高中三角函数教案

第三章函数(高中数学竞赛标准教材)。

第三章函数

一、基础知识
定义1映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f:A→B为一个映射。
定义2单射，若f:A→B是一个映射且对任意x,y∈A,xy,都有f(x)f(y)则称之为单射。
定义3满射，若f:A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f:A→B是A到B上的满射。
定义4一一映射，若f:A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1:A→B。
定义5函数，映射f:A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若x∈A,y∈B，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.
定义6反函数，若函数f:A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1:A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x).这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x,y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y=的反函数是y=1-(x0).
定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。
定理2在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
定义7函数的性质。
（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1,x2∈I并且x1x2，总有f(x1)f(x2)(f(x)f(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。
（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。
定义8如果实数ab，则数集{x|axb,x∈R}叫做开区间，记作（a,b），集合{x|a≤x≤b,x∈R}记作闭区间[a,b]，集合{x|ax≤b}记作半开半闭区间（a,b]，集合{x|a≤xb}记作半闭半开区间[a,b)，集合{x|xa}记作开区间（a,+∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞,a].
定义9函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x),x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。
定理3复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y=,u=2-x在（-∞,2）上是减函数，y=在（0，+∞）上是减函数，所以y=在（-∞,2）上是增函数。
注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。
二、方法与例题
1．数形结合法。
例1求方程|x-1|=的正根的个数.
【解】分别画出y=|x-1|和y=的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。

例2求函数f(x)=的最大值。
【解】f(x)=，记点P(x,x2)，A（3，2），B（0，1），则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。
因为|PA|-|PA|≤|AB|=,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立。
所以f(x)max=
2.函数性质的应用。
例3设x,y∈R，且满足，求x+y.
【解】设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若ab，则f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)0，所以f(t)递增。
由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.
例4奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范围。
【解】因为f(x)是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a)f(a2-1)。
又f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-11-aa2-11，解得0a1。
例5设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z,用Ik表示区间(2k-1,2k+1]，已知当x∈I0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。
【解】设x∈Ik，则2k-1x≤2k+1，
所以f(x-2k)=(x-2k)2.
又因为f(x)是以2为周期的函数，
所以当x∈Ik时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.
例6解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.
【解】令m=3x-1,n=2x-3，方程化为
m(+1)+n(+1)=0.①
若m=0，则由①得n=0，但m,n不同时为0，所以m0,n0.
ⅰ)若m0，则由①得n0，设f(t)=t(+1),则f(t)在（0，+∞）上是增函数。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=
ⅱ)若m0，且n0。同理有m+n=0,x=,但与m0矛盾。
综上，方程有唯一实数解x=
3.配方法。
例7求函数y=x+的值域。
【解】y=x+=[2x+1+2+1]-1
=(+1)-1≥-1=-.
当x=-时，y取最小值-，所以函数值域是[-，+∞）。
4．换元法。
例8求函数y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。
【解】令+=u，因为x∈[0,1]，所以2≤u2=2+2≤4,所以≤u≤2,所以≤≤2，1≤≤2，所以y=,u2∈[+2，8]。
所以该函数值域为[2+，8]。
5．判别式法。
例9求函数y=的值域。
【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0.①
当y1时，①式是关于x的方程有实根。
所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得≤y≤1.
又当y=1时，存在x=0使解析式成立，
所以函数值域为[，7]。
6．关于反函数。
例10若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-∞,+∞)上递增，求证：y=f-1(x)在(-∞,+∞)上也是增函数。
【证明】设x1x2,且y1=f-1(x1),y2=f-1(x2)，则x1=f(y1),x2=f(y2)，若y1≥y2，则因为f(x)在(-∞,+∞)上递增，所以x1≥x2与假设矛盾，所以y1y2。
即y=f-1(x)在(-∞,+∞)递增。
例11设函数f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).
【解】首先f(x)定义域为（-∞，-）∪[-，+∞）；其次，设x1,x2是定义域内变量，且x1x2-;=0,
所以f(x)在（-∞，-）上递增，同理f(x)在[-，+∞）上递增。
在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y，则y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-，+∞）.
若xy，设xy，则f(x)=yf(y)=x，矛盾。
同理若xy也可得出矛盾。所以x=y.
即f(x)=x，化简得3x5+2x4-4x-1=0,
即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,
因为x≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+10，所以x=1.
三、基础训练题
1．已知X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2}，映射f：X→Y满足：对任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)为偶数，这样的映射有_______个。
2．给定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：X→Y，若f为单射，则f有_______个；若f为满射，则f有_______个；满足f[f(x)]=f(x)的映射有_______个。
3．若直线y=k(x-2)与函数y=x2+2x图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有_______个交点。
4．函数y=f(x)的值域为[]，则函数g(x)=f(x)+的值域为_______。
5．已知f(x)=，则函数g(x)=f[f(x)]的值域为_______。
6．已知f(x)=|x+a|，当x≥3时f(x)为增函数，则a的取值范围是_______。
7．设y=f(x)在定义域（，2）内是增函数，则y=f(x2-1)的单调递减区间为_______。
8．若函数y=(x)存在反函数y=-1(x)，则y=-1(x)的图象与y=-(-x)的图象关于直线_______对称。
9．函数f(x)满足=1-，则f()=_______。
10.函数y=,x∈(1,+∞)的反函数是_______。
11．求下列函数的值域：（1）y=;(2)y=;(3)y=x+2;(4)y=
12.已知定义在R上，对任意x∈R,f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函数，又当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[-2,0]时，求f(x)的解析式。
四、高考水平训练题
1．已知a∈,f(x)定义域是（0,1]，则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______。
2．设0≤a1时，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒为正值。则f(x)定义域为_______。
3．映射f:{a,b,c,d}→{1，2，3}满足10f(a)f(b)f(c)f(d)20，这样的映射f有_______个。
4．设函数y=f(x)(x∈R)的值域为R，且为增函数，若方程f(x)=x解集为P，f[f(x)]=x解集为Q，则P，Q的关系为：P_______Q（填=、、）。
5．下列函数是否为奇函数：（1）f(x)=(x-1)；（2）g(x)=|2x+1|-|2x-1|;(3)(x)=；（4）y=
6.设函数y=f(x)(x∈R且x0)，对任意非零实数x1,x2满足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在（0，+∞）是增函数，则不等式f(x)+f(x-)≤0的解集为_______。
7．函数f(x)=，其中P，M为R的两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),x∈M}，给出如下判断：①若P∩M=，则f(P)∩f(M)=；②若P∩M，则f(P)∩f(M)；③若P∪M=R,则f(P)∪f(M)=R；④若P∪MR，则f(P)∪f(M)R.其中正确的判断是_______。
8．函数y=f(x+1)的反函数是y=f-1(x+1)，并且f(1)=3997，则f(1998)=_______。
9．已知y=f(x)是定义域为[-6，6]的奇函数，且当x∈[0，3]时是一次函数，当x∈[3，6]时是二次函数，又f(6)=2，当x∈[3，6]时，f(x)≤f(5)=3。求f(x)的解析式。
10．设a0，函数f(x)定义域为R，且f(x+a)=，求证：f(x)为周期函数。
11．设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α，β（αβ），已知函数f(x)=,（1）求f(α)、f(β)；（2）求证：f(x)在[α，β]上是增函数；（3）对任意正数x1,x2，求证：2|α-β|.

五、联赛一试水平训练题
1．奇函数f(x)存在函数f-1(x)，若把y=f(x)的图象向上平移3个单位，然后向右平移2个单位后，再关于直线y=-x对称，得到的曲线所对应的函数是________.
2．若a0，a1,F(x)是奇函数，则G(x)=F(x)是________（奇偶性）.
3．若=x，则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)=；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x.
4.设函数f：R→R满足f(0)=1，且对任意x,y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)=________.
5．已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)=________.
6.函数f(x)=的单调递增区间是________.
7.函数f(x)=的奇偶性是：________奇函数，________偶函数（填是，非）。
8.函数y=x+的值域为________.
9．设f(x)=,
对任意的a∈R，记V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1,3]}-min{f(x)-ax|x∈[1,3]}，试求V(a)的最小值。
10．解方程组：（在实数范围内）
11．设k∈N+,f:N+→N+满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意n∈N+,有f[f(n)]=kn，求证：对任意n∈N+,都有n≤f(n)≤
六、联赛二试水平训练题
1．求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足：（1）对任意x≠0,f(x)=xf；（2）对所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).
2.设f(x)对一切x0有定义，且满足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函数；(ⅱ)任意x0,f(x)f=1，试求f(1).
3.f:[0,1]→R满足：（1）任意x∈[0,1],f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）当x,y,x+y∈[0,1]时，f(x)+f(y)≤f(x+y)，试求最小常数c，对满足（1），（2），（3）的函数f(x)都有f(x)≤cx.
4.试求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x0,y0)的最小值。
5．对给定的正数p,q∈(0,1)，有p+q1≥p2+q2，试求f(x)=(1-x)+在[1-q,p]上的最大值。
6．已知f:(0,1)→R且f(x)=.
当x∈时，试求f(x)的最大值。
7．函数f(x)定义在整数集上，且满足f(n)=，求f(100)的值。
8．函数y=f(x)定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。（1）求证：方程f(x)=x恰有一个解；（2）试给出一个具有上述性质的函数。
9．设Q+是正有理数的集合，试构造一个函数f:Q+→Q+，满足这样的条件：f(xf(y))=x,y∈Q+.

相关知识

第六章三角函数(高中数学竞赛标准教材)

第六章三角函数

一、基础知识
定义1角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
定义2角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。
定义3三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数secα=,余割函数cscα=
定理1同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，cosα=；商数关系：tanα=；乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：sin2α+cos2α=1,tan2α+1=sec2α,cot2α+1=csc2α.
定理2诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα,cot(-α)=cotα;（Ⅲ）sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan=(π-α)=-tanα,cot(π-α)=-cotα;（Ⅳ）sin=cosα,cos=sinα,tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2.奇偶数.有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时,y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k,0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.
定理4余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ,2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π,2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.
定理5正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-,kπ+)上为增函数,最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。
定理6两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;tan(αβ)=
定理7和差化积与积化和差公式:
sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,
cosα+cosβ=2coscos,cosα-cosβ=-2sinsin,
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
定理8倍角公式:sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,

tan2α=
定理9半角公式:sin=,cos=,
tan==
定理10万能公式:,,
定理11辅助角公式：如果a,b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a,b)的一个角为β，则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.
asinα+bcosα=sin(α+β).
定理12正弦定理：在任意△ABC中有，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。
定理13余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。
定理14图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(,0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。
定义4函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1,1])，函数y=cosx(x∈[0,π])的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1,1]).函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞,+∞]).y=cosx(x∈[0,π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞,+∞]).
定理15三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina,n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa,k∈Z}.如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana,k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.
定理16若，则sinxxtanx.
二、方法与例题
1．结合图象解题。
例1求方程sinx=lg|x|的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。
2．三角函数性质的应用。
例2设x∈(0,π),试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。
【解】若，则cosx≤1且cosx-1，所以cos，
所以sin(cosx)≤0,又0sinx≤1,所以cos(sinx)0，
所以cos(sinx)sin(cosx).
若，则因为sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)≤，
所以0sinx-cosx，
所以cos(sinx)cos(-cosx)=sin(cosx).
综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)sin(cosx).
例3已知α，β为锐角，且x（α+β-）0，求证：
【证明】若α+β，则x0，由α-β0得cosαcos(-β)=sinβ,
所以01，又sinαsin(-β)=cosβ,所以01，
所以
若α+β，则x0，由0α-β得cosαcos(-β)=sinβ0,
所以1。又0sinαsin(-β)=cosβ，所以1，
所以，得证。
注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。
3．最小正周期的确定。
例4求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。
【解】首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=kπ+时，y=0（因为|2cosx|≤2π）,
所以若最小正周期为T0，则T0=mπ,m∈N+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T0=2π。
4．三角最值问题。
例5已知函数y=sinx+，求函数的最大值与最小值。
【解法一】令sinx=,
则有y=
因为，所以，
所以≤1，
所以当，即x=2kπ-(k∈Z)时，ymin=0，

当，即x=2kπ+(k∈Z)时，ymax=2.
【解法二】因为y=sinx+,
=2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)），
且|sinx|≤1≤，所以0≤sinx+≤2，
所以当=sinx，即x=2kπ+(k∈Z)时,ymax=2，
当=-sinx，即x=2kπ-(k∈Z)时,ymin=0。
例6设0π，求sin的最大值。
【解】因为0π，所以，所以sin0,cos0.
所以sin（1+cos）=2sincos2=≤=

当且仅当2sin2=cos2,即tan=,=2arctan时，sin(1+cos)取得最大值。
例7若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。
【解】因为sinA+sinB=2sincos,①
sinC+sin,②
又因为，③
由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin,
所以sinA+sinB+sinC≤3sin=,
当A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）max=.
注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。
5．换元法的使用。
例8求的值域。
【解】设t=sinx+cosx=
因为
所以
又因为t2=1+2sinxcosx,
所以sinxcosx=，所以，
所以
因为t-1，所以，所以y-1.
所以函数值域为

例9已知a0=1,an=(n∈N+)，求证：an.
【证明】由题设an0，令an=tanan,an∈，则
an=
因为，an∈，所以an=，所以an=
又因为a0=tana1=1，所以a0=，所以。
又因为当0x时，tanxx，所以
注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。
另外当x∈时，有tanxxsinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。
6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A,,0).
由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。
例10例10已知f(x)=sin(x+)(0,0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。
【解】由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意x∈R成立。
又0≤≤π，解得=，
因为f(x)图象关于对称，所以=0。
取x=0，得=0，所以sin
所以(k∈Z)，即=(2k+1)(k∈Z).
又0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；
取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；
取k=2时，≥，此时f(x)=sin(x+)在[0，]上不是单调函数，
综上，=或2。
7．三角公式的应用。
例11已知sin(α-β)=，sin(α+β)=-，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值。
【解】因为α-β∈，所以cos(α-β)=-
又因为α+β∈，所以cos(α+β)=
所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.
例12已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且，试求的值。
【解】因为A=1200-C，所以cos=cos(600-C)，
又由于
=，
所以=0。
解得或。
又0，所以。
例13求证：tan20+4cos70.
【解】tan20+4cos70=+4sin20

三、基础训练题
1．已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3,-2cos3)，则x的弧度数为___________。
2．适合-2cscx的角的集合为___________。
3．给出下列命题：（1）若αβ，则sinαsinβ；（2）若sinαsinβ,则αβ；（3）若sinα0，则α为第一或第二象限角；（4）若α为第一或第二象限角，则sinα0.上述四个命题中，正确的命题有__________个。
4．已知sinx+cosx=(x∈(0,π))，则cotx=___________。
5．简谐振动x1=Asin和x2=Bsin叠加后得到的合振动是x=___________。
6．已知3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，则1，2，3，4分别是第________象限角。
7．满足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角x共有________个。
8．已知，则=___________。
9．=___________。
10．cot15cos25cot35cot85=___________。
11．已知α,β∈(0,π),tan,sin(α+β)=，求cosβ的值。
12．已知函数f(x)=在区间上单调递减，试求实数m的取值范围。
四、高考水平训练题
1．已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R，若其周长为定值c(c0)，当扇形面积最大时，a=__________.
2.函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________.
3.函数的值域为__________.
4.方程=0的实根个数为__________.
5.若sina+cosa=tana,a，则__________a（填大小关系）.
6.(1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________.
7.若0y≤x且tanx=3tany，则x-y的最大值为__________.
8.=__________.
9.coscoscoscos=__________.
10.cos271+cos71cos49+cos249=__________.
11.解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x.
12.求满足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角x.
13.已知f(x)=(kA0,k∈Z,且A∈R)，（1）试求f(x)的最大值和最小值；（2）若A0,k=-1，求f(x)的单调区间；（3）试求最小正整数k，使得当x在任意两个整数（包括整数本身）间变化时，函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。

五、联赛一试水平训练题（一）
1．若x,y∈R，则z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范围是____________.
2．已知圆x2+y2=k2至少盖住函数f(x)=的一个最大值点与一个最小值点，则实数k的取值范围是____________.
3．f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值为____________.
4．方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有相异两实根α，β，则α+β=____________.
5．函数f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________.
6．设sina0cosa,且sincos，则的取值范围是____________.
7．方程tan5x+tan3x=0在[0，π]中有__________个解.
8．若x,y∈R,则M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________.
9．若0,m∈N+,比较大小：(2m+1)sinm(1-sin)__________1-sin2m+1.
10．cot70+4cos70=____________.
11.在方程组中消去x,y，求出关于a,b,c的关系式。
12．已知α，β，γ，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求tanαtanβtanγ的最小值。
13．关于x,y的方程组有唯一一组解，且sinα,sinβ,sinγ互不相等，求sinα+sinβ+sinγ的值。
14．求满足等式sinxy=sinx+siny的所有实数对（x,y）,x,y.
联赛一试水平训练题（二）
1．在平面直角坐标系中，函数f(x)=asinax+cosax(a0)在一个最小正周期长的区间上的图象与函数g(x)=的图象所围成的封闭图形的面积是__________.
2．若，则y=tan-tan+cos的最大值是__________.
3．在△ABC中，记BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b2-19c2=0，则=__________.
4．设f(x)=x2-πx,α=arcsin,β=arctan,γ=arccos,δ=arccot,将f(α),f(β),f(γ),f(δ)从小到大排列为__________.
5．logsin1cos1=a,logsin1tan1=b,logcos1sin1=c,logcos1tan1=d。将a,b,c,d从小到大排列为__________.
6．在锐角△ABC中，cosA=cosαsinβ,cosB=cosβsinγ,cosC=cosγsinα，则tanαtanβtanγ=__________.
7．已知矩形的两边长分别为tan和1+cos(0π)，且对任何x∈R,f(x)=sinx2+x+cos≥0，则此矩形面积的取值范围是__________.
8．在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的取值范围是__________.
9．已知当x∈[0,1]，不等式x2cos-x(1-x)+(1-x)2sin0恒成立，则的取值范围是__________.
10．已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，则cos2x+cos2y+cos2z=__________.
11．已知a1,a2,…,an是n个实常数，考虑关于x的函数：f(x)=cos(a1+x)+cos(a2+x)+…+cos(an+x)。求证：若实数x1,x2满足f(x1)=f(x2)=0，则存在整数m，使得x2-x1=mπ.
12．在△ABC中，已知，求证：此三角形中有一个内角为。
13．求证：对任意自然数n,均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|.

六、联赛二试水平训练题
1．已知x0,y0,且x+yπ，求证：w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny0①（w∈R）.
2.已知a为锐角，n≥2,n∈N+，求证：≥2n-2+1.
3.设x1,x2,…,xn,…,y1,y2,…,yn,…满足x1=y1=,xn+1=xn+,yn+1=，求证：2xnyn3(n≥2).
4．已知α，β，γ为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求证；πα+β+γπ.
5．求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意，恒有(x+3+2sincos)2+(x+asin+asin)2≥
6.设n,m都是正整数，并且nm，求证：对一切x都有2|sinnx-cosnx|≤3|sinnx-cosnx|.
7．在△ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。
8．求的有的实数a,使cosa,cos2a,cos4a,…,cos2na,…中的每一项均为负数。
9．已知i，tan1tan2…tann=2,n∈N+,若对任意一组满足上述条件的
1，2，…，n都有cos1+cos2+…+cosn≤λ，求λ的最小值。

第十五章复数(高中数学竞赛标准教材)

第十五章复数
一、基础知识
1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。
2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z).z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z).r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用eiθ表示cosθ+isinθ，则z=reiθ，称为复数的指数形式。
3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。
4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),
5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).
6.开方：若r(cosθ+isinθ)，则，k=0,1,2,…,n-1。
7．单位根：若wn=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；（2）对任意整数m，当n≥2时，有=特别1+Z1+Z2+…+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)…(x-).
8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角主值分别相等。
9．复数z是实数的充要条件是z=;z是纯虚数的充要条件是：z+=0（且z≠0）.
10.代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。
11．实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。
12．若a,b,c∈R,a≠0，则关于x的方程ax2+bx+c=0，当Δ=b2-4ac0时方程的根为
二、方法与例题
1．模的应用。
例1求证：当n∈N+时，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有纯虚根。
[证明]若z是方程的根，则(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1)，化简得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是纯虚数。
例2设f(z)=z2+az+b,a,b为复数，对一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。
[解]因为4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)
=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|

≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等号成立。
所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同，且模相等。
所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.
2.复数相等。
例3设λ∈R，若二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+1+λi=0有两个虚根，求λ满足的充要条件。
[解]若方程有实根，则方程组有实根，由方程组得(λ+1)x+λ+1=0.若λ=-1，则方程x2-x+1=0中Δ0无实根，所以λ≠-1。所以x=-1,λ=2.所以当λ≠2时，方程无实根。所以方程有两个虚根的充要条件为λ≠2。
3．三角形式的应用。
例4设n≤2000,n∈N，且存在θ满足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ，那么这样的n有多少个？
[解]由题设得
，所以n=4k+1.又因为0≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以这样的n有500个。
4．二项式定理的应用。
例5计算：（1）；（2）
[解](1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250,由二项式定理(1+i)100==)+()i，比较实部和虚部，得=-250，=0。
5．复数乘法的几何意义。
例6以定长线段BC为一边任作ΔABC，分别以AB，AC为腰，B，C为直角顶点向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求证：MN的中点为定点。
[证明]设|BC|=2a，以BC中点O为原点，BC为x轴，建立直角坐标系，确定复平面，则B，C对应的复数为-a,a,点A，M，N对应的复数为z1,z2,z3,，由复数乘法的几何意义得：，①，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.设MN的中点为P，对应的复数z=,为定值，所以MN的中点P为定点。
例7设A，B，C，D为平面上任意四点，求证：ABAD+BCAD≥ACBD。
[证明]用A，B，C，D表示它们对应的复数，则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因为|A-B||C-D|+|B-C||A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).
所以|A-B||C-D|+|B-C||A-D|≥|A-C||B-D|,“=”成立当且仅当，即=π，即A，B，C，D共圆时成立。不等式得证。
6．复数与轨迹。
例8ΔABC的顶点A表示的复数为3i，底边BC在实轴上滑动，且|BC|=2，求ΔABC的外心轨迹。
[解]设外心M对应的复数为z=x+yi(x,y∈R)，B，C点对应的复数分别是b,b+2.因为外心M是三边垂直平分线的交点，而AB的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|，所以点M对应的复数z满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得
所以ΔABC的外心轨迹是轨物线。
7．复数与三角。
例9已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求证：cos2α+cos2β+cos2γ=0。
[证明]令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，则
z1+z2+z3=0。所以又因为|zi|=1,i=1,2,3.
所以zi=1，即
由z1+z2+z3=0得①
又
所以
所以cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0.
所以cos2α+cos2β+cos2γ=0。
例10求和：S=cos200+2cos400+…+18cos18×200.
[解]令w=cos200+isin200,则w18=1，令P=sin200+2sin400+…+18sin18×200,则S+iP=w+2w2+…+18w18.①由①×w得w(S+iP)=w2+2w3+…+17w18+18w19，②由①-②得(1-w)(S+iP)=w+w2+…+w18-18w19=，所以S+iP=，所以
8．复数与多项式。
例11已知f(z)=c0zn+c1zn-1+…+cn-1z+cn是n次复系数多项式(c0≠0).
求证：一定存在一个复数z0,|z0|≤1，并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|.
[证明]记c0zn+c1zn-1+…+cn-1z=g(z),令=Arg(cn)-Arg(z0)，则方程g(Z)-c0eiθ=0为n次方程，其必有n个根，设为z1,z2,…,zn，从而g(z)-c0eiθ=(z-z1)(z-z2)…(z-zn)c0，令z=0得-c0eiθ=(-1)nz1z2…znc0，取模得|z1z2…zn|=1。所以z1,z2,…，zn中必有一个zi使得|zi|≤1,从而f(zi)=g(zi)+cn=c0eiθ=cn，所以|f(zi)|=|c0eiθ+cn|=|c0|+|cn|.
9.单位根的应用。
例12证明：自⊙O上任意一点p到正多边形A1A2…An各个顶点的距离的平方和为定值。
[证明]取此圆为单位圆，O为原点，射线OAn为实轴正半轴，建立复平面，顶点A1对应复数设为，则顶点A2A3…An对应复数分别为ε2，ε3，…，εn.设点p对应复数z,则|z|=1,且=2n-
=2n-命题得证。
10．复数与几何。
例13如图15-2所示，在四边形ABCD内存在一点P，使得ΔPAB，ΔPCD都是以P为直角顶点的等腰直角三角形。求证：必存在另一点Q，使得ΔQBC，ΔQDA也都是以Q为直角顶点的等腰直角三角形。
[证明]以P为原点建立复平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它们对应的复数，由题设及复数乘法的几何意义知D=iC,B=iA；取，则C-Q=i(B-Q)，则ΔBCQ为等腰直角三角形；又由C-Q=i(B-Q)得，即A-Q=i(D-Q)，所以ΔADQ也为等腰直角三角形且以Q为直角顶点。综上命题得证。
例14平面上给定ΔA1A2A3及点p0，定义As=As-3,s≥4，构造点列p0,p1,p2,…,使得pk+1为绕中心Ak+1顺时针旋转1200时pk所到达的位置，k=0,1,2,…,若p1986=p0.证明：ΔA1A2A3为等边三角形。
[证明]令u=，由题设，约定用点同时表示它们对应的复数，取给定平面为复平面，则p1=(1+u)A1-up0,
p2=(1+u)A2-up1,
p3=(1+u)A3-up2,
①×u2+②×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w为与p0无关的常数。同理得p6=w+p3=2w+p0,…,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，从而A3-uA2+u2A1=0.由u2=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，这说明ΔA1A2A3为正三角形。
三、基础训练题
1．满足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0的有序实数对(x,y)有__________组。
2．若z∈C且z2=8+6i,且z3-16z-=__________。
3.复数z满足|z|=5，且(3+4i)z是纯虚数，则__________。
4．已知，则1+z+z2+…+z1992=__________。
5.设复数z使得的一个辐角的绝对值为，则z辐角主值的取值范围是__________。
6．设z,w,λ∈C,|λ|≠1，则关于z的方程-Λz=w的解为z=__________。
7.设0x1，则2arctan__________。
8.若α，β是方程ax2+bx+c=0（a,b,c∈R）的两个虚根且，则__________。
9．若a,b,c∈C,则a2+b2c2是a2+b2-c20成立的__________条件。
10．已知关于x的实系数方程x2-2x+2=0和x2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m取值的集合是__________。
11．二次方程ax2+x+1=0的两根的模都小于2，求实数a的取值范围。
12．复平面上定点Z0，动点Z1对应的复数分别为z0,z1，其中z0≠0，且满足方程|z1-z0|=|z1|，①另一个动点Z对应的复数z满足z1z=-1，②求点Z的轨迹，并指出它在复平面上的形状和位置。
13．N个复数z1,z2,…,zn成等比数列，其中|z1|≠1，公比为q,|q|=1且q≠±1,复数w1,w2,…,wn满足条件：wk=zk++h，其中k=1,2,…,n,h为已知实数，求证：复平面内表示w1,w2,…,wn的点p1,p2,…,pn都在一个焦距为4的椭圆上。
四、高考水平训练题
1．复数z和cosθ+isinθ对应的点关于直线|iz+1|=|z+i|对称，则z=__________。
2.设复数z满足z+|z|=2+i，那么z=__________。
3．有一个人在草原上漫步，开始时从O出发，向东行走，每走1千米后，便向左转角度，他走过n千米后，首次回到原出发点，则n=__________。
4.若，则|z|=__________。
5.若ak≥0,k=1,2,…,n，并规定an+1=a1，使不等式恒成立的实数λ的最大值为__________。
6．已知点P为椭圆上任意一点，以OP为边逆时针作正方形OPQR，则动点R的轨迹方程为__________。
7．已知P为直线x-y+1=0上的动点，以OP为边作正ΔOPQ(O，P，Q按顺时针方向排列)。则点Q的轨迹方程为__________。
8．已知z∈C,则命题“z是纯虚数”是命题“”的__________条件。
9．若n∈N，且n≥3,则方程zn+1+zn-1=0的模为1的虚根的个数为__________。
10．设(x2006+x2008+3)2007=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则+…+a3k-__________。
11.设复数z1,z2满足z1,其中A≠0，A∈C。证明：
（1）|z1+A||z2+A|=|A|2；（2）
12．若z∈C,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值时的复数z.
13.给定实数a,b,c,已知复数z1,z2,z3满足求
|az1+bz2+cz3|的值。
三、联赛一试水平训练题
1．已知复数z满足则z的辐角主值的取值范围是__________。
2．设复数z=cosθ+isinθ(0≤θ≤π)，复数z,(1+i)z，2在复平面上对应的三个点分别是P，Q，R，当P，Q，R不共线时，以PQ，PR为两边的平行四边形第四个顶点为S，则S到原点距离的最大值为__________。
3．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z1,z2,…,z20,则复数所对应的不同点的个数是__________。
4．已知复数z满足|z|=1，则|z+iz+1|的最小值为__________。
5．设，z1=w-z,z2=w+z,z1,z2对应复平面上的点A，B，点O为原点，∠AOB=900，|AO|=|BO|，则ΔOAB面积是__________。
6．设，则(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的展开式为__________。
7．已知()m=(1+i)n(m,n∈N+)，则mn的最小值是__________。
8．复平面上，非零复数z1,z2在以i为圆心，1为半径的圆上，z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=__________。
9.当n∈N,且1≤n≤100时，的值中有实数__________个。
10．已知复数z1,z2满足，且，，，则的值是__________。
11．集合A={z|z18=1},B={w|w48=1},C={zw|z∈A,w∈B}，问：集合C中有多少个不同的元素？
12．证明：如果复数A的模为1，那么方程的所有根都是不相等的实根（n∈N+）.
13.对于适合|z|≤1的每一个复数z，要使0|αz+β|2总能成立，试问：复数α，β应满足什么条件？
六、联赛二试水平训练题
1．设非零复数a1,a2,a3,a4,a5满足
其中S为实数且|S|≤2，求证：复数a1,a2,a3,a4,a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上。
2．求证：。
3．已知p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn是复变量z的实系数多项式，且|p(i)|1，求证：存在实数a,b,使得p(a+bi)=0且(a2+b2+1)24b2+1.
4．运用复数证明：任给8个非零实数a1,a2,…,a8，证明六个数a1a3+a2a4,a1a5+a2a6,a1a7+a2a8,a3a5+a4a6,a3a7+a4a8,a5a7+a6a8中至少有一个是非负数。
5．已知复数z满足11z10+10iz9+10iz-11=0，求证：|z|=1.
6.设z1,z2,z3为复数，求证：
|z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|≥|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|。

第二章二次函数与命题(高中数学竞赛标准教材)

第二章二次函数与命题

一、基础知识
1．二次函数：当0时，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。
2．二次函数的性质：当a0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0,-∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a0时，情况相反。
3．当a0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c0…②及ax2+bx+c0…③与函数f(x)的关系如下（记△=b2-4ac）。
1）当△0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1x2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x|xx1或xx2}和{x|x1xx2}，二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x)=a(x-x1)(x-x2).
2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x1=x2=x0=,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x}和空集，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。
3）当△0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和.f(x)图象与x轴无公共点。
当a0时，请读者自己分析。
4．二次函数的最值：若a0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=,若a0，则当x=x0=时，f(x)取最大值f(x0)=.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，当x0∈[m,n]时，f(x)在[m,n]上的最小值为f(x0);当x0m时。f(x)在[m,n]上的最小值为f(m)；当x0n时，f(x)在[m,n]上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。
定义1能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。
注1“p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。
定义2原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。
注2原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。
注3反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。
定义3如果命题“若p则q”为真，则记为pq否则记作pq.在命题“若p则q”中，如果已知pq,则p是q的充分条件；如果qp，则称p是q的必要条件；如果pq但q不p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不q但pq，则p称为q的必要非充分条件；若pq且qp，则p是q的充要条件。
二、方法与例题
1．待定系数法。
例1设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).
【解】设f(x)=ax2+bx+c(a0),
则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0，
因为方程x2-x+1=0中△0，
所以αβ，所以(α+β)a+b+1=0.
又α+β=1,所以a+b+1=0.
又因为f(1)=a+b+c=1，
所以c-1=1，所以c=2.
又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.
再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β,
所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0.
即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0，
所以a=1,
所以f(x)=x2-2x+2.
2．方程的思想。
例2已知f(x)=ax2-c满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。
【解】因为-4≤f(1)=a-c≤-1,
所以1≤-f(1)=c-a≤4.
又-1≤f(2)=4a-c≤5,f(3)=f(2)-f(1),
所以×(-1)+≤f(3)≤×5+×4,
所以-1≤f(3)≤20.
3．利用二次函数的性质。
例3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x))=x也无实根。
【证明】若a0，因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的x∈R,f(x)-x0即f(x)x，从而f(f(x))f(x)。
所以f(f(x))x，所以方程f(f(x))=x无实根。
注：请读者思考例3的逆命题是否正确。
4．利用二次函数表达式解题。
例4设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)=x的两根x1,x2满足0x1x2,
（Ⅰ）当x∈(0,x1)时，求证：xf(x)x1；
（Ⅱ）设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x0
【证明】因为x1,x2是方程f(x)-x=0的两根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，
即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.
（Ⅰ）当x∈(0,x1)时，x-x10,x-x20,a0，所以f(x)x.
其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+]0，所以f(x)x1.
综上，xf(x)x1.
（Ⅱ）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,
所以x0=,
所以，
所以
5．构造二次函数解题。
例5已知关于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2),a1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。
【证明】方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0.
构造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,
f(1)=(a+1)20,f(-1)=(a-1)20,f(0)=1-a20,即△0，
所以f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。
即方程的正根比1小，负根比-1大。
6．定义在区间上的二次函数的最值。
例6当x取何值时，函数y=取最小值？求出这个最小值。
【解】y=1-,令u,则0u≤1。
y=5u2-u+1=5,
且当即x=3时，ymin=.
例7设变量x满足x2+bx≤-x(b-1)，并且x2+bx的最小值是，求b的值。
【解】由x2+bx≤-x(b-1)，得0≤x≤-(b+1).
ⅰ)-≤-(b+1)，即b≤-2时，x2+bx的最小值为-，所以b2=2，所以（舍去）。
ⅱ)--(b+1)，即b-2时，x2+bx在[0，-(b+1)]上是减函数，
所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-,b=-.
综上，b=-.
7.一元二次不等式问题的解法。
例8已知不等式组①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。
【解】因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a,x2=1-a,
若a≤0，则x1x2.①的解集为ax1-a，由②得x1-2a.
因为1-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式组无解。
若a0，ⅰ）当0a时，x1x2,①的解集为ax1-a.
因为0ax1-a1，所以不等式组无整数解。
ⅱ）当a=时，a=1-a，①无解。
ⅲ）当a时，a1-a，由②得x1-2a，
所以不等式组的解集为1-axa.
又不等式组的整数解恰有2个，
所以a-(1-a)1且a-(1-a)≤3，
所以1a≤2，并且当1a≤2时，不等式组恰有两个整数解0，1。
综上，a的取值范围是1a≤2.
8．充分性与必要性。
例9设定数A，B，C使得不等式
A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0①
对一切实数x,y,z都成立，问A，B，C应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示条件）
【解】充要条件为A，B，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA).
先证必要性，①可改写为A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0②
若A=0，则由②对一切x,y,z∈R成立，则只有B=C，再由①知B=C=0，若A0，则因为②恒成立，所以A0，△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0恒成立，所以(B-A-C)2-4AC≤0，即A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)
同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。
再证充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)，
1）若A=0，则由B2+C2≤2BC得(B-C)2≤0，所以B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。
2）若A0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。
综上，充分性得证。
9．常用结论。
定理1若a,b∈R,|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
【证明】因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,
所以|a+b|≤|a|+|b|（注：若m0，则-m≤x≤m等价于|x|≤m）.
又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|,
即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理1得证。
定理2若a,b∈R,则a2+b2≥2ab；若x,y∈R+,则x+y≥
(证略)
注定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。
三、基础训练题
1．下列四个命题中属于真命题的是________，①“若x+y=0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“两个全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。
2．由上列各组命题构成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题中，p或q为真，p且q为假，非p为真的是_________.①p；3是偶数，q：4是奇数；②p:3+2=6,q:③p:a∈(a,b),q:{a}{a,b};④p:QR,q:N=Z.
3.当|x-2|a时，不等式|x2-4|1成立，则正数a的取值范围是________.
4.不等式ax2+(ab+1)x+b0的解是1x2，则a,b的值是____________.
5.x1且x2是x-1的__________条件，而-2m0且0n1是关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的__________条件.
6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________.
7.若S={x|mx2+5x+2=0}的子集至多有2个，则m的取值范围是_________.
8.R为全集，A={x|3-x≥4},B=,则(CRA)∩B=_________.
9.设a,b是整数，集合A={(x,y)|(x-a)2+3b≤6y}，点（2，1）∈A，但点（1，0）A，（3，2）A则a,b的值是_________.
10．设集合A={x||x|4},B={x|x2-4x+30}，则集合{x|x∈A且xA∩B}=_________.
11.求使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。
12．对任意x∈[0,1],有①②成立，求k的取值范围。
四、高考水平训练题
1．若不等式|x-a|x的解集不空，则实数a的取值范围是_________.
2．使不等式x2+(x-6)x+90当|a|≤1时恒成立的x的取值范围是_________.
3．若不等式-x2+kx-40的解集为R，则实数k的取值范围是_________.
4．若集合A={x||x+7|10},B={x||x-5|k}，且A∩B=B，则k的取值范围是_________.
5．设a1、a2,b1、b2,c1、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c10和a2x2+b2x+c20解集分别为M和N，那么“”是“M=N”的_________条件。
6．若下列三个方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_________.
7．已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则r是q的_________条件。
8．已知p:|1-|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m0)，若非p是非q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_________.
9．已知a0，f(x)=ax2+bx+c，对任意x∈R有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2)f(1+2x-x2)，求x的取值范围。
10．已知a,b,c∈R,f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当|x|≤1时，|f(x)|≤1,
(1)求证：|c|≤1;
(2)求证：当|x|≤1时，|g(x)|≤2;
(3)当a0且|x|≤1时，g(x)最大值为2，求f(x).
11.设实数a,b,c,m满足条件：=0，且a≥0,m0，求证：方程ax2+bx+c=0有一根x0满足0x01.
五、联赛一试水平训练题
1．不等式|x|3-2x2-4|x|+30的解集是_________.
2．如果实数x,y满足：，那么|x|-|y|的最小值是_________.
3．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点（1，1），（3，5），f(0)0，当函数的最小值取最大值时，a+b2+c3=_________.
4.已知f(x)=|1-2x|,x∈[0,1]，方程f(f(f)(x)))=x有_________个实根。
5．若关于x的方程4x2-4x+m=0在[-1，1]上至少有一个实根，则m取值范围是_________.
6．若f(x)=x4+px3+qx2+x对一切x∈R都有f(x)≥x且f(1)=1，则p+q2=_________.
7.对一切x∈R，f(x)=ax2+bx+c(ab)的值恒为非负实数，则的最小值为_________.
8．函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图，且=b-2ac.那么b2-4ac_________4.（填、=、）
9．若abcd，求证：对任意实数t-1,关于x的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0都有两个不等的实根。
10．某人解二次方程时作如下练习：他每解完一个方程，如果方程有两个实根，他就给出下一个二次方程：它的常数项等于前一个方程较大的根，x的系数等于较小的根，二次项系数都是1。证明：这种练习不可能无限次继续下去，并求最多能延续的次数。
11．已知f(x)=ax2+bx+c在[0，1]上满足|f(x)|≤1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。

六、联赛二试水平训练题
1．设f(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R,a100，试问满足|f(x)|≤50的整数x最多有几个？
2．设函数f(x)=ax2+8x+3(a0)，对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得在整个区间[0，l(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立。求l(a)的最大值及相应a的值。
3．设x1,x2,…,xn∈[a,a+1]，且设x=,y=,求f=y-x2的最大值。
4．F(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R,且|F(0)|≤1,|F(1)|≤1,|F(-1)|≤1,则对于|x|≤1，求|F(x)|的最大值。
5．已知f(x)=x2+ax+b，若存在实数m，使得|f(m)|≤,|f(m+1)|≤,求△=a2-4b的最大值和最小值。
6．设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a0)满足下列条件：
1）当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；
2）当x∈(0,2)时，f(x)≤;
3）f(x)在R上最小值为0。
求最大的m(m1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]就有f(x+t)≤x.
7.求证：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0,1)内至少有一个实根。
8．设a,b,A,B∈R+,aA,bB，若n个正数a1,a2,…,an位于a与A之间，n个正数b1,b2,…,bn位于b与B之间，求证：
9．设a,b,c为实数，g(x)=ax2+bx+c,|x|≤1，求使下列条件同时满足的a,b,c的值：
（ⅰ）=381;
（ⅱ）g(x)max=444;
（ⅲ）g(x)min=364.

高中数学竞赛标准教材(第四章几个初等函数的性质)

第四章几个初等函数的性质

一、基础知识
1．指数函数及其性质：形如y=ax(a0,a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0a1时，y=ax是减函数，当a1时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。
2．分数指数幂：。
3．对数函数及其性质：形如y=logax(a0,a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当0a1，y=logax为减函数，当a1时，y=logax为增函数。
4．对数的性质（M0,N0）；
1）ax=Mx=logaM(a0,a1)；
2）loga(MN)=logaM+logaN；
3）loga（）=logaM-logaN；4）logaMn=nlogaM；，
5）loga=logaM；6）alogaM=M;7)logab=(a,b,c0,a,c1).
5.函数y=x+（a0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和。（请读者自己用定义证明）
6．连续函数的性质：若ab,f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)=0在（a,b）上至少有一个实根。
二、方法与例题
1．构造函数解题。
例1已知a,b,c∈(-1,1)，求证：ab+bc+ca+10.
【证明】设f(x)=(b+c)x+bc+1(x∈(-1,1))，则f(x)是关于x的一次函数。
所以要证原不等式成立，只需证f(-1)0且f(1)0（因为-1a1）.
因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)0，
f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，
所以f(a)0，即ab+bc+ca+10.
例2（柯西不等式）若a1,a2,…,an是不全为0的实数，b1,b2,…,bn∈R，则（）（）≥()2，等号当且仅当存在R，使ai=,i=1,2,…,n时成立。
【证明】令f(x)=（）x2-2()x+=,
因为0，且对任意x∈R,f(x)≥0，
所以△=4()-4（）()≤0.
展开得（）()≥()2。
等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使ai=,i=1,2,…,n。
例3设x,y∈R+,x+y=c,c为常数且c∈(0,2]，求u=的最小值。
【解】u==xy+≥xy++2
=xy++2.
令xy=t，则0t=xy≤,设f(t)=t+,0t≤
因为0c≤2，所以0≤1，所以f(t)在上单调递减。
所以f(t)min=f()=+，所以u≥++2.
当x=y=时，等号成立.所以u的最小值为++2.
2．指数和对数的运算技巧。
例4设p,q∈R+且满足log9p=log12q=log16(p+q)，求的值。
【解】令log9p=log12q=log16(p+q)=t，则p=9t,q=12t,p+q=16t，
所以9t+12t=16t，即1+
记x=，则1+x=x2，解得
又0，所以=
例5对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和实数x,y,z,w，若ax=by=cz=70w，且，求证：a+b=c.
【证明】由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.
所以lga=lg70,lgb=lg70,lgc=lg70，
相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设，
所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.
所以abc=70=2×5×7.
若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a1.
又a≤b≤c，且a,b,c为70的正约数，所以只有a=2,b=5,c=7.
所以a+b=c.
例6已知x1,ac1,a1,c1.且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab.
【证明】由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得
，
因为ac0,ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.
注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。
3．指数与对数方程的解法。
解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。
例7解方程：3x+4x+5x=6x.
【解】方程可化为=1。设f(x)=,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3.
例8解方程组：（其中x,y∈R+）.
【解】两边取对数，则原方程组可化为①②
把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0.
由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x,y∈R+)得x+y=6，
代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.
又y0，所以y=2,x=4.
所以方程组的解为.
例9已知a0,a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。
【解】由对数性质知，原方程的解x应满足.①②③
若①、②同时成立，则③必成立，
故只需解.
由①可得2kx=a(1+k2)，④
当k=0时，④无解；当k0时，④的解是x=，代入②得k.
若k0，则k21，所以k-1；若k0，则k21，所以0k1.
综上，当k∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解。

三、基础训练题
1．命题p:“(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y”是命题q:“x+y≥0”的_________条件。
2．如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，则x1+x2=_________.
3．已知f(x)是定义在R上的增函数，点A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，y=f-1(x)是它的反函数，则不等式|f-1(log2x)|1的解集为_________。
4．若log2a0，则a取值范围是_________。
5．命题p:函数y=log2在[2，+∞）上是增函数；命题q:函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_________条件。
6．若0b1,a0且a1，比较大小：|loga(1-b)|_________|loga(1+b).
7．已知f(x)=2+log3x,x∈[1,3]，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。
8．若x=，则与x最接近的整数是_________。
9．函数的单调递增区间是_________。
10．函数f(x)=的值域为_________。
11．设f(x)=lg[1+2x+3x+…+(n-1)x+nxa]，其中n为给定正整数,n≥2,a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。
12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？
四、高考水平训练题
1．函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_________.
2．已知不等式x2-logmx0在x∈时恒成立，则m的取值范围是_________.
3．若x∈{x|log2x=2-x}，则x2,x,1从大到小排列是_________.
4.若f(x)=ln，则使f(a)+f(b)=_________.

5.命题p:函数y=log2在[2，+∞）上是增函数；命题q：函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_________条件.
6．若0b1,a0且a1，比较大小：|loga(1-b)|_________|loga(1+b)|.
7．已知f(x)=2+log3x,x∈[1,3]，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________.
8．若x=，则与x最接近的整数是_________.
9．函数y=的单调递增区间是_________.
10．函数f(x)=的值域为_________.
11．设f(x)=lg[1+2x+3x+…+(n-1)x+nxa]，其中n为给定正整数，n≥2,a∈R。若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。
12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？
四、高考水平训练题
1．函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是__________.
2．已知不等式x2-logmx0在x∈时恒成立，则m的取值范围是________.
3．若x∈{x|log2x=2-x}，则x2,x,1从大到小排列是________.
4．若f(x)=ln，则使f(a)+f(b)=成立的a,b的取值范围是________.
5．已知an=logn(n+1)，设，其中p,q为整数，且(p,q)=1，则pq的值为_________.
6．已知x10,y10,xy=1000，则(lgx)(lgy)的取值范围是________.
7．若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数k的取值范围是________.
8．函数f(x)=的定义域为R，若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，则b,c应满足的充要条件是________.
（1）b0且c0；（2）b0且c0；（3）b0且c=0；（4）b≥0且c=0。
9．已知f(x)=x,F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，则F(x)是________函数（填奇偶性）.
10．已知f(x)=lg，若=1，=2，其中|a|1,|b|1，则f(a)+f(b)=________.
11．设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。
12．设f(x)=|lgx|，实数a,b满足0ab,f(a)=f(b)=2f，求证：
（1）a4+2a2-4a+1=0,b4-4b3+2b2+1=0；（2）3b4.
13．设a0且a1,f(x)=loga(x+)(x≥1)，（1）求f(x)的反函数f-1(x)；（2）若f-1(n)(n∈N+)，求a的取值范围。
五、联赛一试水平训练题
1．如果log2[log(log2x)]=log3[log(log3x)]=log5[log(log5z)]=0，那么将x,y,z从小到大排列为___________.
2．设对任意实数x0x1x2x30，都有log1993+log1993+log1993klog1993恒成立，则k的最大值为___________.
3．实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则的值为___________.
4．已知0b1,00α450，则以下三个数：x=(sinα)logbsina,y=(cosα)logbsina,z=(sinα)logbsina从小到大排列为___________.
5．用[x]表示不超过x的最大整数，则方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是___________.
6．设a=lgz+lg[x(yz)-1+1],b=lgx-1+lg[xyz+1],c=lgy+lg[(xyz)-1+1]，记a,b,c中的最大数为M，则M的最小值为___________.
7．若f(x)(x∈R)是周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=，则，由小到大排列为___________.
8．不等式+20的解集为___________.
9．已知a1,b1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1).
10．（1）试画出由方程所确定的函数y=f(x)图象。
（2）若函数y=ax+与y=f(x)的图象恰有一个公共点，求a的取值范围。
11．对于任意n∈N+(n1)，试证明：[]+[]+…+[]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn]。
六、联赛二试水平训练题
1．设x,y,z∈R+且x+y+z=1，求u=的最小值。
2．当a为何值时，不等式loglog5(x2+ax+6)+loga3≥0有且只有一个解（a1且a1）。
3．f(x)是定义在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函数，满足条件；对于任何x,y1及u,v0,f(xuyv)≤[f(x)][f(y)]①都成立，试确定所有这样的函数f(x).
4.求所有函数f：R→R，使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。
5．设m≥14是一个整数，函数f：N→N定义如下：
f(n)=,
求出所有的m,使得f(1995)=1995.
6．求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数f:
f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y),x,y∈Q.
7．是否存在函数f(n)，将自然数集N映为自身，且对每个n1,f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。
8．设p,q是任意自然数，求证：存在这样的f(x)∈Z(x)（表示整系数多项式集合），使对x轴上的某个长为的开区间中的每一个数x,有
9．设α，β为实数，求所有f:R+→R，使得对任意的x,y∈R+,f(x)f(y)=y2f成立。