等比数列。

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助授课经验少的高中教师教学。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？考虑到您的需要，小编特地编辑了“等比数列”，希望对您的工作和生活有所帮助。

等比数列教学目标
1.理解等比数列的概念,把握等比数列的通项公式,并能运用公式解决简单的问题.
(1)正确理解等比数列的定义,了解公比的概念,明确一个数列是等比数列的限定条件,能根据定义判定一个数列是等比数列,了解等比中项的概念;
(2)正确熟悉使用等比数列的表示法,能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项;
(3)通过通项公式熟悉等比数列的性质,能解决某些实际问题.
2.通过对等比数列的研究,逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.
3.通过对等比数列概念的归纳,进一步培养学生严密的思维习惯,以及实事求是的科学态度.
教学建议
教材分析
(1)知识结构
等比数列是另一个简单常见的数列,研究内容可与等差数列类比,首先归纳出等比数列的定义,导出通项公式,进而研究图像,又给出等比中项的概念,最后是通项公式的应用.
(2)重点、难点分析
教学重点是等比数列的定义和对通项公式的熟悉与应用,教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.
①与等差数列一样,等比数列也是非凡的数列,二者有许多相同的性质,但也有明显的区别,可根据定义与通项公式得出等比数列的特性,这些是教学的重点.
②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法,但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中,需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明,所以通项公式的推导是难点.
③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式,因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.
教学建议
(1)建议本节课分两课时,一节课为等比数列的概念,一节课为等比数列通项公式的应用.
(2)等比数列概念的引入,可给出几个具体的例子,由学生概括这些数列的相同特征,从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出,由学生将这些数列进行分类,有一种是按等差、等比来分的,由此对比地概括等比数列的定义.
(3)根据定义让学生分析等比数列的公比不为0,以及每一项均不为0的特性,加深对概念的理解.
(4)对比等差数列的表示法,由学生归纳等比数列的各种表示法.启发学生用函数观点熟悉通项公式,由通项公式的结构特征画数列的图象.
(5)由于有了等差数列的研究经验,等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决,教师只需把握课堂的节奏,作为一节课的组织者出现.
(6)可让学生相互出题,解题,讲题,充分发挥学生的主体作用.
教学设计示例
课题:等比数列的概念
教学目标
1.通过教学使学生理解等比数列的概念,推导并把握通项公式.
2.使学生进一步体会类比、归纳的思想,培养学生的观察、概括能力.
3.培养学生勤于思考,实事求是的精神,及严谨的科学态度.
教学重点,难点
重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.
教学用具
投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
讨论、谈话法.
教学过程
一、提出问题
给出以下几组数列,将它们分类,说出分类标准.(幻灯片)
①-2,1,4,7,10,13,16,19,…
②8,16,32,64,128,256,…
③1,1,1,1,1,1,1,…
④243,81,27,9,3,1,,,…
⑤31,29,27,25,23,21,19,…
⑥1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…
⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,…
⑧0,0,0,0,0,0,0,…
由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列,也可能分为等差、等比两类),统一一种分法,其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨,得出定义后再考察③是否为等比数列).
二、讲解新课
请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性,教师指出实际生活中也有许多类似的例子,如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫,再假设开始有一个变形虫,经过一个单位时间它分裂为两个变形虫,经过两个单位时间就有了四个变形虫,…,一直进行下去,记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性,这是我们将要研究的另一类数列——等比数列.(这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步)
等比数列(板书)
1.等比数列的定义(板书)
根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系,尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美,多数情况下,有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义,标注出重点词语.
请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比,并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列,教师再追问,还有没有其他的例子,让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式,学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列,让学生讨论后得出结论:当时,数列既是等差又是等比数列,当时,它只是等差数列,而不是等比数列.教师追问理由,引出对等比数列的熟悉:
2.对定义的熟悉(板书)
(1)等比数列的首项不为0;
(2)等比数列的每一项都不为0,即;
问题:一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件?
(3)公比不为0.
用数学式子表示等比数列的定义.
是等比数列①.在这个式子的写法上可能会有一些争议,如写成,可让学生研究行不行,好不好;接下来再问,能否改写为是等比数列?为什么不能?
式子给出了数列第项与第项的数量关系,但能否确定一个等比数列?(不能)确定一个等比数列需要几个条件?当给定了首项及公比后,如何求任意一项的值?所以要研究通项公式.
3.等比数列的通项公式(板书)
问题:用和表示第项.
①不完全归纳法
.
②叠乘法
,…,,这个式子相乘得,所以.
(板书)(1)等比数列的通项公式
得出通项公式后,让学生思考如何熟悉通项公式.
(板书)(2)对公式的熟悉
由学生来说,最后归结:
①函数观点;
②方程思想(因在等差数列中已有熟悉,此处再复习巩固而已).
这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量,知三求一,这是公式最简单的应用,请学生举例(应能编出四类问题).解题格式是什么?(不仅要会解题,还要注重规范表述的练习)
假如增加一个条件,就多知道了一个量,这是公式的更高层次的应用,下节课再研究.同学可以试着编几道题.
三、小结
1.本节课研究了等比数列的概念,得到了通项公式;
2.注重在研究内容与方法上要与等差数列相类比;
3.用方程的思想熟悉通项公式,并加以应用.
四、作业(略)
五、板书设计
三.等比数列
1.等比数列的定义
2.对定义的熟悉
3.等比数列的通项公式
(1)公式
(2)对公式的熟悉
探究活动
将一张很大的薄纸对折,对折30次后(假如可能的话)有多厚?不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米.
参考答案:
30次后,厚度为,这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度.假如纸再薄一些,比如纸厚0.001毫米,对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了.还记得国王的承诺吗?第31个格子中的米已经是1073741824粒了,后边的格子中的米就更多了,最后一个格子中的米应是粒,用计算器算一下吧(用对数算也行).

延伸阅读

等比数列性质

课题

1.1.2等比数列性质

课型

新课

课程

分析

等比数列是又一特殊数列，它与前面我们刚刚所探讨过的等差数列仅有一字之差，所以我们可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握等比数列的性质。

学情

分析

学生已经学习了等差数列，对于等比数列学生对比等差数列学习较容易接受。

设计

理念

采用比较式数学法，从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握与应用.

学习目标

知识目标

掌握等比数列的性质

能力目标

会求等比数列的通项公式,运用等比数列的性质。

德育目标

1.培养学生的发现意识、提高学生创新意识、提高学生的逻辑推理能力、增强学生的应用意识。

板书设计

3.1.2课题探究一练习性质1探究二性质2应用举例探究三性质3

课后反馈

解：设这个等比数列的首项是a1,公比是q,

①②

则：②÷①得:q=③③代入①得：a1=,∴an=a1·qn－1=，8.答：这个数列的第1项与第2项分别是和8.评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.课堂练习1.求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），……；（4）…….2.(1)一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项.解：由题意得a9=,q=－∵a9=a1q8,∴,∴a1=2916答：它的第1项为2916.

组织教学导入新课讲授新课归纳小结布置作业

备注

一．导入新课

（一）回顾等比数列的有关概念

（1）定义式：

（2）通项公式：

导入本课题意：与等差数列类似，等比数列也是特殊的数列，它还有一些规律性质，本节课，就让我们一起来探寻一下它到底有一些怎样的性质。

二．推进新课

题：就任一等差数列｛an｝，计算a7+a10和a8+a9，a10+a40和a20+a30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律作一般化的推广吗？类比猜想一下，在等比数列中会有怎样的类似结论？

引导探：…性质1（板书）：在等比数列中，若m+n＝p+q，有aman＝apaq

探究二.(引导学生通过类比联想发现进而推证出性质2)

已知｛an｝是等比数列.

（1）是否成立？成立吗？为什么？

（2）是否成立？你据此能得到什么结论？是否成立？你又能得到什么结论？)

合作探：…性质2（板书）：在等比数列中（本质上就是等比中项）

探究三：一位同学发现：若是等差数列的前n项和，则也是等差数列。在等比数列中是否也有这样的结论？为什么？

性质数列是公比为的等比数列，为的前项之和，则新构成的数列仍为等比数列，且公比为。

组织教学导入新课讲授新课归纳小结布置作业

备注

证明①当时，，则（常数），所以数列是以为首项，1为公比的等比数列；

②当时，则（常数），所以数列是以为首项，为公比的等比数列；

由①②得，数列为等比数列，且公比为。三．应用举例：（理解、巩固）

例1．1）在等比数列｛an｝中，已知

2)在等比数列｛bn｝中，b4＝3，求该数列的前7项之积。例2在等比数例中，求

例3等比数列｛an｝的各项均为正数，且，求

的值

例4、在等比数列中，,求的值.解：因是等比数列，所以是等比数列，所以

组织教学导入新课讲授新课归纳小结布置作业

备注

四.练习（掌握，应用）

1、下列命题中:(1)常数列既是等差数列又是等比数列;

(2)若{an}是等差数列，则{3－2an}也是等差数列;

(3)若{an}是等比数列，则{an+an+1}也是等比数列;

(4)若{an}是等比数列，则也是等比数列.

其中正确的命题是_____________(填命题序号)

2、在等比数列中，，则的值为_______

3、在等比数列中，，，求的值.解：因为由上述等比数列性质知，构造新数列其是首项为，公比为的等比数列，是新数列的第5项，所以。4、已知等比数列前项的和为2，其后项的和为12，求再后面项的和.解：由，，因成等比数列，其公比为，所以问题转化为：求的值.因为得，所以或，于是.

组织教学导入新课讲授新课归纳小结布置作业

备注

五．课堂小结

（1）等比数列的性质1、性质2性质3内容及推导方法归纳。

（2）等比数列三性质的探寻，我们是通过类比等差联想到等比，猜想在等比数列中可能存在的性质规律。然后先从简单的等比数列加以验证，再推出一般式，并加以严格的逻辑证明。这个过程所用的类比、联想、猜想、从特殊到一般，最后给予证明得出结论的想法和方法，我们称为数学思想方法。是解决问题、科学发现、探究自然的一种重要的思维方法和手段。它无处不体现在我们解决问题的思维过程中，希望大家今后留心思考，对提高你们的学习能力及分析解决问题的能力将有极大的帮助。

等比数列教案

教学设计
2．3.1等比数列
整体设计
教学分析
等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，包括定义、性质、通项公式等，两个数的等差(等比)中项、两种数列在函数角度下的解释等，因此在教学时要充分利用类比的方法，以便于弄清它们之间的联系与区别．
等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，这是本节的中心思想方法．本节首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图象，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用．
等比数列概念的引入，可按教材给出的几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义．也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，由此对比地概括等比数列的定义．根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解．启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征联想到指数函数进而画出数列的图象．
由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，充分利用类比思想，教师只需把握课堂的节奏，真正作为一节课的组织者、引导者出现，充分发挥学生的主体作用．
大量的数学思想方法渗透是本章的特色，如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、一般到特殊的思想等，在教学中要充分体现这些重要的数学思想方法，所有能力的体现最终归结为数学思想方法的体现．
三维目标
1．通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系．
2．通过现实生活中大量存在的数列模型，让学生充分感受到数列是反映现实生活的模型，体会数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，达到提高学生学习兴趣的目的．
3．通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯和严谨的科学态度．体会探究过程中的主体作用及探究问题的方法，经历解决问题的全过程．
重点难点
教学重点：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导．
教学难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式解决相关问题，在具体问题中抽象出等比数列模型及掌握重要的数学思想方法．
课时安排
2课时

教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(情境引入)将一张厚度为0.044mm的白纸一次又一次地对折，如果对折1000次(假设是可能的)，纸的厚度将是4.4×10296m，相当于约5.0×10292个珠穆朗玛峰的高度和，这可能吗？但是一位数学家曾经说过：你如果能将一张报纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球．将一张报纸对折会有那么大的厚度吗？这就是我们今天要解决的问题，让学生带着这大大的疑问来展开新课．
思路2.(实例导入)先给出四个数列：
1,2,4,8,16，……
1，－1,1，－1,1，……
－4,2，－1，……
1,1,1,1,1，……
由学生自己去探究这四个数列，每个数列相邻两项之间有什么关系？这四个数列有什么共同点？让学生观察这些数列与上节课学习的等差数列有什么不同？由此引入新课．
推进新课
新知探究
提出问题
1回忆等差数列的概念及等差数列的通项公式的推导方法.
2阅读课本本节内容的①②③3个背景实例，领会三个实例所传达的思想，写出由3个实例所得到的数列.
3观察数列①②③，它们有什么共同的特征？你能再举出2个与其特征相同的数列吗？
4类比等差数列的定义，怎样用恰当的语言给出等比数列的定义？
5类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？它与等差中项有什么不同？
6你能举出既是等差数列又是等比数列的例子吗？
7类比等差数列通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？
8类比等差数列通项公式与一次函数的关系，你能说明等比数列的通项公式与指数函数的关系吗？
活动：教师引导学生回忆等差数列概念的学习过程，指导学生阅读并分析教科书中给出的3个实例．
引导学生发现数列①②③的共同特点：
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于3；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的比都等于－12.
也就是说，这些数列有一个共同的特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数，这里仍是后项比前项，而不是前项比后项，具有这样特点的数列我们称之为等比数列．让学生类比等差数列给出等比数列的定义：
一般地，如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示，显然q≠0，上面的三个数列都是等比数列，公比依次是2,3，－12.
①给出等比数列的定义后，让学生尝试用递推公式描述等比数列的定义，即a1＝a，an＋1＝anq(n＝1,2,3，…)．
②再让学生思考既是等差数列，又是等比数列的数列存在吗？学生思考后很快会举出1,1,1，…既是等比数列也是等差数列，其公比为1，公差为0.
教师可再提出：常数列都是等比数列吗？让学生充分讨论后可得出0,0,0，…是常数列，但不是等比数列．
③至此，学生已经清晰了等比数列的概念，比如，从等比数列定义知，等比数列中的任意一项不为零，公比可以为正，可以为负，但不能为0.
④类比等差中项的概念，我们可得出等比中项的概念：如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项．如果G是x和y的等比中项，那么Gx＝yG，即G2＝xy，G＝±ab.因此同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，一个正数和一个负数没有等比中项．显然，在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项；反之，如果一个数列从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列是等比数列．
课件演示：不完全归纳法得到等差数列通项公式的过程：
a2＝a1＋d，
a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，
a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，
……
归纳得到an＝a1＋(n－1)d.
类比这个过程，可得等比数列通项公式的归纳过程如下：
a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
……
归纳得到an＝a1qn－1.
这样做可以帮助学生体会归纳推理对于发现新的数学结论的作用．这个结论的正确性可用后面的数学归纳法进行严格证明，现在我们先承认它．
下面我们再类比等差数列，探究推导等比数列通项公式的其他方法：
∵{an}是等比数列，
∴anan－1＝q，an－1an－2＝q，an－3an－4＝q，…，a2a1＝q.
把以上n－1个等式两边分别乘到一起，即叠乘，则可得到
ana1＝qn－1，
于是得到an＝a1qn－1.
对于通项公式，教师引导学生明确这样几点：
(1)不要把公式错误地写成an＝a1qn.
(2)对公比q，要和等差数列的公差一样，强调“从第2项起，每一项与它的前一项的比”，不要把相邻两项的比的次序颠倒，且公比q可以为正，可以为负，但不能为0.
(3)在等比数列a，aq，aq2，aq3，…中，当a＝0时，一切项都等于0；当q＝0时，第二项以后的项都等于0，这不符合等比数列的定义．因此等比数列的首项和公比都不能为0.
(4)类比等差数列中d＞0，d＜0时的情况，若q＞0，则相邻两项符号同号，若q＜0，则各项符号异号；若q＝1，则等比数列为非零常数列；若q＝－1，则为如2，－2,2，－2，…这样的数列；若|q|＜1，则数列各项的绝对值递减．
最后让学生完成下表，从定义、通项公式比较等差数列、等比数列的异同，加深概念的理解．

等差数列等比数列
定义从第2项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数从第2项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数
首项、公差(公比)取值有无限制没有任何限制首项、公比都不能为0
通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1

讨论结果：(1)～(3)略．
(4)等比数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．
(5)并不是所有的两个数都有等比中项．
(6)除0外的常数列既是等差数列，又是等比数列．
(7)(8)略．
应用示例
例1由下面等比数列的通项公式，求首项与公比．
(1)an＝2n；
(2)an＝1410n.
活动：本例的目的是让学生熟悉等比数列的概念及通项公式，可由学生口答或互相提问．
解：(1)an＝22n－1，
∴a1＝2，q＝2.
(2)∵an＝141010n－1，
∴a1＝14×10＝52，q＝10.
点评：可通过通项公式直接求首项，再求公比．如(1)中，a1＝21＝2，a2＝22＝4，∴q＝2.
变式训练
设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则2a1＋a22a3＋a4的值为()
A.14B.12C.18D．1
答案：A
解析：由题意，知a2＝a1q＝2a1，a3＝a1q2＝4a1，a4＝a1q3＝8a1，
∴2a1＋a22a3＋a4＝2a1＋2a18a1＋8a1＝14.

例2(教材本节例3)
活动：本例是等比数列通项公式的灵活运用，可让学生自己完成．
点评：解完本例后，启发引导学生观察a5，a10，a15，a20的规律．
变式训练
已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝203，求{an}的通项公式．
解：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.
∵a2＝a3q＝2q，a4＝a3q＝2q，
∴2q＋2q＝203.
解得q1＝13，q2＝3.
当q＝13时，a1＝18.
∴an＝18×(13)n－1＝183n－1＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝29，
∴an＝29×3n－1＝2×3n－3.

例3已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求an的表达式．
活动：教师引导学生观察，数列{an}不是等差数列，也不是等比数列，要求an的表达式，通过转化{an＋1}是等比数列来求解．
解：(1)证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．
∵a1＝1，故a1＋1≠0，则有an＋1＋1an＋1＝2.
∴{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an＋1＝22n－1，即an＝2n－1.
点评：教师引导学生进行解后反思．如本题(1)，不能忽视对an＋1≠0的说明，因为在等比数列{an}中，an≠0，且公比q≠0，否则解题会出现漏洞．
变式训练
已知数列{lgan}是等差数列，求证：{an}是等比数列．
证明：∵{lgan}是等差数列，设公差为d，
则lgan＋1－lgan＝d，即an＋1an＝10d(常数)．
∴{an}是等比数列．

知能训练
1．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于()
A．64B．81C．128D．243
2．在等比数列中，已知首项为98，末项为13，公比为23，则项数为()
A．3B．4C．5D．6
答案：
1．A解析：由a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，知q＝2，a1＝1.
所以a7＝a1q6＝64.
2．B解析：设等比数列为{an}．
又∵a1＝98，q＝23，an＝13，∴qn－1＝ana1，即(23)n－1＝827.
∴n－1＝3，n＝4，即项数为4.
课堂小结
1．让学生归纳总结本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式的推导及简单的应用，等比数列的证明方法．可让学生对比小结等差数列与等比数列的知识，对比各自性质的异同，让学生用列表的形式给出．
2．教师点出，通过本节内容的学习，在掌握知识的同时，我们还学到了探究新问题的方法，提高了我们解决问题的能力，进一步明确了学习必须经历探究问题全过程的意义，必须领悟凝练数学思想方法．
作业
课本习题2—3A组1；习题2—3B组1.
设计感想
本教案设计将类比思想贯穿整节课始终，等差数列和等比数列具有极其相似的特点，比较它们的结构和运算性质，运用类比的方法，可使很多相关性质得以类比和迁移；让学生体会到：有些看似陌生的知识并不都是高不可攀的事情，通过我们的努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事．
本教案设计加强了实际背景的教学，等比数列有着非常广泛的实际应用：如产品规格设计的问题；储蓄，分期付款的有关计算等等．教学时不是简单地告诉学生等比数列的定义及通项公式的内容，而是通过实际问题创设一些数学情境，让学生自己去发现，去探索其意义．
本教案设计突出了数学思维的训练，数学是思维的体操，是培养学生分析问题，解决问题的能力及创造能力的载体．新课程倡导强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验，学生的思维能力就是在这种过程的体验中逐渐提高的．
(设计者：张晓君)

第2课时
导入新课
思路1：(类比导入)等差数列具有丰富而重要的性质，通过复习等差数列的性质，由学生猜想并证明等比数列的性质．这样既复习了旧知识，同时又让学生经历了知识的发现过程，这种引入符合新课程理念．
思路2：让学生先完成本节的思考与讨论及探索与研究，借助学生的探究，师生共同归纳出相关性质，自然地引入新课．(这种从课本上的练习题入手的方法，其好处是：直截了当，节省课堂时间，教师也比较轻松，只是学生的思维活动层次较第一种弱一些，但也是一种不错的导入选择)
推进新课
新知探究
提出问题
1回忆上节课等比数列的概念，等比中项、通项公式的概念.
2回忆怎样证明一个数列是等比数列？
3类比等差数列的图象与一次函数的图象之间的关系，探究等比数列的图象与指数函数的图象之间的关系.
4类比等差数列的性质，你能探究出等比数列有哪些重要结论？

活动：教师引导学生对上一节课的探究做一简要回顾，借以熟悉等比数列的有关概念，为进一步探究做好必要的准备，然后让学生借助信息技术或用描点作图画出课本“探究”中(2)(3)要求的图象(如图)，说说通项公式为an＝2n－1的数列的图象和函数y＝2x－1的图象的关系．然后交流、讨论，归纳出二者之间的关系．事实上，等比数列的通项公式可整理为an＝a1qqn，而y＝a1qqx(q≠1)是一个不为零的常数a1q与指数函数qx的乘积．从图象上看，表示数列{a1qqn}中的各项的点是函数y＝a1qqx的图象上的孤立点．
和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多重要的性质，类比等差数列的探究方法，教师与学生一起探究．
就任一等差数列{an}，计算a7＋a10，a8＋a9和a10＋a40，a20＋a30，你发现了什么规律？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题，在等比数列中会有怎样的类似结论？
在等差数列{an}中，我们已经探究了，若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，那么我们可以类比猜想：对于等比数列{an}，若m＋n＝p＋s(m、n、p、s∈N*)，则aman＝apas.让学生对此给出证明．
证明：设等比数列{an}的公比为q，
则有aman＝a1qm－1a1qn－1＝a21qm＋n－2，apas＝a1qp－1a1qs－1＝a21qp＋s－2，
∵m＋n＝p＋s，∴有aman＝apas.
经过这个证明过程，我们得到了等比数列的一个重要性质，即等比数列{an}中，若m＋n＝p＋s(m，n，p，s∈N*)，则有aman＝apas.
结合等比中项，我们很容易有这样的结论：
(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；
(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方．
结合上节学习的内容，教师与学生一起探究归纳可得到等比数列以下重要结论：
1．等比数列的判断方法
(1)an＝an－1q(n≥2，q是不等于零的常数，an－1≠0)?{an}是等比数列．
(2)a2n＝an－1an＋1(n≥2，an－1，an，an＋1≠0)?{an}是等比数列．
(3)an＝cqn(c、q均是不为零的常数)?{an}是等比数列．
2．主要性质
(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列，当q＝1时，{an}是常数列；当q＜0时，{an}是摆动数列．
(2)an＝amqn－m(m、n∈N*)．
(3)当m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)时，有aman＝apaq.
(4)当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列．
(5)数列{an}中，公比q≠1，则连续取相邻两项的和(或差)构成公比为q的等比数列．
学习等比数列时，时刻与等差数列进行对比，学会用类比、方程的思想解决问题．
讨论结果：(1)让学生默写．
(2)有3种证明方法，比较常用的方法是：a2n＝an－1an＋1(n≥2，an－1，an，an＋1≠0)?{an}是等比数列．
(3)等比数列的通项公式是关于n的指数型函数．
(4)最常用的是活动中的第3个性质．
应用示例
例1一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项．
活动：本例是课本上例题3，由题意知a3＝12，a4＝18，求a1，a2.和等差数列一样，这是属于基本量运算的题目，其基本量为a1，q.教师引导学生探究，由等比数列的通项公式列出方程组，求得通项公式，再由通项公式求得数列的任意项．这个过程可以帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系．
解：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么a1q2＝12，①
a1q3＝18.②
②÷①，得q＝32，③
把③代入①，得a1＝163.
因此，a2＝a1q＝163×32＝8.
答：这个数列的第1项和第2项分别是163与8.
点评：通过本题让学生体会方程思想．
变式训练
在等比数列{an}中，a5a7＝6，a2＋a10＝5，则a18a10等于()
A．－23或－32B.23C.32D.23或32
答案：D
解析：∵a5a7＝a2a10，由a2a10＝6，a2＋a10＝5，
得a2＝2，a10＝3或a2＝3，a10＝2.
∴a18a10＝a10a2＝32或a18a10＝23.

例2(1)在等比数列{an}中，已知a1＝5，a9a10＝100，求a18；
(2)在等比数列{bn}中，b4＝3，求该数列前七项之积；
(3)在等比数列{an}中，a2＝－2，a5＝54，求a8.
活动：本例三个小题属基本概念题，让学生合作交流完成，充分让学生思考探究，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程．
解：(1)∵a1a18＝a9a10，∴a18＝a9a10a1＝1005＝20.
(2)b1b2b3b4b5b6b7＝(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.
∵b24＝b1b7＝b2b6＝b3b5，∴前七项之积为(32)3×3＝37＝2187.
(3)∵a5是a2与a8的等比中项，∴542＝a8×(－2)．∴a8＝－1458.
另解：a8＝a5q3＝a5a5a2＝54×54－2＝－1458.
点评：通过本例，让学生熟悉公式，善于联想，善于将解题过程简化．
变式训练
已知等比数列{an}中，a1＋a3＝15，且a1＋a2＋a3＋a4＝45.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝11－log2a2n＋13，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q.
由题意得a1＋a1q2＝15，a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝45，解得q＝2，a1＝3，
∴an＝32n－1.
(2)由(1)得a2n＋1＝322n，∴bn＝11－log2a2n＋13＝11－2n.
∴数列{bn}是首项为9，公差为－2的等差数列．
从而Sn＝n9＋11－2n2＝－n2＋10n.

例3三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．
活动：教师引导学生分析题意，因为所求三个数成等差数列，它们的和已知，故可设这三个数为a－d，a，a＋d，再根据已知条件寻找关于a、d的两个方程，通过解方程组即可获解．
解：设所求三个数为a－d，a，a＋d，
则由题设得a－d＋a＋a＋d＝15，a＋32＝a－d＋1a＋d＋9，
解此方程组，得a＝5，d＝2.∴所求三个数为3,5,7.
点评：此类问题要注意设未知数的技巧．若设所求三个数为a，b，c，则列出三个方程求解，运算过程将过于繁杂．因此在计算过程中，应尽可能地少设未知数．
例4根据下图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？
活动：本题是给出数列的前几项要求写出数列的递推公式．这种题型难度较大．但本题用程序框图给出了数列的前5项，而递推公式就包含在程序框图中，这就大大降低了题目的难度．教学时教师可引导学生回顾程序框图，引导学生思考如何判断一个数列是等比数列．
解：若将打印出来的数依次记为a1(即A)，a2，a3，…，
可知a1＝1，a2＝a1×12，a3＝a2×12.
于是，可得递推公式a1＝1，an＝12an－1n1.
由于anan－1＝12，
因此，这个数列是等比数列．
其通项公式是an＝(12)n－1.
点评：通过本题让学生明确，要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n，an＋1an是一个常数即可，同时也再一次体会到能够用框图中的循环结构来描述数列．
知能训练
1．已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
2．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年)
答案：
1．解：∵a1a3＝a22，∴a1a2a3＝a32＝8.∴a2＝2.
从而a1＋a3＝5，a1a3＝4.
解之，得a1＝1，a3＝4，或a1＝4，a3＝1.
当a1＝1时，q＝2，当a1＝4时，q＝12.
∴an＝2n－1或an＝4(12)n－1＝23－n(n∈N*)．
点评：本例解答中易产生的错误是在求得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1后，由a3＝a1q2分别得出q＝±2或q＝±12.求得an＝2n－1或an＝(－2)n－1或an＝4(12)n－1或an＝4(－12)n－1.教师引导学生寻找产生这一错误的原因是忽视了由于a2＝2，a1＞0，必有q＞0这一隐含条件．
2．解：设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留量是an，
由条件可得，数列{an}是一个等比数列，其中a1＝0.84，q＝0.84.
设an＝0.5，则0.84n＝0.5.
两边取对数，得nlg0.84＝lg0.5，
用计算器算得n≈4.
答：这种物质的半衰期大约为4年．
点评：本例是一道应用题，反映的是等比数列通项公式的基本量运算问题．在解题过程中，用对数的知识解方程可以帮助学生回顾对数的性质，本题重在让学生发现实际问题情境中数列的等比关系，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力．
课堂小结
1．让学生归纳总结本节学习内容：等比数列的性质，等比数列与指数函数的关系．对比小结等差数列与等比数列的知识，对比各自性质的异同．从函数的角度看，如果说等差数列可以与一次函数联系起来，那么等比数列则可以与指数函数联系起来．
2．学习本节内容应注意等比数列定义的运用，灵活选设未知数，注意总结常用解题技巧．有关本内容的高考题主要体现在考查化归能力、方程思想、分类讨论思想以及数学建模能力上，并能用这些知识解决一些实际问题．
作业
课本习题2—3A组2、3、4.
设计感想
本教案设计突出了教学梯度．因为从实际教学来看，对这部分内容的学习不少同学仍然是困难重重，从中折射出他们学习方式存在的问题，死记硬背仍然是公式学习的主要形式．在练习环节，不少学生只会做与课本例题完全一致的习题，如果稍加变式，就束手无策，反映出数学思维的僵化及简单．但是训练学生的思维能力，提升学生的思维品质，是数学教师直接面对的重要课题，也是提升教学效果的关键．因此在设计梯度方面注重了一题多解，这有助于学生思维的发散性及灵活性的培养，以及克服思维的僵化，变式教学又可以提升思维视野的广度，题后反思有助于学生思维批判性品质的提升．
本教案设计注重了教学过程的更优化、更合理化，因为长期以来的课堂教学太过于重视结论，轻视过程．为了应付考试，为了使公式、定理应用达到所谓的熟能生巧，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化．在概念公式的教学中往往采用的是“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用公式机械解题，这样的学生面对新问题就会束手无策，更不利于今后的创新式高考．
本教案设计清晰了课堂教学的层次阶段，本节课可以划分为三个阶段，第一阶段是等比数列性质的推得和理解过程；第二阶段是等比数列性质的归纳、理解和应用的过程；第三阶段是归纳小结．这三个阶段自然是以第一、第二阶段为主．这样便于学生课堂推进，也便于教师对整个课堂的宏观调控．
备课资料
一、备用例题
例1.已知无穷数列10，10，10，…，10，….
求证：(1)这个数列成等比数列；
(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的110；
(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．

例2.设a，b，c，d均为非零实数，(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0，
求证：a，b，c成等比数列且公比为d.
证法一：关于d的二次方程(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0有实根，
∴Δ＝4b2(a＋c)2－4(a2＋b2)(b2＋c2)≥0.∴－4(b2－ac)2≥0.∴－(b2－ac)2≥0.
则必有b2－ac＝0，即b2＝ac，∴a，b，c成等比数列．
设公比为q，则b＝aq，c＝aq2，代入
(a2＋a2q2)d2－2aq(a＋aq2)d＋a2q2＋a2q4＝0.
∵(q2＋1)a2≠0，∴d2－2qd＋q2＝0，即d＝q≠0.
证法二：∵(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0，
∴(a2d2－2abd＋b2)＋(b2d2－2bcd＋c2)＝0.
∴(ad－b)2＋(bd－c)2＝0.∴ad＝b，且bd＝c.
∵a，b，c，d非零，∴ba＝cb＝d.∴a，b，c成等比数列且公比为d.
二、备用习题
1．公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为()
A．1B．2C．3D．4
2．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1a2a3…a30＝230，则a3a6a9…a30等于()
A．210B．220C．216D．215
3．各项为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5等于……()
A．33B．72C．84D．189
4．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为__________．
5．在等比数列{an}中，
(1)若a1＝256，a9＝1，求q和a12；
(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求q.
6．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝c＞0，a2n＋1＝b2n＋1，比较an＋1与bn＋1的大小．
参考答案：
1．答案：C
解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意，得a23＝a2a6，(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)．
∴d＝－2a1.
设等比数列的公比为q，则q＝a3a2＝3.
2．答案：B
解析：由a1a2a3a4…a30＝230，得
a33q3a36q3a39q3…a330q3＝230，
∴a33a36a39…a330＝(2q)30.
∴a3a6a9…a30＝220.
3．答案：C
解析：由a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2＝21，∴1＋q＋q2＝7.
解得q＝2，q＝－3(舍去)，∴a3＝a1q2＝3×4＝12.
∴a3＋a4＋a5＝a3(1＋q＋q2)＝12×7＝84.
4．答案：216
解析：设插入的三个数为a、b、c，则b2＝83×272＝4×9＝ac，
所以b＝6，ac＝36，故abc＝216.
5．解：(1)∵a9＝a1q8，∴256q8＝1，即q＝±12.
当q＝12时，a12＝a1q11＝2561211＝18；
当q＝－12时，a12＝a1q11＝256×(－12)11＝－18.
(2)a1q2a1q4＝18，即a21q6＝18.
又a1q3a1q7＝72，即a21q10＝72.
两式相除得q4＝7218＝4，∴q＝±2.
6．解：由题意知c＋2nd＝cq2n，∴nd＝c2(q2n－1)．
∵an＋1－bn＋1＝c＋nd－cqn＝c＋c2(q2n－1)－cqn＝c2(qn－1)2≥0，
∴an＋1≥bn＋1.
三、斐波那契数列的奇妙性质
我们看章头图中的斐波那契数列，它有一系列奇妙的性质，现简列以下几条，供读者欣赏．
1．从首项开始，我们依次计算每一项与它的后一项的比值，并精确到小数点后第四位：
11＝1.000021＝2.0000
32＝1.500053＝1.6667
85＝1.6000138＝1.6250
2113＝1.61543421＝1.6190
5534＝1.61768955＝1.6182
14489＝1.6180253144＝1.6181
如果将这一工作不断地继续下去，这个比值将无限趋近于某一个常数，这个常数位于1.6180与1.6181之间，它还能准确地用黄金数1＋52表示出来．
2．我们在初中曾经遇到过杨辉三角形，如下图所示，杨辉三角形中虚线上的数的和恰好组成斐波那契数列：
3．在斐波那契数列中，请你验证下列简单的性质：
前n项和Sn＝an＋2－1，
anan＋1－an－1an－2＝a2n－1(n≥3)，
a2n－1＋a2n＝an－1(n≥2)，
an－2an＝a2n－1－(－1)n(n≥3)．
据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{Un}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，Un＋1＝Un＋Un－1命名为斐波那契级数，它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用.1680年意大利—法国学者卡西尼发现该级数的重要关系式Un＋1Un－1－U2n＝(－1)n.1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式，19世纪初另一位法国数学家比内首先证明了这一表达式Sn＝[(1＋52)n－(1－52)n]，现在称之为比内公式．
世界上有关斐波那契数列的研究文献多得惊人．斐波那契数列不仅是在初等数学中引人入胜，而且它的理论已经广泛应用，特别是在数列、运筹学及优化理论方面为数学家们展开了一片施展才华的广阔空间．

等比数列教学案

俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，有效的提高课堂的教学效率。你知道怎么写具体的教案内容吗？下面是小编精心收集整理，为您带来的《等比数列教学案》，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

第2课时等比数列的性质
知能目标解读
1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来.
2.理解等比数列的性质及应用.
3.掌握等比数列的性质并能综合运用.
重点难点点拨
重点：等比数列性质的运用.
难点：等比数列与等差数列的综合应用.
学习方法指导
1.在等比数列中，我们随意取出连续三项及以上的数，把它们重新依次看成一个新的数列，则此数列仍为等比数列，这是因为随意取出连续三项及以上的数，则以取得的第一个数为首项，且仍满足从第2项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，且这个常数量仍为原数列的公比，所以，新形成的数列仍为等比数列.
2.在等比数列中，我们任取下角标成等差的三项及以上的数，按原数列的先后顺序排列所构成的数列仍是等比数列，简言之：下角标成等差，项成等比.我们不妨设从等比数列{an}中依次取出的数为ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,…,则===…=qm(q为原等比数列的公比)，所以此数列成等比数列.
3.如果数列{an}是等比数列，公比为q,c是不等于零的常数，那么数列{can}仍是等比数列，且公比仍为q;?{|an|}?也是等比，且公比为|q|.我们可以设数列{an}的公比为q,且满足=q,则==q,所以数列{can}仍是等比数列，公比为q.同理，可证{|an|}也是等比数列，公比为|q|.
4.在等比数列{an}中，若m+n=t+s且m,n,t,s∈N+则aman=atas.理由如下：因为aman=a1qm-1a1qn-1
=a21qm+n-2,atas=a1qt-1a1qs-1=a21qt+s-2,又因为m+n=t+s,所以m+n-2=t+s-2,所以aman=atas.从此性质还可得到，项数确定的等比数列，距离首末两端相等的两项之积等于首末两项之积.
5.若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1,q2,则
（1）{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2.
(2){}仍为等比数列，且公比为.
理由如下：（1）=q1q2,所以{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2;(2)=,
所以｛}仍为等比数列，且公比为.
知能自主梳理
1.等比数列的项与序号的关系
（1）两项关系
通项公式的推广：
an=am(m、n∈N+).
(2)多项关系
项的运算性质
若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，
则aman=.
特别地，若m+n=2p(m、n、p∈N+），
则aman＝.
2.等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积（若有中间项则等于中间项的平方），即a1an＝a2=ak=a2(n为正奇数).
［答案］1.qn-mapaqa2p
2.an-1an-k+1
思路方法技巧
命题方向运用等比数列性质an=amqn-m(m、n∈N+)解题
［例1］在等比数列{an}中，若a2=2,a6=162,求a10.
［分析］解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q,再求a10.
［解析］解法一：设公比为q,由题意得
a1q=2a1=a1=-
，解得，或.
a1q5=162q=3q=-3
∴a10=a1q9=×39=13122或a10=a1q9=-×（-3）9=13122.
解法二：∵a6=a2q4,
∴q4===81,
∴a10=a6q4=162×81=13122.
解法三：在等比数列中，由a26=a2a10得
a10===13122.
［说明］比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用.
变式应用1已知数列{an}是各项为正的等比数列，且q≠1,试比较a1+a8与a4+a5的大小.
［解析］解法一：由已知条件a10,q0，且q≠1,这时
(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)（1-q4）
=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)0,
显然，a1+a8a4+a5.
解法二：利用等比数列的性质求解.
由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)
=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).
当0q1时，此正数等比数列单调递减，1-q3与a1-a5同为正数，
当q1时，此正数等比数列单调递增，1-q3与a1-a5同为负数，
∵(a1+a8)-(a4+a5)恒正.
∴a1+a8a4+a5.
命题方向运用等比数列性质aman=apaq(m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q)解题
［例2］在等比数列{an}中，已知a7a12=5，则a8a9a10a11=（）
A.10B.25C.50D.75
［分析］已知等比数列中两项的积的问题，常常离不开等比数列的性质，用等比数列的性质会大大简化运算过程.
［答案］B
［解析］解法一：∵a7a12=a8a11=a9a10=5，∴a8a9a10a11=52=25.
解法二：由已知得a1q6a1q11=a21q17=5，
∴a8a9a10a11=a1q7a1q8a1q9a1q10=a41q34=(a21q17)2=25.
［说明］在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，若按照常规解法，往往是建立a1,q的方程组，这样解起来很麻烦，为此我们经常结合等比数列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果.
变式应用2在等比数列{an}中，各项均为正数，且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求a4+a8.
［解析］∵a6a10=a28,a3a5=a24,∴a28+a24=41.
又∵a4a8=5,an0,
∴a4+a8===.
探索延拓创新
命题方向等比数列性质的综合应用
［例3］试判断能否构成一个等比数列{an}，使其满足下列三个条件：
①a1+a6=11;②a3a4=;③至少存在一个自然数m,使am-1,am,am+1+依次成等差数列，若能，请写出这个数列的通项公式；若不能，请说明理由.
［分析］由①②条件确定等比数列{an}的通项公式，再验证是否符合条件③.
［解析］假设能够构造出符合条件①②的等比数列{an},不妨设数列{an}的公比为q,由条件①②及a1a6=a3a4,得
a1+a6=11a1=a1=
，解得，或
a1a6=a6=a6=.
a1=a1=
从而，或.
q=2q=
故所求数列的通项为an=2n-1或an=26-n.
对于an=2n-1,若存在题设要求的m,则
2am=am-1+（am+1+）,得
2（2m-1）=2m-2+2m+,得
2m+8=0,即2m=-8,故符合条件的m不存在.
对于an=26-n,若存在题设要求的m，同理有
26-m-8=0,即26-m=8,∴m=3.
综上所述，能够构造出满足条件①②③的等比数列，通项为an=26-n.
［说明］求解数列问题时应注意方程思想在解题中的应用.
变式应用3在等差数列{an}中，公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1,a3,ak1,ak2,…,akn,……成等比数列，求数列{kn}的通项kn.
［解析］由题意得a22=a1a4，
即(a1+d)2=a1(a1+3d)，
又d≠0,∴a1=d.
∴an=nd.
又a1,a3,ak1,ak2,……,akn,……成等比数列，
∴该数列的公比为q===3.
∴akn=a13n+1.
又akn=knd,∴kn=3n+1.
所以数列{kn}的通项为kn=3n+1.
名师辨误做答
［例4］四个实数成等比数列，且前三项之积为1，后三项之和为1，求这个等比数列的公比.
［误解］设这四个数为aq-3,aq-1,aq,aq3,由题意得
a3q-3=1,①
aq-1+aq+aq3=1.②
由①得a=q,把a=q代入②并整理，得4q4+4q2-3=0,解得q2=或q2=-(舍去)，故所求的公比为.
［辨析］上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为q2,则公比为正数，但题设并无此条件，因此导致结果有误.
［正解］设四个数依次为a,aq,aq2,aq3,由题意得

（aq）3=1,①
aq+aq2+aq3=1.②
由①得a=q-1,把a=q-1代入②并整理，得4q2+4q-3=0,解得q=或q=-,故所求公比为或-.
课堂巩固训练
一、选择题
1.在等比数列｛an｝中，若a6=6,a9=9,则a3等于（）
A.4B.C.D.3?
［答案］A?
［解析］解法一：∵a6=a3q3,
∴a3q3=6.?
a9=a6q3，
∴q3==.
∴a3==6×＝4.
解法二：由等比数列的性质，得
a26=a3a9，
∴36=9a3，∴a3=4.
2.在等比数列｛an｝中,a4+a5=10,a6+a7=20,则a8+a9等于（）
A.90B.30C.70D.40
［答案］D
［解析］∵q2==2,?
∴a8+a9=（a6+a7）q2=20q2=40.
3.如果数列｛an｝是等比数列，那么（）?
A.数列｛a2n｝是等比数列B.数列｛2an｝是等比数列
C.数列｛lgan｝是等比数列D.数列｛nan｝是等比数列
［答案］A
［解析］数列｛a2n｝是等比数列，公比为q2,故选A.
二、填空题
4.若a,b,c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为.?
［答案］1?
2b=a+c,
［解析］由题意知
b2=ac,
解得a=b=c,∴q=1.
5.在等比数列｛an｝中，公比q=2,a5=6,则a8=.?
［答案］48
［解析］a8=a5q8-5=6×23=48.
三、解答题
6.已知{an}为等比数列，且a1a9=64,a3+a7=20，求a11.?
［解析］∵{an}为等比数列,?
∴a1a9=a3a7=64,又a3+a7=20,?
∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的两个根.?
∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4,?
当a3=4时，a3+a7=a3+a3q4=20,?
∴1+q4=5，∴q4=4.?
当a3=16时，a3+a7=a3（1+q4）=20,
∴1+q4=，∴q4=.?
∴a11=a1q10=a3q8=64或1.
课后强化作业
一、选择题
1.在等比数列{an}中，a4=6,a8=18,则a12=（）
A.24B.30C.54D.108?
［答案］C?
［解析］∵a8=a4q4,∴q4===3,
∴a12=a8q4=54.
2.在等比数列｛an｝中，a3=2-a2,a5=16-a4,则a6+a7的值为（）
A.124B.128C.130D.132
［答案］B?
［解析］∵a2+a3=2,a4+a5=16,?
又a4+a5=(a2+a3)q2,
∴q2=8.?
∴a6+a7=(a4+a5)q2=16×8＝128.
3.已知｛an｝为等比数列，且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5等于（）
A.5B.10C.15D.20?
［答案］A?
［解析］∵a32=a2a4,a52=a4a6,?
∴a32+2a3a5+a52=25,
∴(a3+a5)2=25,?
又∵an0,∴a3+a5=5.
4.在正项等比数列｛an｝中，a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根，则a8a10a12等于（）
A.16B.32C.64D.256?
［答案］C?
［解析］由已知，得a1a19=16,?
又∵a1a19=a8a12=a102,
∴a8a12=a102=16,又an0,?
∴a10=4,
∴a8a10a12=a103=64.
5.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9=2a25,a2=1,则a1=（）?
A.B.C.D.2?
［答案］B?
［解析］∵a3a9=a26,又∵a3a9=2a25,?
∴a26=2a25,∴（）2=2,?
∴q2=2,∵q0,∴q=.
又a2=1,∴a1===.
6.在等比数列｛an｝中，anan+1，且a7a11=6,a4+a14=5,则等于（）
A.B.C.D.6
［答案］A
a7a11=a4a14=6
［解析］∵
a4+a14=5
a4=3a4=2
解得或.
a14=2a14=3
又∵anan+1,∴a4=3,a14=2.
∴==.
7.已知等比数列｛an｝中，有a3a11=4a7,数列｛bn｝是等差数列，且b7=a7,则b5+b9等于（）
A.2B.4C.8D.16
［答案］C
［解析］∵a3a11=a72=4a7,∵a7≠0,
∴a7=4,∴b7=4,
∵{bn}为等差数列，∴b5+b9=2b7=8.
8.已知0abc,且a,b,c成等比数列的整数，n为大于1的整数，则logan,logbn,logcn成
（）
A.等差数列?B.等比数列?
C.各项倒数成等差数列?D.以上都不对?
［答案］C?
［解析］∵a,b,c成等比数列，∴b2=ac.?
又∵+=logna+lognc=lognac
=2lognb=,?
∴+=.
二、填空题
9.等比数列｛an｝中，an0，且a2=1+a1,a4=9+a3,则a5-a4等于.
［答案］27
［解析］由题意，得a2-a1=1,a4-a3=(a2-a1)q2=9,
∴q2=9,又an0,∴q=3.?
故a5-a4=(a4-a3)q=9×3＝27.
10.已知等比数列｛an｝的公比q=-,则等于.
［答案］-3
［解析］＝
==-3.
11.(2012株州高二期末)等比数列{an}中，an0,且a5a6=9,则log3a2+log3a9=.
［答案］2
［解析］∵an0,∴log3a2+log3a9=log3a2a9
=log3a5a6=log39=log332=2.
12.（2011广东文，11）已知｛an｝是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=.
［答案］2?
［解析］本题主要考查等比数列的基本公式，利用等比数列的通项公式可解得.
解析：a4-a3=a2q2-a2q=4，?
因为a2=2，所以q2-q-2=0，解得q=－1，或q=2.
因为an为递增数列，所以q=2.
三、解答题
13.在等比数列｛an｝中，已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数，求a10.
［解析］∵a4a7=a3a8=-512，
a3+a8=124a3=-4a3=128
∴，解得或.
a3a8=-512a8=128a8=-4
又公比为整数，
∴a3=-4,a8=128,q=-2.
∴a10=a3q7=(-4)×（-2）7＝512.
14.设｛an｝是各项均为正数的等比数列，bn=log2an，若b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求此等比数列的通项公式an.?
［解析］由b1+b2+b3=3,?
得log2(a1a2a3)＝3，
∴a1a2a3＝23＝8，
∵a22=a1a3，∴a2=2,又b1b2b3=-3,
设等比数列｛an｝的公比为q，得?
log2（）log2(2q)=-3.
解得q＝4或，
∴所求等比数列｛an｝的通项公式为
an=a2qn-2=22n-3或an=25-2n.
15.某工厂2010年生产某种机器零件100万件，计划到2012年把产量提高到每年生产121万件.如果每一年比上一年增长的百分率相同，这个百分率是多少？2011年生产这种零件多少万件？.
［解析］设每一年比上一年增长的百分率为x,则从2010年起，连续3年的产量依次为a1=100,a2=a1(1+x),a3=a2(1+x),即a1=100,a2=100(1+x),a3=100(1＋x)2,成等比数列.
由100(1+x)2=121得(1+x)2=1.21,
∴1＋x=1.1或1+x=-1.1,?
∴x=0.1或x=-2.1(舍去)，?
a2=100(1+x)=110(万件)，?
所以每年增长的百分率为10％，2011年生产这种零件110万件.
16.等差数列{an}中，a4=10，且a3,a6,a10成等比数列.求数列{an}前20项的和S20.
［解析］设数列{an}的公差为d，则a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.
由a3,a6,a10成等比数列得a3a10=a26，?
即（10-d）（10+6d）=（10+2d）2,?
整理得10d2-10d=0,解得d=0或d=1.
当d=0时，S20=20a4=200，?
当d=1时，a1=a4-3d=10-3×1=7,?
于是，S20=20a1+d=20×7+190=330.

等比数列中项

每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，大家在认真写教案课件了。对教案课件的工作进行一个详细的计划，才能对工作更加有帮助！有多少经典范文是适合教案课件呢？以下是小编为大家精心整理的“等比数列中项”，仅供参考，欢迎大家阅读。

1.3.2等比数列中项
教学目标:
1．明确等比中项概念．
2．进一步熟练掌握等比数列通项公式.
3．培养学生应用意识.
教学重点:1.等比中项的理解与应用
2.等比数列定义及通项公式的应用
教学难点:灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题.
教学方法:启发引导式教学法
教学过程:
(I)复习回顾:我们共同来回忆上节课所学主要内容.
生：等比数列定义：等比数列通项公式：
（Ⅱ）讲授新课:与等差数列对照，看等比数列是否也具有类似性质？
生：（1）成等差数列
如果在中间插入一个数G,使成等比数列，即
若，则，即成等比数列∴成等比数列
师：综上所述，如果在中间插入一个数G，使成等比数列，那么G叫做的等经中项.
生：（2）若m+n=p+q，则
师：若在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？
生：由定义得：
（2）若m+n=p+q，则
师：下面来看应用这些性质可以解决哪些问题？
例1：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
解：设这个等比数列的第1项是，公比是q，那么：，①，②
由②÷①可得第③把③代入①可得
答：这个数列的第1项与第2项是和8.
例2：已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列.
证明：设数列的首项是，公比为q1;的首项为b1，公比为q2，那么数列的第n项与第n+1项分别为：
它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列.
（Ⅲ）课堂练习:课本P23练习1.(老师结合学生所做，讲评练习.)
书面练习:课本P25练习1、2、3
（Ⅳ）课时小结:
（1）若a，G，b成等比数列，则叫做与的等经中项.
（2）若m+n=p+q，
2．预习提纲：①等比数列前n项和公式；
②如何推导等比数列的前n项公式？
小结：
课题
一、定义
等比中项
成等比数列若m+n=p+q
则
二、例题
例1
例2复习回顾
,A,b成等差数列
则

作业：P30习题A组7题