三角函数的图像与性质。
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1.3.2三角函数的图象与性质(二)
课型:新授课
课时计划:本课题共安排一课时
教学目标:
1、掌握正、余弦函数的定义域和值域;
2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念,会求它们的周期,会判断它们的奇偶性;
3、能正确求出正、余弦函数的单调区间
教学重点:
正、余弦函数的性质
教学难点:
正、余弦函数的单调性
教学过程:
一、创设情境,引入新课
我们已经知道正、余弦函数都是周期函数,那它们除此之外还有哪些性质呢?
二、新课讲解
㈠知识要点:
1、定义域:
函数及的定义域都是,即实数集
2、值域:
函数,及,的值域都是
理解:(1)在单位圆中,正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的,所以,
,即,。
(2)函数在时,取最大值1,当,时,取最小值-1;函数在,时,取最大值1,当,时,取最小值-1。
3、周期性
正弦函数,和余弦函数,是周期函数,都是它们的周期,最小正周期是。
4、奇偶性
正弦函数,是奇函数,余弦函数,是偶函数。
理解:(1)由诱导公式,可知以上结论成立;
(2)反映在图象上,正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于轴对称。
5、单调性
(1)由正弦曲线可以看出:当由增大到时,曲线逐渐上升,由-1增大到1;当由增大到时,曲线逐渐下降,由1减至-1,由正弦函数的周期性知道:
①正弦函数在每一个闭区间上,都从-1增大到1,是增函数;
②在每一个闭区间上,都从1减小到-1,是减函数。
(2)由余弦曲线可以知道:
①余弦函数在每一个区间上,都从-1增大到1,是增函数;
②在每一个闭区间上,都从1减小到-1,是减函数。
练习:不求值,分别比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(1)与;(2)与
㈡例题剖析
例3、求下列函数的最大值及取得最大值时自变量的集合:
(1);(2)
例4、求函数的单调增区间。
㈢练习:
1、(1)求函数的定义域;(2)求函数的值域;
㈣作业:
=(五)小结
相关知识
三角函数图像的作法
俗话说,凡事预则立,不预则废。作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容,帮助授课经验少的教师教学。你知道怎么写具体的教案内容吗?急您所急,小编为朋友们了收集和编辑了“三角函数图像的作法”,欢迎您参考,希望对您有所助益!
三角函数图像的作法1、几何法:利用单位圆中的三角函数线,作出各三角函数的图像.以正弦函数为例,具体作法如下:
在直角坐标系的x轴上任取一点O1,以O1为圆心作单位圆,从这个圆与x轴的交点A起把圆分成12等份.过圆上的各分点作x轴的垂线,可以得到对应于角0,,,,…,2π的正弦线.相应地,再把x轴上从0到2π这一段(2π≈6.28)分成12等份.把角x的正弦线向右平移,使得正弦线的起点在x轴上,再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到了正弦函数y=sinx(x∈[0,2π])的图像.
2、描点法及其特例——五点作图法
三角函数的图像亦可用通常作函数图像的描点法作出.对于正弦函数及余弦函数可用五点法作出简图.
3、利用图像变换作三角函数图像.
三角函数的图像变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.
由y=sinx的图像上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当A>1)或缩短(当0<A<1)到原来的A(A>0且A≠1)倍,得到y=sinx的图像,叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.
由y=sinx的图像上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的(ω>0且ω≠1)倍,得到y=sinx的图像,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.
由y=sinx的图像上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y=sin(x+φ)的图像,叫做相应变换或叫做沿x轴方向的平移.
由y=sinx的图像上所有的点向上(当b>0)或向下(当b<0)平行移动|b|个单位,得到y=sinx+b的图像叫做沿y轴方向的平移.
由y=sinx的图像变换到y=Asinx(ωx+φ)的图像,需要同时运用振幅变换、周期变换及相位变换,将由专门条目介绍.
《三角函数的图像和性质》课后反思
《三角函数的图像和性质》课后反思
领到上课的任务后很是惶恐,才疏学浅不知拿什么奉献给大家,好在9月高三一轮复习开始我就思考一个问题,那就是“翻转课堂理念下的高三复习课如何达到高效”。翻转课堂的核心理念是使“知识传递发生在课外,知识内化发生在课堂”,所以我们需要重新建构学习流程,教师既然作为组织者、引导者、促进者和参与者就应该让出讲台,走入幕后。让学生自主选择自己有把握的课题,课前通过师生共同备课确定小讲师内容,课上根据他的理解给大家讲解,看到小讲师们认真准备,互动讲解的情景,我从内心灵深处被深深地撼动了,不禁随手拍下他们成长的历程,一个多月下来也就汇成了课后播放的——高三.2班讲师风采秀。于是,决定把这份感动通过这节课带给老师们一起体会,一起分享。
曾经,我想把班级里每个学生都变成优等生,后来我慢慢发现,这个初衷是好的,但结果是没有道理的。我为什么要把音乐家变成文学家,我又为什么偏要把艺术家变成数学家,我固执得期望每棵小苗都长成参天大树,可是在人生这片茂密的森林中,需要的不仅是笔直的白桦树,挺拔的松树,也许更需要红灌木的点缀。我开始明白,每个孩子都是独一无二的,他们不仅拥有独一无二的外貌,更有独一无二的灵魂和思想。
而今面对着那一个个有着独特个性和特长的学生,我们需要呵护他们的求知热情,也要激发培养兴趣爱好。不要苛求每棵小树苗一般高,一般壮。他们有各自的追求,也许喜欢与蝴蝶为友,也许善于和清风为伴。放飞每个孩子自由的灵魂,让他们像风筝一样,高高地飞。线,在你的手中,放心,他们不会偏离爱的航线。
从知识课堂到生命课堂,对于我们教师来说,更是一次新的挑战。因为,生命课堂,需要的是生命的鲜血,生命的脉动,生命的显性。让每节课都有生命,让每个孩子的生命因为你的课堂而找到生命存在的美好,这何尝不是一种幸福?我想我的这节课就当做一次不深刻的思考和试水,为老师们以后的精彩纷呈铺路!面对微课时代的到来,我们曾经拥有着一切转眼都飘散如烟,我曾经失落失望失掉所有方向,向前走,我们别无选择,这是PPT结尾中朴树的“平凡之路”中的歌词,那就把它作为对未来的一点期望吧!
高二必修四数学 三角函数的性质与图像(学案)
三角函数的性质与图像(学案)
一、学习目标
1、“五点法”画函数的图像.
2、图像变换规律.
3、由函数图像或性质求解析式.
重点:围绕三角函数图像变换、五点作图求函数解析式.
难点:图像变换中的左右平移变换中平移量的确定.
二、学习过程
1、高考考点分析
年份
考点
考察内容
2017年全国Ⅱ
三角函数的性质
求周期
2016年全国Ⅰ
三角函数的图像与变换
求解析式
2016年全国Ⅲ
三角函数的图像与变换
平移变换
2015年全国Ⅰ
三角函数的图像与性质
求解析式及单调区间
2014年全国Ⅰ
三角函数的性质及应用
求周期
2、知识梳理:
(1)用“五点法”画一个周期的简图时,要找出五个关键点。
填写表格:
(2)三角函数图像的变化规律:
画出函数图像
向左(右)平移个单位
画出函数图像
横坐标变为原来的倍
画出函数图像
纵坐标变为原来的倍
画出函数图像
画出函数图像
横坐标变为原来的倍
画出函数图像
向左(右)平移个单位
画出函数图像
纵坐标变为原来的倍
画出函数图像
(3)函数的物理意义:
(4)由函数图像求函数解析式的步骤和方法:
①A的确定:
②k的确定:
③的确定:
④的确定:
三、基础训练
1、函数的最小正周期为()
A.B.C.D.
2、将函数的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为()
A.B.
C.D.
3、为了得到的图像,只需把函数的图像上所有的点()
A.向左平移个单位B.向右平移个单位
C.向上平移个单位D.向下平移个单位
4、函数的最小正周期为()
A.B.C.D.
四、范例导航
题型一:三角函数的图象
例1.(2000全国,5)函数y=-xcosx的部分图象是()
变式练习.(2002上海,15)函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是()
题型二:函数图像及变换
例2、已知函数
(1)求它的振幅、周期、初相。
(2)用五点作图法作它在一个周期内的图像。
(3)试说明的图像可由的图像经过怎样的变换得到?
列表:
0
0
1
0
0
描点作图:
题型三:求函数的解析式
例3、已知函数的一段图像如下图所示,求函数解析式。
五、小结:
高二数学必修四 三角函数的性质与图像 教案
俗话说,磨刀不误砍柴工。作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣,让高中教师能够快速的解决各种教学问题。那么如何写好我们的高中教案呢?经过搜索和整理,小编为大家呈现“高二数学必修四 三角函数的性质与图像 教案”,欢迎大家阅读,希望对大家有所帮助。
高二数学必修四三角函数的性质与图像教案一、教学内容分析
近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查,因为函数的性质是研究函数的一个重要内容,是学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决生产实际问题的工具,因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想,把图象与性质结合起来,即利用图象的直观性得出函数的性质,能利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合的思想方法。
二、学情分析
对于函数性质的研究,学生已经有些经验.其中,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的应用.
三、教学目标
1、知识与技能:
(1)“五点法”画函数的图像.
(2).图像变换规律.
(3).函数图像性质及常见问题处理方法
2、过程与方法:培养学生应用所学知识解决问题的能力,独立思考能力,规范解题的标准。
3、情感态度与价值观:培养学生全面的分析问题和认真的学习态度,渗透辩证唯物主义思想。
教学重点:围绕三角函数图像变换、五点作图求函数解析式.
教学难点、关键:图像变换中的左右平移变换中平移量的确定.
教学方法:启发、引导、研讨相结合
教学手段:结合学生复习情况,使用多媒体课件,提高教学的效率
教学课时:一课时
四、知识梳理
1、用“五点法”画一个周期的简图时,要找出五个关键点。
2、三角函数图像的变化规律。
画出函数图像
向左(右)平移个单位
画出函数图像
横坐标变为原来的倍
画出函数图像
纵坐标变为原来的倍
画出函数图像
画出函数图像
横坐标变为原来的倍
画出函数图像
向左(右)平移个单位
画出函数图像
纵坐标变为原来的倍
画出函数图像
3、函数的物理意义。
4、由函数图像求解析式的步骤和方法:
(1)的确定:根据图像的最高点和最低点,即=.
(2)的确定:根据图像的最高点和最低点,即=.
(3)的确定:结合图像,先求出周期,然后由来确定.
(4)的确定:由函数最开始与轴的交点(最靠近原点)的横坐标为(即令)确定.
五、基础训练
1、函数的最小正周期为()
A.B.C.D.
2、将函数的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为()
A.B.
C.D.
3、为了得到的图像,只需把函数的图像上所有的点()
A.向左平移个单位B.向右平移个单位
C.向上平移个单位D.向下平移个单位
4、函数的最小正周期为()
A.B.C.D.
答案:1、C(2017全国)2、D(2016全国)3、A(2016四川)4、C(2017山东)
设计意图:熟悉高考考点及题型。
六、范例导航
题型一:三角函数的图象
例1.(2000全国,5)函数y=-xcosx的部分图象是()
解析:因为函数y=-xcosx是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除A、C,当x∈(0,)时,y=-xcosx<0。答案为D。
变式练习.(2002上海,15)函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是()
解析:由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]为非奇非偶函数。选项A、D为奇函数,B为偶函数,C为非奇非偶函数。
点评:利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合的思想方法。
题型二:函数图像及变换
例2、已知函数
(1)求它的振幅、周期、初相。
(2)用五点作图法作它在一个周期内的图像。
(3)试说明的图像可由的图像经过怎样的变换得到?
解:(1)
(2)列表:
0
0
1
0
0
0
2
0
0
描点画图:
(3)方法一:可由的图像向左平移个单位得的图像,再把所得图像上所有点得横坐标变为原来的(纵坐标不变)得的图像,再把所得图像上所有点得纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得的图像。
方法二:由的图像所有点得横坐标变为原来的(纵坐标不变)得的图像,再把所得图像向左平移个单位得的图像,再把所得图像上所有点得纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得的图像。
点评:(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点。而后列表,描点,连线即可。要注意在作出一个周期上的简图后,应向两侧伸展,以表示整个定义域上的图像;(2)函数图像变换要注意顺序,在两种不同的变换过程中平移的单位长度不同。
题型三:求函数的解析式
例3、已知函数的一段图像如下图所示,求函数解析式。
思路1:将最高点代入.
思路2:将最低点代入.
由上求得,又∵图像经过,∴,即.∴,即.
又∵,∴函数解析式为.
思路3:将零点代入.
由上求得,又∵图像经过,∴,即。
∵点在递减的那段曲线上,∴,由,得,∴,
又∵,∴函数解析式为.
思路4:图象平移.
由上求得,
左移个单位
∴向左平移个单位,得,即,∴.
设计意图:由图像求解析式,主要考察“五点法”画简图的逆用,明确确定的常用方法。
七、小结:
1、知识依托:依据图像正确写出解析式
2、基本方法:数形结合,待定系数法。
3、解题策略:逆用“五点法”作图。
4、方法比较:用最值点待定求初相最佳。
5、思维误区:从图形中获取错误信息。
八、作业:
自主丛书P76:高考真题部分。
九、课后自我总结与反思:
1、本节典型例题的分析和讲解,既突出了对基础知识巩固与提高,又注重了对难点知识和综合应用的突破,贴近高考。有效的巩固三角函数图像与性质应用。
2、通过训练,学生掌握了求函数解析式时,用比较简便的方法求。
3、少部分基础差的学生对于图像的两种变换规律易混淆,以后应加强训练。