高一数学《平面向量的基本定理及坐标表示》学案人教版。

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。高中教案的内容具体要怎样写呢？下面是小编精心为您整理的“高一数学《平面向量的基本定理及坐标表示》学案人教版”，希望能对您有所帮助，请收藏。

高一数学《平面向量的基本定理及坐标表示》学案人教版

2.3平面向量的基本定理及坐标表示（1）（教学设计）
2．3．1平面向量基本定理；2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
[教学目标]
一、知识与能力：
1．了解平面向量基本定理。
2．掌握平面向量基本定理，理解平面向量的正交分解及坐标表示；
3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
二、过程与方法：
体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力.
三、情感、态度与价值观：
培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．
教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算
教学难点：平面向量基本定理．
一、复习回顾：
1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ|=|λ|||；（2）λ0时λ与方向相同；λ0时λ与方向相反；λ=0时λ=
2．运算定律
结合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ
3.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
二、师生互动，新课讲解：
思考：给定平面内任意两个向量e1,e2，请作出向量3e1+2e2、e1-2e2，平面内的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢？.
在平面内任取一点O，作e1，e2，a，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数1、2，使得1e1，2e2.由于，所以a=1e1+2e2，也就是说任一向量a都可以表示成1e1+2e2的形式.
1．平面向量基本定理
（1）定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使得
a=1e1+2e2.
把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（2）向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角，
当=0时，a与b同向；当=180时，a与b反向.
如果a与b的夹角是90，则称a与b垂直，记作ab.

例1（课本P94例1）已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2。
解：
变式训练1：如图在基底e1、e2下分解下列向量：
解：，
，
，

2．平面向量的正交分解及坐标表示
（1）正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
（2）向量的坐标表示
思考：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对平面直角坐标系内的每一个向量，如何表示呢？
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，则对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y使得
a=xi+yj，
把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作
a=(x,y),
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，
显然，
i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
（3）向量与坐标的关系
思考：与a相等的向量坐标是什么？
向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？（多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同）
当向量起点被限制在原点时，作=a，这时向量的坐标就是点A的坐标，点A的坐标也就是向量的坐标，二者之间建立的一一对应关系.

例2（课本P96例2）如图，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标.
解：a=2i+3j=(2,3),
b=-2i+3j=(-2,3)
c=-2i-3j=(-2,-3)
d=2i-3j=(2,-3).

变式训练2：在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的方向和长度如图所示，分别求他们的坐标.
解：设a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，c=(c1,c2)，则
a1=|a|cos45=，a2=|a|sin45=;
b1=|b|cos120=，b2=|b|sin120;
c1=|c|cos(-30)=，c2=|c|sin(-30)=,
因此.
例3：已知是坐标原点，点在第一象限，，，求向量的坐标.
解：设点，则
即，所以.

变式训练3：如图，e1、e2为正交基底，分别写出图中向量a、b、c、d的分解式，并分别求出它们的直角坐标.
解：a=2e1+3e2=(2,3)，b=-2e1+3e2=(-2,3)，
c=-2e1-3e2=(-2,-3)，d=2e1-3e2=(2,-3).
三、课堂小结，巩固反思：
1．平面向量基本定理；
2．平面向量的正交分解；
3．平面向量的坐标表示.
四、课时必记：
1、平面向量的基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使得功a=1e1+2e2.把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2、当向量起点被限制在原点时，作=a，这时向量的坐标就是点A的坐标，点A的坐标也就是向量的坐标，二者之间建立的一一对应关系.
五、分层作业：
A组：
1、设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有()
A.e1、e2一定平行B.e1、e2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)
2、已知矢量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c=6e1-2e2的关系
A.不共线B.共线C.相等D.无法确定
3、已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于()
A.3B.-3C.0D.2
4、已知a、b不共线，且c=λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1=.
5、已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a=λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).

B组：
C组：

相关知识

高二数学平面向量基本定理及坐标表示3

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？经过搜索和整理，小编为大家呈现“高二数学平面向量基本定理及坐标表示3”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

2.3.4平面向量共线的坐标表示
教学目的：
（1）理解平面向量共线的坐标表示；
（2）掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量公线的坐标表示及定点坐标公式，
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
2．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特别地，，，.
2．平面向量的坐标运算
（1）若，，
则，，
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
（2）若，，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
向量的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。
3．练习：
1．若M(3，-2)N(-5，-1)且，求P点的坐标
2．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则2=.
3．已知：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，
如何求证：四边形ABCD是梯形.？
二、讲解新课：
1、思考：（1）两个向量共线的条件是什么？
（2）如何用坐标表示两个共线向量？
设=(x1，y1)，=(x2，y2)其中.
由=λ得，(x1，y1)=λ(x2，y2)消去λ，x1y2-x2y1=0
∥()的充要条件是x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ时能不能两式相除？
（不能∵y1，y2有可能为0，∵∴x2，y2中至少有一个不为0）
（2）能不能写成？（不能。∵x1，x2有可能为0）
(3)向量共线有哪两种形式？∥()
三、讲解范例：
例1已知=(4，2)，=(6，y)，且∥，求y.
例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.
思考：你还有其它方法吗？
例3若向量=(-1，x)与=(-x，2)共线且方向相同，求x
解：∵=(-1，x)与=(-x，2)共线∴(-1)×2-x(-x)=0
∴x=±∵与方向相同∴x=
例4已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
解：∵=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，=(2-1，7-5)=(1，2)
又∵2×2-4×1=0∴∥
又∵=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，=(2，4)，2×4-2×60∴与不平行
∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD
例5设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
思考：（1）中P1P：PP2=？（2）中P1P：PP2=？若P1P：PP2=如何求点P的坐标？
四、课堂练习：P101面4、5、6、7题。
五、小结：（1）平面向量共线的坐标表示；
（2）平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；
（3）向量共线的坐标表示.
六、课后作业：《习案》二十二。
思考：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（C）
A.6B.5C.7D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（B）?
A.-3B.-1C.1D.3
3.若=i+2j，=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x、y的值可能分别为（B）
A.1，2B.2，2C.3，2D.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y=3.
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为
6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=5

高考数学（理科）一轮复习平面向量的基本定理及坐标表示学案

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师提前熟悉所教学的内容。那么怎么才能写出优秀的教案呢？以下是小编收集整理的“高考数学（理科）一轮复习平面向量的基本定理及坐标表示学案”，相信您能找到对自己有用的内容。

学案26平面向量的基本定理及坐标表示
导学目标：1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
自主梳理
1．平面向量基本定理
定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，__________一对实数λ1，λ2，使a＝______________.
我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．
2．夹角
（1）已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的________．
(2)向量夹角θ的范围是________，a与b同向时，夹角θ＝____；a与b反向时，夹角θ＝____.
(3)如果向量a与b的夹角是________，我们说a与b垂直，记作________．
3．把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．
4．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝xi＋yj，我们把有序数对______叫做向量a的________，记作a＝________，其中x叫a在________上的坐标，y叫a在________上的坐标．
5．平面向量的坐标运算
(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝________________________，a－b＝________________________，λa＝________________.
（2）已知A（），B（），则AB→＝OB→－OA→＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标．
6．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是________________________．
7．(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2的中点P的坐标为________________________________．
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则△P1P2P3的重心P的坐标为_______________．
自我检测
1．(2010福建)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
2．设a＝32，sinα，b＝cosα，13，且a∥b，则锐角α为()
A．30°B．45°
C．60°D．75°
3.（2011马鞍山模拟）已知向量a=(6，-4)，b（0，2），OC→＝c＝a＋λb，若C点在函数y＝sinπ12x的图象上，则实数λ等于()
A.52B.32
C．－52D．－32
4．(2010陕西)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
5.（2009安徽）给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动，若OC→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是______.
探究点一平面向量基本定理的应用
例1如图所示，在△OAB中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC交于点M，设OA→＝a，OB→＝b，以a、b为基底表示OM→.

变式迁移1（2011厦门模拟）如图，平面内有三个向量OA→、OB→、OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ、μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
探究点二平面向量的坐标运算
例2已知A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4），且CM→＝3CA→，CN→＝2CB→，试求点M，N和MN→的坐标．

变式迁移2已知点A（1，-2），若向量|AB→与a＝(2,3)同向，|AB→|＝213，则点B的坐标为________．
探究点三在向量平行下求参数问题
例3(2011嘉兴模拟)已知平面内三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.

变式迁移3(2009江西)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________.
1．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多．
2.平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA→＝a，点A的位置被a所唯一确定，此时a的坐标与点A的坐标都是(x，y)．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量(x，y)向量OA→点A(x，y)．要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A(1,2)，B(3,4)，则AB→＝(2,2)．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.已知a,b是不共线的向量，若AB→＝λ1a＋b，AC→＝a＋λ2b，(λ1，λ2∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件为()
A．λ1＝λ2＝－1B．λ1＝λ2＝1
C．λ1λ2－1＝0D．λ1λ2＋1＝0
2.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）.若OP→＝aOP1→＋bOP2→，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足()
A．a0，b0B．a0，b0
C．a0，b0D．a0，b0
3．(2011湛江月考)设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝m，m2＋sinα，其中λ、m、α为实数．若a＝2b，则λm的取值范围是()
A．[－6,1]B．[4,8]
C．(－∞，1]D．[－1,6]
4.设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP1→＝(cosθ，sinθ)，OP2→＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量P1P2→长度的最大值是()
A.2B.3C．32D．23
5.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则BD→等于()
A．(－2，－4)B．(－3，－5)
C．(3,5)D．(2,4)
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6.（2011烟台模拟）如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为______．
7．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8，6)，则D点的坐标为________．
8.(2009天津)在四边形ABCD中，AB→＝DC→＝(1,1)，1|BA→|BA→＋1|BC→|BC→＝3|BD→|BD→，则四边形ABCD的面积为________．
三、解答题(共38分)
9.（12分）已知A、B、C三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且AE→＝13AC→，BF→＝13BC→.求证：EF→∥AB→.

10．(12分)(2011宣城模拟)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知向量m＝(a，b)，向量n＝(cosA，cosB)，向量p＝(22sinB＋C2，2sinA)，若m∥n，p2＝9，求证：△ABC为等边三角形．

11.（14分）如图，在边长为1的正△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若AE→＝mAB→，AF→＝nAC→，m，n∈(0,1)．设EF的中点为M，BC的中点为N.
(1)若A，M，N三点共线，求证：m＝n；
（2）若m+n=1,求的最小值．

答案自主梳理
1．不共线有且只有λ1e1＋λ2e2基底2.(1)夹角(2)[0，π]0π(3)π2a⊥b
3.互相垂直4.(x，y)坐标(x，y)x轴y轴5.(1)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(2)终点始点
6．x1y2－x2y1＝07.(1)x1＋x22，y1＋y22
(2)x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33
自我检测
1．A[由x＝4知|a|＝42＋32＝5；由|a|＝x2＋32＝5，得x＝4或x＝－4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．]
2．B[∵a∥b，∴32×13－sinαcosα＝0，
∴sin2α＝1,2α＝90°，α＝45°.]
3．A[c＝a＋λb＝(6，－4＋2λ)，代入y＝sinπ12x得，
－4＋2λ＝sinπ2＝1，解得λ＝52.]
4．－1
解析a＋b＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c，
得1×2－(m－1)×(－1)＝0，所以m＝－1.
5．2
解析建立如图所示的坐标系，
则A(1,0)，B(cos120°，sin120°)，
即B(－12，32)．
设＝,则OA→＝(cosα，sinα)．
∵OC→＝xOA→＋yOB→
＝(x,0)＋－y2，32y＝(cosα，sinα)．
∴x－y2＝cosα，32y＝sinα.∴x＝sinα3＋cosα，y＝2sinα3，
∴x＋y＝3sinα＋cosα＝2sin(α＋30°)．
∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°.
∴x＋y有最大值2，当α＝60°时取最大值．
课堂活动区
例1解题导引本题利用方程的思想，设OM→=ma+nb，通过建立关于m、n的方程求解，同时注意体会应用向量法解决平面几何问题的方法.
解设OM→＝ma＋nb(m，n∈R)，
则AM→＝OM→－OA→＝(m－1)a＋nb，
AD→＝OD→－OA→＝12b－a＝－a＋12b.
因为A，M，D三点共线，所以m－1－1＝n12，即m＋2n＝1.
而CM→＝OM→－OC→＝m－14a＋nb，
CB→＝OB→－OC→＝b－14a＝－14a＋b，
因为C，M，B三点共线，所以m－14－14＝n1，
即4m＋n＝1.由m＋2n＝1，4m＋n＝1，解得m＝17，n＝37.
所以OM→＝17a＋37b.
变式迁移16
解析如右图，OC→＝OD→＋OE→
＝λOA→＋μOB→
在△OCD中，∠COD＝30°，∠OCD＝∠COB＝90°，
可求|OD→|＝4，同理可求|OE→|＝2，
∴λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝6.
例2解∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
∴CA→＝(1,8)，CB→＝(6,3)．
∴CM→＝3CA→＝(3,24)，
CN→＝2CB→＝(12,6)．
设M（x，y），则CM→＝(x＋3，y＋4)＝(3,24)，
∴x＋3＝3，y＋4＝24，∴x＝0，y＝20.∴M(0,20)．
同理可得N（9，2），因此MN→=（9，－18）.?
∴所求M（0，20），N（9，2），MN→＝(9，－18)．
变式迁移2(5,4)
解析∵向量AB→与a同向，
∴设AB→＝(2t,3t)(t0)．
由|AB→|＝213，∴4t2＋9t2＝4×13.∴t2＝4.
∵t0，∴t＝2.∴AB→＝(4,6)．
设B为(x，y)，∴x－1＝4，y＋2＝6.∴x＝5，y＝4.
例3解(1)∵a＝mb＋nc，m，n∈R，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴－m＋4n＝3，2m＋n＝2，解之得m＝59，n＝89.
(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
且a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0，
∴k＝－1613.
变式迁移35
解析∵a－c＝(3,1)－(k,7)＝(3－k，－6)，
且(a－c)∥b，∴3－k1＝－63，∴k＝5.
课后练习区
1．C[∵A、B、C三点共线AB→与AC→共线AB→＝kAC→λ1＝k，kλ2＝1，∴λ1λ2－1＝0.]
2.B[由于点P落在第Ⅲ部分，且OP→＝aOP1→＋bOP2→，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a0，b0.]
3．A[∵2b＝(2m，m＋2sinα)，∴λ＋2＝2m，
λ2－cos2α＝m＋2sinα，∴(2m－2)2－m＝cos2α＋2sinα，
即4m2－9m＋4＝1－sin2α＋2sinα.
又∵－2≤1－sin2α＋2sinα≤2，
∴－2≤4m2－9m＋4≤2，解得14≤m≤2，
∴12≤1m≤4.又∵λ＝2m－2，
∴λm＝2－2m，∴－6≤2－2m≤1.]

6．2
解析方法一若M与B重合，N与C重合，
则m＋n＝2.
方法二∵2AO→＝AB→＋AC→＝mAM→＋nAN→，
AO→＝m2AM→＝m2AM→.
∵O、M、N共线，∴m2＋n2＝1.
∴m＋n＝2.
7．(0，－2)
解析设D点的坐标为(x，y)，
由题意知ＢＣ→＝ＡＤ→，
即(2，－2)＝(x＋2，y)，所以x＝0，y＝－2，∴D(0，－2)．
8.3
S＝|AB→|＝|ＢＣ→|sin60°＝2×2×32＝3.
9．证明设E、F两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则依题意，得ＡＣ→＝(2,2)，ＢＣ→＝(－2,3)，ＡB→＝(4，－1)．
∴AＥ→＝13AC→＝23，23，
ＢＦ→＝13ＢC→＝－23，1.
∴AＥ→＝(x1，y1)－(－1,0)＝23，23，
ＢＦ→＝(x2，y2)－(3，－1)＝－23，1.…………………………………………………(4分)
∴(x1，y1)＝23，23＋(－1,0)
＝－13，23，
(x2，y2)＝－23，1＋(3，－1)＝73，0.
∴ＥＦ→＝(x2，y2)－(x1，y1)＝83，－23.…………………………………………………(8分)
又∵ＡB→＝(4，－1)，∴4×－23－(－1)×83＝0，
∴ＥＦ→∥ＡB→.……………………………………………………………………………(12分)
10．证明∵m∥n，∴acosB＝bcosA.
由正弦定理，得sinAcosB＝sinBcosA，
即sin(A－B)＝0.
∵A、B为三角形的内角，
∴－πA－Bπ.
∴A＝B.……………………………………………………………………………………(5分)
∵p2＝9，∴8sin2B＋C2＋4sin2A＝9.
∴4[1－cos(B＋C)]＋4(1－cos2A)＝9.
∴4cos2A－4cosA＋1＝0，
解得cosA＝12.……………………………………………………………………………(10分)
又∵0Aπ，∴A＝π3.
∴△ABC为等边三角形．………………………………………………………………(12分)
11．解（1）由A，M，N三点共线，得AＭ→∥AＮ→，
设AＭ→＝λAN→(λ∈R)，即12(AE→＋AＦ→)＝12λ(ＡB→＋AC→)，
所以mＡB→＋nAC→＝λ(ＡB→＋AC→)，所以m＝n.…………………………………………(5分)
（２）因为ＭN→＝AN→－AM→＝12(AB→－AC→)＝12(AE→－AF→)＝12(1－m)AB→＋12(1－n)AC→，
……………………………………………………………………………………………(8分)
又m＋n＝1，所以MN→＝12(1－m)AB→＋12mAC→，
所以|MN→|2＝14(1－m)2AB→2＋14m2AC→2＋12(1－m)mAB→AC→………………………………(10分)
＝14(1－m)2＋14m2＋14(1－m)m
＝14(m－12)2＋316.
故当m＝时，|MN→|min＝34.……………………………………………………………(14分)

2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算

2．3.22.3.3平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的坐标运算

预习课本P94～98，思考并完成以下问题
(1)怎样分解一个向量才为正交分解？
(2)如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？
[新知初探]
1．平面向量正交分解的定义
把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．
2．平面向量的坐标表示
(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标．
(3)坐标表示：a＝(x，y)．
(4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
[点睛](1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝bx1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
3．平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述符号表示
加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa＝(λx1，λy1)
重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
[点睛](1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．()
(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．()
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．()
(4)点的坐标与向量的坐标相同．()
答案：(1)√(2)√(3)×(4)×
2．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a＋2b的坐标是()
A．(5,3)B．(4,3)
C．(8,3)D．(0，－1)
答案：C
3．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝()
A．(4,6)B．(－4，－6)
C．(－2，－2)D．(2,2)
答案：A
4．若点M(3,5)，点N(2,1)，用坐标表示向量＝______.
答案：(－1，－4)

平面向量的坐标表示

[典例]
如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．
[解]由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．
设B(x1，y1)，D(x2，y2)．
由三角函数的定义，得
x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.
x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，
∴D－12，32.
∴＝32，12，＝－12，32.

求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．

[活学活用]
已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝43，∠xOA＝60°，
(1)求向量的坐标；
(2)若B(3，－1)，求的坐标．
解：(1)设点A(x，y)，则x＝43cos60°＝23，
y＝43sin60°＝6，即A(23，6)，＝(23，6)．
(2)＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).
平面向量的坐标运算
[典例](1)已知三点A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，则向量3＋2＝________，－2＝________.
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．
[解析](1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，
∴＝(1,5)，＝(4，－1)，＝(－5，－4)．
∴3＋2＝3(1,5)＋2(4，－1)
＝(3＋8,15－2)
＝(11,13)．
－2＝(－5，－4)－2(1,5)
＝(－5－2，－4－10)
＝(－7，－14)．
[答案](11,13)(－7，－14)
(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)
＝(－2,4)＋(9，－15)
＝(7，－11)．
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．

[活学活用]
1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝()
A．(7,3)B．(7,7)
C．(1,7)D．(1,3)
解析：选A∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，
∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝12，则P点坐标为______．
解析：设P(x，y)，＝(x－3，y＋2)，＝(－8,1)，
∴＝12＝12(－8,1)＝－4，12，
∴x－3＝－4，y＋2＝12.∴x＝－1，y＝－32.
答案：－1，－32

向量坐标运算的综合应用
[典例]已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
[解]因为＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，
所以t＝－23.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，
所以t＝－13.
若点P在第二象限，则1＋3t＜0，2＋3t＞0，
所以－23＜t＜－13.
[一题多变]
1．[变条件]本例中条件“点P在x轴上，点P在y轴上，点P在第二象限”若换为“B为线段AP的中点”试求t的值．
解：由典例知P(1＋3t,2＋3t)，
则1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t＝2.
2．[变设问]本例条件不变，试问四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．
解：＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，则＝，
所以3－3t＝1，3－3t＝2，该方程组无解．
故四边形OABP不能成为平行四边形．
向量中含参数问题的求解
(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．
(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．
层级一学业水平达标
1．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为()
A．2i＋3jB．4i＋2j
C．2i－jD．－2i＋j
解析：选C记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
2．已知＝a，且A12，4，B14，2，又λ＝12，则λa等于()
A．－18，－1B．14，3
C．18，1D．－14，－3
解析：选A∵a＝＝14，2－12，4＝－14，－2，
∴λa＝12a＝－18，－1.
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝()
A．(1，－2)B．(1,2)
C．(5,6)D．(2,0)
解析：选Ab＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
4．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝()
A．(2,4)B．(3,5)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：选C＝－＝－＝－(－)＝(1,1)．
5．已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为()
A．(－14,16)B．(22，－11)
C．(6,1)D．(2,4)
解析：选D设P(x，y)，则＝(10－x，－2－y)，＝(－2－x,7－y)，
由＝－2得10－x＝4＋2x，－2－y＝－14＋2y，所以x＝2，y＝4.
6．(江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴2m＋n＝9，m－2n＝－8，∴m＝2，n＝5，∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，
∴＝(2,3)，＝(－3,3)．
∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
8．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐标为________．
解析：设点A(x，y)，则x＝||cos150°＝6cos150°＝－33，
y＝||sin150°＝6sin150°＝3，
即A(－33，3)，所以＝(－33，3)．
答案：(－33，3)
9．已知a＝，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．
解：∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，
∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，
即a＝(－7,10)＝.
又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)，
则＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，
∴1－x＝－7，0－y＝10x＝8，y＝－10，
即A点坐标为(8，－10)．
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标．
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
解：(1)设B(x1，y1)，
因为＝(4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，
所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，
所以M－12，－1.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37.

层级二应试能力达标
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则12＝()
A．(－2，－2)B．(2,2)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：选D12＝12(－)＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为()
A．－2,1B．1，－2
C．2，－1D．－1,2
解析：选D∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为()
A．2，72B．2，－12
C．(3,2)D．(1,3)
解析：选A设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故2m＝4，2n－4＝3，解得m＝2，n＝72，即点D2，72，故选A.
4．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“?”为m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“?”为m?n＝(a＋c，b＋d)．设f＝(p，q)，若(1,2)?f＝(5,0)，则(1,2)?f等于()
A．(4,0)B．(2,0)
C．(0,2)D．(0，－4)
解析：选B由(1,2)f＝(5,0)，得p－2q＝5，2p＋q＝0，解得p＝1，q＝－2，所以f＝(1，－2)，所以(1,2)?f＝(1,2)?(1，－2)＝(2,0)．
5．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中，正确结论有________个．
解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．
答案：1
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝22，且∠AOC＝π4.设＝λ＋(λ∈R)，则λ＝________.
解析：过C作CE⊥x轴于点E，
由∠AOC＝π4知，|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.
答案：23
7．在△ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
∴＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，
＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．
∵D是BC的中点，
∴＝12(＋)＝12(－4－3，－3－5)
＝12(－7，－8)＝－72，－4.
∵M，N分别为AB，AC的中点，∴F为AD的中点．
∴＝－＝－12＝－12－72，－4＝74，2.
8．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
(1)若＋＋＝0，求的坐标．
(2)若＝m＋n(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求m－n.
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，
因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)．
所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2.
所以点P的坐标为(2,2)，
故＝(2,2)．
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
所以＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)，
＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，
因为＝m＋n，
所以(x0，y0)＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，所以x0＝m＋2n，y0＝2m＋n，
两式相减得m－n＝y0－x0，
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.

高中数学必修四2.3平面向量基本定理及坐标表示小结导学案

2.3平面向量基本定理及坐标表示小结
【学习目标】
1.了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
2．会用坐标表示平面向量的线性运算；会用坐标表示的平面向量共线的条件.

【知识重温】
1．平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，，使＝__________.向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴______的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x，y，使得＝__________，则有序数对(x、y)叫做向量的坐标，记作__________，其中x，y分别叫做在x轴、y轴上的坐标，＝(x，y)叫做向量的坐标表示。相等的向量其______相同，______相同的向量是相等向量．

3．平面向量的坐标运算
(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
＝__________________，

2)已知＝(x1，y1)，=(x2，y2)，则
＋=____________，
－=___________，
λ＝___________；
∥(≠0)______________.

(3)＝(x1，y1)，=(x2，y2)，＝________________.

思考感悟
1．基底的不唯一性
只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，故基底的选取是不唯一。
平面内任意向量都可被这个平面的一组基底，线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．

2．向量坐标与点的坐标区别
在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝，此时点A的坐标与的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量＝＝(x，y)．

当平面向量平行移动到时，向量不变即＝＝(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．

对点练习：
1．已知向量=(1，－2)，=(－3,4)，则12等于()
A．(－2,3)B．(2，－3)
C．(2,3)D．(－2，－3)

2．已知向量=(1,1)，=(2，x)，若＋与4－2平行，则实数x的值是()
A．－2B．0
C．1D．2

3．已知向量=(1,2)，＝(1,0)，＝(3,4)．若λ为实数，(＋λ)∥，则λ＝()
A.14B.12
C．1D．2

4．下列各组向量中，能作为基底的是()
①=(1,2)，＝(2,4)
②=(1,1)，＝(－1，－1)
③=(2，－3)，＝(－3,2)
④=(5,6)，=(7,8)．
A．①②B．②③
C．③④D．②④

【自学探究】
考点一平面向量基本定理
例1、如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝，＝，试用，表示，.

规律总结：应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．解题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

变式1：如图，在△ABC中，＝13，P是BN上的一点，若＝m＋211，则实数m的值为__________．

考点二平面向量的坐标运算
例2、已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝，＝，＝，且＝3，＝－2.
(1)求3＋－3；
(2)求满足＝m＋n的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．

规律总结：若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．
变式2在ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝()
A．(－2，－4)B．(－3，－5)
C．(3,5)D．(2,4)

考点三平面向量共线的坐标表示
例3、平面内给定三个向量＝(3,2)，=(－1,2)，＝(4,1)．回答下列问题：
(1)若(＋k)∥(2－)，求实数k；
(2)设＝(x，y)满足(－)∥(＋)且|－|＝1，求.
规律总结：用坐标来表示向量平行，实际上是一种解析几何(或数形结合)的思想，其实质是用代数(主要是方程)计算来代替几何证明，这样就把抽象的逻辑思维转化为了计算．
变式3、
(1)(2013陕西卷)已知向量＝(1，m)，=(m,2)，若∥，则实数m等于()
A．－2B.2
C．－2或2D．0

(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为__________．

【课堂小结】
1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．
2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理．
3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．
4．要注意区分点的坐标与向量的坐标有可能。
【当堂达标】
1．(2014北京卷)已知向量＝(2,4)，=(－1,1)，则2－＝()
A．(5,7)B．(5,9)
C．(3,7)D．(3,9)

2．(2014揭阳二模)已知点A(－1,5)和向量＝(2,3)，若＝3，则点B的坐标为()
A．(7,4)B．(7,14)
C．(5,4)D．(5,14)

3．(2015许昌模拟)在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于()
A．(－2,7)B．(－6,21)
C．(2，－7)D．(6，－21)

4.已知两点在直线AB上，求一点P是。

【课时作业】
1、若向量＝（x+3，x2－3x－4）与相等，已知A（1，2）和B（3，2），则x的值为()
A、－1B、－1或4
C、4D、1或－4

2、一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是（5，7），（－3，5），（3，4），则第四个顶点的坐标不可能是（）
A、（－1，8）B，（－5，2）
C、（1l，6）D、（5，2）

3、己知P1(2,－1)、P2(0,5)且点P在P1P2的延长线上,,则P点坐标为()
A、(－2,11)B、(
C、(,3)D、(2,－7)

4、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3,1），B（－1,3），若点C满足，其中α、β∈R，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为（）
A、3ｘ＋2ｙ－11＝0
B、（x-1）2+（y-2）2=5
C、2ｘ－ｙ＝0
D、ｘ＋2ｙ－5＝0

5、已知点A（－1，5），若向量与向量＝（2，3）同向，且＝3，则点B的坐标为_____________

6、平面上三个点，分别为A（2，－5），B（3，4），C（－1，－3），D为线段BC的中点，则向量的坐标为_______________

7、已知点A（－1，2），B（2，8）及，，求点C、D和的坐标。

8、已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A（－2，1），一组对边AB、CD的中点分别为M（3，0）、N（－1，－2），求平行四边形的各个顶点坐标。
【延伸探究】
如图，中AD是三角形BC边上的中线且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值。