组合数的两个性质。
作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助教师提前熟悉所教学的内容。我们要如何写好一份值得称赞的教案呢？考虑到您的需要，小编特地编辑了“组合数的两个性质”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！
组合数的两个性质
教学目的：熟练掌握组合数的计算公式；
掌握组合数的两个性质，
并且能够运用它解决一些简单的应用问题。
教学重点：组合数的两个性质的理解和应用。
教学难点：利用组合数性质进行一些证明。
教学过程：
一、复习回顾：
1．复习排列和组合的有关内容：
定义特点相同公式
排列
组合
强调：排列——次序性；组合——无序性．
2．练习
1：求证：．（本式也可变形为：）
2：计算：①和；②与；③
（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）
二、新授内容：
1．组合数的性质1：．
理解：一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素．因
为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数，即：．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．
证明：∵
又∴
注：1我们规定
2等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．
3此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化．
例如：＝＝=2002．
4或
2．例4一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
⑵从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
⑶从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解：⑴⑵⑶
引导学生发现：．为什么呢？
我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．
一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出m1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．
3．组合数的性质2：＝+．
证明：
∴＝+．
注：1公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．
2此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．
4．补充例题
⑴计算：
⑵求证：＝++
⑶解方程：
⑷解方程：
⑸计算：和
推广：
5．组合数性质的简单应用：
证明下列等式成立：
⑴（讲解）
⑵（练习）
⑶
三、作业：课堂作业：P1031#，2#
课外作业：课本习题10.3；5#—8#
四、小结：1．组合数的两个性质；
2．从特殊到一般的归纳思想．
相关阅读
《两个平面垂直的判定定理》教学设计
《两个平面垂直的判定定理》教学设计
1教材结构与内容简析：
1.1本节内容在全书及章节的地位；
两平面垂直的判定定理出现在高中立几第一章最后一节，这之前学生已学习了空间两直线位置关系，空间直线和平面位置关系,特别是已学习了直线和平面垂直判定定理,二面角的平面角,这是学习本节内容的基础，而本节内容是第二章多面体、旋转体的学习基础，因此，本节的学习有着极其重要的地位。
1.2数学思想方法分析：
1.2.1从定理的证明过程，面面垂直可转化为线面垂直，就可以看到数学的化归，降维思想。
1.2.2在教材所提供的材料中，从建构手段角度分析，可以看到归纳思想，而这一思想中包含着重组的意识和能力。
2教学目标：
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：
2.1基础知识目标：掌握平面与平面垂直的判定定理及其变
式，能利用它们解决相关的问题。
2.2能力训练目标：逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力。
2.3创新素质目标：引导学生从日常生活中发现判定定理，培养学生的发现意识和能力；判定定理及变式的教学培养学生的重组意识和能力；判定定理在现实生活中的应用培养学生的应用的意识和能力。
2.4个性品质目标：培养学生勇于探索，善于发现，独立的意识，不断超越自我的创新品质。
3教学重点、难点、关键：
重点：判定定理的证明及变式探索
难点：判定定理的变式。
关键：本节课通过判定定理的证明及变式探索，着重培养和发展学生的认知和元认知能力。
4教材处理
建构主义学习理论认为，建构即认知结构的组建，其过程一般是先把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线联构成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。本课时为何提出变式呢，应该说，这一处理方法正是基于此理论的体现。其次，本节课处理过程力求达到解决如下问题：知识是如何产生的？如何发展？又如何从实际问题抽象成数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达式，如何反映生活中客观事物之间简单的和谐关系。
5教学模式
遵循教学过程是教师活动和学生活动的十分复杂的动态性总体，是教师和每一个学生积极参与下进行集体认识的过程，教为主导，学为主体，又互为客体，启动学生主动学习，启发引导学生实践思维过程，自得知识，自觅规律，自悟原理，主动发展思维和能力。
6学法
6.1让学生在认知过程中，着重掌握元认知过程：
6.2使学生把独立思考与多向交流相结合。
7教学程序及设想
白璧指瑕——《故都的秋》中两个句子的推敲
我们来看摘自文中两个句子：
1、最好，还要在牵牛花底，叫长着几根疏疏落落的尖细且长的秋草，使作陪衬。
2、我的不远千里，要从杭州赶到青岛，更要从青岛赶上北平来的理由，也不过想饱尝一尝这秋，这故都的秋味。
叫字，在《现代汉语词典》（2002年增补本）中有多种解释，可能适用于此处的义项主要有两种：第一种，表示使，命令的意思；第二种，表示容许或听任的意思。
在上面提出的第一句中，叫和后面的使按句子结构来看，应该是起连接句意的作用。可是，按照叫字的几种释义，此处无论解释成使，命令还是容许或听任，与后面的使作陪衬搭配都是不协调的。我们既不能说命令秋草，使作陪衬，也不能说容许秋草，使作陪衬，这些都是不符合现代汉语语法规范的。
那么，如果要符合现代汉语语法规范，怎么表达呢？我们想如果把使字改成来字，原句改为在牵牛花底，叫长着几根疏疏落落的尖细且长的秋草，来作陪衬。这样，叫某某某来做什么什么读起来就顺畅多了。
第二句，从表达上看，不大符合现代汉语的习惯。我的不远千里不如说我不远千里，少一的字也无妨。从表意上看，还不算最佳。原句让理由作主语，前面都是定语，因而强调了主语理由，而作者一路风尘仆仆、千里迢迢赶来的动作和急切的心情没有得到充分的体现。不远千里既然是一个动词性的成语，不妨紧接着主语我，再让赶到赶上这些动词充当谓语，而将理由置于下句之首，继续充当主语，这样修改应当是两方兼顾，皆有强调。所以我们认为这一句当改成我不远千里，要从杭州赶到青岛，更要从青岛赶上北平来，理由也不过想饱尝一尝这秋，这故都的秋味。
此句改后，我们认为更能体现作者那种想饱尝故都的秋的急切心情，这样修改，就是将原来的一个长单句，变成一个复句，而复句的前一句我不远千里，要从杭州赶到青岛，更要从青岛赶上北平来，则充分的展示出了我一路赶来的匆匆的行程，表达了作者对故都的挚爱之情。
当然，这篇文章是作者在1934年创作的，而我们的汉语（白话文）在这几十年的时间里，是一直朝着更完善更科学的方向发展的，因此，我们不能用现代汉语的要求去苛求那个时候的文章，更何况是如此优秀的一篇散文，它所描写的意境牵动着无数读者对北国之秋热爱和向往的心弦。这里指出的，正是拿现代汉语语法和习惯来比照当代文学的，虽曰白璧指瑕，也许太过吹毛求疵吧。
组合
1.3组合
（第一课时）
教学目标：
1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；
2.能正确认识组合与排列的联系与区别
教学重点：
理解组合的意义，掌握组合数的计算公式
教学过程
一、复习引入：
1．排列的概念：
从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
2．排列数的定义：
从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示
注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列
3．排列数公式及其推导：
（）
全排列数：（叫做n的阶乘）
二、讲解新课：
1组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
2．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．
3．组合数公式的推导：
（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；②求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝．
（2）组合数的公式：
或
例子：
1、计算：（1）；（2）；
（1）解：＝35；
（2）解法1：＝120．
解法2：＝120．
2、求证：．
证明：∵
＝
＝
∴
3、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查．
(1)全是合格品的抽法有多少种？
(2)次品全被抽出的抽法有多少种？
(3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？
(4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？
4、名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？
解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有，，，
所以，一共有++＝100种方法．
解法二：（间接法）
课堂小节：本节课学习了组合的意义，组合数的计算公式
课堂练习：
课后作业：
1.2.2组合
（第二课时）
教学目标：
1掌握组合数的两个性质；
2.进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题
教学重点：
掌握组合数的两个性质
教学过程
一、复习引入：
1组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
2．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．
3．组合数公式的推导：
（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；②求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝．
（2）组合数的公式：
或
二、讲解新课：
1组合数的性质1：．
一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数，即：．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想
证明：∵
又，∴
说明：①规定：；
②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；
③或．
2．组合数的性质2：＝+．
一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出m1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．
证明：
∴＝+．
3.例子
1．（1）计算：；
（2）求证：＝++．
解：（1）原式；
证明：（2）右边左边
2．解方程：（1）；（2）解方程：．
解：（1）由原方程得或，∴或，
又由得且，∴原方程的解为或
上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多.
（2）原方程可化为，即，∴，
∴，
∴，解得或，
经检验：是原方程的解
3.有同样大小的4个红球，6个白球。
(1)从中任取4个，有多少种取法？
(2)从中任取4个，使白球比红球多，有多少种取法？
(3)从中任取4个，至少有一个是红球，有多少种取法？
(4)假设取1个红球得2分，取1个白球得1分。从中取4个球，使总分不小于5分的取法有多少种？
课堂小节：本节课学习了组合数的两个性质
课堂练习：
课后作业：
1.2.2组合
（第三课时）
教学目标：
1、进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；
2、能够解决一些组合应用问题
教学重点：
解决一些组合应用问题
教学过程
一、复习引入：
1组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
2．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．
3．组合数公式的推导：
（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；②求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝．
（2）组合数的公式：
或
4.组合数的性质1：．
5.组合数的性质2：＝+．
二、讲解新课：
例子
1．(1)把n+1个不同小球全部放到n个有编号的小盒中去，每小盒至少有1个小球，共有多少种放法？
(2)把n+1相同的小球，全部放到n个有编号的小盒中去，每盒至少有1个小球，又有多少种放法？
(3)把n+1个不同小球，全部放到n个有编号的小盒中去，如果每小盒放进的球数不限，问有多少种放法？
2．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？
解：分为三类：1奇4偶有；3奇2偶有；5奇1偶有，
∴一共有++．
3．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
解：我们可以分为三类：
①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有；
②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有；
③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有，
∴一共有++＝42种方法．
4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？
解法一：（排除法）．
解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有；
另一类为甲不值周一，但值周六，有，
∴一共有+＝42种方法．
5．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？
解：第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有种方法；
第二步：将5个“不同元素（书）”分给5个人有种方法．
根据分步计数原理，一共有＝1800种方法
6.从6双不同手套中，任取4只，
(1)恰有1双配对的取法是多少？
(2)没有1双配对的取法是多少？
(3)至少有1双配对的取法是多少？
课堂小节：本节课学习了组合数的应用
课堂练习：
高二数学1.1两个计数原理学案
§1.1两个计数原理(1)
一、知识要点
1.分类计数原理；
2.分步计数原理.
二、典型例题
例1.某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加学代会.
⑴若学校分配给该班1名代表，有多少种不同的选法？
⑵若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，有多少种不同的选法？
例2.⑴在图(1)中的电路中，仅合上1只开关接通电路，有多少种不同的方法？
⑵在图(2)的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？
例3.要从甲、乙、丙、丁4名工人中选出2名分别值星期日的日班和晚班，有多少种不同的选法？
三、巩固练习
1.乘坐交通工具从甲地到相距较远的乙地，可以乘飞机，也可乘火车，还可以乘长途汽车，一天中，飞机有2班，火车有4班，长途汽车有10班.问：一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有种不同的方法.
2.将3封信投入2个信箱中，不同的投法有种；将2封信投入3个不同的信箱中，共有种不同投法.
3.把4名实习老师分配到5个班实习，每个班人数不限的分配方案有种；每个班最多有1名老师的分配方案有种.
4.书架上原来并排放着5本书，现要再插入3本不同的书，有多少种不同的插法？
5.在1到200这200个自然数中，各个数位上都不含数字5的自然数有多少？
四、课堂小结
五、课后反思
六、课后作业
1.若，则的不同值的个数为.
2.一名学生去书店，发现4本好书，决定至少买其中1本，则这名学生的购书方案共有种.
3.若，且，则有序数对共有个.
4.某商场有东南西北四个大门，从一个大门进去又从另一个大门出来，共有种不同走法.
5.有3个小盒要放入4个不同颜色的小球，则不同的放法有种.
6.3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，则不同的报名方案有种.
7.在三个不同的盒子中，分别装有不同标号的红球10个，白球9个，黄球8个.
⑴从三个盒子中任取1个球，共有多少种不同的取法？
⑵从三个盒子中各取1个球，共有多少种不同的取法？
⑶若要从盒子中任取2个球，其颜色不同的取法有多少种？
8.某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？
订正栏：
