4.1.1定积分的背景——面积和路程问题。

每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，是认真规划好自己教案课件的时候了。必须要写好了教案课件计划，未来的工作就会做得更好！究竟有没有好的适合教案课件的范文？以下是小编收集整理的“4.1.1定积分的背景——面积和路程问题”，供您参考，希望能够帮助到大家。

4.1.1定积分的背景——面积和路程问题
教学过程:
一、问题引入
师：1.求下图中阴影部分的面积：
师：对于哪些图形的面积，大家会求呢？（学生回忆，回答）
师：对于，，，围成的图形（曲边三角形）的面积如何来求呢？（一问激起千层浪，开门见山，让学生明确本节课的所要学习的内容，对于学生未知的东西，学生往往比较好奇，激发他们的求知欲）今天我们一起来探究这种曲边图形的面积的求法。
二、学生活动与意义建构
1、让学生自己探求，讨论（3—4分钟）
2、让学生说出自己的想法
希望学生说出以的面积近似代替曲边三角形的面积，但误差很大，如何减小误差呢？希望学生讨论得出将曲边三角形进行分割，形成若干个曲边梯形。（在讨论的过程中渗透分割的思想）
师：如何计算每个曲边梯形的面积呢？（通过讨论希望学生能出以下三种方案，在讨论的过程中，让学生想到以直代曲，给学生创新的机会）

方案一方案二方案三

方案一：用一个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，小矩形的面积就可以近视代替曲边梯形的面积。
方案二：用一个大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积。
方案三：以梯形的面积来近似代替曲边梯形的面积。
（对于其中的任意一个曲边梯形，我们可以用“直边”来代替“曲边”（即在很小的范围内以直代曲），这三种方案是本节课内容的核心，故多花点时间引导学生探求，讨论得出，让学生体会“以曲代直”的思想，从近似中认识精确，给学生探求的机会）
师：这样，我们就可以计算出任意一个小曲边梯形的面积的近似值，从而可以计算出整个曲边三角形面积的近似值，（求和），并且分割越细，面积的近似值就越精确，当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求的曲边三角形的面积。如何求这个曲边三角形的面积，以方案一为例：
⑴分割细化
将区间等分成个小区间，，…，，…，，每个区间的长度为（学生回答），过各个区间端点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，它们的面积分别记作，，…，，…，。
⑵以直代曲
对区间上的小曲边梯形，以区间左端点对应的函数值为一边的长，以为邻边的长的小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。即
（当分割很细时，在上任一点的函数值作为矩形的一边长都可以，常取左右端点或中点，这样为以后定积分的定义埋下了伏笔，为学生的解题提供了方法）
⑶作和
因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形面积之和就是所求曲边三角形面积的近似值：
（复习符号的运用）
⑷逼近
当分割无限变细时，即无限趋近于（趋向于）
当趋向时，无限趋近于，无限趋近于，故上式的结果无限趋近于，，即所求曲边三角形面积是。（在逼近的过程中，难点是求在此应给学生一些时间探求自然数的平方和，
最好在讲数列知识时补充进去。新教材有很多知识点前后顺序编排的有所不妥，有好多知识应该先有伏笔，而不是要用到什么就补充什么，在研究解析几何中直线部分时，这个问题也有所体现）
3、分成两组，分别以方案二、方案三按上述四个步骤重新计算曲边三角形的面积，并将操作过程和计算结果与方案一进行比较。
（设计的目的是培养学生的合作交流的能力，优化解题方案）
师：请用流程图表示求曲边三角形面积的过程
4、反思
在求曲边梯形面积过程中，你认为最让你感到困难的是什么？（如何分割，求和逼近是两大难点）
（在新课程的课堂教学过程中，经常性地问学生一些这样的问题，可以让学生对自己的学习过程起到一个自查作用，查漏补缺，对培养学生学习数学的自查意识是一个很好的途径，也可以活跃课堂气氛）
三、数学应用
1、典型例题
师：在方案一中，和式（*）表示曲边梯形的面积的近似值，这一和式不仅是有直观的几何意义，还有丰富的实际背景。
例1：火箭发射后的速度为（单位），假定，对函数按（*）式所作的和具有怎样的意义？
解：将区间等分成个小区间，每个小区间的长度为，在每个小区间上取一点，依次为，虽然火箭的速度不是常数，但在一个小区间内其变化很小，可以用来代替火箭在第一个小区间上的速度，这样，
火箭在第一个时段内运行的路程
同理火箭在第二个时段内运行的路程
从而
火箭在内运行的路程总和
这就是函数在时间区间上按（*）式所作的和的实际背景。
（由于学生初次遇到这类问题，语言表达比较困难，故教师在教学过程中最好采用对话式教学，边说边写，规范板书）
例2：如图，有两个点电荷、，电量分别为、，固定电荷将电荷从距为处移到距为处，求库仑力对电荷所做的功。
先分析，再让学生尝试书写，然后投影解题过程。
（设计两道例题的目的，一是培养学生的文字表达能力，二是让学生体会数学在物理上的应用，也为后面的定积分的物理意义变力所做的功，变速运动的位移埋下伏笔）
学生练习：课本P46练习
四、回顾反思
知识点：⑴求曲边梯形面积的四个步骤；⑵数学知识在物理上的应用。
反思消化：⑴对今天学习的内容，你觉得有什么困难？
⑵在以前的学习过程中，有哪些地方用到了与今天类似的方法？
（希望学生能回忆起初中圆的周长、高中球的表面积以及线性回归方程等类似的内容）
五、布置作业：
1、探究：有没有不同于方案一、方案二、方案三的以直代曲的方案？
2、课课练P411.2.

相关知识

定积分的简单应用导学案

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，高中教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，使高中教师有一个简单易懂的教学思路。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？以下是小编收集整理的“定积分的简单应用导学案”，供您参考，希望能够帮助到大家。

定积分的简单应用导学案
金台高级中学王庆
学习目标：通过求解平面图形的体积了解定积分的应用。
学习重点：定积分在几何中的应用
学习难点：求简单几何体的体积.
学法指导：探析归纳
一、课前自主学习(阅读课本内容找出问题答案).
1.定积分定义.
2旋转几何体的体积是根据旋转体的一个,再进行求出来的.
3解决的关键(1)找准旋转体
(2)通过准确建系,找出坐标,确定.
二、课堂合作探究：
1.给定直角边为1的等腰直角三角形,绕一条直角边旋转一周,得到一个圆锥体,求它的体积.

2.一个半径为1的球可以看成是由曲线与x轴所围成的区域(半圆)绕x轴旋转一周得到的,求球的体积.

三、当堂检测.
1.将由直线y=x,x=1,x=2围成的平面图形绕x轴旋转一周,得到一
个圆台,利用定积分求该圆台的体积.

2.求由直线,x轴,y轴以及直线x=1围成的区域绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积.

3．求由双曲线,直线x=1,x=2围成的平面图形绕x轴旋转一周，得到的旋转体的体积.

四、巩固练习.
1.将由曲线y=x和所围成的平面图形绕x轴旋转一周，求所得旋转体的体积

2．求半椭圆绕x轴旋转一周所得到的旋转体的
体积.

3.求由曲线,直线x=1以及坐标轴围成的平面图形绕x轴旋转一周，得到的旋转体的体积.

五、课堂小结：
※学习小结：1.定积分应用之二求旋转几何体的体积。
2.旋转几何体体积的求法。
六、我的收获：
七、我的疑惑:

定积分的概念导学案及练习题

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助教师营造一个良好的教学氛围。你知道如何去写好一份优秀的教案呢？下面是小编精心为您整理的“定积分的概念导学案及练习题”，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

一、基础过关
1．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间[i－1n，in]上的值，可以近似代替为()
A．f(1n)B．f(2n)C．f(in)D．f(0)
2．在等分区间的情况下f(x)＝11＋x2(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是()
A.limn→∞∑ni＝1[11＋in22n]B.limn→∞∑ni＝1[11＋2in22n]
C.limn→∞∑ni＝1(11＋i21n)D.limn→∞∑ni＝1[11＋in2n]
3．把区间[a，b](ab)n等分之后，第i个小区间是()
A．[i－1n，in]B．[i－1n(b－a)，in(b－a)]
C．[a＋i－1n，a＋in]D．[a＋i－1n(b－a)，a＋in(b－a)]
4．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为()
A.13B.12C．1D.32
二、能力提升
5．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的的近似值(取每个区间的右端点)是()
A.119B.111256C.1127D.2564
6．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为()
A．1B．2C．3D．4
7．∑ni＝1in＝________.
8．在求由抛物线y＝x2＋6与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个区间为________．

9．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．

10．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积．

11．已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．

高二 数学 4.3 定积分的简单应用 教案

4.3定积分的简单应用
教学过程：
一．知识回顾
1、求曲边梯形的思想方法是什么？
2、定积分的几何意义是什么？
3、微积分基本定理是什么？
二．新知探究
（一）利用定积分求平面图形的面积
例1．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
练习：计算由曲线和所围成的图形的面积.
例2．计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.
分析：首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例1不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S1和S2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线与曲线的交点的横坐标，直线与x轴的交点．

四．拓展提高
求曲线与直线轴所围成的图形面积。

五．归纳总结
总结：1、定积分的几何意义是：、轴所围成的图形的面积的代数和，即.
因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数的图像与轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.
2、求曲边梯形面积的方法与步骤：
（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
（3）确定被积函数；
（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：
型区域：①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（1））；②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（2））；③由两条曲线与直线

图（1）图（2）图（3）
所围成的曲边梯形的面积：（如图（3））；
六．作业设计
1、必做题：P58练习（1）（2）；P60A组1；2、选做题：P60B组3。
七．精彩一练
1、求直线与抛物线所围成的图形面积。

2、求由抛物线及其在点M（0，－3）
和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。

八．学后反思

第四章定积分的概念导学案

定积分的概念导学案
学习目标
1、知识与技能目标
理解并掌握定积分的概念和定积分的几何意义。
2、过程与方法目标
通过学生自主探究、合作交流，培养学生分析、比较、概括等思维能力,形成良好的思维品质。
3、情感态度与价值观目标
通过学生积极参与课堂活动，让学生体验创造的激情和成功的喜悦，教学过程中及时地表扬鼓励学生，让学生领会到实实在在的成就感。
教学重点定积分的概念，定积分的几何意义。
教学难点定积分的概念。
一、创设情境，引入新课
创设情境：请大家闭上双眼，回忆曲边图形面积的求法，求与直线=1，=0所围成的平面图形的面积。
教师口述：分割→近似代替→求和→取极限
引入新课：定积分的概念
如果函数在区间上连续，用分点
将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：
【问题】如果时，上述和式无限趋近于一个常数，那么称该常数为___________________________，记为：___________________________，

即：___________________________。
注意：①称为______________，叫做_____________，为_____________，与分别叫做________________与________________。
②定积分是一个常数，只与积分上、下限的大小有关，与积分变量的字母无关，。
二、自主探究合作交流

探究一：在求积分时要把等分成个小区间，是否一定等分？
探究二：在每个小区间上取一点，是否一定选左端点？

探究三：分组讨论定积分的几何意义是什么？
探究四：分组讨论根据定积分的几何意义，用定积分表示图中阴影部分的面

三、例题剖析，初步应用
例1利用定积分的定义，计算的值
引导：怎样用定积分法求简单的定积分呢？
解：令
定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1（定积分的线性性质）
性质2（定积分的线性性质）
思考（用定积分的概念解释）：
性质3（其中）
（定积分对积分区间的可加性）
思考（用定积分的几何意义解释）：
_

四、课堂练习巩固提高
1、从几何上解释：表示什么？
2、计算的值。

五、知识整理，纳入系统
1、今天你学到的知识点：
2、数学方法：观察、比较、概括、归纳、概括，从有限到无限。

六、分层作业，巩固提高
1、必做题：课本P80习题第1、2、3题
2、选做题：课后探究题：
（1）用定积分的几何意义说明下列不等式：
①②
（2）求曲线，与直线，所围成平面图形的面积。

七、学习评价
1、自我评价：
你完成本节学案的情况为（）
A很好B较好C一般D较差
2、你对本节知识未弄明白的地方：