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高中经济生活的教案

发表时间:2020-11-12

§1.4.2生活中的优化问题举例(2)。

俗话说,凡事预则立,不预则废。作为教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容,让教师能够快速的解决各种教学问题。所以你在写教案时要注意些什么呢?小编经过搜集和处理,为您提供§1.4.2生活中的优化问题举例(2),欢迎大家与身边的朋友分享吧!

§1.4.2生活中的优化问题举例(2)
【学情分析】:
在基本方法已经掌握的基础上,本节课重点放在提高学生的应用能力上。
【教学目标】:
1.掌握利用导数求函数最值的基本方法。
2.提高将实际问题转化为数学问题的能力.提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能力
3.体会导数在解决实际问题中的作用.
【教学重点】:
利用导数解决生活中的一些优化问题.
【教学难点】:
将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题,再用导数解决数学问题,从而得出问题的最优化选择。
【教法、学法设计】:
练---讲---练.
【教学过程设计】:
教学环节教学活动设计意图
(1)复习引入:1、建立数学模型(确立目标函数)是解决应用性性问题的关键
2、要注意不能漏掉函数的定义域为课题作铺垫.
(2)典型例题讲解例1、用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积。
解:设容器底面短边长为xm,则另一边长为
(x+0.5)m,高为(14.8-4x-4(x+0.5))/4=(3.2-2x)m
则3.2–2x0,x0,得0x1.6.
设容器体积为ym3,则y=x(x+0.5)(3.2–2x)
=-2x3+2.2x2+1.6x(0x1.6)
y=-6x2+4.4x+1.6,
令y=0得x=1或x=-4/15(舍去),
∴当0x1时,y0,当1x1.6时,y0,
∴在x=1处,y有最大值,此时高为1.2m,
最大容积为1.8m3。
选择一个学生感觉不是很难的题目作为例题,让学生自己体验一下应用题中最优化化问题的解。
(4)加强巩固1例2、有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的两侧,乙厂位于离河岸40km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?(注:不计河宽)
解:设,(0),
.
设总的水管费用为().依题意,有
()=)+.
()==.
令()=0,得.根据问题的实际意义,当时,函数取得最小值,此时,,,,即供水站建在A、D之间距甲厂20km处,可使水管费用最省。
使学生能熟练步骤.
(5)加强巩固2例3、已知某厂生产件产品的成本为C=(元),问:
(1)要使平均成本最低,应生产多少件产品?
(2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?
解:(1)设平均成本为y元,则
.
.
令,得,
当在附近左侧时,0;在=1000附近右侧时,0,
故当=1000时,y取得最小值,因此,要使平均成本最低,应生产1000件产品.
(2)利润函数为,
.
令,解得.
当在附近左侧时,0;在附近右侧时,0.
故当时,L取得极大值.由于函数只有一个使的点,且函数在该点有极大值,那么函数在该点取得最大值.因此,要使利润最大,应生产6000件产品.提高提高问题的综合性,锻炼学生能力。
(6)课堂小结1、让学生自己总结生活中的最优化问题的设计背景主要有:立体几何、解析几何、三角函数等。
2、自变量的引入不是固定的,要注意引入自变量的技巧。
(7)作业布置:教科书P104A组4,5,6。
(8备用题目:
1、用边长为的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各剪去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,所做的铁盒容积最大时,在四角剪去的正方形的边长为(B)
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3、做一个容积为底面为正方形的无盖长方体水箱,它的高为4时,最省料。
4、某公司规定:对于小于或等于150件的订购合同,每件售价为280元,对于多于150的订购合同,每超过一件,则每件售价比原来减少1元,当公司的收益最大时订购件数为215。
5、某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为180元时,房间会全部住满;房间的单价每增加10元,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆每天每间需花费20元的各种维修费.房间定价多少时,宾馆的利润最大?
解:设宾馆定价为(180+10x)元时,宾馆的利润W最大
其中
6、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知速度为每小时10km,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,求这艘轮船在以何种速度航行时,能使航行1km的费用总和最小?
解:设船速为(0),航行1km的费用总和为,设每小时燃料费为则
.(其中);.
令,解得.

,即以每小时20公里的速度航行时,航行1km的费用总和最小。

扩展阅读

生活中的优化问题举例


一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责,准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来,有效的提高课堂的教学效率。我们要如何写好一份值得称赞的高中教案呢?以下是小编为大家收集的“生活中的优化问题举例”相信您能找到对自己有用的内容。

§3.4生活中的优化问题举例
教学目标:
1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定所求最大值或最小值的变量与自变量,把实际问题转化为数学问题,即列出函数解析式,根据实际问题确定函数的定义域;
2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤,细心运算,正确合理地做答.
重点:求实际问题的最值时,一定要从问题的实际意义去考察,不符合实际意义的理论值应予舍去。
难点:在实际问题中,有常常仅解到一个根,若能判断函数的最大(小)值在的变化区间内部得到,则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值。
教学方法:尝试性教学
教学过程:
前置测评:
(1)求曲线y=x2+2在点P(1,3)处的切线方程.
(2)若曲线y=x3上某点切线的斜率为3,求此点的坐标。
【情景引入】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节,我们利用导数,解决一些生活中的优化问题
例1.汽油的使用效率何时最高
材料:随着我国经济高速发展,能源短缺的矛盾突现,建设节约性社会是众望所归。现实生活中,汽车作为代步工具,与我们的生活密切相关。众所周知,汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。如何使汽车的汽油使用效率最高(汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少)呢?
通过大量统计分析,得到汽油每小时的消耗量g(L/h)与汽车行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系g=f(v)如图3.4-1,根据图象中的信息,试说出汽车的速度v为多少时,汽油的使用效率最高?
解:因为G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v
这样,问题就转化为求g/v的最小值,从图象上看,g/v
表示经过原点与曲线上点(v,g)的直线的斜率。继续观察图像,我们发现,当直线与曲线相切时,其斜率最小,在此点处速度约为90km/h,从树枝上看,每千米的耗油量就是途中切线的斜率,即f’(90),约为0.67L.
例2.磁盘的最大存储量问题
【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据0或1,这个基本单元通常被称为比特(bit)。
为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于,每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题:现有一张半径为的磁盘,它的存储区是半径介于与之间的环形区域.
是不是越小,磁盘的存储量越大?
为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?
解:由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于与R之间,由于磁道之间的宽度必需大于,且最外面的磁道不存储任何信息,故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大存储量,最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特数可达。所以,磁盘总存储量
×
(1)它是一个关于的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是越小,磁盘的存储量越大.
(2)为求的最大值,计算.
令,解得
当时,;当时,.
因此时,磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为
例3.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
(1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?
(2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
【背景知识】某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是分,其中是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm
问题:(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?
(2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小?
【引导】先建立目标函数,转化为函数的最值问题,然后利用导数求最值.
(1)半径为cm时,利润最小,这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.
(2)半径为cm时,利润最大.
【思考】根据以上三个例题,总结用导数求解优化问题的基本步骤.
【总结】(1)认真分析问题中各个变量之间的关系,正确设定最值变量与自变量,把实际问题转化为数学问题,列出适当的函数关系式,并确定函数的定义区间;
(2)求,解方程,得出所有实数根;
(3)比较函数在各个根和端点处的函数值的大小,
根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。
作业:P114习题3.4第2、4题

生活中的优化问题举例导学案及练习题


【学习要求】1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
【学法指导】1.在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想.2.感受导数知识在解决实际问题中的作用,自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想,提高分析问题、解决问题的能力.
1.在经济生活中,人们常常遇到最优化问题.例如,为使经营利润最大、生产效率最高,或为使用力最省、用料最少、消耗最省等,需要寻求相应的最佳方案或最佳策略,这些都是
2.利用导数解决最优化问题的实质是.
3.解决优化问题的基本思路是
上述解决优化问题的过程是一个典型的过程.
引言数学源于生活,寓于生活,用于生活.在我们的生活中处处存在数学知识,只要你留意,就会发现经常遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“利润最大”等问题,这些问题通常称为最优化问题,在数学上就是最大值、最小值问题.导数可以解决这些问题吗?如何解决呢?
探究点一面积、体积的最值问题
问题如何利用导数解决生活中的最优化问题?
例1学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?
跟踪训练1如图,四边形ABCD是一块边长为4km的正方形地域,地域内有一条河流MD,其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计).新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN,问如何施工才能使游乐园的面积最大?并求出最大面积.
探究点二利润最大问题
例2某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径,已知每出售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.
(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?
跟踪训练2某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=ax-3+10(x-6)2,其中3x6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
(1)求a的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

探究点三费用(用材)最省问题
例3已知A、B两地相距200km,一只船从A地逆水行驶到B地,水速为8km/h,船在静水中的速度为vkm/h(8v≤v0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比,当v=12km/h时,每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省,船的实际速度为多少?

跟踪训练3现有一批货物由海上从A地运往B地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,A地至B地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数;
(2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?

【达标检测】
1.方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为()
A.4B.6C.4.5D.8
2.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k0).已知贷款的利率为0.0486,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x,x∈(0,0.0486),若使银行获得最大收益,则x的取值为()
A.0.0162B.0.0324
C.0.0243D.0.0486
3.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=1128000x3-380x+8(0x≤120).已知甲、乙两地相距100千米,当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

2.1生活中的变量关系


一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备,高中教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来,帮助高中教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。您知道高中教案应该要怎么下笔吗?考虑到您的需要,小编特地编辑了“2.1生活中的变量关系”,仅供参考,欢迎大家阅读。

2.1生活中的变量关系
一、教学目标:
1.通过高速公路上的实际例子,引起积极的思考和交流,从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系.能够利用初中对函数的认识,了解依赖关系中有的是函数关系,有的则不是函数关系.
2.培养广泛联想的能力和热爱数学的态度.
二、教学重点:在于让学生领悟生活中处处有变量,变量之间充满了关系
教学难点:培养广泛联想的能力和热爱数学的态度
三、教学方法:探究交流法
四、教学过程
(一)、知识探索:
阅读课文P25页。实例分析:书上在高速公路情境下的问题。
在高速公路情景下,你能发现哪些函数关系?
2.对问题3,储油量v对油面高度h、油面宽度w都存在依赖关系,两种依赖关系都有函数关系吗?
问题小结:
1.生活中变量及变量之间的依赖关系随处可见,并非有依赖关系的两个变量都有函数关系,只有满足对于一个变量的每一个值,另一个变量都有唯一确定的值与之对应,才称它们之间有函数关系。
2.构成函数关系的两个变量,必须是对于自变量的每一个值,因变量都有唯一确定的y值与之对应。
3.确定变量的依赖关系,需分清谁是自变量,谁是因变量,如果一个变量随着另一个变量的变化而变化,那么这个变量是因变量,另一个变量是自变量。
(二)、新课探究——函数概念
1.初中关于函数的定义:

2.从集合的观点出发,函数定义:
给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对于A中的任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应,那么就把这种对应关系f叫做定义在A上的函数,记作或f:A→B,或y=f(x),x∈A.;
此时x叫做自变量,集合A叫做函数的定义域,集合{f(x)︱x∈A}叫作函数的值域。习惯上我们称y是x的函数。
3.函数的三要素:
定义域,值域,对应法则;
4.函数值
当x=a时,我们用f(a)表示函数y=f(x)的函数值。
(三)、知识体验(课堂练习及课外作业)
1.某电器商店以2000元一台的价格进了一批电视机,然后以2100元的价格售出,随着售出台数的变化,商店获得的收入是,它们之间是______关系.
【函数y=100x,x∈D】
2.现实生活中,与时间存在函数关系的量_______________________.(三个以上)
【路程与时间;炮弹的射高与时间的变化关系问题;用电量与时间的关系。】
3.坐电梯时,电梯距地面的高度与时间之间存在______________关系.【函数】
4.在一定量的水中加入蔗糖,糖水的质量浓度与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系?如果是函数关系,指出自变量和因变量.
【是函数关系;自变量是所加蔗糖的质量;因变量是糖水的质量浓度。】
5.日期与星期之间存在怎样的依赖关系?这种依赖关系是函数关系吗?如果是,指出自变量和因变量.
【是函数关系;自变量是日期;因变量是星期。】
6.下列过程中变量之间是否存在依赖关系,其中哪些是函数关系:
(1)地球绕太阳公转的过程中,二者的距离与时间的关系;

(2)在空中作斜抛运动的铅球,铅球距地面的高度与时间的关系;

(3)某水文观测点记录的水位与时间的关系;

(4)某十字路口,通过汽车的数量与时间的关系;

(5)等边三角形的边长与面积之间的关系.

7.下列各式是否表示y是x的函数关系?如果是,写出这个函数的解析式。
(1)5x+2y=1(xR);

(2)xy=-3(x0);

(3)(x(-1,0))

(4)(xR)
五、课后反思:

5.7生活中的圆周运动学案(人教版必修2)


俗话说,磨刀不误砍柴工。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容,帮助教师掌握上课时的教学节奏。教案的内容要写些什么更好呢?下面是小编帮大家编辑的《5.7生活中的圆周运动学案(人教版必修2)》,欢迎您阅读和收藏,并分享给身边的朋友!

5.7生活中的圆周运动学案(人教版必修2)

1.火车转弯时实际是在做圆周运动,因而具有____________,需要__________.
如果转弯时内外轨一样高,则由____________________提供向心力,这样,铁轨和车轮
易受损.
如果转弯处外轨略高于内轨,火车转弯时铁轨对火车的支持力不再是竖直向上的,而是
________________,它与重力的合力指向________,为火车提供了一部分向心力,减轻
了轮缘与外轨的挤压.适当设计内外轨的高度差,使火车以规定的速度行驶时,转弯需
要的向心力几乎完全由________________________提供.
2.当汽车以相同的速率分别行驶在凸形桥的最高点和凹形桥的最低点时,汽车对桥的压
力的区别如下表所示.
内容

项目凸形桥凹形桥
受力分析图

以a方向为
正方向,根据
牛顿第二定
律列方程mg-FN1=mv2r
FN1=mg-mv2r
FN2-mg=mv2r
FN2=mg+mv2r

牛顿第三定律FN1′=FN1
=mg-mv2r
FN2′=FN2
=mg+mv2r

讨论v增大,FN1′减小;当v增大到gr时,FN1′=0v增大,FN2′增大,只要v≠0,FN1′FN2′
由列表比较可知,汽车在凹形桥上行驶对桥面及轮胎损害大,但在凸形桥上,最高点速
率不能超过________.当汽车以v≥gr的速率行驶时,将做__________,不再落到桥面
上.
3.(1)航天器中的物体做圆周运动需要的向心力由__________提供.
(2)当航天器的速度____________时,航天器所受的支持力FN=0,此时航天器及其内部
的物体处于__________状态.
4.(1)离心现象:如果一个正在做匀速圆周运动的物体在运动过程中向心力突然消失或
合力不足以提供所需的向心力时,物体就会沿切线方向飞出或________圆心运动,这就
是离心现象.离心现象并非受“离心力”作用的运动.
(2)做圆周运动的物体所受的合外力F合指向圆心,且F合=mv2r,物体做稳定的
________________;所受的合外力F合突然增大,即F合mv2/r时,物体就会向内侧移动,
做________运动;所受的合外力F合突然减小,即F合mv2/r时,物体就会向外侧移动,
做________运动,所受的合外力F合=0时,物体做离心运动,沿切线方向飞出.
5.匀速圆周运动、离心运动、向心运动比较:
匀速圆周运动离心运动向心运动
受力
特点________等于做圆周运动所需的向心力合外力__________或者________提供圆周运动所需的向心力合外力________做圆周运动所需的向心力
图示

力学
方程F____mrω2F____mrω2
(或F=0)F____mrω2
【概念规律练】
知识点一火车转弯问题
1.在某转弯处,规定火车行驶的速率为v0,则下列说法中正确的是()
A.当火车以速率v0行驶时,火车的重力与支持力的合力方向一定沿水平方向
B.当火车的速率vv0时,火车对外轨有向外的侧向压力
C.当火车的速率vv0时,火车对内轨有向内的挤压力
D.当火车的速率vv0时,火车对内轨有向内侧的压力
2.修铁路时,两轨间距是1435mm,某处铁路转弯的半径是300m,若规定火车通过
这里的速度是72km/h.请你运用学过的知识计算一下,要想使内外轨均不受轮缘的挤压,
内外轨的高度差应是多大?

知识点二汽车过桥问题
3.汽车驶向一凸形桥,为了在通过桥顶时,减小汽车对桥的压力,司机应()
A.以尽可能小的速度通过桥顶
B.适当增大速度通过桥顶
C.以任何速度匀速通过桥顶
D.使通过桥顶的向心加速度尽可能小
4.如图1所示,
图1
质量m=2.0×104kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面,两桥面的圆弧
半径均为20m.如果桥面承受的压力不得超过3.0×105N,则:
(1)汽车允许的最大速率是多少?
(2)若以所求速度行驶,汽车对桥面的最小压力是多少?(g取10m/s2)

知识点三圆周运动中的超重、失重现象
5.在下面所介绍的各种情况中,哪种情况将出现超重现象()
①小孩荡秋千经过最低点②汽车过凸形桥③汽车过凹形桥④在绕地球做匀速圆周
运动的飞船中的仪器
A.①②B.①③C.①④D.③④
知识点四离心运动
6.下列关于离心现象的说法正确的是()
A.当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B.做匀速圆周运动的物体,当它所受的一切力都突然消失后,物体将做背离圆心的圆
周运动
C.做匀速圆周运动的物体,当它所受的一切力都突然消失后,物体将沿切线方向做匀
速直线运动
D.做匀速圆周运动的物体,当它所受的一切力都突然消失后,物体将做曲线运动
7.
图2
如图2所示,光滑水平面上,小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动,若小球运动到P
点时,拉力F发生变化,下列关于小球运动情况的说法正确的是()
A.若拉力突然消失,小球将沿轨迹Pa做离心运动
B.若拉力突然变小,小球将沿轨迹Pa做离心运动
C.若拉力突然变小,小球将可能沿轨迹Pb做离心运动
D.若拉力突然变大,小球将可能沿轨迹Pc做向心运动
【方法技巧练】
竖直平面内圆周运动问题的分析方法
8.如图3所示,
图3
小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,下列说法中正确的是()
A.小球通过最高点时的最小速度是v=gR
B.小球通过最高点时的最小速度为0
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时内侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab以上的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力
图4
9.杂技演员在做“水流星”表演时,用一根细绳系着盛水的杯子,抡起绳子,让杯子在
竖直面内做圆周运动.如图4所示,杯内水的质量m=0.5kg,绳长l=60cm.求:
(1)在最高点水不流出的最小速率.

(2)水在最高点速率v=3m/s时,水对杯底的压力大小.

参考答案
课前预习练
1.向心加速度向心力外轨对轮缘的弹力斜向弯道的内侧圆心重力G和支持力FN的合力
2.gr平抛运动
3.(1)万有引力(2)等于gR完全失重
4.(1)远离(2)匀速圆周运动向心离心
5.合外力突然消失不足以大于=
课堂探究练
1.ABD
2.0.195m
解析火车在转弯时所需的向心力由火车所受的重力和轨道对火车支持力的合力提供的,如图所示,图中h为两轨高度差,d为两轨间距,mgtanα=mv2r,tanα=v2gr,又由于轨道平面和水平面间的夹角一般较小,可近似认为:tanα≈sinα=hd.
因此:hd=v2gr,则h=v2dgr=202×1.4359.8×300m=0.195m.
点评近似计算是本题的关键一步,即当角度很小时:sinα≈tanα.
3.B
4.(1)10m/s(2)105N
解析(1)汽车在凹形桥底部时对桥面压力最大,由牛顿第二定律得:
FN-mg=mv2maxr.
代入数据解得vmax=10m/s.
(2)汽车在凸形桥顶部时对桥面压力最小,由牛顿第二定律得:
mg-FN′=mv2r.
代入数据解得FN′=105N.
由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力等于105N.
点评(1)汽车行驶时,在凹形桥最低点,加速度方向竖直向上,汽车处于超重状态,故对桥面的压力大于重力;在凸形桥最高点,加速度方向竖直向下,处于失重状态,故对桥面的压力小于重力.
(2)汽车在拱形桥的最高点对桥面的压力小于或等于汽车的重力.
①当v=gR时,FN=0.
②当vgR时,汽车会脱离桥面,发生危险.
③当0≤vgR时,0FN≤mg.
5.B[物体在竖直平面内做圆周运动,受重力和拉力(支持力)的作用,若向心加速度向下,则mg-FN=mv2R,有FNmg,物体处于失重状态;若向心加速度向上,则FN-mg=mv2R,有FNmg,物体处于超重状态;若mg=mv2R,则FN=0.]
点评物体在竖直平面内做圆周运动时,在最高点处于失重状态;在最低点处于超重状态.
6.C[物体之所以产生离心现象是由于F合=F向mω2r,并不是因为物体受到离心力的作用,故A错;物体在做匀速圆周运动时,若它所受到的力突然都消失,根据牛顿第一定律,它从这时起做匀速直线运动,故C正确,B、D错.]
7.ACD[由F=mv2r知,拉力变小,F不能提供所需向心力、r变大、小球做离心运动;反之,F变大,小球做向心运动.]
8.BC[小球沿管道做圆周运动的向心力由重力及管道对小球的支持力的合力沿半径方向的分力提供.由于管道的内、外壁都可以提供支持力,因此过最高点的最小速度为0,A错误,B正确;小球在水平线ab以下受外侧管壁指向圆心的支持力作用,C正确;在ab线以上是否受外侧管壁的作用力由速度大小决定,D错误.]
9.(1)2.42m/s(2)2.6N
解析(1)在最高点水不流出的条件是水的重力不大于水做圆周运动所需要的向心力,即mg≤mv2l,则所求最小速率v0=lg=0.6×9.8m/s=2.42m/s.
(2)当水在最高点的速率大于v0时,只靠重力已不足以提供向心力,此时水杯底对水有一竖直向下的力,设为FN,由牛顿第二定律有FN+mg=mv2l
即FN=mv2l-mg=2.6N
由牛顿第三定律知,水对杯底的作用力FN′=FN=2.6N,方向竖直向上.
方法总结对于竖直面内的圆周运动,在最高点的速度v=gR往往是临界速度,若速度大于此临界速度,则重力不足以提供所需向心力,不足的部分由向下的压力或拉力提供;若速度小于此临界速度,侧重力大于所需向心力,要保证物体不脱离该圆周,物体必须受到一个向上的力.