《同角三角函数的基本关系式》说课稿。

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。怎么才能让高中教案写的更加全面呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“《同角三角函数的基本关系式》说课稿”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

《同角三角函数的基本关系式》说课稿
各位评委、老师们，大家好！我是来自于XX中学的霍XX。
今天我说课的题目是人教A版必修四第一章第二节《同角三角函数的基本关系式》，下面我将从教材分析、学情分析、教法与学法、教学过程设计和教学效果反思五个方面来阐述我对这节课的教学认识和设计，敬请各位评委专家给予指正。
一.教材分析
1.教材的地位和作用
本节内容是整个三角函数知识的基础,也是整个三角函数部分的引入阶段，与上一节《任意角的三角函数》关系非常密切，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。
2．教学目标
知识目标：（1）掌握同角三角函数的基本关系式、变式及其推导方法及它们之间的联系?
（2）会运用同角三角函数的基本关系式及变式进行求值?
能力目标：牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维
能力,培养学生观察发现能力,提高分析问题能力、逻辑推理能力?,增强数形结合的思想、创
新意识。
情感目标：让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，进一步培养良好的思维习惯。在问题提出
和解决的过程中，培养学生主动探究知识、合作交流的意识；在体验数学美的过程中激发学
生的学习兴趣。通过小组讨论活动，培养学生的团队协作意识。
3.教学重点与难点
(1)重点:同角三角函数的基本关系式推导及其应用
(2)难点：同角三角函数的基本关系式变式及灵活运用
二.学情分析
我所任教的学校是我县一所农村普通中学，大多数学生基础薄弱，对一些重要的数学思想和数学方法的应用意识和技能还不高。但是，大多数学生对数学的兴趣较高，比较喜欢数学，尤其是象本节课这样,内容比较基础,学生容易理解和掌握，相信学生能够积极配合，有比较不错的表现。
三．教法学法分析
1．教法分析
讲授法引导探究法、小组讨论法、讲练结合法等
2．学法分析
在学法上，我强调学生主体意识，以学生自主探究为主，让学生变被动的接受知识为主动的索取知识；通过观察、猜想、分析、归纳来推导出新知识，让学生主动参与到课堂教学中，体验成功的喜悦。
四．教学过程设计
1.复习导入引入新知
气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风。这就是理论界闻名的蝴蝶效应，从蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索这件事从中我们还可以看出，一只蝴蝶与龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点。既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么同一个角的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是这节课的课题。
为了解决这个课题，首先，让我们来共同回顾两个问题。
问题1：三角函数的定义是怎样的？
设计意图：温故知新，三角函数定义是推导关系式的基础理论。
问题2：角终边与单位圆的交点P的坐标是什么？
设计意图：单位圆中推导公式会用到P点的坐标，P的坐标是此处数与形的交汇点。
2.动脑思考探索新知
学生自主探究：
Sin30=cos30=sin230+cos230=
Sin45=cos45=sin245+cos245=
Sin60=cos60=sin260+cos260=
tan30=tan45=tan60=
==
设计意图：通过由特殊到一般的认知，使得学生易于总结规律，易于接受新知识
题目做完以后引导学生思考以下几个问题：
（1）你还能举出类似于题目形式的例子吗？
（2）从以上过程中，你能发现什么一般规律吗？你能用代数式表示这个规律吗?你能用语言叙述这个规律吗？
（3）你能证明自己所得到的规律吗？
设计意图：新课标强调学生的观察、思考、探索、推理，本题组通过设置问题串，使学生经历了根据特例进行归纳、建立猜想、用数学符号表示、并给出证明这一重要的数学探索过程。
学生会很容易的猜想到：sin2+cos2=1
证法1.以正弦线MP、余弦线OM和半径OP构成的直角三角形OMP中，OP=1,由勾股定理很容易得到：MP2+OM2=OP2=1因此x2+y2=1即sin2+cos2=1
由正切函数的定义很容易得到：
设计意图：采取教材上单位圆的数形结合法，让学生进一步体会数学是
数与形的有机结合。
证法2.用三角函数的定义证明
设计意图：给学生自主解决，并且学会对三角函数定义的灵活应用。
注意：
（1）同角有两层含义，一是角相同，二是对任意一个角（在函数有意义的前提下）关系式都成立。
以下说法错误的是
A.sin24+cos24=1B.sin2（+）+cos2（+）=1
C.sin2+cos2=1D.sin2+cos2=1
设计意图：对这些易错点改成小题进行小组抢答，目的是通过错误尝试，深刻理解同角的含义
（2）sin2是（sin）2的简写，读作sin的平方，不能将sin2写成sin2前者是的正弦的平方，后
者是的平方的正弦，两者是不同的，教学时应使学生弄清它们的区别，并能正确书写。
（3）掌握公式的变形。公式sin2+cos2=1可变形为cos2=1-sin2；sin2=1-cos2；
；。公式可变形为sin=tancos
（4）商数关系中注意限制条件。即cos0，当的终边与坐标轴重合时，公式
sin2+cos2=1也成立
3.巩固知识例题解析
因为我所任教的学生接受能力差，所以对本节例题分两节完成，这节课只完成例题6，关于利用关系式求值的问题
引例.已知sin=-,为第三象限的角,求的余弦值、正切值。
设计意图：本题是对教材例题6的改编，根据我所任教的学生的实际情况，所以我选择增加了为第三象限的角这个条件，这也为例题6的过渡增设了台阶，为例题6的完成降低例题难度。
例题6.已知sin=-,求的余弦值、正切值。
说明：提出此问题后，学生先自己思考，然后小组讨论，教师通过巡视，对有困难的同学做以下引导：对此问题需要进行讨论。讨论时，首先根据已知条件可以确定角为第三或第四象限
的角，然后就为第三象限的角或为第四象限的角分别求出cos和tan。最后让学生在练习本上写出答案，用多媒体展示小组成果，由其他小组或老师作出点评。
设计意图：引导学生自主探索，亲自体验解题思路的形成过程，学会分析问题，解决问题的方法，培养学生分类讨论的思想。同时使本节课的难点得以突破。
例题巩固.已知tan=3求的值。
设计意图：本题紧扣本节课的教学目标，通过例题的求解，让学生加深对关系式的融会贯通，突破本节课的难点。
4.运用知识强化练习
(1)已知cos=-,且是第二象限的角，求的余弦值、正切值。
(2)已知tan=-，求的正弦值、余弦值。
设计意图：一个新知识的出现，要达到熟练运用的效果，仅仅了解是不够的，一定量的重复是有效的，也是必要的，所谓温故而知新、熟才能生巧。
5.归纳小结布置作业
以下内容均由学生总结，不到之处，由老师点拨补充，对表现好的同学适时表扬
知识方面：本节课从特殊角的三角函数值的计算、观察、找出规律，进而尝试用三角函数的定义推导出正弦函数，余弦函数和正切函数的关系，然后用单位圆、三角函数的定义给出证明，最终得到同角三角函数的两个基本关系式。又通过例题和课堂练习介绍了公式在求值、化简和证明等方面的应用，两个基本关系式是三角函数的基础，希望同学们加深理解，灵活运用。
思想方法：1、特殊-----一般-----证明
2、数形结合思想
分层作业A巩固题教科书第20页练习第1、2题
B选做题已知tan=－3，求值（1）3sincos
（2）3sin2+5cos2+2
（3）
设计意图：根据学生不同程度，布置分层作业，选做题让学有余力的学生适当加深，以满足他们学习的愿望，发展他们的数学才能。作业进一步反馈知识的掌握情况，进一步落实教学目标，也符合面向全体，分层教学和因材施教原则。

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同角三角函数的基本关系

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同角三角函数的基本关系
年级高一学科数学课题同角三角函数的基本关系
授课时间
学习重点公式及的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.

学习难点角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.
学习目标1.掌握同角三角函数的三个基本关系式；
2.掌握已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值.

教学过程
一自主学习
1：平方关系；商数关系

2试试：利用三角函数线的定义,推导同角三角函数的基本关系.

3已知cosα＝－，并且它是第三象限的角，求sinα，tanα的值.

4变式：已知cosα＝－，求sinα，tanα的值.

二师生互动
例1.已知，求和

练习1.已知sinα＝，求cosα，tanα的值.

（2）已知tan=3，求sin，cos．

例2已知，求和cosα

例3已知，，求

三巩固练习
1.化简为（）.
A.B.
C.D
2.若，且α在第三象限，则tanα=（）.
A.B.C.D.
3.若tanα=，且，则sinα=（）.
A.B.C.B.
4.化简：tanαcosα=.
5.已知，则.

6.化简：
（1）cosθtanθ；

四课后反思

五课后巩固练习
1.已知12sin+5cos=0，求sin、cos的值.

2.已知tan为非零实数，用tan表示sin，cos．

高一数学《同角三角函数的基本关系式》教学反思

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，作为教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以更好的帮助学生们打好基础，减轻教师们在教学时的教学压力。那么怎么才能写出优秀的教案呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“高一数学《同角三角函数的基本关系式》教学反思”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

高一数学《同角三角函数的基本关系式》教学反思

本节采用“提出问题──合作探究──变式应用”的模式展开．首先在复习任意角三角函数定义的基础上提出几个环环相扣、引人思考的问题，然后通过合作探究的方式探究出同角三角函数的基本关系式，并通过设置问题，进一步深化了对关系式的理解．最后通过一题多变的方式让学生在自主探索中体验了同角三角函数的基本关系式在一类三角求值方面的基本应用．整个教学设计突出以下特点：

1设置问题，引导思维

一个好的问题，既能揭示课堂的教学内容，又能充分调动学生的积极性．本节设置了一个个问题，把知识点串联起来，以引导学生思维．学生在思考这些问题的过程中，理解了同角三角函数的基本关系式，掌握了已知一个角的一个三角函数值或三角函数式，求它的另外三角函数值的方法，从而完成了本节的知识目标．

2探究学习，训练思维

新的课程标准强调教师不能把知识的结果强加给学生，不能单纯的只让学生掌握知识的结果，而应重视获取知识的过程，因此在本节的教学设计中，突出了“教师为主导，学生为主体，探究为主线，思维为核心”的数学思想．无论是合作探究同角三角函数基本关系式，还是自主探究解题思路，都使学生由被动学习变为主动愉快学习，从而调动了他们学习的积极性．

3一题多变，发散思维

本节课对教材例题做全新的调整，采用一题多变的教学，通过变例题的条件或结论由一例题变式出三个，让学生从不同角度、用不同方法掌握已知一个角的一个三角函数值或三角函数式，求它的另外三角函数值的方法，进而优化课堂教学，促进学生发散思维．

总之，本节课的设计理念是尽可能将课堂还给学生，让学生成为数学学习的主人．

同角的三角函数的基本关系

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，作为高中教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，让高中教师能够快速的解决各种教学问题。那么如何写好我们的高中教案呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“同角的三角函数的基本关系”，仅供参考，欢迎大家阅读。

1.2.2同角的三角函数的基本关系
一、教学目标：
⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；
2通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；
3注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．
二、教学重、难点
重点：公式及的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.
难点:根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.
三、学法与教学用具
利用三角函数线的定义,推导同角三角函数的基本关系式:及,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.
教学用具:圆规、三角板、投影
四、教学过程
【创设情境】
与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．
【探究新知】
探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一
下同一个角不同三角函数之间的关系吗?
如图:以正弦线,余弦线和半径三者的长构成直角三角形,而且.由勾股定理由,因此,即.
根据三角函数的定义,当时,有.
这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切.
【例题讲评】
例1化简：
解：原式
例2已知
解：
（注意象限、符号）

例3求证：
分析：思路1．把左边分子分母同乘以，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx）先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法．
证法1：左边=右边，
∴原等式成立
证法2：左边=＝
＝右边
证法3：
∵，
∴
证法4：∵cosx≠0，∴1+sinx≠0，∴≠0，
∴＝＝＝1，
∴．
∴左边=右边∴原等式成立．

例4已知方程的两根分别是，
求
解：
（化弦法）
例5已知，
求
解：
【课堂练习】
化简下列各式
1．
2．
3．

练习答案：
解：（１）原式＝
＝
＝
（２）原式＝
＝
＝
【学习小结】
（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此，．
（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．
(1)作业：习题1.2A组第10,13题.
(2)熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关
系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.
【课后作业】见学案
【板书设计】略
【教学反思】
1.2.2同角的三角函数的基本关系

课前预习学案
预习目标：
通过复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线，为本节所要学习的同角三角函数的基本关系式做好铺垫。
预习内容：
复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线：。
提出疑惑：
与初中学习锐角三角函数一样，我们能不能研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化呢？

课内探究学案
学习目标：
⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；
2通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；
3注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．
学习过程：
【创设情境】
与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．
【探究新知】
探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一
下同一个角不同三角函数之间的关系吗?
如图:以正弦线,余弦线和半径三者的长构成直角三角形,而且.由勾股定理由,因此,即.
根据三角函数的定义,当时,有.
这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切.
【例题讲评】
例1化简：

例3求证：

例4已知方程的两根分别是，
求
例5已知，
求
【课堂练习】
化简下列各式
3．
4．
3．

课后练习与提高
1已知sinα＋cosα＝，且0＜α＜π，则tanα的值为()
2若sin4θ＋cos4θ＝1，则sinθ＋cosθ的值为()
A0B1C－1D±1
3若tanθ＋cotθ＝2，则sinθ＋cosθ的值为()
A0BC－D±
4若＝10，则tanα的值为
5若tanα＋cotα=2，则sin4α＋cos4α＝
6若tan2α＋cot2α＝2，则sinαcosα＝

课后练习与提高答案1A2D3D4－256±
同角的三角函数的基本关系

教学目的：
⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；
2通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；
3注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．
教学重点：同角三角函数的基本关系
教学难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式．
授课类型：新授课
知识回顾：同角三角函数的基本关系公式:

典型例题：
例1．已知sin=2，求α的其余三个三角函数值．

例2．已知：且，试用定义求的其余三个三角函数值．

例3．已知角的终边在直线y=3x上，求sin和cos的值．

说明：已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值时要注意：
(1)角所在的象限；
(2)用平方关系求值时，所求三角函数的符号由角所在的象限决定；
(3)若题设中已知角的某个三角函数值是用字母给出的，则求其他函数值时，要对该字母分类讨论．

四、小结几种技巧
五、课后作业：
六、板书设计（略）
七、课后记：

高考数学理科一轮复习同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案

学案18同角三角函数的基本关系式及诱导公式
导学目标：1.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.
自主梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：____________________.
(2)商数关系：______________________________.
2．诱导公式
(1)sin(α＋2kπ)＝________，cos(α＋2kπ)＝__________，tan(α＋2kπ)＝__________，k∈Z.
(2)sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.
(3)sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.
(4)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________.
(5)sinπ2－α＝________，cosπ2－α＝________.
(6)sinπ2＋α＝__________，cosπ2＋α＝____________________________________.
3．诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：
上述过程体现了化归的思想方法．
自我检测
1．(2010全国Ⅰ)cos300°等于()
A．－32B．－12
C.12D.32
2．(2009陕西)若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为()
A.103B.53
C.23D．－2
3．(2010福建龙岩一中高三第三次月考)α是第一象限角，tanα＝34，则sinα等于()
A.45B.35
C．－45D．－35
4．cos(－174π)－sin(－174π)的值是()
A.2B．－2
C．0D.22
5．(2011清远月考)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________.
探究点一利用同角三角函数基本关系式化简、求值
例1已知－π2x0，sinx＋cosx＝15.
(1)求sin2x－cos2x的值；
(2)求tanx2sinx＋cosx的值．

变式迁移1已知sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，求下列各式的值．
(1)sinα－4cosα5sinα＋2cosα；(2)sin2α＋sin2α.

探究点二利用诱导公式化简、求值
例2(2011合肥模拟)已知sinα＋π2＝－55，α∈(0，π)．
(1)求sinα－π2－cos3π2＋αsinπ－α＋cos3π＋α的值；
(2)求cos2α－3π4的值．

变式迁移2设f(α)＝
2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝________.
探究点三综合应用
例3在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．

变式迁移3(2011安阳模拟)已知△ABC中，sinA＋cosA＝15，
(1)求sinAcosA；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tanA的值．

转化与化归思想的应用
例(12分)已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.
(1)求tanα的值；
(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值．
多角度审题由sinα＋cosα＝15应联想到隐含条件sin2α＋cos2α＝1，要求tanα，应当切化弦，所以只要求出sinα，cosα即可．
【答题模板】
解(1)联立方程sinα＋cosα＝15，①?sin2α＋cos2α＝1，②
由①得cosα＝15－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.[2分]
∵α是三角形的内角，∴sinα＝45?cosα＝－35，[4分]
∴tanα＝－43.[6分]
(2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α，[8分]
∵tanα＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α[10分]
＝－432＋11－－432＝－257.[12分]
【突破思维障碍】
由sinα＋cosα＝15及sin2α＋cos2α＝1联立方程组，利用角α的范围，应先求sinα再求cosα.(1)问切化弦即可求．(2)问应弦化切，这时应注意“1”的活用．
【易错点剖析】
在求解sinα，cosα的过程中，若消去cosα得到关于sinα的方程，则求得两解，然后应根据α角的范围舍去一个解，若不注意，则误认为有两解．
1．由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围．
2．注意公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量少开方运算，慎重确定符号．注意“1”的灵活代换．
3．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011荆州模拟)已知△ABC中，cosAsinA＝－125，则cosA等于()
A.1213B.513
C．－513D．－1213
2．已知tanα＝－512，且α为第二象限角，则sinα的值等于()
A.15B．－115
C.513D．－513
3．(2011许昌月考)已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αcos－π－αtanα，则f(－313π)的值为()
A.12B．－13C．－12D.13
4．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2002)＝－1，则f(2003)等于()
A．－1B．0C．1D．2
5．(2010全国Ⅰ)记cos(－80°)＝k，那么tan100°等于()
A.1－k2kB．－1－k2k
C.k1－k2D．－k1－k2
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010全国Ⅱ)已知α是第二象限的角，tanα＝－12，则cosα＝________.
7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
8．(2010东北育才学校高三第一次模拟考试)若tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2α＝________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋π－tan－α－πsin－π－α.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值．

10．(12分)化简：sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α(k∈Z)．

11．(14分)(2011秦皇岛模拟)已知sinθ，cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根．
(1)求cos3(π2－θ)＋sin3(π2－θ)的值；
(2)求tan(π－θ)－1tanθ的值．

答案自主梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1(2)sinαcosα＝tanα2.(1)sinαcosαtanα(2)－sinα－cosαtanα(3)－sinαcosα－tanα(4)sinα－cosα－tanα(5)cosαsinα(6)cosα－sinα
自我检测
1．C[cos300°＝cos(360°－60°)＝cos60°＝12.]
2．A[∵3sinα＋cosα＝0，sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝110，
∴1cos2α＋sin2α＝1cos2α＋2sinα－3sinα
＝11－7sin2α＝103.]
3．B
4．A[cos(－174π)－sin(－174π)＝cos(－4π－π4)－sin(－4π－π4)＝cos(－π4)－sin(－π4)＝cosπ4＋sinπ4＝2.]
5．－23
解析sin(α－2π3)＝－sin(2π3－α)
＝－sin[(π6－α)＋π2]
＝－cos(π6－α)＝－23.
课堂活动区
例1解题导引学会利用方程思想解三角函数题，对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意对符号的判断．
解由sinx＋cosx＝15得，
1＋2sinxcosx＝125，则2sinxcosx＝－2425.
∵－π2x0，∴sinx0，cosx0，
即sinx－cosx0.
则sinx－cosx
＝－sin2x－2sinxcosx＋cos2x
＝－1＋2425＝－75.
(1)sin2x－cos2x＝(sinx＋cosx)(sinx－cosx)
＝15×－75＝－725.
(2)由sinx＋cosx＝15sinx－cosx＝－75，
得sinx＝－35cosx＝45，则tanx＝－34.
即tanx2sinx＋cosx＝－34－65＋45＝158.
变式迁移1解∵sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，
∴－sinα＝－2cosα.
∴sinα＝2cosα，即tanα＝2.
方法一(直接代入法)：
(1)原式＝2cosα－4cosα5×2cosα＋2cosα＝－16.
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝sin2α＋sin2αsin2α＋14sin2α＝85.
方法二(同除转化法)：
(1)原式＝tanα－45tanα＋2＝2－45×2＋2＝－16.
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosα
＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tanαtan2α＋1＝85.
例2解题导引三角诱导公式记忆有一定规律：k2π＋α的本质是：奇变偶不变(对k而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时可把α看成是锐角)．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：(1)负角变正角，再写成2kπ＋α，0≤α2π；(2)转化为锐角三角函数．
解(1)∵sinα＋π2＝－55，α∈(0，π)，
∴cosα＝－55，sinα＝255.
∴sinα－π2－cos3π2＋αsinπ－α＋cos3π＋α＝－cosα－sinαsinα－cosα＝－13.
(2)∵cosα＝－55，sinα＝255，
∴sin2α＝－45，cos2α＝－35，
cos2α－3π4＝－22cos2α＋22sin2α＝－210.
变式迁移23
解析∵f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α
＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，
∴f－23π6＝1tan－23π6
＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.
例3解题导引先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系求得cosA．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．诱导公式在三角形中常用结论有：A＋B＝π－C；A2＋B2＋C2＝π2.
解由已知得sinA＝2sinB，①3cosA＝2cosB，②
①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝±22.
(1)当cosA＝22时，cosB＝32，
又A、B是三角形的内角，
∴A＝π4，B＝π6，∴C＝π－(A＋B)＝712π.
(2)当cosA＝－22时，cosB＝－32.
又A、B是三角形的内角，
∴A＝34π，B＝56π，不合题意．
综上知，A＝π4，B＝π6，C＝712π.
变式迁移3解(1)∵sinA＋cosA＝15，①
∴两边平方得1＋2sinAcosA＝125，
∴sinAcosA＝－1225.
(2)由(1)sinAcosA＝－12250，且0Aπ，
可知cosA0，∴A为钝角，
∴△ABC为钝角三角形．
(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝4925，
又sinA0，cosA0，∴sinA－cosA0，
∴sinA－cosA＝75，②
∴由①，②得sinA＝45，cosA＝－35，
∴tanA＝sinAcosA＝－43.
课后练习区
1．D[∵A为△ABC中的角，cosAsinA＝－125，
∴sinA＝－512cosA，A为钝角，∴cosA0.
代入sin2A＋cos2A＝1，求得cosA＝－1213.]
2．C[已知tanα＝－512，且α为第二象限角，
有cosα＝－11＋tan2α＝－1213，所以sinα＝513.]
3．C[∵f(α)＝sinαcosα－cosαtanα＝－cosα，∴f(－313π)
＝－cos(－313π)＝－cos(10π＋π3)＝－cosπ3＝－12.]
4．C[∵f(2002)＝asin(2002π＋α)＋bcos(2002π＋β)
＝asinα＋bcosβ＝－1，
∴f(2003)＝asin(2003π＋α)＋bcos(2003π＋β)
＝asin[2002π＋(π＋α)]＋bcos[2002π＋(π＋β)]
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝1.]
5．B[∵cos(－80°)＝cos80°＝k，
sin80°＝1－cos280°＝1－k2.
∴tan100°＝－tan80°＝－1－k2k.]
6．－255
解析∵tanα＝－12，∴sinαcosα＝－12，
又∵sin2α＋cos2α＝1，α是第二象限的角，
∴cosα＝－255.
7.892
解析sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°
＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋
sin2(90°－1°)
＝sin21°＋sin22°＋…＋222＋…＋cos22°＋cos21°
＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋12＝44＋12＝892.
8.165
解析原式＝tanα＋1tanα－1＋cos2αsin2α＋cos2α
＝3＋1tan2α＋1＝3＋15＝165.
9．解(1)f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋π－tan－α－πsin－π－α
＝sinαcosα－tanαtanαsinα＝－cosα.…………………………………………………………(5分)
(2)∵α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝－sinα＝15，
∴sinα＝－15，……………………………………………………………………………(8分)
∴cosα＝－1－sin2α＝－1－－152＝－265，
∴f(α)＝－cosα＝265.…………………………………………………………………(12分)
10．解当k为偶数2n(n∈Z)时，
原式＝sin2nπ－αcos[2n－1π－α]sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α
＝sin－αcos－π－αsinπ＋αcosα
＝－sinαcosπ＋α－sinαcosα＝－cosαcosα＝－1；……………………………………………………(6分)
当k为奇数2n＋1(n∈Z)时，
原式＝sin[2n＋1π－α]cos2nπ－αsin[2n＋2π＋α]cos[2n＋1π＋α]
＝sinπ－αcos－αsin2π＋αcosπ＋α＝sinαcosαsinα－cosα＝－1.
∴当k∈Z时，原式＝－1.………………………………………………………………(12分)
11．解由已知原方程的判别式Δ≥0，
即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.………………………………………………………(3分)
又sinθ＋cosθ＝asinθcosθ＝a，(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，则a2－2a－1＝0，(6分)
从而a＝1－2或a＝1＋2(舍去)，
因此sinθ＋cosθ＝sinθcosθ＝1－2.…………………………………………………(8分)
(1)cos3(π2－θ)＋sin3(π2－θ)＝sin3θ＋cos3θ
＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.………(11分)
(2)tan(π－θ)－1tanθ＝－tanθ－1tanθ
＝－(sinθcosθ＋cosθsinθ)＝－1sinθcosθ＝－11－2＝1＋2.
……………………………………………………………………………………………(14分)