高二数学向量的应用014。

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，作为教师就要精心准备好合适的教案。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助教师能够井然有序的进行教学。所以你在写教案时要注意些什么呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《高二数学向量的应用014》，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

8．4（1）向量的应用（1）

一、教学内容分析
向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用。
本小节的重点是结合向量知识证明平面几何中的平行、垂直问题，以及不等式、有关三角公式的证明、物理学中的应用.
本小结的难点是如何结合向量知识去解决有关问题，突破难点的关键是如何启发学生发现问题和提出问题,学会分析问题和创造性地解决问题.

二、教学目标设计
运用平面向量的知识解决平面几何中的平行、垂直等问题；提高分析问题、解决问题的能力.
三、教学重点及难点
教学重点：利用平面向量知识证明平行、垂直等问题；
教学难点：数形结合方法的渗透，思维能力的提高.
四、教学流程设计
WWW.jab88.cOM

五、教学过程设计
一、复习与回顾
思考并回答下列问题
1．判断：（平行向量的理解）
（1）若A、B、C、D四点共线，则向量；（）
（2）若向量，则A、B、C、D四点共线；（）
（3）若，则向量；（）
（4）只要向量满足，就有；（）
2．提问：（1）两个非零向量平行的充要条件是什么？
（2）两个非零向量垂直的充要条件是什么？
[说明]教师可引导学生多写出一些两向量平行、垂直的表达形式.

二、学习新课
高考￥资%源~网例题分析
例1、证明：菱形对角线互相垂直。（补充）
证：设==,==
∵ABCD为菱形
∴||=||
∴=(+)()=22=||2||2=0∴
证法二：设B(b,0)，D(d1,d2)，
则=(b,0),=(d1,d2)

于是=+=(b,0)+(d1,d2)=(b+d1,d2)
==(d1b,d2)
∵=(b+d1)(d1b)+d2d2=(d12+d22)b2
=||2b2=||2b2=b2b2=0
∴
[说明]二种方法进行比较，开拓学生的解题思维，提高能力.
例2、已知，，，求证是直角三角形.(补充)
例3、
(课本P72例2)

[小结]以上三题均是垂直问题的证明,请同学们注意它们间的区别与联系.
例4、证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.(课本P71例1)
三、课堂练习
例5、用向量方法证明：对角线相等的平行四边形是矩形.(习题册P39习题8.4A组1)

四、课堂小结
1.用向量知识证明平行、垂直问题.
2.要注意挖掘平面图形本身的几何性质.

四、作业布置
1、书面作业:课本P73,练习8.41,2,3
2、习题册P39，习题8.4A组/1；习题册P40，习题8.4B组/1
3、思考题:
如图,在中，D，E分别是边AB、AC的中点，F，G分别是DB、EC的中点，
求证：向量与共线.

3、思考题:
如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，
求证：AD、BE、CF相交于一点.

七、教学设计说明
1．注意区分两向量平行、垂直充要条件的差别.建议学生结合图形,这样理解较为深刻.
2.在用向量证明有关数学问题时,要注意利用平面图形的几何性质,找到解题的突破口.
3.学生要注重综合能力的训练,要会举一反三、融会贯通.

相关知识

高二数学向量在物理中的应用举例

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，作为教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助教师掌握上课时的教学节奏。您知道教案应该要怎么下笔吗？下面是小编为大家整理的“高二数学向量在物理中的应用举例”，欢迎大家与身边的朋友分享吧！

2.5.2向量在物理中的应用举例
教学目的：
1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题
的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；
2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会
数学在现实生活中的作用.
教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.
教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.
教学过程：
一、复习引入：
1.讲解《习案》作业二十五的第4题.

2.你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？
二、讲解新课：
例1.在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种形象吗？

探究1：
(1)q为何值时，||最小，最小值是多少?
(2)||能等于||吗?为什么?

探究2:
你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?
(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；
(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；
(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；
(4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象.

例2.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度||＝10km/h，水流速度||＝2km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1min）？
思考:
1.“行驶最短航程”是什么意思？
2.怎样才能使航程最短？
三、课堂小结
向量解决物理问题的一般步骤:
(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；
(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；
(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；
(4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象.

四、课后作业
1.阅读教材P.111到P.112;2.《习案》作业二十六.

高二数学相等向量与共线向量

古人云，工欲善其事，必先利其器。作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，使教师有一个简单易懂的教学思路。你知道如何去写好一份优秀的教案呢？下面的内容是小编为大家整理的高二数学相等向量与共线向量，仅供您在工作和学习中参考。

2.1.3相等向量与共线向量
教学目标：
1.掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点：理解并掌握相等向量、共线向量的概念，
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
教学思路：
一、情景设置：
(一)、复习
1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？
这时各向量的终点之间有什么关系？
(二)、新课学习
1、有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系？
2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗？这组向量有什么关系？
三、探究学习
1、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.
2、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
四、理解和巩固：
例1．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（）
例2判断：
（1）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（3）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（4）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
例3下列命题正确的是（）?
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线?
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点?
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量?
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.
课堂练习：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.?
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；?
②单位向量都相等；?
③任一向量与它的相反向量不相等；?
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；?
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.
2．书本77页练习4题
三、小结：
1、描述向量的两个指标：模和方向.
2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
3、共线向量与平行向量关系、相等向量。
四、课后作业：
《习案》作业十八。

高二数学向量的数量积013

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，让教师能够快速的解决各种教学问题。你知道怎么写具体的教案内容吗？以下是小编为大家精心整理的“高二数学向量的数量积013”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

８．2（2）向量的数量积（2）
教学目标设计
1．深刻领会向量的数量积的概念和运算性质、向量的夹角公式及其内涵、两向量垂直的充要条件；
2．掌握求向量的长度、求两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法；
3．初步运用向量的方法解决一些简单的几何问题，领略向量的数量积的数学价值；
4．通过对问题的分析研究，体会数学思考的过程．
教学重点及难点
重点：向量的数量积的运算性质、向量的夹角公式、向量垂直的条件及其应用；
难点：向量的夹角公式的应用.
教学用具准备
直尺，投影仪
教学过程设计
一．情景引入：
1．复习回顾
(1)两个非零向量的夹角的概念：
对于两个非零向量，如果以为起点，作，那么射线的夹角叫做向量与向量的夹角，其中．
(2)平面向量数量积（内积）的定义：
如果两个非零向量的夹角为（），那么我们把叫做向量与向量的数量积，记做，即．并规定与任何向量的数量积为0．
(3)“投影”的概念：
定义：叫做向量在方向上的投影．
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为．
(4)向量的数量积的几何意义：
数量积等于的长度与在方向上投影|的乘积．
(5)向量的数量积的运算性质：
对于，有
（1）当且仅当时，＝
（2）
（3）
（4）
２．分析思考：
(1)类比实数的运算性质，向量的数量积结合律是否成立？
学生通过讨论，回答：一般不成立
(2)如果一个物体在大小为２牛顿的力的作用下，向前移动１米，其所做的功的大小为１焦耳，问力的方向与运动方向的夹角是否为？
分析：设该物体在力的作用下产生位移，所做的功为，与的夹角为，则由知
二．学习新课:
1.向量的夹角公式:
在学习了向量数量积的定义之后，我们很容易推导出两个非零向量的夹角满足
因此,当时,,反之,当时,.考虑到可与任何向量垂直,所以可得：
两个向量垂直的充要条件是．
２.例题分析
例1：化简:．(课本P66例2)
解:
=
=
=
例2:已知,且与的夹角为,求．(课本P66例3)
解:
所以
例3：已知,垂直,求的值．(课本P66例4)
解：因为垂直，所以
化简得
即
由已知，可得
解得．
所以，当时，垂直．
例4：已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角．
解：由①
②
两式相减：
代入①或②得：
设、的夹角为，则
∴=60
３.问题拓展
例5．利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角．
证明：设AB是⊙O直径，半径为r
设,则;,则
则
，即∠ACB是直角．

三．巩固练习
1已知,(1)若∥,求；
(2)若与的夹角为60°，求；?
(3)若与垂直，求与的夹角．
2已知,向量与的位置关系为（）
A．平行B．垂直?C．夹角为D．不平行也不垂直
3已知,与之间的夹角为，则向量的模为（）
?A．2B．2?C．6D．12
4已知与是非零向量，则是与垂直的（）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件?
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
四．课堂小结
1．向量的数量积及其运算性质；
２．两向量的夹角公式；
３．两个向量垂直的充要条件；
4．求向量的模、两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法．
五．作业布置
练习8.2(1)P67T2、T3、T4；P35T3、T4
思考题
1已知向量与的夹角为，,则|+||-|=．
2已知+=2-8,-=-8+16,其中、是直角坐标系中轴、轴正方向上的单位向量，那么=．
3已知⊥、与、的夹角均为60°，且则＝______．???
4对于两个非零向量与，求使最小时的t值，并求此时与的夹角．
5求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和

教学设计说明及反思
本节课是在上节课学习了向量的数量积的概念、向量的数量积的运算性质之后．再一次抛出物理模型问题，学生通过交流、分析．讨论，解决问题．进一步推而广之，由数量积的定义，通过变形十分容易的导出向量的夹角公式．并推出了两向量垂直的充要条件．之后，通过例题分析，学生体验了运用向量的数量积的定义和运算性质求向量的模、向量的夹角、以及研究一些简单几何问题的过程．学生获取了知识、掌握了方法、提高了技能、训练了能力．

高二数学平面向量

第二章平面向量复习课（一）
一、教学目标
1.理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2.了解平面向量基本定理.
3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4.了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(||+||)=|－|+|+|.
5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：
6.向量的坐标概念和坐标表示法
7.向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）
8.数量积（点乘或内积）的概念，=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”
二、知识与方法
向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视.数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直
三、教学过程
（一）重点知识：
1.实数与向量的积的运算律：
2.平面向量数量积的运算律:
3.向量运算及平行与垂直的判定:
则
4.两点间的距离:
5.夹角公式:
6.求模：
（二）习题讲解：《习案》P167面2题，P168面6题，P169面1题，P170面5、6题，
P171面1、2、3题，P172面5题，P173面6题。
（三）典型例题
例1．已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=，
且||=2，||=1，||=3，用与表示
解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中,是单位正交基底向量,则B（0，1），C（-3，0），
设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是=－,=，=-3所以-3=3+|即=3－3
（四）基础练习：
《习案》P178面6题、P180面3题。
（五）、小结：掌握向量的相关知识。

（六）作业：《习案》作业二十七。

第二章平面向量复习课（二）
一、教学过程
（一）习题讲解：《习案》P173面6题。
（二）典型例题
例1．已知圆C：及点A（1，1），M是圆上任意一点，点N在线段MA的延长线上，且，求点N的轨迹方程。
练习：1.已知O为坐标原点，=（2，1），=（1，7），=（5，1），=x,y=（x，y∈R）求点P（x，y）的轨迹方程；
2.已知常数a0，向量，经过定点A（0，－a）以为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中.求点P的轨迹C的方程；
例2.设平面内的向量,,，点P是直线OM上的一个动点，求当取最小值时，的坐标及APB的余弦值．
解设．∵点P在直线OM上，
∴与共线，而，∴x－2y=0即x=2y，
有．∵，，
∴
=5y2－20y+12
=5(y－2)2－8．
从而，当且仅当y=2，x=4时，取得最小值－8，
此时，，．
于是，，，
∴
小结：利用平面向量求点的轨迹及最值。

作业：〈习案〉作业二十八。