《平面向量的数量积》学案。

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师能够井然有序的进行教学。那么，你知道高中教案要怎么写呢？小编收集并整理了“《平面向量的数量积》学案”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

《平面向量的数量积》学案

教学目标：掌握平面向量数量积的概念、性质及简单应用
教学重点：平面向量数量积的概念、性质及应用
教学难点：对平面向量数量积应用的准确把握
教学过程：
题型一：平面向量数量积的性质与运算
【例题1】.关于平面向量，有下列5个命题：
①若，则
②‖
③
④
⑤非零向量和满足，则与的夹角为
其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）
【例题2】.(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→AC→＝________.
(2)若向量＝(1,1)，＝(2,5)，＝(3，x)，满足条件(8－)＝30，则x＝__________.

题型二：向量的夹角与模
【例题3】.已知||＝4，||＝3，(2－3)(2＋)＝61.
(1)求与的夹角θ；
(2)求|＋|；
(3)若AB→＝，BC→＝，求△ABC的面积．

变式训练1：已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是

变式训练2：已知平面向量且。
题型三：向量数量积的应用
【例题4】.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值为。

变式训练：已知

课堂练习：
1、已知＝(2,3)，＝(－4,7)，则在方向上的投影为______．
2、设x，y∈R，向量＝(x,1)，＝(1，y)，＝(2，－4)，且⊥，∥，则|＋|＝________.
3、已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→CB→的值为__________
DE→DC→的最大值为________．
4、在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2＋|PB|2|PC|2＝______.
5、在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB→AF→＝2，则AE→BF→的值是________．
课堂小结：

延伸阅读

平面向量数量积的坐标表示

平面向量数量积的坐标表示
教学目标
1．正确理解掌握两个向量数量积的坐标表示方法，能通过两个向量的坐标求出这两个向量的数量积．
2．掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量垂直．
3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题．
重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件．
难点：对向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件的灵活运用．
教学过程设计
(一)学生复习思考，教师指导．
1．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)．
＝________＝________
2．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)
＝________
3．向量的数量积满足那些运算律？
(二)教师讲述新课．
前面我们已经学过了两个向量的数量积，如果已知两个向量的坐标，如何用这些坐标来表示两个向量的数量积，这是一个很有价值的问题．
设两个非零向量为＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．为x轴上的单位向量，为y轴上的单位向量，则＝x1＋y1，＝x2＋y2
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：
(1)向量模的坐标表示：
(2)平面上两点间的距离公式：
向量的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，=
(3)两向量的夹角公式
设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝θ．
4．两向量垂直的充要条件的坐标表示
＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．
即两向量垂直的充要条件是它们对应坐标乘积的和为零．
(三)学生练习，教师指导．
练习1：课本练习1．
已知a(－3，4)，(5，2)
练习2：课本练习2．
已知＝(2，3)，＝(－2，4)，＝(－1，－2)．
＝2×(－2)＋3×4＝8，(＋)(－)＝－7．
(＋)＝0，(a＋b)2＝(0，7)(0，7)＝49．
练习3：已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)．
求证：△ABC是直角三角形．
证：∵＝(1，1)，＝(－3，3)，＝(－4，2)．
经检验，＝1×(－3)＋1×3＝0．
∴⊥，△ABC是直角三角形．
(四)师生共同研究例题．
例1：已知向量＝(3，4)，＝(2，－1)．
(1)求与的夹角θ，
(2)若＋x与－垂直，求实数x的值．
解：(1)＝(3，4)，＝(2，－1)．
(2)＋x与－垂直，
(＋x)(－)＝0，＋x＝(3，4)＋x(2，－1)＝(2x＋3，4－x)
－＝(3，4)－(2，－1)＝(1，5)．
例2：求证：三角形的三条高线交于一点．
证：设△ABC的BC、AC边上的高交于P点，现分别以BC、PA所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系，设有关各点的坐标为B(x1，0)，C(x2，0)，A(0，y1)，P(0，y)．
∵⊥，＝(－x1，y)，＝(－x2，y1)．
(－x1)×(－x2)＋y×y1＝0．
即x1x2＋yy1＝0．
又＝(－x2，y)，＝(－x1，y1)．
＝(－x1)×(－x2)＋y×y1＝x1x2＋yy1＝0．
∴⊥，CP是AB边上的高．
故三角形的三条高线交于一点．
(五)作业．习题5．71，2，3，4，5．

平面向量数量积的运算律

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助高中教师能够井然有序的进行教学。高中教案的内容要写些什么更好呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“平面向量数量积的运算律”，希望对您的工作和生活有所帮助。

平面向量数量积的运算律
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.?
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．“投影”的概念：作图
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|.
4．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1ea=ae=|a|cos；2abab=0
3当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或
4cos=；5|ab|≤|a||b|
二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1．交换律：ab=ba
证：设a，b夹角为，则ab=|a||b|cos，ba=|b||a|cos
∴ab=ba
2．数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)
证：若0，(a)b=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos，
若0，(a)b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，
a(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos.
3．分配律：(a+b)c=ac+bc
在平面内取一点O，作=a，=b，=c，∵a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2
∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2，∴c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc
说明：（1）一般地，(ａｂ)с≠ａ（ｂс）
（2）ａс＝ｂс，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａс＋ａｄ＋ｂс＋ｂｄ
(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２
三、讲解范例：
例1已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角.
解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b2=0①
(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b2=0②
两式相减：2ab=b2
代入①或②得：a2=b2
设a、b的夹角为，则cos=∴=60
例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.
解：如图：平行四边形ABCD中，，，=
∴||2=
而=，
∴||2=
∴||2+||2=2=
例3四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａｂ＝ｂс＝сｄ＝ｄａ，试问四边形ABCD是什么图形?
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.
解：四边形ABCD是矩形，这是因为：
一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２
即｜ａ｜２＋２ａｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２сｄ＋｜ｄ｜２
由于ａｂ＝сｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①
同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②
由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等.
∴四边形ABCD是平行四边形
另一方面，由ａｂ＝ｂс，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ(2ａ)＝０，即ａｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形.
评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.
四、课堂练习：
1.下列叙述不正确的是（）
A.向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律
C.向量的数量积满足结合律D.ab是一个实数
2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)(a-3b)等于（）
A.72B.-72C.36D.-36
3.|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（）
A.平行B.垂直C.夹角为D.不平行也不垂直
4.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则(a+b)２＝.
5.已知|a|=2，|b|=5，ab=-3，则|a+b|=______，|a-b|=.
6.设|a|=3，|b|=5，且a+λb与a－λb垂直，则λ＝.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：

平面向量数量积的坐标表示教案、学案

古人云，工欲善其事，必先利其器。作为高中教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助授课经验少的高中教师教学。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？经过搜索和整理，小编为大家呈现“平面向量数量积的坐标表示教案、学案”，仅供参考，欢迎大家阅读。

平面向量数量积的坐标表示
年级高一学科数学课题平面向量数量积的坐标表示
授课时间
学习重点在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）
学习难点在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式及应用
学习目标
1.在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；
2.理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.

教学过程
一自主学习
⑴向量数量积的交换律：.
⑵＝＝.
⑶向量的数量积的分配律：
.
⑷＝..
5已知两个非零向量.

结论：⑴若，则，或.

⑵若，，
则.

⑶若，
则.

⑷设是与的夹角，
则

二师生互动
例1已知，，，试判断的形状，并给出证明.

变式：已知四点，，，求证：四边形是直角梯形.
例2设，，求及之间的夹角余弦值.

练1.已知，，若，试求的值.

三巩固练习
1.已知，，则等于（）
A.B.C.D.
2.若，，则与夹角的余弦为（）
A.B.C.D.
3.若，，则等于（）
A.B.C.D.
4.，，则=.
5.已知向量，，若，则.
6.下列各组向量中，可以作为基底的是（）
A.
B.
C.
D.
7.若平面向量与向量的夹角是，且，则（）
A.B.C.D.
8.已知向量，，，若，则与的夹角为（）
A.B.C.D.
9.已知向量，，若与垂直，则实数.
10.已知向量，，若不超过，则的取值范围是.

11已知向量，求
⑴求与的夹角；
⑵若向量与垂直，求的值.

四课后反思

五课后巩固练习
1.已知，，，且，，求⑴；⑵、的夹角.

2.已知点和，问能否在轴上找到一点，使，若不能，说明理由；若能，求点坐标.

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.
⑶能用所学知识解决有关综合问题.
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
授课类型：新授课
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
4．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1ea=ae=|a|cos；2abab=0
3当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或
4cos=；5|ab|≤|a||b|

5．平面向量数量积的运算律
交换律：ab=ba
数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)
分配律：(a+b)c=ac+bc
二、讲解新课：
⒈平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量，，试用和的坐标表示.
设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，
所以
又，，，所以
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
2.平面内两点间的距离公式
一、设，则或.
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)
二、向量垂直的判定
设，，则
三、两向量夹角的余弦（）
cos=
四、讲解范例：
五、设a=(5，7)，b=(6，4)，求ab及a、b间的夹角θ(精确到1o)
例2已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.
例3已知a=(3，1)，b=(1，2)，求满足xa=9与xb=4的向量x.
解：设x=(t，s)，
由∴x=(2，3)
例4已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），则a与b的夹角是多少?
分析：为求a与b夹角，需先求ab及｜a｜｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１）
有ab＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２．
记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
例5如图，以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角△OAB，使B=90，求点B和向量的坐标.
解：设B点坐标(x，y)，则=(x，y)，=(x5，y2)
∵∴x(x5)+y(y2)=0即：x2+y25x2y=0
又∵||=||∴x2+y2=(x5)2+(y2)2即：10x+4y=29
由
∴B点坐标或；=或
例6在△ABC中，=(2，3)，=(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值.
解：当A=90时，=0，∴2×1+3×k=0∴k=
当B=90时，=0，==(12，k3)=(1，k3)
∴2×(1)+3×(k3)=0∴k=
当C=90时，=0，∴1+k(k3)=0∴k=
六、课堂练习：
1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|２－４ab＝（）
A.23B.57C.63D.83
2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（）
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形
3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（）
A.或?B.或
C.或?D.或
4.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)(a-b)=.
5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x=.
6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=，b=，则a与b的夹角为.
七、小结（略）
八、课后作业（略）
九、板书设计（略）
十、课后记：