平面向量的数量积的物理背景及其含义。
古人云，工欲善其事，必先利其器。准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助教师掌握上课时的教学节奏。写好一份优质的教案要怎么做呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“平面向量的数量积的物理背景及其含义”，供您参考，希望能够帮助到大家。
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
一、教材分析
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.
二．教学目标
1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；
3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
三、教学重点难点
重点：1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。
难点：平面向量数量积的概念
四、学情分析
我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细
五、教学方法
1．实验法：多媒体、实物投影仪。
2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
1．学生的学习准备：预习学案。
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。。
七、课时安排：1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
创设问题情景，引出新课
1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用
3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义
（三）合作探究，精讲点拨
探究一：数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3：
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
那么力F所做的功：W=|F||S|cosα。
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
①W（功）是量，
②F（力）是量，
③S（位移）是量，
④α是。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
2、明晰数量积的定义
（1）数量积的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量︱︱︱b︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：，即：=︱︱︱︱cos
（2）定义说明：
①记法“”中间的“”不可以省略，也不可以用“”代替。
②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。
（4）学生讨论，并完成下表：
的范围
0°≤90°
=90°
0°≤180°
的符号
例1：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求.
解：①当∥时，若与同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴＝｜｜｜｜cos0°＝3×6×1＝18；
若与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴＝｜｜｜｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当⊥时，它们的夹角θ＝90°，
∴＝０；
③当与的夹角是60°时，有
＝｜｜｜｜cos60°＝3×6×＝9
评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当∥时，有0°或180°两种可能.
变式：对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角。
探究二：研究数量积的意义
1.给出向量投影的概念：
如图，我们把││cos（││cos）
叫做向量在方向上（在方向上）的投影，
记做：OB1=︱││︱cos
2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？
期望学生回答：数量积等于的长度︱︱与在的方向上的投影
︱︱cos的乘积。
3.研究数量积的物理意义
请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。
探究三：探究数量积的运算性质
1、提出问题6：
比较︱︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论？
2、明晰：数量积的性质
3.数量积的运算律
（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？
预测：学生可能会提出以下猜想：
①=
②（）=()
③（+）=+
（2）、分析猜想：
猜想①的正确性是显而易见的。
关于猜想②的正确性，请同学们先来讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？
期望学生回答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测②是不正确的。
（3）、明晰：数量积的运算律：
例2、（师生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4,与的夹角为60°，求（+2）（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？
解：（+2）（-3）=.-3.+2.-6.
=36-3×4×6×0.5-6×4×4
=-72
评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律
变式：（1）(+)2=2+2+2
（2）(+)(-)=2—2
（四）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）
（五）发导学案、布置预习。
我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义，那么，在下一节课我们一起来学习数量积的坐标运算。模。夹角。这节课后大家可以先预习这一部分，着重分析坐标的作用
设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计
十、教学反思
本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和
几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。
临清三中数学组编写人：王晓燕审稿人：刘桂江李怀奎
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
课前预习学案
一、预习目标：
预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；
二、预习内容：
1.平面向量数量积（内积）的定义：
2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
3．“投影”的概念：作图
4.向量的数量积的几何意义：
5．两个向量的数量积的性质：
设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.
1e=e=
2=
设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.
e=e=
3当与同向时，=当与反向时，=特别的=||2或
4cos=
5||≤||||
三、提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1说出平面向量的数量积及其几何意义；
2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
学习重难点：。平面向量的数量积及其几何意义
二、学习过程
创设问题情景，引出新课
1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义
探究一：
数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3：
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
那么力F所做的功：W=
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
①W（功）是量，
②F（力）是量，
③S（位移）是量，
④α是。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
2、明晰数量积的定义
（1）数量积的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量︱︱︱︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：，即：=︱︱︱︱cos
（2）定义说明：
①记法“”中间的“”不可以省略，也不可以用“”代替。
②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
（4）学生讨论，并完成下表：
的范围
0°≤90°
=90°
0°≤180°
的符号
例1：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求.
解：
变式：
.对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角.
探究二：研究数量积的意义
1.给出向量投影的概念：
如图，我们把││cos（││cos）
叫做向量在方向上（在方向上）的投影，
记做：OB1=︱││︱cos
2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？
3.研究数量积的物理意义
请同学们用一句话来概括功的数学本质：
探究三：探究数量积的运算性质
1、提出问题6：比较︱︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论？
2、明晰：数量积的性质
3.数量积的运算律
（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？
（2）、明晰：数量积的运算律：
例2、（师生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4,与的夹角为60°，求（+2）（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？
解：
变式：（1）(+)2=2+2+2
（2）(+)(-)=2—2
（三）反思总结
(四)当堂检测
1.已知||=5，||=4，与的夹角θ=120o，求.
2.已知||=6，||=4，与的夹角为60o求(+2)(-3)
.
3.已知||=3，||=4，且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直.
4.已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求.
5.已知||=1，||=，(1)若∥，求；(2)若、的夹角为６０°，求|+|；(3)若-与垂直，求与的夹角.
6.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量=2m+n与=2n-3m的夹角.
课后练习与提高
1.已知||=1，||=，且(-)与垂直，则与的夹角是（）
A.60°B.30°C.135°D.４５°
2.已知||=2，||=1，与之间的夹角为，那么向量m=-4的模为（）
A.2B.2C.6D.12
3.已知、是非零向量，则||=||是(+)与(-)垂直的（）
A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件?
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知向量、的夹角为，||=2，||=1，则|+||-|=.
5.已知+=2i-8j，-=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么=.
6.已知⊥、c与、的夹角均为60°，且||=1，||=2，|c|=3，则(+2-c)２＝______.
参考答案：
1.D2.B3.A
4.5.1446.11
相关阅读
高中数学必修四2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案
2.4平面向量的数量积
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
编审：周彦魏国庆
【学习目标】
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；
【自学新知】
知识回顾：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作＝，＝，则
∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.
说明：（1）当θ＝０时，与同向；
（2）当θ＝π时，与反向；
（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；
新知梳理：
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则叫与的数量积，记作，即有=，（０≤θ≤π）.并规定向量与任何向量的数量积为.
思考感悟：
1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？
2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？
（1）两个向量的数量积是一个，不是向量，符号由的符号所决定.
（2）向量的数量积写成；符号“”既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若，且，则b=0；但是在数量积中，若，且=0，不能推出=.因cos有可能为0.
2．“投影”的概念：
作图：
定义：||cos叫做向量在方向上的投影.
思考感悟：
投影不是向量，是一个数量。当为锐角时投影为值；当为钝角时投影为值，当为直角时投影为；当=0时投影为||；当=180时投影为||
3．向量的数量积的几何意义：
数量积等于与||cos的乘积.
4.两个向量的数量积的性质：设，为两个非零向量，
(1)=
(2)当与同向时，=，
当与反向时，=
特别的：=||2或；
||≤||||；
cos=
5.平面向量数量积的运算律
①交换律：=
②数乘结合律：()=()=()③分配律：(+)=+
说明：
（1）一般地，()≠（）
（2）＝＝
对点练习
1．下列叙述不正确的是（）
A.向量的数量积满足交换律
B.向量的数量积满足分配律
C.向量的数量积满足结合律
D.是一个实数
2．||=3，||=4，向量+与-的位置关系为（）
A.平行B.垂直
C.夹角为D.不平行也不垂直
3.已知|m→|=，n→=(cosθ,sinθ)，m→n→=9，则m→,n→的夹角为（）
A.150B.120
C.60D.30
4.已知，，，则向量在向量方向上的投影是___________，向量在向量方向上的投影是___________。
【合作探究】
典例精析：
例1．证明：
变式1．已知||=6，||=4，与的夹角为60o，求：
（1）(+2)(-3).
（2）|+|与|-|.
例2．已知||=12，||=9，，求与的夹角。
变式2．已知||=3，||=4，且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直.
【课堂小结】
【当堂达标】
1．下列命题中：①若≠，且=，则=；②若=，则3＜4;
③()=(),对任意向量，，都成立；④22=()2；正确命题的个数为____
2．若||＝2sin15°，||＝4cos375°、，夹角为30°，则为（）
A．B．
C．D．
3．若||=||=|－|,则与+的夹角为（）
A．30°B．60°
C．150°D．120°
4.．已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+3|=（）
A．B．
C．D．4
【课时作业】
1.已知||=1，||=，且(-)与垂直，则与的夹角是（）
A.60°B.30°
C.135°D.４５°2.若向量的夹角为，，则向量的模
为
3．向量、满足（－）（2+）=－4，且||=2，||=4，则与夹角的余弦值等于
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求AB→BC→.
5．已知||=8，||=10，|+|=16，求与的夹角.
6*.向量互相垂直，向量互相垂直，求与夹角。
7*.已知||=3，||=3，与夹角为，求使向量的夹角为锐角时，的取值范围。
8．(2012全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.
【延伸探究】
已知平面上三个向量的模都是1，他们互相之间的夹角均是，
（1）求证：
（）若，求得取值范围。
2018人教A版高中数学必修4.1平面向量数量积的物理背景及其含义讲义
2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
预习课本P103～105，思考并完成以下问题
(1)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？
(2)向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？
(3)向量数量积的性质有哪些？
(4)向量数量积的运算律有哪些？
[新知初探]
1．向量的数量积的定义
(1)两个非零向量的数量积：
已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ
定义a与b的数量积(或内积)是数量|a||b|cosθ
记法a·b＝|a||b|cosθ
(2)零向量与任一向量的数量积：
规定：零向量与任一向量的数量积均为0.
[点睛](1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．
(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．
2．向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ.
②向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ.
(2)数量积的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
[点睛](1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ是a与b的夹角)，也可以写成a·b|a|.
(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
3．向量数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
(1)a⊥ba·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.
(4)cosθ＝a·b|a||b|.
(5)|a·b|≤|a||b|.
[点睛]对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[点睛](1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积仍然是向量．()
(2)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.()
(3)若a，b反向，则a·b＝－|a||b|.()
(4)若a·b＝0，则a⊥b.()
答案：(1)×(2)×(3)√(4)×
2．若|a|＝2，|b|＝12，a与b的夹角为60°，则a·b＝()
A．2B.12
C．1D.14
答案：B
3．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·15b＝－36，则a与b的夹角为()
A．60°B．120°
C．135°D．150°
答案：B
4．已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3.
(1)若θ＝135°，则a·b＝________；
(2)若a∥b，则a·b＝________；
(3)若a⊥b，则a·b＝________.
答案：(1)－32(2)6或－6(3)0
向量数量积的运算
[典例](1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b;②(a＋b)·
(a－2b)．
(2)如图，正三角形ABC的边长为2，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
[解](1)①由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos120°×3＝－3.
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法
运算．
[活学活用]
已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；
(3)(2a－b)·(a＋3b)．
解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×－12＝－6.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5|a||b|·cos120°－3|b|2
＝2×32＋5×3×4×－12－3×42＝－60.
与向量的模有关的问题
[典例](1)(浙江高考)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝12.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.
(2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.
[解析](1)令e1与e2的夹角为θ，
∴e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ＝12.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
∵b·(e1－e2)＝0，
∴b与e1，e2的夹角均为30°，
∴b·e1＝|b||e1|cos30°＝1，
从而|b|＝1cos30°＝233.
(2)∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a||b|cos45°＝22|b|，
|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32.
[答案](1)233(2)32
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
[活学活用]
已知向量a，b满足|a|＝|b|＝5，且a与b的夹角为60°，求|a＋b|，|a－b|，|2a＋b|.
解：∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝25＋25＋2|a||b|cos60°
＝50＋2×5×5×12＝75，
∴|a＋b|＝53.
∵|a－b|2＝(a－b)2＝(a－b)(a－b)
＝|a|2＋|b|2－2a·b
＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos60°＝25，
∴|a－b|＝5.
∵|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)
＝4|a|2＋|b|2＋4a·b
＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos60°＝175，
∴|2a＋b|＝57.
两个向量的夹角和垂直
题点一：求两向量的夹角
1．(重庆高考)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()
A.π3B.π2
C.2π3D.5π6
解析：选C∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，
∴2|a|2＋a·b＝0，
即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－12，∴〈a，b〉＝2π3.
题点二：证明两向量垂直
2．已知向量a，b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)．
证明：∵|2a＋b|＝|a＋2b|，
∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2.
即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，
∴a2＝b2.
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
题点三：利用夹角和垂直求参数
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为()
A．－32B.32
C．±32D．1
解析：选B∵3a＋2b与ka－b互相垂直，
∴(3a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
∵a⊥b，∴a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，
∴12k－18＝0，k＝32.
求向量a与b夹角的思路
(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ＝a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值．
层级一学业水平达标
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为()
A.π6B.π4
C.π3D.π2
解析：选C由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为32，则a·b等于()
A．3B.92
C．2D.12
解析：选B设a与b的夹角为θ.∵|a|cosθ＝32，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×32＝92.
3．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为()
A．－6B．6
C．3D．－3
解析：选B∵c·d＝0，
∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
∴2k＝12，∴k＝6.
4．已知a，b满足|a|＝4，|b|＝3，夹角为60°，则|a＋b|＝()
A．37B．13
C.37D.13
解析：选C|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2×4×3cos60°＋32＝37.
5．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是()
A．矩形B．菱形
C．直角梯形D．等腰梯形
解析：选B∵＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．
6．给出以下命题：
①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0；
②若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；
③a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
其中，正确命题的序号是________．
解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误．
答案：③
7．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.
解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e21＋7e1·e2－2e22＝－6＋7×cos60°－2＝－92.
答案：－92
8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，
∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－12.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
答案：120°
9．已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的
夹角．
解：因为|e1|＝|e2|＝1，
所以e1·e2＝1×1×cos60°＝12，
|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝7，
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝7，
且a·b＝－6e21＋2e22＋e1·e2＝－6＋2＋12＝－72，
所以cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝－727×7＝－12，
所以a与b的夹角为120°.
10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解：(1)∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影为|a|cosθ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝－1.
∴cosθ＝－12，∴θ＝2π3.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.
层级二应试能力达标
1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为π3，则向量m＝a－4b的模为()
A．2B．23
C．6D．12
解析：选B|m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×12＋16＝12，所以|m|＝23.
2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·等于()
A．－16B．－8
C．8D．16
解析：选D法一：因为cosA＝ACAB，故·＝||·||cosA＝||2＝16，故选D.
法二：在上的投影为||cosA＝||，故·＝||||cosA＝||2＝16，故选D.
3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|a－b|＝()
A．1B.3
C.5D．3
解析：选C由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉，因为|a|＝1，|b|
＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，则|a－b|＝|a|2＋|b|2－2a·b＝5.
4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为BC的中点，则·＝()
A．－3B．0
C．－1D．1
解析：选C·＝AB―→＋12AD―→·(－)
＝12·－||2＋12||2
＝12×2×2×cos60°－22＋12×22＝－1.
5．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.
又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.
则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
法二：如图，作＝＝a，
＝b，则＝c.
∵a⊥b，∴AB⊥BC，
又∵a－b＝－＝，
(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，
所以△ABC是等腰直角三角形，
∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4
6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，12a＋b·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的投影等于________．
解析：12a＋b·(2a－3b)＝a2＋12a·b－3b2＝12，即3|b|2－2|b|－4＝0，解得|b|＝2(舍负)，b在a方向上的投影是|b|cos45°＝2×22＝1.
答案：21
7．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝12，且a·b＝12.
(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.
解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝12，
∴a2－b2＝12，
即|a|2－|b|2＝12.
又|a|＝1，
∴|b|＝22.
∵a·b＝12，
∴|a|·|b|cosθ＝12，
∴cosθ＝22，
∴向量a，b的夹角为45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝12，
∴|a－b|＝22.
8．设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为π3，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
得2te1＋7e2·e1＋te2|2te1＋7e2|·|e1＋te2|0.即
(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，化简即得
2t2＋15t＋70，解得－7t－12.
当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，
但此时夹角不是钝角，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ0，可得
2t＝λ，7＝λt，λ0，λ＝－14，t＝－142.
∴所求实数t的取值范围是
－7，－142∪－142，－12.
平面向量的数量积
俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，减轻高中教师们在教学时的教学压力。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？下面是小编精心为您整理的“平面向量的数量积”，仅供您在工作和学习中参考。
课题:2.4平面向量的数量积（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1、掌握平面向量数量积的坐标表示；
2、掌握向量垂直的坐标表示的等价条件。
【课前预习】
1、（1）已知向量和的夹角是，||=2，||=1，则(+)2=，|+|=。
（2）已知：||=2，||=5，=－3，则|+|=，|－|=。
（3）已知||=1，||=2，且(－)与垂直，则与的夹角为
2、设轴上的单位向量，轴上的单位向量，则=，=，=，=，若=，=，则=+.=+。
3、推导坐标公式：=。
4、（1）=，则||=___________；，则||=。
（2）=；（3）⊥；（4）//。
5、已知=，=，则||=，||=，=，
=；=。
【课堂研讨】
例1、已知=，=，求(3－)(－2)，与的夹角。
例2、已知||=1，||=，+=，试求：
（1）|－|（2）+与－的夹角
例3、在中，设=，=，且是直角三角形，求的值。
【学后反思】
1、平面向量数量积的概念及其几何意义；2、数量积的性质及其性质的简单应用。
课题:2.4平面向量的数量积检测案（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1、求下列各组中两个向量与的夹角：
（1）=，=（2）=，=
2、设，，，求证：是直角三角形。
3、若=，=，当为何值时：
（1）（2）（3）与的夹角为锐角
【课后巩固】
1、设，，是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有：
①()－()=②||－|||－
|③()－()不与垂直④(3+4)(3－4)=9||2－16||2
⑤若为非零向量，=，且≠，则⊥（－）
2、若=，=且与的夹角为钝角，则的取值范围是。
3、已知=，则与垂直的单位向量的坐标为。
4、已知若=，=，则+与－垂直的条件是
5、的三个顶点的坐标分别为，，，判断三角形的形状。
6、已知向量=，||=2，求满足下列条件的的坐标。
（1）⊥（2）
7、已知向量=，=。
（1）求|+|和|－|；（2）为何值时，向量+与－3垂直？
（3）为何值时，向量+与－3平行？
8、已知向量，，，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。
（1）若能构成三角形，求实数应满足的条件；
（2）是直角三角形，求实数的值。
课题:2.4平面向量的数量积（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
3、掌握平面向量数量积的坐标表示；
4、掌握向量垂直的坐标表示的等价条件。
【课前预习】
1、（1）已知向量和的夹角是，||=2，||=1，则(+)2=，|+|=。
（2）已知：||=2，||=5，=－3，则|+|=，|－|=。
（3）已知||=1，||=2，且(－)与垂直，则与的夹角为
2、设轴上的单位向量，轴上的单位向量，则=，=，=，=，若=，=，则=+.=+。
3、推导坐标公式：=。
4、（1）=，则||=___________；，则||=。
（2）=；（3）⊥；（4）//。
5、已知=，=，则||=，||=，=，
=；=。
【课堂研讨】
例1、已知=，=，求(3－)(－2)，与的夹角。
例2、已知||=1，||=，+=，试求：
（1）|－|（2）+与－的夹角
例3、在中，设=，=，且是直角三角形，求的值。
【学后反思】
1、平面向量数量积的概念及其几何意义；2、数量积的性质及其性质的简单应用。
课题:2.4平面向量的数量积检测案（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1、求下列各组中两个向量与的夹角：
（1）=，=（2）=，=
2、设，，，求证：是直角三角形。
3、若=，=，当为何值时：
（1）（2）（3）与的夹角为锐角
【课后巩固】
1、设，，是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有：
①()－()=②||－|||－
|③()－()不与垂直④(3+4)(3－4)=9||2－16||2
⑤若为非零向量，=，且≠，则⊥（－）
2、若=，=且与的夹角为钝角，则的取值范围是。
3、已知=，则与垂直的单位向量的坐标为。
4、已知若=，=，则+与－垂直的条件是
5、的三个顶点的坐标分别为，，，判断三角形的形状。
6、已知向量=，||=2，求满足下列条件的的坐标。
（1）⊥（2）
7、已知向量=，=。
（1）求|+|和|－|；（2）为何值时，向量+与－3垂直？
（3）为何值时，向量+与－3平行？
8、已知向量，，，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。
（1）若能构成三角形，求实数应满足的条件；
（2）是直角三角形，求实数的值。
《平面向量的数量积》学案
一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师能够井然有序的进行教学。那么，你知道高中教案要怎么写呢？小编收集并整理了“《平面向量的数量积》学案”，欢迎您参考，希望对您有所助益！
《平面向量的数量积》学案
教学目标：掌握平面向量数量积的概念、性质及简单应用
教学重点：平面向量数量积的概念、性质及应用
教学难点：对平面向量数量积应用的准确把握
教学过程：
题型一：平面向量数量积的性质与运算
【例题1】.关于平面向量，有下列5个命题：
①若，则
②‖
③
④
⑤非零向量和满足，则与的夹角为
其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）
【例题2】.(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→AC→＝________.
(2)若向量＝(1,1)，＝(2,5)，＝(3，x)，满足条件(8－)＝30，则x＝__________.
题型二：向量的夹角与模
【例题3】.已知||＝4，||＝3，(2－3)(2＋)＝61.
(1)求与的夹角θ；
(2)求|＋|；
(3)若AB→＝，BC→＝，求△ABC的面积．
变式训练1：已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是
变式训练2：已知平面向量且。
题型三：向量数量积的应用
【例题4】.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值为。
变式训练：已知
课堂练习：
1、已知＝(2,3)，＝(－4,7)，则在方向上的投影为______．
2、设x，y∈R，向量＝(x,1)，＝(1，y)，＝(2，－4)，且⊥，∥，则|＋|＝________.
3、已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→CB→的值为__________
DE→DC→的最大值为________．
4、在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2＋|PB|2|PC|2＝______.
5、在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB→AF→＝2，则AE→BF→的值是________．
课堂小结：
