高二数学平面向量。

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，高中教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助授课经验少的高中教师教学。怎么才能让高中教案写的更加全面呢？以下是小编为大家收集的“高二数学平面向量”仅供您在工作和学习中参考。

第二章平面向量复习课（一）
一、教学目标
1.理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2.了解平面向量基本定理.
3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4.了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(||+||)=|－|+|+|.
5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：
6.向量的坐标概念和坐标表示法
7.向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）
8.数量积（点乘或内积）的概念，=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”
二、知识与方法
向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视.数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直
三、教学过程
（一）重点知识：
1.实数与向量的积的运算律：
2.平面向量数量积的运算律:
3.向量运算及平行与垂直的判定:
则
4.两点间的距离:
5.夹角公式:
6.求模：
（二）习题讲解：《习案》P167面2题，P168面6题，P169面1题，P170面5、6题，
P171面1、2、3题，P172面5题，P173面6题。
（三）典型例题
例1．已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=，
且||=2，||=1，||=3，用与表示
解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中,是单位正交基底向量,则B（0，1），C（-3，0），
设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是=－,=，=-3所以-3=3+|即=3－3
（四）基础练习：
《习案》P178面6题、P180面3题。
（五）、小结：掌握向量的相关知识。

（六）作业：《习案》作业二十七。

第二章平面向量复习课（二）
一、教学过程
（一）习题讲解：《习案》P173面6题。
（二）典型例题
例1．已知圆C：及点A（1，1），M是圆上任意一点，点N在线段MA的延长线上，且，求点N的轨迹方程。
练习：1.已知O为坐标原点，=（2，1），=（1，7），=（5，1），=x,y=（x，y∈R）求点P（x，y）的轨迹方程；
2.已知常数a0，向量，经过定点A（0，－a）以为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中.求点P的轨迹C的方程；
例2.设平面内的向量,,，点P是直线OM上的一个动点，求当取最小值时，的坐标及APB的余弦值．
解设．∵点P在直线OM上，
∴与共线，而，∴x－2y=0即x=2y，
有．∵，，
∴
=5y2－20y+12
=5(y－2)2－8．
从而，当且仅当y=2，x=4时，取得最小值－8，
此时，，．
于是，，，
∴
小结：利用平面向量求点的轨迹及最值。

作业：〈习案〉作业二十八。

扩展阅读

平面向量

俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，减轻高中教师们在教学时的教学压力。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？下面是小编精心为您整理的“平面向量”，仅供您在工作和学习中参考。

第七教时
教材：5.3实数与向量的积综合练习
目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
过程：一、复习：1．实数与向量的积(强调：“模”与“方向”两点)
2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）
3．向量共线的充要条件
4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实质）
1．当λZ时，验证：λ(+)=λ+λ
证：当λ=0时，左边=0(+)=右边=0+0=分配律成立
当λ为正整数时，令λ=n,则有：
n(+)=(+)+(+)+…+(+)
=++…+++++…+=n+n
即λ为正整数时，分配律成立
当为负整数时，令λ=n（n为正整数），有
n(+)=n[(+)]=n[()+()]=n()+n()=n+(n)=nn
分配律仍成立
综上所述，当λ为整数时，λ(+)=λ+λ恒成立。
2．如图，在△ABC中，=,=AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量
解一：∵=,=则==
∴=+=+而=
∴=+
解二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F
∵△AEF∽△ABC
====
==
∴=+=+
3．在ABCD中，设对角线=，=试用,表示，
解一：====
∴=+==
=+=+=+
解二：设=，=
则+=+=∴=()
===(+)
即：=()=(+)
4．设,是两个不共线向量，已知=2+k,=+3,=2,若三点A,B,D共线，求k的值。
解：==(2)(+3)=4
∵A,B,D共线∴,共线∴存在λ使=λ
即2+k=λ(4)∴∴k=8
5．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M,N分别是DC,AB中点，设=,=，试以,为基底表示,,
解：==连ND则DC╩ND
∴===
又：==
∴===
=(+)=
6．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30,60角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90
=1(kg)P1OP=60P2OP=30
∴=cos60=1=0.5(kg)
=cos30=1=0.87(kg)
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5kg和0.87kg

高二数学平面向量共线的坐标表示24

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第6课时
§2.3.4平面向量共线的坐标表示
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
授课类型：新授课
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特别地，，，.
2．平面向量的坐标运算
若，，
则，，.
若，，则
二、讲解新课：
∥()的充要条件是x1y2-x2y1=0
设=(x1，y1)，=(x2，y2)其中.
由=λ得，(x1，y1)=λ(x2，y2)消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1，y2有可能为0，∵∴x2，y2中至少有一个不为0
（2）充要条件不能写成∵x1，x2有可能为0
(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：∥()
三、讲解范例：
例1已知=(4，2)，=(6，y)，且∥，求y.
例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.
例3设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
例4若向量=(-1，x)与=(-x，2)共线且方向相同，求x
解：∵=(-1，x)与=(-x，2)共线∴(-1)×2-x(-x)=0
∴x=±∵与方向相同∴x=
例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
解：∵=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，=(2-1，7-5)=(1，2)
又∵2×2-4×1=0∴∥
又∵=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，=(2，4)，2×4-2×60∴与不平行
∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD
四、课堂练习：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（）
A.6B.5C.7D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）?
A.-3B.-1C.1D.3
3.若=i+2j，=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x、y的值可能分别为（）
A.1，2B.2，2C.3，2D.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y=.
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为.
6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：

高二数学《平面向量的坐标表示》复习课教案

高二数学《平面向量的坐标表示》复习课教案

一、学情分析
本节课是在学生已学知识的基础上进行展开学习的，也是对以前所学知识的巩固和发展，但对学生的知识准备情况来看，学生对相关基础知识掌握情况是很好，所以在复习时要及时对学生相关知识进行提问，然后开展对本节课的巩固性复习。而本节课学生会遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算。
二、考纲要求
1.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
4.能用坐标表示两个向量的夹角,理解用坐标表示的平面向量垂直的条件.
三、教学过程
(一)知识梳理:
1.向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
＝_________________
||＝_______________
（二）平面向量坐标运算
1．向量加法、减法、数乘向量
设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则
+＝－＝λ＝．
2.向量平行的坐标表示
设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则∥________________.

（三）核心考点·习题演练
考点1.平面向量的坐标运算
例1.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设(1)求3+-3;
(2)求满足=m+n的实数m,n;
练：（2015江苏,6)已知向量=(2,1),=(1,-2),若m+n=(9,-8)
(m,n∈R),则m-n的值为.
考点2平面向量共线的坐标表示
例2:平面内给定三个向量=(3,2),=(-1,2),=(4,1)
若(+k)∥(2-),求实数k的值;
练：(2015，四川，4)已知向量=(1,2),=(1,0),=(3,4).若λ为实数,(+λ)∥,则λ=()
思考:向量共线有哪几种表示形式?两向量共线的充要条件有哪些作用?
方法总结:
1.向量共线的两种表示形式
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),①a∥ba=λb(b≠0);②a∥bx1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用②.
2.两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行的问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.
考点3平面向量数量积的坐标运算
例3“已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,
则的值为;的最大值为.
【提示】解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可建立直角坐标系利用向量的数量积的坐标表示来运算，这样可以使数量积的运算变得简捷.
练：(2014,安徽，13）设=(1,2),=(1,1),=+k.若⊥,则实数k的值等于()

【思考】两非零向量⊥的充要条件:·=0.
解题心得:
(1)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可建立直角坐标系利用向量的数量积的坐标表示来运算，这样可以使数量积的运算变得简捷.
(3)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0x1x2+y1y2=0.
考点4：平面向量模的坐标表示
例4：(2015湖南,理8)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则的最大值为()
A.6B.7C.8D.9
练：（2016，上海，12）
在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲线上一个动点，则的取值范围是？
解题心得:
求向量的模的方法:
(1)公式法,利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;
(2)几何法,利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解..
五、课后作业（课后习题1、2题）

平面向量教案

二、复习要求
1、向量的概念;
2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;
3、向量运算的运用
三、学习指导
1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。
向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。
2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下:
运算图形语言符号语言坐标语言
加法与减法
=
-=
记=(x1,y1),=(x1,y2)
则=(x1x2,y1y2)
-=(x2-x1,y2-y1)=
实数与向量
的乘积
=λ
λ∈R记=(x,y)
则λ=(λx,λy)两个向量
的数量积
·=||||
cos,
记=(x1,y1),=(x2,y2)
则·=x1x2y1y2
3、运算律
加法:=,()=()
实数与向量的乘积:λ()=λλ;(λμ)=λμ,λ(μ)=
(λμ)
两个向量的数量积:·=·;(λ)·=·(λ)=λ(·),()·=··
说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如(±)2=
4、重要定理、公式
(1)平面向量基本定理;如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量,有且只有一对数数λ1,λ2,满足=λ1λ2,称λ1λλ2为,的线性组合。
根据平面向量基本定理,任一向量与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为在基底{,}下的坐标,当取{,}为单位正交基底{,}时定义(λ1,λ2)为向量的平面直角坐标。
向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A(x,y),则=(x,y);当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)
(2)两个向量平行的充要条件
符号语言:若∥,≠,则=λ
坐标语言为:设=(x1,y1),=(x2,y2),则∥(x1,y1)=λ(x2,y2),即,或x1y2-x2y1=0
在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ0;当与异向时,λ0。
|λ|=,λ的大小由及的大小确定。因此,当,确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。
(3)两个向量垂直的充要条件
符号语言:⊥·=0
坐标语言:设=(x1,y1),=(x2,y2),则⊥x1x2y1y2=0
(4)线段定比分点公式
如图,设
则定比分点向量式:
定比分点坐标式:设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)
则
特例:当λ=1时,就得到中点公式:
,
实际上,对于起点相同,终点共线三个向量,,(O与P1P2不共线),总有=uv,uv=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。
(5)平移公式:
①点平移公式,如果点P(x,y)按=(h,k)平移至P(x,y),则
分别称(x,y),(x,y)为旧、新坐标,为平移法则
在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,一定可以求第三组坐标
②图形平移:设曲线C:y=f(x)按=(h,k)平移,则平移后曲线C对应的解析式为y-k=f(x-h)
当h,k中有一个为零时,就是前面已经研究过的左右及上下移
利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于研究曲线的几何性质
(6)正弦定理,余弦定理
正弦定理:
余弦定理:a2=b2c2-2cbcosA
b2=c2a2-2cacosB
c2=a2b2-2abcosc
定理变形:cosA=,cosB=,cosC=
正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本,理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。
5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的程序性特点。
四、典型例题
例1、如图,,为单位向量,与夹角为1200,与的夹角为450,||=5,用,表示。
分析:
以,为邻边,为对角线构造平行四边形
把向量在,方向上进行分解,如图,设=λ,=μ,λ0,μ0
则=λμ
∵||=||=1
∴λ=||,μ=||
△OEC中,∠E=600,∠OCE=750,由得:
∴
∴
说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理
例2、已知△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求点D和向量坐标。
分析:
用解方程组思想
设D(x,y),则=(x-2,y1)
∵=(-6,-3),·=0
∴-6(x-2)-3(y1)=0,即2xy-3=0①
∵=(x-3,y-2),∥
∴-6(y-2)=-3(x-3),即x-2y1=0②
由①②得:
∴D(1,1),=(-1,2)
例3、求与向量=,-1)和=(1,)夹角相等,且模为的向量的坐标。
分析:
用解方程组思想
法一:设=(x,y),则·=x-y,·=xy
∵,=,
∴
(2)若∠PED=450,求证:P、D、C、E四点共圆。
分析:
利用坐标系可以确定点P位置
如图,建立平面直角坐标系
则C(2,0),D(2,3),E(1,0)
设P(0,y)
∴=(1,3),=(-1,y)
∴
·=3y-1
代入cos450=
解之得(舍),或y=2
∴点P为靠近点A的AB三等分处
(3)当∠PED=450时,由(1)知P(0,2)
∴=(2,1),=(-1,2)
∴·=0
∴∠DPE=900
又∠DCE=900
∴D、P、E、C四点共圆
说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:①建立平面直角坐标系;②设点的坐标;③求出有关向量的坐标;④利用向量的运算计算结果;⑤得到结论。
同步练习
(一)选择题
1、平面内三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),若∥,则x的值为:
A、-5B、-1C、1D、5
2、平面上A(-2,1),B(1,4),D(4,-3),C点满足,连DC并延长至E,使||=||,则点E坐标为:
A、(-8,)B、()C、(0,1)D、(0,1)或(2,)
2、点(2,-1)沿向量平移到(-2,1),则点(-2,1)沿平移到:
3、A、(2,-1)B、(-2,1)C、(6,-3)D、(-6,3)
4、△ABC中,2cosB·sinC=sinA,则此三角形是:
A、直角三角形B、等腰三角形C、等边三角形D、以上均有可能
5、设,,是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:
①(·)-(·)=0
②||-|||-|
③(·)-(·)不与垂直
④(32)·(3-2)=9||2-4|2中,
真命题是:
A、①②B、②③C、③④D、②④
6、△ABC中,若a4b4c4=2c2(a2b2),则∠C度数是:
A、600B、450或1350C、1200D、300
7、△OAB中,=,=,=,若=,t∈R,则点P在
A、∠AOB平分线所在直线上B、线段AB中垂线上
C、AB边所在直线上D、AB边的中线上
8、正方形PQRS对角线交点为M,坐标原点O不在正方形内部,且=(0,3),=(4,0),则=
A、()B、()C、(7,4)D、()
(二)填空题
9、已知{,|是平面上一个基底,若=λ,=-2λ-,若,共线,则λ=__________。
10、已知||=,||=1,·=-9,则与的夹角是________。
11、设,是两个单位向量,它们夹角为600,
则(2-)·(-32)=____________。
12、把函数y=cosx图象沿平移,得到函数___________的图象。
(三)解答题
13、设=(3,1),=(-1,2),⊥,∥,试求满足=的的坐

14、若=(2,-8),-=(-8,16),求、及与夹角θ的余弦值。
15、已知||=,||=3,和夹角为450,求当向量λ与λ夹角为锐角时,λ的取值范围。
参考答案
(一)1、C2、B3、D4、B5、D6、B7、A8、A
(二)9、10、11、12、y=sinx1
(三)13、(11,6)
14、=(-3,4),=(5,-12),
15、λ,或λ且λ≠