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高中三角函数的教案

发表时间：2020-12-01

高考数学理科一轮复习同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案。

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生更好的消化课堂内容，帮助教师营造一个良好的教学氛围。你知道如何去写好一份优秀的教案呢？下面是小编精心为您整理的“高考数学理科一轮复习同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案”，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

学案18同角三角函数的基本关系式及诱导公式
导学目标：1.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.
自主梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：____________________.
(2)商数关系：______________________________.
2．诱导公式
(1)sin(α＋2kπ)＝________，cos(α＋2kπ)＝__________，tan(α＋2kπ)＝__________，k∈Z.
(2)sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.
(3)sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.
(4)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________.
(5)sinπ2－α＝________，cosπ2－α＝________.
(6)sinπ2＋α＝__________，cosπ2＋α＝____________________________________.
3．诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：
上述过程体现了化归的思想方法．
自我检测
1．(2010全国Ⅰ)cos300°等于()
A．－32B．－12
C.12D.32
2．(2009陕西)若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为()
A.103B.53
C.23D．－2
3．(2010福建龙岩一中高三第三次月考)α是第一象限角，tanα＝34，则sinα等于()
A.45B.35
C．－45D．－35
4．cos(－174π)－sin(－174π)的值是()
A.2B．－2
C．0D.22
5．(2011清远月考)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________.
探究点一利用同角三角函数基本关系式化简、求值
例1已知－π2x0，sinx＋cosx＝15.
(1)求sin2x－cos2x的值；
(2)求tanx2sinx＋cosx的值．

变式迁移1已知sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，求下列各式的值．
(1)sinα－4cosα5sinα＋2cosα；(2)sin2α＋sin2α.

探究点二利用诱导公式化简、求值
例2(2011合肥模拟)已知sinα＋π2＝－55，α∈(0，π)．
(1)求sinα－π2－cos3π2＋αsinπ－α＋cos3π＋α的值；
(2)求cos2α－3π4的值．

变式迁移2设f(α)＝
2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝________.
探究点三综合应用
例3在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．

变式迁移3(2011安阳模拟)已知△ABC中，sinA＋cosA＝15，
(1)求sinAcosA；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tanA的值．

转化与化归思想的应用
例(12分)已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.
(1)求tanα的值；
(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值．
多角度审题由sinα＋cosα＝15应联想到隐含条件sin2α＋cos2α＝1，要求tanα，应当切化弦，所以只要求出sinα，cosα即可．
【答题模板】
解(1)联立方程sinα＋cosα＝15，①?sin2α＋cos2α＝1，②
由①得cosα＝15－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.[2分]
∵α是三角形的内角，∴sinα＝45?cosα＝－35，[4分]
∴tanα＝－43.[6分]
(2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α，[8分]
∵tanα＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α[10分]
＝－432＋11－－432＝－257.[12分]
【突破思维障碍】
由sinα＋cosα＝15及sin2α＋cos2α＝1联立方程组，利用角α的范围，应先求sinα再求cosα.(1)问切化弦即可求．(2)问应弦化切，这时应注意“1”的活用．
【易错点剖析】
在求解sinα，cosα的过程中，若消去cosα得到关于sinα的方程，则求得两解，然后应根据α角的范围舍去一个解，若不注意，则误认为有两解．
1．由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围．
2．注意公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量少开方运算，慎重确定符号．注意“1”的灵活代换．
3．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011荆州模拟)已知△ABC中，cosAsinA＝－125，则cosA等于()
A.1213B.513
C．－513D．－1213
2．已知tanα＝－512，且α为第二象限角，则sinα的值等于()
A.15B．－115
C.513D．－513
3．(2011许昌月考)已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αcos－π－αtanα，则f(－313π)的值为()
A.12B．－13C．－12D.13
4．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2002)＝－1，则f(2003)等于()
A．－1B．0C．1D．2
5．(2010全国Ⅰ)记cos(－80°)＝k，那么tan100°等于()
A.1－k2kB．－1－k2k
C.k1－k2D．－k1－k2
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010全国Ⅱ)已知α是第二象限的角，tanα＝－12，则cosα＝________.
7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
8．(2010东北育才学校高三第一次模拟考试)若tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2α＝________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋π－tan－α－πsin－π－α.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值．

10．(12分)化简：sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α(k∈Z)．

11．(14分)(2011秦皇岛模拟)已知sinθ，cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根．
(1)求cos3(π2－θ)＋sin3(π2－θ)的值；
(2)求tan(π－θ)－1tanθ的值．

答案自主梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1(2)sinαcosα＝tanα2.(1)sinαcosαtanα(2)－sinα－cosαtanα(3)－sinαcosα－tanα(4)sinα－cosα－tanα(5)cosαsinα(6)cosα－sinα
自我检测
1．C[cos300°＝cos(360°－60°)＝cos60°＝12.]
2．A[∵3sinα＋cosα＝0，sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝110，
∴1cos2α＋sin2α＝1cos2α＋2sinα－3sinα
＝11－7sin2α＝103.]
3．B
4．A[cos(－174π)－sin(－174π)＝cos(－4π－π4)－sin(－4π－π4)＝cos(－π4)－sin(－π4)＝cosπ4＋sinπ4＝2.]
5．－23
解析sin(α－2π3)＝－sin(2π3－α)
＝－sin[(π6－α)＋π2]
＝－cos(π6－α)＝－23.
课堂活动区
例1解题导引学会利用方程思想解三角函数题，对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意对符号的判断．
解由sinx＋cosx＝15得，
1＋2sinxcosx＝125，则2sinxcosx＝－2425.
∵－π2x0，∴sinx0，cosx0，
即sinx－cosx0.
则sinx－cosx
＝－sin2x－2sinxcosx＋cos2x
＝－1＋2425＝－75.
(1)sin2x－cos2x＝(sinx＋cosx)(sinx－cosx)
＝15×－75＝－725.
(2)由sinx＋cosx＝15sinx－cosx＝－75，
得sinx＝－35cosx＝45，则tanx＝－34.
即tanx2sinx＋cosx＝－34－65＋45＝158.
变式迁移1解∵sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，
∴－sinα＝－2cosα.
∴sinα＝2cosα，即tanα＝2.
方法一(直接代入法)：
(1)原式＝2cosα－4cosα5×2cosα＋2cosα＝－16.
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝sin2α＋sin2αsin2α＋14sin2α＝85.
方法二(同除转化法)：
(1)原式＝tanα－45tanα＋2＝2－45×2＋2＝－16.
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosα
＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tanαtan2α＋1＝85.
例2解题导引三角诱导公式记忆有一定规律：k2π＋α的本质是：奇变偶不变(对k而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时可把α看成是锐角)．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：(1)负角变正角，再写成2kπ＋α，0≤α2π；(2)转化为锐角三角函数．
解(1)∵sinα＋π2＝－55，α∈(0，π)，
∴cosα＝－55，sinα＝255.
∴sinα－π2－cos3π2＋αsinπ－α＋cos3π＋α＝－cosα－sinαsinα－cosα＝－13.
(2)∵cosα＝－55，sinα＝255，
∴sin2α＝－45，cos2α＝－35，
cos2α－3π4＝－22cos2α＋22sin2α＝－210.
变式迁移23
解析∵f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α
＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，
∴f－23π6＝1tan－23π6
＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.
例3解题导引先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系求得cosA．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．诱导公式在三角形中常用结论有：A＋B＝π－C；A2＋B2＋C2＝π2.
解由已知得sinA＝2sinB，①3cosA＝2cosB，②
①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝±22.
(1)当cosA＝22时，cosB＝32，
又A、B是三角形的内角，
∴A＝π4，B＝π6，∴C＝π－(A＋B)＝712π.
(2)当cosA＝－22时，cosB＝－32.
又A、B是三角形的内角，
∴A＝34π，B＝56π，不合题意．
综上知，A＝π4，B＝π6，C＝712π.
变式迁移3解(1)∵sinA＋cosA＝15，①
∴两边平方得1＋2sinAcosA＝125，
∴sinAcosA＝－1225.
(2)由(1)sinAcosA＝－12250，且0Aπ，
可知cosA0，∴A为钝角，
∴△ABC为钝角三角形．
(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝4925，
又sinA0，cosA0，∴sinA－cosA0，
∴sinA－cosA＝75，②
∴由①，②得sinA＝45，cosA＝－35，
∴tanA＝sinAcosA＝－43.
课后练习区
1．D[∵A为△ABC中的角，cosAsinA＝－125，
∴sinA＝－512cosA，A为钝角，∴cosA0.
代入sin2A＋cos2A＝1，求得cosA＝－1213.]
2．C[已知tanα＝－512，且α为第二象限角，
有cosα＝－11＋tan2α＝－1213，所以sinα＝513.]
3．C[∵f(α)＝sinαcosα－cosαtanα＝－cosα，∴f(－313π)
＝－cos(－313π)＝－cos(10π＋π3)＝－cosπ3＝－12.]
4．C[∵f(2002)＝asin(2002π＋α)＋bcos(2002π＋β)
＝asinα＋bcosβ＝－1，
∴f(2003)＝asin(2003π＋α)＋bcos(2003π＋β)
＝asin[2002π＋(π＋α)]＋bcos[2002π＋(π＋β)]
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝1.]
5．B[∵cos(－80°)＝cos80°＝k，
sin80°＝1－cos280°＝1－k2.
∴tan100°＝－tan80°＝－1－k2k.]
6．－255
解析∵tanα＝－12，∴sinαcosα＝－12，
又∵sin2α＋cos2α＝1，α是第二象限的角，
∴cosα＝－255.
7.892
解析sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°
＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋
sin2(90°－1°)
＝sin21°＋sin22°＋…＋222＋…＋cos22°＋cos21°
＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋12＝44＋12＝892.
8.165
解析原式＝tanα＋1tanα－1＋cos2αsin2α＋cos2α
＝3＋1tan2α＋1＝3＋15＝165.
9．解(1)f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋π－tan－α－πsin－π－α
＝sinαcosα－tanαtanαsinα＝－cosα.…………………………………………………………(5分)
(2)∵α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝－sinα＝15，
∴sinα＝－15，……………………………………………………………………………(8分)
∴cosα＝－1－sin2α＝－1－－152＝－265，
∴f(α)＝－cosα＝265.…………………………………………………………………(12分)
10．解当k为偶数2n(n∈Z)时，
原式＝sin2nπ－αcos[2n－1π－α]sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α
＝sin－αcos－π－αsinπ＋αcosα
＝－sinαcosπ＋α－sinαcosα＝－cosαcosα＝－1；……………………………………………………(6分)
当k为奇数2n＋1(n∈Z)时，
原式＝sin[2n＋1π－α]cos2nπ－αsin[2n＋2π＋α]cos[2n＋1π＋α]
＝sinπ－αcos－αsin2π＋αcosπ＋α＝sinαcosαsinα－cosα＝－1.
∴当k∈Z时，原式＝－1.………………………………………………………………(12分)
11．解由已知原方程的判别式Δ≥0，
即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.………………………………………………………(3分)
又sinθ＋cosθ＝asinθcosθ＝a，(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，则a2－2a－1＝0，(6分)
从而a＝1－2或a＝1＋2(舍去)，
因此sinθ＋cosθ＝sinθcosθ＝1－2.…………………………………………………(8分)
(1)cos3(π2－θ)＋sin3(π2－θ)＝sin3θ＋cos3θ
＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.………(11分)
(2)tan(π－θ)－1tanθ＝－tanθ－1tanθ
＝－(sinθcosθ＋cosθsinθ)＝－1sinθcosθ＝－11－2＝1＋2.
……………………………………………………………………………………………(14分)

扩展阅读

高一数学《同角三角函数的基本关系式》说课稿

各位评委、老师们，大家好！我是来自于XX中学的霍XX。

今天我说课的题目是人教A版必修四第一章第二节《同角三角函数的基本关系式》，下面我将从教材分析、学情分析、教法与学法、教学过程设计和教学效果反思五个方面来阐述我对这节课的教学认识和设计，敬请各位评委专家给予指正。

一.教材分析

1.教材的地位和作用

本节内容是整个三角函数知识的基础,也是整个三角函数部分的引入阶段，与上一节《任意角的三角函数》关系非常密切，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。

2．教学目标

知识目标：（1）掌握同角三角函数的基本关系式、变式及其推导方法及它们之间的联系?

（2）会运用同角三角函数的基本关系式及变式进行求值?

能力目标：牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维

能力,培养学生观察发现能力,提高分析问题能力、逻辑推理能力?,增强数形结合的思想、创

新意识。

情感目标：让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，进一步培养良好的思维习惯。在问题提出

和解决的过程中，培养学生主动探究知识、合作交流的意识；在体验数学美的过程中激发学

生的学习兴趣。通过小组讨论活动，培养学生的团队协作意识。

3.教学重点与难点

(1)重点:同角三角函数的基本关系式推导及其应用

(2)难点：同角三角函数的基本关系式变式及灵活运用

二.学情分析

我所任教的学校是我县一所农村普通中学，大多数学生基础薄弱，对“一些重要的数学思想和数学方法”的应用意识和技能还不高。但是，大多数学生对数学的兴趣较高，比较喜欢数学，尤其是象本节课这样,内容比较基础,学生容易理解和掌握，相信学生能够积极配合，有比较不错的表现。

三．教法学法分析

1．教法分析

讲授法引导探究法、小组讨论法、讲练结合法等

2．学法分析

在学法上，我强调学生主体意识，以学生自主探究为主，让学生变被动的接受知识为主动的索取知识；通过观察、猜想、分析、归纳来推导出新知识，让学生主动参与到课堂教学中，体验成功的喜悦。

四．教学过程设计

1.复习导入引入新知

气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风。这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，从蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索这件事从中我们还可以看出，一只蝴蝶与龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点。既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是这节课的课题。

为了解决这个课题，首先，让我们来共同回顾两个问题。

问题1：三角函数的定义是怎样的？

设计意图：温故知新，三角函数定义是推导关系式的基础理论。

问题2：角α终边与单位圆的交点P的坐标是什么？

设计意图：单位圆中推导公式会用到P点的坐标，P的坐标是此处数与形的交汇点。

2.动脑思考探索新知

学生自主探究：

Sin30°=cos30°=sin230°+cos230°=

Sin45°=cos45°=sin245°+cos245°=

Sin60°=cos60°=sin260°+cos260°=

tan30°=tan45°=tan60°=

设计意图：通过由特殊到一般的认知，使得学生易于总结规律，易于接受新知识

题目做完以后引导学生思考以下几个问题：

（1）你还能举出类似于题目形式的例子吗？

（2）从以上过程中，你能发现什么一般规律吗？你能用代数式表示这个规律吗?你能用语言叙述这个规律吗？

（3）你能证明自己所得到的规律吗？

设计意图：新课标强调学生的观察、思考、探索、推理，本题组通过设置问题串，使学生经历了根据特例进行归纳、建立猜想、用数学符号表示、并给出证明这一重要的数学探索过程。

学生会很容易的猜想到：sin2α+cos2α=1

证法1.以正弦线MP、余弦线OM和半径OP构成的直角三角形OMP中，OP=1,由勾股定理很容易得到：MP2+OM2=OP2=1因此x2+y2=1即sin2α+cos2α=1

由正切函数的定义很容易得到：

设计意图：采取教材上单位圆的数形结合法，让学生进一步体会数学是

数与形的有机结合。

证法2.用三角函数的定义证明

设计意图：给学生自主解决，并且学会对三角函数定义的灵活应用。

注意：

（1）“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在函数有意义的前提下）关系式都成立。

以下说法错误的是

A.sin24α+cos24α=1B.sin2（α+β）+cos2（α+β）=1

C.sin2+cos2=1D.sin2α+cos2β=1

设计意图：对这些易错点改成小题进行小组抢答，目的是通过错误尝试，深刻理解“同角”的含义

（2）sin2α是（sinα）2的简写，读作“sinα”的平方，不能将sin2α写成sinα2前者是α的正弦的平方，后

者是α的平方的正弦，两者是不同的，教学时应使学生弄清它们的区别，并能正确书写。

（3）掌握公式的变形。公式sin2α+cos2α=1可变形为cos2α=1-sin2α；sin2α=1-cos2α；

；。公式可变形为sinα=tanαcosα

（4）商数关系中注意限制条件。即cosα≠0，当α的终边与坐标轴重合时，公式

sin2α+cos2α=1也成立

3.巩固知识例题解析

因为我所任教的学生接受能力差，所以对本节例题分两节完成，这节课只完成例题6，关于利用关系式求值的问题

引例.已知sinα=-,α为第三象限的角,求α的余弦值、正切值。

设计意图：本题是对教材例题6的改编，根据我所任教的学生的实际情况，所以我选择增加了“α为第三象限的角”这个条件，这也为例题6的过渡增设了台阶，为例题6的完成降低例题难度。

例题6.已知sinα=-,求α的余弦值、正切值。

说明：提出此问题后，学生先自己思考，然后小组讨论，教师通过巡视，对有困难的同学做以下引导：对此问题需要进行讨论。讨论时，首先根据已知条件可以确定角α为第三或第四象限

的角，然后就α为第三象限的角或α为第四象限的角分别求出cosα和tanα。最后让学生在练习本上写出答案，用多媒体展示小组成果，由其他小组或老师作出点评。

设计意图：引导学生自主探索，亲自体验解题思路的形成过程，学会分析问题，解决问题的方法，培养学生分类讨论的思想。同时使本节课的难点得以突破。

例题巩固.已知tanα=3求的值。

设计意图：本题紧扣本节课的教学目标，通过例题的求解，让学生加深对关系式的融会贯通，突破本节课的难点。

4.运用知识强化练习

(1)已知cosα=-,且α是第二象限的角，求α的余弦值、正切值。

(2)已知tanα=-，求α的正弦值、余弦值。

设计意图：一个新知识的出现，要达到熟练运用的效果，仅仅了解是不够的，一定量的“重复”是有效的，也是必要的，所谓“温故而知新”、“熟才能生巧”。

5.归纳小结布置作业

以下内容均由学生总结，不到之处，由老师点拨补充，对表现好的同学适时表扬

知识方面：本节课从特殊角的三角函数值的计算、观察、找出规律，进而尝试用三角函数的定义推导出正弦函数，余弦函数和正切函数的关系，然后用单位圆、三角函数的定义给出证明，最终得到同角三角函数的两个基本关系式。又通过例题和课堂练习介绍了公式在求值、化简和证明等方面的应用，两个基本关系式是三角函数的基础，希望同学们加深理解，灵活运用。

思想方法：1、特殊-----一般-----证明

2、数形结合思想

分层作业A巩固题教科书第20页练习第1、2题

B选做题已知tanα=－3，求值（1）3sinαcosα

（2）3sin2α+5cos2α+2

（3）

设计意图：根据学生不同程度，布置分层作业，选做题让学有余力的学生适当加深，以满足他们学习的愿望，发展他们的数学才能。作业进一步反馈知识的掌握情况，进一步落实教学目标，也符合面向全体，分层教学和因材施教原则。

高考数学理科一轮复习任意角的三角函数学案

第四章三角函数与三角恒等变换
学案17任意角的三角函数
导学目标：1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
自主梳理
1．任意角的概念
角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的________，射线的端点O叫做角的________，旋转终止位置的射线OB叫做角的________，按______时针方向旋转所形成的角叫做正角，按______时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个________角．
(1)象限角
使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是__________角．
(2)象限界角(即终边在坐标轴上的角)
终边在x轴上的角表示为____________________；
终边在y轴上的角表示为__________________________________________；
终边落在坐标轴上的角可表示为____________________________．
(3)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合______________________或__________________________，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．
(4)弧度制
把长度等于________长的弧所对的__________叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做________，它的单位符号是________，读作________，通常略去不写．
(5)度与弧度的换算关系
360°＝______rad；180°＝____rad；1°＝________rad；
1rad＝_______________≈57.30°.
(6)弧长公式与扇形面积公式
l＝________，即弧长等于_________________________________________________．
S扇＝________＝____________.
2．三角函数的定义
任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么①____叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；②____叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；③________叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝yx(x≠0)．
(1)三角函数值的符号
各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(2)三角函数线
下图中有向线段MP，OM，AT分别表示__________，__________________和____________．
自我检测
1．“α＝π6”是“cos2α＝12”的（）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2.(2011济宁模拟)点P(tan2009°，cos2009°)位于（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．(2010山东青岛高三教学质量检测)已知sinα0且tanα0，则角α是（）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
4．已知角α的终边上一点的坐标为sin2π3，cos2π3，则角α的最小正值为()
A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6
探究点一角的概念
例1(1)如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的终边落在第几象限；
(2)写出终边落在直线y＝3x上的角的集合；
(3)若θ＝168°＋k360°(k∈Z)，求在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角．

变式迁移1若α是第二象限的角，试分别确定2α，α2的终边所在位置．

探究点二弧长与扇形面积
例2(2011金华模拟)已知一个扇形的圆心角是α，0α2π，其所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

变式迁移2(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；
(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

探究点三三角函数的定义
例3已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．

变式迁移3已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，cosα，tanα的值．

1．角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯．象限角的判断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础．
2．三角函数都是以角为自变量(用弧度表示)，以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011宣城模拟)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q，则Q的坐标为（）
A．(－12，32)B．(－32，－12)
C．(－12，－32)D．(－32，12)
2．若0xπ，则使sinx12和cosx12同时成立的x的取值范围是()
A.π3xπ2B.π3x56π
C.π6x56πD.π3x23π
3．已知α为第三象限的角，则α2所在的象限是()
A．第一或第二象限B．第二或第三象限
C．第一或第三象限D．第二或第四象限
4．若1弧度的圆心角所对弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于()
A．sin12B.π6
C.1sin12D．2sin12
5．已知θ∈－π2，π2且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈(0,1)，则关于tanθ的值，以下四个答案中，可能正确的是()
A．－3B．3或13
C．－13D．－3或－13
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，且α∈[0,2π]，则α的取值范围是________________．
7．(2011龙岩模拟)已知点Psin3π4，cos3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．
8．阅读下列命题：
①若点P(a,2a)(a≠0)为角α终边上一点，则sinα＝255；
②同时满足sinα＝12，cosα＝32的角有且只有一个；
③设tanα＝12且πα3π2，则sinα＝－55；
④设cos(sinθ)tan(cosθ)0(θ为象限角)，则θ在第一象限．其中正确命题为________．(将正确命题的序号填在横线上)
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，
(1)求AB的弧长；
(2)求弓形OAB的面积．

10．(12分)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sinα≥32；
(2)cosα≤－12.

11．(14分)(2011舟山月考)已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x.求sinα＋1tanα的值．

答案自主梳理
1．始边顶点终边逆顺零(1)第几象限
(2){α|α＝kπ，k∈Z}α|α＝kπ＋π2，k∈Zα|α＝kπ2，k∈Z(3){β|β＝α＋k360°，k∈Z}{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}(4)半径圆心角弧度制rad弧度(5)2πππ180180π°(6)|α|r弧所对的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积12lr12|α|r22.①y②x③yx(2)α的正弦线α的余弦线α的正切线
自我检测
1．A2.D3.C4.D
课堂活动区
例1解题导引(1)一般地，角α与－α终边关于x轴对称；角α与π－α终边关于y轴对称；角α与π＋α终边关于原点对称．
(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一角α与2π的整数倍，然后判断角α的象限．
(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合参数k赋值来求得所需角．
解(1)π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z)，
∴－3π2－2kπ－α－π－2kπ(k∈Z)，
即π2＋2kπ－απ＋2kπ(k∈Z)．①
∴－α角终边在第二象限．
又由①各边都加上π，得3π2＋2kππ－α2π＋2kπ(k∈Z)．
∴π－α是第四象限角．
同理可知，π＋α是第一象限角．
(2)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，
∴终边在直线y＝3x上的角的集合为
α|α＝π3＋kπ，k∈Z.
(3)∵θ＝168°＋k360°(k∈Z)，
∴θ3＝56°＋k120°(k∈Z)．
∵0°≤56°＋k120°360°，
∴k＝0,1,2时，θ3∈[0°，360°)．
故在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角是56°，176°，296°.
变式迁移1解∵α是第二象限的角，
∴k360°＋90°αk360°＋180°(k∈Z)．
(1)∵2k360°＋180°2α2k360°＋360°(k∈Z)，
∴2α的终边在第三或第四象限，或角的终边在y轴的非正半轴上．
(2)∵k180°＋45°α2k180°＋90°(k∈Z)，
当k＝2n(n∈Z)时，
n360°＋45°α2n360°＋90°；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
n360°＋225°α2n360°＋270°.
∴α2是第一或第三象限的角．
∴α2的终边在第一或第三象限．
例2解题导引本题主要考查弧长公式和扇形的面积公式，并与最值问题联系在一起．确定一个扇形需要两个基本条件，因此在解题中应依据题目条件确定出圆心角、半径、弧长三个基本量中的两个，然后再进行求解．
解
(1)设扇形的弧长为l，该弧所在弓形的面积为S，如图所示，
当α＝60°＝π3，
R＝10cm时，
可知l＝αR＝10π3cm.
而S＝S扇－S△OAB＝12lR－12R2sinπ3
＝12×10π3×10－12×100×32
＝50π3－253cm2.
(2)已知2R＋l＝C，即2R＋αR＝C，
S扇＝12αR2＝12αRR＝14αR2R
≤14αR＋2R22＝14C22＝C216.
当且仅当αR＝2R，即α＝2时，等号成立，即当α为2弧度时，该扇形有最大面积116C2.
变式迁移2解设扇形半径为R，圆心角为θ，所对的弧长为l.
(1)依题意，得12θR2＝4，θR＋2R＝10，
∴2θ2－17θ＋8＝0.∴θ＝8或12.
∵82π，舍去，∴θ＝12.
(2)扇形的周长为40，即θR＋2R＝40，
S＝12lR＝12θR2＝14θR2R≤14θR＋2R22＝100.
当且仅当θR＝2R，即R＝10，θ＝2时扇形面积取得最大值，最大值为100.
例3解题导引某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定了．但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组，要分别求解．
解∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，
∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，
则x＝4t，y＝－3t，
r＝x2＋y2＝4t2＋－3t2＝5|t|，
当t0时，r＝5t，
sinα＝yr＝－3t5t＝－35，
cosα＝xr＝4t5t＝45，
tanα＝yx＝－3t4t＝－34；
当t0时，r＝－5t，
sinα＝yr＝－3t－5t＝35，
cosα＝xr＝4t－5t＝－45，
tanα＝yx＝－3t4t＝－34.
综上可知，t0时，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34；
t0时，sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.
变式迁移3解r＝－4a2＋3a2＝5|a|.
若a0，则r＝5a，α角在第二象限，
sinα＝yr＝3a5a＝35，
cosα＝xr＝－4a5a＝－45，
tanα＝yx＝3a－4a＝－34.
若a0，则r＝－5a，α角在第四象限，
sinα＝yr＝3a－5a＝－35，cosα＝xr＝－4a－5a＝45，
tanα＝yx＝3a－4a＝－34.
课后练习区
1．A2.B3.D4.C5.C
6.π4，π2∪π，5π4
解析由已知得sinαcosα，tanα0，
∴π4＋2kπαπ2＋2kπ或π＋2kπα5π4＋2kπ，k∈Z.
∵0≤α≤2π，∴当k＝0时，π4απ2或πα5π4.
7.74π
解析由三角函数的定义，tanθ＝yx＝cos3π4sin3π4＝－1.
又∵sin3π40，cos3π40，∴P在第四象限，∴θ＝7π4.
8．③
解析①中，当α在第三象限时，
sinα＝－255，故①错．
②中，同时满足sinα＝12，cosα＝32的角为α＝2kπ＋π6(k∈Z)，不只有一个，故②错．③正确．④θ可能在第一象限或第四象限，故④错．综上选③.
9．解(1)∵α＝120°＝2π3，r＝6，
∴AB的弧长为l＝αr＝2π3×6＝4π.……………………………………………………(4分)
(2)∵S扇形OAB＝12lr＝12×4π×6＝12π，……………………………………………………(7分)
S△ABO＝12r2sin2π3＝12×62×32
＝93，……………………………………………………………………………………(10分)
∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－93.………………………………………………(12分)
10．解(1)
作直线y＝32交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角α的集合为α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π3，k∈Z.…………………………………………………(6分)
(2)
作直线x＝－12交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为
α|2kπ＋2π3≤α≤2kπ＋4π3，k∈Z.……………………………………………………(12分)
11．解∵P(x，－2)(x≠0)，
∴点P到原点的距离r＝x2＋2.…………………………………………………………(2分)
又cosα＝36x，
∴cosα＝xx2＋2＝36x.∵x≠0，∴x＝±10，
∴r＝23.…………………………………………………………………………………(6分)
当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，
由三角函数的定义，
有sinα＝－66，1tanα＝－5，
∴sinα＋1tanα＝－66－5＝－65＋66；……………………………………………(10分)
当x＝－10时，
同样可求得sinα＋1tanα＝65－66.………………………………………………(14分)

高一数学《同角三角函数的基本关系式》教学反思

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，作为教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以更好的帮助学生们打好基础，减轻教师们在教学时的教学压力。那么怎么才能写出优秀的教案呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“高一数学《同角三角函数的基本关系式》教学反思”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

高一数学《同角三角函数的基本关系式》教学反思

本节采用“提出问题──合作探究──变式应用”的模式展开．首先在复习任意角三角函数定义的基础上提出几个环环相扣、引人思考的问题，然后通过合作探究的方式探究出同角三角函数的基本关系式，并通过设置问题，进一步深化了对关系式的理解．最后通过一题多变的方式让学生在自主探索中体验了同角三角函数的基本关系式在一类三角求值方面的基本应用．整个教学设计突出以下特点：

1设置问题，引导思维

一个好的问题，既能揭示课堂的教学内容，又能充分调动学生的积极性．本节设置了一个个问题，把知识点串联起来，以引导学生思维．学生在思考这些问题的过程中，理解了同角三角函数的基本关系式，掌握了已知一个角的一个三角函数值或三角函数式，求它的另外三角函数值的方法，从而完成了本节的知识目标．

2探究学习，训练思维

新的课程标准强调教师不能把知识的结果强加给学生，不能单纯的只让学生掌握知识的结果，而应重视获取知识的过程，因此在本节的教学设计中，突出了“教师为主导，学生为主体，探究为主线，思维为核心”的数学思想．无论是合作探究同角三角函数基本关系式，还是自主探究解题思路，都使学生由被动学习变为主动愉快学习，从而调动了他们学习的积极性．

3一题多变，发散思维

本节课对教材例题做全新的调整，采用一题多变的教学，通过变例题的条件或结论由一例题变式出三个，让学生从不同角度、用不同方法掌握已知一个角的一个三角函数值或三角函数式，求它的另外三角函数值的方法，进而优化课堂教学，促进学生发散思维．

总之，本节课的设计理念是尽可能将课堂还给学生，让学生成为数学学习的主人．