,例3给出了一个好的示范.
[字幕]例4试问:与()的大小关系.并说明理由.
[分析]作差通分,对分子、分母因式分解,然后分类讨论确定符号.
解:
因为,所以,
若,则所以.
即
若,则所以.
即
若,则所以.
即
综上所述:时,
时,
时,
[点评]解这道题在判定符号时用了分类讨论,分类讨论是重要的数学思想方法.要理解为什么分类,怎样分类.分类时要不重不漏.
[字幕]例5甲、乙两人同时同地沿同一条路线走到同一地点.甲有一半时间以速度m行走,另一半时间以速度n行走;有一半路程乙以速度m行走,另一半路程以速度n行走,假如,问甲、乙两人谁先到达指定地点.
[分析]设从出发地点至指定地点的路程为,甲、乙两人走完这段路程用的时间分别为,,要回答题目中的问题,只要比较、的大小就可以了.
解:(见课本)
[点评]此题是一个实际问题,学习了如何利用比较法证实不等式的思想方法解决有关实际问题.要培养自己学数学,用数学的良好品质.
设计意图:巩固比较法证实不等式的方法,把握因式分解的变形方法和分类讨论确定符号的方法.培养学生应用知识解决实际问题的能力.
课堂练习
(教师活动)教师打出字幕(练习),要求学生独立思考,完成练习;请甲、乙两位学生板演;巡视学生的解题情况,对正确的给予肯定,对偏差及时纠正;点评练习中存在的问题.
(学生活动)在笔记本上完成练习,甲、乙两位同学板演.
[字幕]练习:1.设,比较与的大小.
2.已知,,求证
设计意图:把握比较法证实不等式及思想方法的应用.灵活把握因式分解法对差式的变形和分类讨论确定符号.反馈信息,调节课堂教学.
分析归纳、小结解法
(教师活动)分析归纳例题的解题过程,小结对差式变形、确定符号的常用方法和利用不等式解决实际问题的解题步骤.
(学生活动)与教师一道小结,并记录在笔记本上.
1.比较法不仅是证实不等式的一种基本、重要的方法,也是比较两个式子大小的一种重要方法.
2.对差式变形的常用方法有:配方法,通分法,因式分解法等.
3.会用分类讨论的方法确定差式的符号.
4.利用不等式解决实际问题的解题步骤:①类比列方程解应用题的步骤.②分析题意,设未知数,找出数量关系(函数关系,相等关系或不等关系),③列出函数关系、等式或不等式,④求解,作答.
设计意图:培养学生分析归纳问题的能力,把握用比较法证实不等式的知识体系.
(三)小结
(教师活动)教师小结本节课所学的知识及数学思想与方法.
(学生活动)与教师一道小结,并记录笔记.
本节课学习了对差式变形的一种常用方法——因式分解法;对符号确定的分类讨论法;应用比较法的思想解决实际问题.
通过学习比较法证实不等式,要明确比较法证实不等式的理论依据,理解转化,使问题简化是比较法证实不等式中所蕴含的重要数学思想,把握求差后对差式变形以及判定符号的重要方法,并在以后的学习中继续积累方法,培养用数学知识解决实际问题的能力.
设计意图:培养学生对所学的知识进行概括归纳的能力,巩固所学的知识,领会化归、类比、分类讨论的重要数学思想方法.
(四)布置作业
1.课本作业:P177、8。
2,思考题:已知,求证
3.研究性题:对于同样的距离,船在流水中往返行驶一次的时间和船在静水中往返行驶一次的时间是否相等?(假设船在流水中的速度和部在静水中的速度保持不变)
设计意图:思考题让学生了解商值比较法,把握分类讨论的思想.研究性题是使学生理论联系实际,用数学解决实际问题,提高应用数学的能力.
(五)课后点评
1.教学评价、反馈调节措施的构想:本节课采用启发引导,讲练结合的授课方式,发挥教师主导作用,体现学生主体地位,通过启发诱导学生深入思考问题,解决问题,反馈学习信息,调节教学活动.
2.教学措施的设计:由于对差式变形,确定符号是把握比较法证实不等式的关键,本节课在上节课的基础上继续学习差式变形的方法和符号的确定,例3和例4分别使学生把握因式分解变形和分类讨论确定符号,例5使学生对所学的知识会应用.例题设计目的在于突出重点,突破难点,学会应用.
作业答案
思考题:证实:
因为,所以当时,,故
又因为,所以
当时,,故,即,所以
当时,.故,即,所以
综上所述,
研究性题:设两地距离为,船在静水中的速度为,水流速度为(),则
所以船在流水中往返行驶一次的时间比在静水中往返行驶一次的时间长.
第三课时
教学目标
1.把握综合法证实不等式;
2.熟练把握已学的重要不等式;
3.增强学生的逻辑推理能力.
教学重点综合法
教学难点不等式性质的综合运用
教学方法启发引导式
教学活动
(-)导入新课
(教师活动)打出字幕(课前练习),引导学生回忆所学的知识,尽量用多种方法完成练习,投影学生不同解法,并点评.
(学生活动)完成练习.
[字幕]
1.证实().
2.比较与的大小,并证实你的结论.
1.证法一:由,所以
方法二:由,知,即,所以
2.答:
证法一:由,所以
证法二:由知,所以
[点评]两道题的证法一都是用的比较法,证法二我们在6.1节和6.2节已学过,这种方法是综合法,是本节课学习的内容.(板书课题)
设计意图:通过练习,复习比较法证实不等式,导入新课:综合法证实不等式.提出学习任务.
(二)新课讲授
尝试探索,建立新知
(教师活动)教师提出问题:用上述方法二证实,并点评证法的数学原理,
(学生活动)学生研究证实不等式.
[问题]证实
(证实:因为,所以,即.)
[点评]
①利用某些已知证实过的不等式(例如平均值定理)和不等式的性质推导出所要证实的不等式成立,这种证实方法通常叫做综合法.
②综合法证题方法:由已知推出结论.这里已知可以是已知的重要不等式,也可以是已知的不等式性质.
设计意图:探索解决问题的新方法,建立新知识,构建用综合法证实不等式的方法原理.
例题示范、学会应用
(教师活动)教师板书例题,引导学生研究问题,构思证题方法,学会用综合法证实不等式,并点评用综合法证实不等式必须注重的问题.
(学生活动)学生在教师诱导下,研究问题,与教师一道完成问题的论证.
例1已知,求证
[分析]由于不等式左边是和的形式,右边为常数,可用平均值定理作为已知不等式推证.
证实:因为,则,所以.故
[点评]此题的证实方法是综合法,在证实过程中,把平均值定理作为已知不等式,而平均值定理是有条件限制的,所以要用重要不等式作为已知不等式,注重要证的不等式必须符合重要不等式的条件和结构特征.
例2已知a,b,c是不全相等的正数,求证
[分析]由不等式右边为6abc是积的形式,左边是和的形式,可知由出发可证.
证实一(见课本)
证实二:
因为a,b,c是不全相等的正数.所以,,,且三式不能全取“=”号.
所以
即
[点评]
①综合法的思维特点是:由已知推出结论.用综合法证实不等式中常用的重要不等式有:
;();();(a,b同号),()。
②此例中条件a,b,c是不全相等的正数,所以最后所证不等式取不到等号.
③由于作为综合法证实依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出
的,所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比较法来证实.
我们在证实不等式时,选择方法要适当,不要对某种方法抱定不放,要善于观察,根据题目的特征选择证题方法.
设计意图:巩固用综合法证实不等式的知识,把握用综合法证实不等式中,常用的重要不等式,理解综合法证实不等式与比较法证实不等式的内在联系.
课堂练习
(教师活动)打出字幕(练习),请甲、乙两位同学板演,巡视学生的解题情况,对正确的证法给予肯定,对偏差及时纠正,点评练习中存在的问题.
(学生活动)在笔记本上完成练习.甲、乙两位同学板演.
[字幕]练习1已知,求证
2.已知,求证
设计意图:把握用综合法证实不等式,并会灵活运用重要不等式作为证实中的已知不等式.反馈课堂效果,调节课堂教学.
分析归纳,小结解法
(教师活动)分析归纳例题和练习的解题过程.小结用综合法证实不等式的解题方法.
(学生活动)与教师一道分析归纳,小结解题方法,并记录在笔记本上.
1.综合法是证实不等式的基本方法.用综合法证实不等式的逻辑关系是:…(A为已经证实过的不等式,B为要证的不等式).即综合法是“由因导果”.
2.运用不等式的性质和已证实过的木等式时,要注重它们各自成立的条件,这样才能使推理正确,结论无误.
设计意图:培养学生分析归纳问题的能力,把握综合法证实不等式的方法.
(三)小结
(教师活动)教师小结本节课所学的知识.
(学生活动)与教师一道小结,并记录在笔记本上.
本节课学习了用综合法证实不等式,用综合法证实不等式的依据是:l。已知条件和不等式性质;2.基本不等式.能用综合法证实的不等式一般可用比较法证实,用综合法证实不等式的依据是基本不等式时,要注重定理的使用条件和定理中“=”号成立的条件.
设计意图:培养学生对所学知识进行概括归纳的能力,巩固所学知识.
(四)布置作业
1.课本作业:P175.6.
2.思考题:若,求证
3.研究性题:某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资,假设以千米/小时的速度直达灾区.已知某市到灾区的公路线长400干米,为安全需要,两汽车间距不得小于千米.
那么,这批物资全部到达灾区的最短时间是多少?
设计意图:课本作业巩固基础知识,思考题供学有余力的同学完成.研究性题培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.
(五)课后点评
1.在导入新课时设计了两个练习题,尤其是稍放开一点的第2题,假如学生能自觉不自觉地用已学过的很常用而没正式讲过的综合法的思考方法解题,综合法的引入就会很自然,即使学生没有想到,教师引导起来也并不困难.因而顺着学生的思路,帮助学生形成用综合法证实不等式的知识结构.
2.例1与例2的学习使学生理解把握综合法证实不等式的原理,发现综合法与比较法的内在联系.在教学设计上,力图从学生的需要出发设计问题,帮助学生抓住知识的内在联系,使学到的方法能用、会用.
作业答案
思考题:证实:因为,又因为,所以.同理;将上述三个不等式相加得
所以
研究性题:设最后一辆车到达时用的时间为小时,则
所以最短时间为12小时.

不等式的性质3

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助高中教师能够井然有序的进行教学。那么如何写好我们的高中教案呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《不等式的性质3》，希望能为您提供更多的参考。

不等式的性质3探究活动
能得到什么结论
题目已知且,你能够推出什么结论?
分析与解:由条件推出结论,我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大,对已知变量作运算,运用不等式的性质,或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。
思路一:改变的范围,可得:
1.且;
2.且;
思路二:由已知变量作运算,可得:
3.且;
4.且;
5.且;
6.且;
7.且;
思路三:考虑含有的数学表达式具有的性质,可得:
8.(其中为实常数)是三次方程;
9.(其中为常数)的图象不可能表示直线。
说明从已知信息能够推出什么结论?这是我们经常需要思考的问题,这里给出的都是必要非充分条件,读者可以考虑是否能够写出充要条件;另外,运用推出关系的传递性,在推出结论的基础上进一步进行推理,还可得出很多结果,请读者考虑.
探究关系式是否成立的问题
题目当成立时,关系式是否成立?若成立,加以证实;若不成立,说明理由。
解:因为,所以,所以,
所以,
所以或
所以或
所以或
所以不可能成立。
说明:像本例这样的探索题,题目的结论是“两可”(即两种可能性)情形,而我们知道,说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析,不仅说明结论不成立,而且得出,必须同时大于1或同时小于1的结论。
探讨增加什么条件使命题成立
例适当增加条件,使下列命题各命题成立:
(1)若,则;
(2)若,则;
(3)若,,则;
(4)若,则
思路分析:本例为条件型开放题,需要依据不等式的性质,寻找使结论成立时所缺少的一个条件。
解:(1)
(2)。当时,
当时,
(3)
(4)
引申发散对命题(3),能否增加条件,或,,使其成立?请阐述你的理由。

不等式的性质

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？下面是由小编为大家整理的“不等式的性质”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

不等式的性质教学目标
1.理解不等式的性质,把握不等式各个性质的条件和结论之间的逻辑关系,并把握它们的证实方法以及功能、运用;
2.把握两个实数比较大小的一般方法;
3.通过不等式性质证实的学习,提高学生逻辑推论的能力;
4.提高本节内容的学习,;培养学生条理思维的习惯和认真严谨的学习态度;
教学建议
1.教材分析
(1)知识结构
本节首先通过数形结合,给出了比较实数大小的方法,在这个基础上,给出了不等式的性质,一共讲了五个定理和三个推论,并给出了严格的证实。
知识结构图
(2)重点、难点分析
在“不等式的性质”一节中,联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法,复习了初中学过的不等式的基本性质。
不等式的性质是穿越本章内容的一条主线,无论是算术平均数与几何平均数的定理的证实及其应用,不等式的证实和解一些简单的不等式,无不以不等式的性质作为基础。
本节的重点是比较两个实数的大小,不等式的五个定理和三个推论;难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。
①比较实数的大小
教材运用数形结合的观点,从实数与数轴上的点一一对应出发,与初中学过的知识“在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。
指出比较两实数大小的方法是求差比较法:
比较两个实数a与b的大小,归结为判定它们的差a-b的符号,而这又必然归结到实数运算的符号法则.
比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.
②理清不等式的几个性质的关系
教材中的不等式共5个定理3个推论,是从证实过程安排顺序的.从这几个性质的分类来说,可以分为三类:
(Ⅰ)不等式的理论性质:(对称性)
(传递性)
(Ⅱ)一个不等式的性质:
(n∈N,n1)
(n∈N,n1)
(Ⅲ)两个不等式的性质:
2.教法建议
本节课的核心是培养学生的变形技能,练习学生的推理能力.为今后证实不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础.
授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式.通过问答形式不断地给学生设置疑问(即:设疑);对教学难点,再由讲授形式解决疑问.(即:解疑).主要思路是:教师设疑→学生讨论→教师启发→解疑.
教学过程可分为:发现定理、定理证实、定理应用,采用由形象思维到抽象思维的过渡,发现定理、证实定理.采用类比联想,变形转化,应用定理或应用定理的证实思路;解决一些较简单的证实题.
第一课时
教学目标
1.把握实数的运算性质与大小顺序间关系;
2.把握求差法比较两实数或代数式大小;
3.强调数形结合思想.
教学重点
比较两实数大小
教学难点
理解实数运算的符号法则
教学方法
启发式
教学过程
一、复习回顾
我们知道,实数与数轴上的点是一一对应的,在数轴上不同的两点中,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如,在右图中,点A表示实数,点B表示实数,点A在点B右边,那么.
我们再看右图,表示减去所得的差是一个大于0的数即正数.一般地:
若,则是正数;逆命题也正确.
类似地,若,则是负数;若,则.它们的逆命题都正确.
这就是说:(打出幻灯片1)
由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了,这也是我们这节课将要学习的主要内容.
二、讲授新课
1.比较两实数大小的方法——求差比较法
比较两个实数与的大小,归结为判定它们的差的符号,而这又必然归结到实数运算的符号法则.
比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.
接下来,我们通过具体的例题来熟悉求差比较法.
2.例题讲解
例1比较与的大小.
分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,判定差值正负,并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.
解:
∴
例2已知,比较(与的大小.
分析:此题与例1基本类似,也属于两个代数式比较大小,但是其中的x有一定的限制,应该在对差值正负判定时引起注重,对于限制条件的应用经常被学生所忽略.
由得,从而
请同学们想一想,在例2中,假如没有这个条件,那么比较的结果如何?
(学生回答:若没有这一条件,则,从而大于或等于)
为了使大家进一步把握求差比较法,我们来进行下面的练习.
三、课堂练习
1.比较的大小.
2.假如,比较的大小.
3.已知,比较与的大小.
要求:学生板演练习,老师讲评,并强调学生注重加限制条件的题目.
课堂小结
通过本节学习,大家要明确实数运算的符号法则,把握求差比较法来比较两实数或代数式的大小.
课后作业
习题6.11,2,3.
板书设计
§6.1.1不等式的性质
1.求差比较法例1学生
……
例2板演

不等式证明

题目第六章不等式不等式的证明
高考要求
1．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；
2．掌握用“分析法”证明不等式；理解反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围
3．搞清分析法证题的理论依据，掌握分析法的证题格式和要求搞清各种证明方法的理论依据和具体证明方法和步骤
4通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题
知识点归纳
不等式的证明方法
（1）比较法：作差比较：
作差比较的步骤：
①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差
②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和
③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小
（2）综合法：由因导果
（3）分析法：执果索因基本步骤：要证……只需证……，只需证……
①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件
②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达
（4）反证法：正难则反
（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的
放缩法的方法有：
①添加或舍去一些项，如：；；
②将分子或分母放大（或缩小）
③利用基本不等式，
如：；
④利用常用结论：
Ⅰ、；
Ⅱ、；（程度大）
Ⅲ、；（程度小）
（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：
已知，可设；
已知，可设()；
已知，可设；
已知，可设；
（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究
题型讲解
例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之
分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知
解：由题意得
证法一：（比较法）
，，
证法二：（放缩法）
，
证法三：（数形结合法）如图，在RtABC及RtADF中，
AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD
，
例2已知a，b∈R，且a+b=1
求证：
证法一：（比较法）
即（当且仅当时，取等号）
证法二：（分析法）
因为显然成立，所以原不等式成立
点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件
证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）
证法四：（反证法）假设，
则
由a+b=1，得，于是有
所以，
这与矛盾
所以
证法五：（放缩法）∵
∴左边＝
＝右边
点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式
证法六：（均值换元法）∵，
所以可设，，
∴左边＝
＝右边
当且仅当t=0时，等号成立
点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元
证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）
设y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有，
所以，
因为，所以，即
故
例3设实数x，y满足y+x2=0，0a1求证：
证明：（分析法）要证，
，只要证：，
又，
只需证：
∴只需证，
即证，此式显然成立
∴原不等式成立
例4设m等于，和1中最大的一个，当时，求证：
分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于，和1中最大的一个”翻译为符号语言“，，”，从而知
证明：（综合法），
例5已知
的单调区间；
(2)求证：
（3）若求证：
解:（1）对已知函数进行降次分项变形,得,
（2）∵
∴
而
⑶
∴
点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值
小结：
1．掌握好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点
2在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等
3比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比较法，即欲证
4基本思想、基本方法：
⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法
⑵用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法
⑶“分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到显然成立的不等式，书写方法习惯上用“”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：
正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯
简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式
⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法
⑸换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题
⑹含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件
⑺有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度
学生练习
1设，求证：
证明：
=
=
=
，则
故原不等式成立
点评：（1）三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式：
（2）用比较法证不等式，关键在于作差（或商）后结式了进行变形，常见的变形是通分、因式分解或配方
2己知都是正数，且成等比数列，
求证：
证明：
成等比数列，
都是正数，
点评：两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分是运用比较法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部运用基本不等式，也是用比较法证不等式时的一种常用手段
3己知函数，当满足时，证明：对于任意实数都成立的充要条件是
证明：
（1）若，则
(2)当时，
故原命题成立
4．比较的大小（其中0x1）
解：-=0(比差)
5
6
证明：
7．若，求证ab与不能都大于
证明：假设ab,(1－a)(1－b)都大于
8．已知：a3+b3=2,求证：a+b
证明：假设a+b2则b2-a
a3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2
与已知相矛盾，所以,a+b
9
10
11
13设都正数，求证：
证明：
，
14设且，求证：
证法1若，，
这与矛盾，
同理可证
证法2由知
15有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产基地以相同价格购进粮食，他们共购粮三次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮10000元三次后统计，谁购的粮食平均价低？为什么？
解：设第一、二、三次的粮食价格分别为元/千克、元/千克、元/千克，，则甲三次购粮的平均价格为，乙三次购粮的平均价格为，因为
所以乙购的粮食价格低
说明“各次的粮食价格不同”，必须用字母表示，这样就能把粮食平均价格用式子表示出来我们应该从式的特征联想到用基本不等式进行变换

课前后备注