等差等比数列综合问题。
一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，高中教师要准备好教案，这是每个高中教师都不可缺少的。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助高中教师缓解教学的压力，提高教学质量。那么，你知道高中教案要怎么写呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“等差等比数列综合问题”，相信您能找到对自己有用的内容。
等差等比数列综合问题
教学目标
1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和式以及有关性质，分析和解决等差
、等比数列的综合问题．
2.突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力．
教学重点与难点
用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式．
例题
1．（1）已知{an}成等差，且a5=11，a8=5，求an=；
（2）等差数列{an}中，如S2=4,S4=16,Sn=121，求n=；
（3）等差数列{an}中，a6+a9+a12+a15=20，求S20=；
（4）等差数列{an}中，am=n，an=m,则am+n=，Sm+n=；
（5）等差数列{an}中，公差d=－2，a1+a4+a7+…+a97=50，
求a3+a6+a9+…+a99=?
（6）若两个等差数列{an}、{bn}的前n项的和分别为Sn,Tn,且，求.
2．（1）在等比数列{an}中，a1+a2=3，a4+a5=24，则a7+a8=；
（2）设{an}是由正数组成的等比数列，且a5·a6=81，则=；
（3）设{an}是由正数组成的等比数列，且a4a6+2a5a7+a6a8=36，则a5+a7=；
(4)设等比数列{an}的前n项和为Sn=4n+m，求得常数m=；
3．(1)“”是“a、G、b成等比数列”的条件；
（2）“数列{an}既是等差数列又是等比数列”是“该数列为常数列”的条件
（3）设数列{an}、{bn}(bn0）满足，则{an}为等差数列是{bn}为等比数列的条件；
（4）Sn表示数列{an}的前n项的和，则Sn=An2+Bn,（其中A、B为常数）是数列{an}成等差数列的条件。
4．三个实数6、3、－1顺次排成一行，在6与3之间插入两个实数，在3与－1之间插入一个实数，使得这六个数中的前三个、后三个组成等差数列，且插入的三个数又成等比数列，求所插入的三个数的和。
5.在2和20之间插入两个数,使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和是多少？
6．已知x、y为正实数，且x、a1、a2、y成等差数列，x、b1、b2、y成等比数列，则的取值范围是。
7．设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且a1=b1，a2n+1=b2n+1，
试比较an+1与bn+1的大小。
8．（1）等差数列{an}中，前n项的和为Sn，且S6S7，S7S8，则①此数列的公差小于是0；②S9一定小于S6；③是各项中最大的一项；④一定是Sn的最大值。把正确的序号填入后面的横线上.
(2)等差数列{an}中，公差d是自然数，等比数列{bn}中，b1=a1,b2=a2，现有数据：①2；②3；③4；④5，当{bn}中所有项都是{an}中的项时，d可以取（填上正确的序号）。
作业：复习题三A组9，10，11，12,14
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等差数列与等比数列综合问题（3）
等差数列与等比数列综合问题（3）
教学目标
1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题．
2.突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力．
3.用类比思想加深对等差数列与等比数列概念和性质的理解.
教学重点与难点
1.用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式．
2.等差数列与等比数列的综合应用.
例1已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少公共项.
例2已知数列{an}的前n项和，求数列{|an|}的前n项和Tn.
例3已知公差不为零的等差数列｛an｝和等比数例｛bn｝中，a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3，试问：是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn+b成立．若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
例4已知数列｛an｝是公差不为零的等差数列，数列｛akn｝是公比为q的等比数列，且k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1+k2+k3+…+kn的值．
例5、已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f()=-2n(1)求{an}的通项公式。(2)证明{an}是递减数列。例6、在数列{an}中,an0，=an+1(nN)求Sn和an的表达式。例7.已知数列{an}的通项公式为an=.
求证：对于任意的正整数n，均有a2n─1,a2n,a2n+1成等比数列，而a2n,a2n+1,a2n+2成等差数列。
例8．项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项及项数。
作业
1公差不为零的等差数列的第2，第3，第6项依次成等比数列，则公比是（）．
（A）1（B）2（C）3（D）4
2若等差数列｛an｝的首项为a1＝1，等比数列｛bn｝，把这两个数列对应项相加所得的新数列｛an+bn｝的前三项为3，12，33，则｛an｝的公差为｛bn｝的公比之和为（）．
（A）－5（B）7（C）9（D）14
3已知等差数列｛an｝的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是．
4在等差数列｛an｝中，a1，a4，a25依次成等比数列，且a1+a4+a25＝114，求成等比数列的这三个数．
5设数列｛an｝是首项为1的等差数列，数列｛bn｝是首项为1的等比数列，又Cn＝an－bn（n∈N+），已知试求数列｛Cn｝的通项公式与前n项和公式．
等差数列与等比数列
等差数列与等比数列
【复习目标】
掌握等差、等比数列的定义及通项公式，前n项和公式以及等差、等比数列的性质，在解决有关等差，等比数列问题时，要注意运用方程的思想和函数思想以及整体的观点，培养分析问题与解决问题的能力。
【课前热身】
1．如果，，…，为各项都大于零的等差数列，公差，则()
A．B．C．++D．=
2．已知–9,a1,a2,–1这四个数成等差数列,–9,b1,b2,b3,–1这5个数成等比数列,则等于（）
A．-8B．8C．8或-8D．
3．设Sn是等差数列的前n项和，若（）（福建文）
A．1B．－1C．2D．
4．已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则=（）（浙江文理）
A–4B–6C–8D–10
5.(2005年杭州二模题)已知成等差数列,成等比数列,则椭圆的准线方程为________.
【例题探究】
1、已知数列为等差数列，且(05湖南)
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明
2、设数列
记
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；
3、某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？
（取）
【方法点拨】
1．本题的关键在于指数式和对数式的互化在数列中的应用。
2．数列通项公式和递推公式经常在已知条件中给出,利用列举、叠加、叠乘等方法求之.求通项公式的方法应掌握.
3．例3是比较简单的数列应用问题，由于问题所涉及的数列是熟悉的等比数列与等差数列，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解.
冲刺强化训练（12）
1．已知等差数列满足则有()
A.B.C.D.
2在正数等比数列中已知则（）
A．11B．10C．8D．4
3．设数列是等差数列，且，是数列的前项和，则（）
A．B．C．D．
4．在各项都为正数的等比数列中首项，前三项和为21，则()
A．33B．72C．84D．189
5．设数列的前项和为（）.关于数列有下列三个命题：
（1）若既是等差数列又是等比数列，则；
（2）若，则是等差数列；
（3）若，则是等比数列.
这些命题中，真命题的序号是.
6、在等差数列中，，等比数列中，
，，则
7．设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为（湖南理）
8．已知，都是各项为正数的数列，对任意的正整n,都有成等差数列，
等比数列。
（1）求证：是等差数列；
（2）如果，，。
9．设⊙C1,⊙C2,……,⊙Cn是圆心在抛物线上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别记为。已知，。若⊙Ck(k=1,2,3,……,n)都与x轴相切，且顺次两圆外切。
（1）求证：是等差数列（2）求的表达式；
（3）求证：
参考答案
【课前热身】
1．B2，A3，A4，B
5、y=±22.解析：由条件易知m=2,n=4.但要注意椭圆焦点所在的坐标轴是y轴.因此准线方程为y=±a2c=±22.
【例题探究】
1,（I）解：设等差数列的公差为d.
由即d=1.
所以即
（II）证明因为，
所以
2,解：（I）
（II）因为,所以
所以
猜想：是公比为的等比数列.
证明如下：因为
所以是首项为,公比为的等比数列.
3，解：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，
①甲方案获利：（万元）
银行贷款本息：（万元）
故甲方案纯利：（万元）
②乙方案获利：
（万元）；
银行本息和：
（万元）
故乙方案纯利：（万元）；综上，甲方案更好.
冲刺强化训练(12)
1．C2．A3．B4．C5．（1）、（2）、（3）
6．解：
点评：此题也可以把和d看成两个未知数，通过列方程，联立解之d=。再求出但计算较繁，运用计算较为方便。
7．
8．解：（1）证明：成等差数列，。
成等比数列，，即，
，，成等差数列。
（2）解：而，
，
）
9．解：（1）由题意知：⊙：，⊙：
，，
,两边平方，整理得
是以为首项，公差为2的等差数列
（2）由（1）知，
（3）
），
等比数列学案
第3课时等比数列的前n项和
知能目标解读
1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法--错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和.
2.掌握等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时，特别要注意q=1和q≠1这两种情况.
3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题.
重点难点点拨
重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题.
难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用.
学习方法指导
1.等比数列的前n项和公式
（1）设等比数列{an}，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为
na1(q=1)
Sn=.
(q≠1)
也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论.
（2）等比数列{an}中，当已知a1,q(q≠1)，n时，用公式Sn=，当已知a1,q(q≠1)，an时，用公式Sn=.
2.等比数列前n项和公式的推导
除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导.
(1)合比定理法
由等比数列的定义知：==…==q.
当q≠1时，=q,即=q.
故Sn==.
当q=1时，Sn=na1.
(2)拆项法
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)
当q≠1时，Sn==.
当q=1时，Sn=na1.
(3)利用关系式Sn-Sn-1=an(n≥2)
∵当n≥2时，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qSn-1
∴Sn=a1+q(Sn-an)
即(1-q)Sn=a1(1-qn)
当q≠1时，有Sn=,
当q=1时，Sn=na1.
注意：
(1)错位相减法，合比定理法，拆项法及an与Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧.
(2)错位相减法适用于{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求{anbn}的前n项和.
3.等比数列前n项和公式的应用
（1）衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.
（2）公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q=1和q≠1的讨论.
4.等比数列前n项和公式与函数的关系
(1)当公比q≠1时，令A=，则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.
当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）.
(2)当q≠1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点.
知能自主梳理
1.等比数列前n项和公式
（1）等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时，Sn==;当q=1时，Sn=.
(2)推导等比数列前n项和公式的方法是.
2.公式特点
（1）若数列{an}的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数)，且q≠0,q≠1，则数列{an}为.
（2）在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知求.
［答案］1.（1）na1(2)错位相减法
2.（1）等比数列（2）三二
思路方法技巧
命题方向等比数列前n项和公式的应用
［例1］设数列｛an｝是等比数列，其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.
［分析］应用等比数列前n项和公式时，注意对公比q的讨论.
［解析］当q=1时，S3=3a1=3a3,符合题目条件；
当q≠1时，=3a1q2,
因为a1≠0,所以1－q3=3q2(1-q),
2q3-3q2+1=0,(q-1)2(2q+1)=0,
解得q=-.
综上所述，公比q的值是1或－.
［说明］（1）在等比数列中，对于a1,an,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量.
（2）等比数列前n项和问题，必须注意q是否等于1，如果不确定，应分q=1或q≠1两种情况讨论.
（3）等比数列前n项和公式中，当q≠1时，若已知a1,q,n利用Sn=来求；若已知a1,an,q,利用Sn=来求.
变式应用1在等比数列{an}中,已知S3=,S6=,求an.
［解析］∵S6=,S3=,
∴S6≠2S3，∴q≠1.
=①
∴
=②
②÷①得1+q3=9,∴q=2.
将q=2代入①，得a1=,
∴an=a1qn-1=2n-2.
命题方向等比数列前n项的性质
［例2］在等比数列{an}中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n.
［分析］利用等比数列前n项的性质求解.
［解析］∵{an}为等比数列，∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列，
∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)
∴S3n=+S2n=+60=63.
［说明］等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.
变式应用2等比数列{an}中，S2=7，S6=91,求S4.
［解析］解法一：∵{an}为等比数列，∴S2，S4-S2，S6-S4也为等比数列，
∴（S4-7）2=7×（91-S4），解得S4=28或-21.
∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)0,
∴S4=28.
解法二：∵S2=7,S6=91,∴q≠1.
=7①?
∴
=91②
得q4+q2-12=0,∴q2=3,
∴q=±.
当q=时，a1=,
∴S4==28.
当q=-时，a1=-,
∴S4==28.
探索延拓创新
命题方向等比数列前n项和在实际问题中的应用
［例3］某公司实行股份制，一投资人年初入股a万元，年利率为25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.
（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；
（2）写出第n年年底，此投资人的本利之和bn与n的关系式（不必证明）；
（3）为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标，若a=395,则x的值应为多少?(在计算中可使用lg2≈0.3)
［解析］(1)第一年年底本利和为a+a25%=1.25a,
第二年年底本利和为（1.25a-x）+(1.25a-x)×25%=1.252a-1.25x,
第三年年底本利和为（1.252a-1.25x-x）+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.
(2)第n年年底本利和为
bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+…+1.25)x.
(3)依题意，有
395×1.2520-(1.2519+1.2518+…+1.25)x=4×395,
∴x=
=.①
设1.2520=t,∴lgt=20lg（）=20(1-3lg2)=2.
∴t=100,代入①解得x=96.
变式应用3某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行货款的年利息为10％，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？
［解析］第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行
20000（1＋10％）－x=20000×1.1－x,
第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行［20000(1+10%)-x］(1+10%)-x
=20000×1.12-1.1x-x,
…
第10次还款x元后，还欠银行20000×1.110－1.19x-1.18x-…-x,
依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得
20000×1.110－（1.19＋1.18＋…＋1）x=0,
解得x=≈3255(元).
名师辨误做答
［例4］求数列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,…的前n项和.
［误解］所求数列的前n项和Sn=1+a+a2+a3+…+a
=.
［辨析］所给数列除首项外，每一项都与a有关，而条件中没有a的范围，故应对a进行讨论.
［正解］由于所给数列是在数列1,a,a2,a3,…中依次取出1项，2项，3项，4项，……的和所组成的数列.因而所求数列的前n项和中共含有原数列的前（1+2+…+n）项.所以Sn=1+a+a2+…+a.①当a=0时，Sn=1.②当a=1时，Sn=.③当a≠0且a≠1时，Sn=.
课堂巩固训练
一、选择题
1.等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则=（）
A.2B.4C.D.?
［答案］C
［解析］由题意得==.故选C.
2.等比数列{an}的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（）?
A.-2B.1C.-2或1D.2或-1?
［答案］C
［解析］由题意可得，a1+a1q+a1q2=3a1,?
∴q2+q-2=0,∴q=1或q=-2.
3.等比数列{2n}的前n项和Sn=（）
A.2n-1B.2n-2C.2n+1-1D.2n+1-2?
［答案］D?
［解析］等比数列｛2n｝的首项为2，公比为2.?
∴Sn===2n+1-2,故选D.
二、填空题
4.若数列{an}满足：a1=1,an+1=2an（n∈N+），则a5=;前8项的和S8=.（用数字作答）
［答案］16255?
［解析］考查等比数列的通项公式和前n项和公式.?
q==2,a5=a1q4=16,
S8==28-1=255.
5.在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=.
［答案］3?
［解析］∵a3=2S2+1,a4=2S3+1,?
两式相减，得a3-a4=-2a3,?
∴a4=3a3,∴q=3.
三、解答题
6.在等比数列{an}中，已知a6-a4=24，a3a5=64，求数列{an}的前8项和.
［解析］解法一：设数列{an}的公比为q，根据通项公式an=a1qn-1，由已知条件得
a6-a4=a1q3(q2-1)=24,①?
a3a5=(a1q3)2=64,②?
∴a1q3=±8.
将a1q3=-8代入①式，得q2=-2,没有实数q满足此式，故舍去.?
将a1q3=8代入①式，得q2=4,∴q=±2.?
当q=2时，得a1=1,所以S8==255;?
当q=-2时，得a1=-1，所以S8==85.
解法二：因为{an}是等比数列，所以依题意得?
a24=a3a5=64,?
∴a4=±8,a6=24+a4=24±8.?
因为{an}是实数列，所以＞0,?
故舍去a4=-8,而a4=8，a6=32，从而a5=±=±16.?
公比q的值为q==±2,?
当q=2时，a1=1,a9=a6q3=256,?
∴S8==255;?
当q=-2时，a1=-1，a9=a6q3=-256,
∴S8==85.
课后强化作业
一、选择题
1.等比数列{an}中，a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为（）
A.81B.120C.168D.192
［答案］B
［解析］公式q3===27,q=3,a1==3,?
S4==120.
2.已知等比数列的前n项和Sn=4n+a，则a=（）
A.-4B.-1C.0D.1
［答案］B
［解析］设等比数列为｛an｝，由已知得a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,
a3=S3-S2=48,∴a22=a1a3,?
即144=(4+a)×48，∴a=-1.
3.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于（）?
A.31B.33C.35D.37
［答案］B
［解析］解法一：S5＝==1
∴a1=
∴S10===33,故选B.?
解法二：∵a1+a2+a3+a4+a5=1?
∴a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)q5=1×25＝32
∴S10＝a1+a2+…+a9+a10=1+32=33.
4.已知等比数列{an}中，公比q是整数，a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前8项和为（）
A.514B.513C.512D.510
［答案］D
a1+a1q3=18
［解析］由已知得，
a1q+a1q2=12
解得q=2或.
∵q为整数，∴q=2.∴a1=2.
∴S8==29-2=510.
5.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1,S3=7，则S5=（）
A.B.C.D.
［答案］B
［解析］设公比为q,则q0,且a23=1,
即a3=1.∵S3=7,∴a1+a2+a3=++1=7,
即6q2-q-1=0,?
∴q=或q=-(舍去)，?
∴a1==4.?
∴S5==8（1-）=.
6.在等比数列｛an｝（n∈N+）中，若a1=1,a4=,则该数列的前10项和为（）
A.2－B.2－C.2－D.2－
［答案］B
［解析］∵a1=1,a4=,
∴q3==,∴q=.?
∴S10==2［1-（）10］=2-,故选B.
7.已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,S3=3,S6=27,则此等比数列的公比q等于（）
A.2B.-2C.D.-
［答案］A?
S3==3,①
［解析］
S6==27,②
得=9,解得q3=8.?
∴q=2,故选A.
8.正项等比数列｛an｝满足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列｛bn｝的前10项和是（）
A.65B.-65C.25D.-25
［答案］D
［解析］∵{an}为正项等比数列，a2a4=1,
∴a3=1,又∵S3=13,∴公比q≠1.
又∵S3==13,a3=a1q2,?
解得q=.?
∴an=a3qn-3=()n-3=33-n,?
∴bn=log3an=3-n.
∴b1=2,b10=-7.
∴S10==＝－25.
二、填空题
9.等比数列，-1，3，…的前10项和为.
［答案］-
［解析］S10==-.
10.（2011北京文，12）在等比数列｛an｝中，若a1=,a4=4,则公比q=;a1+a2+…+an=.
［答案］2,2n-1-
［解析］本题主要考查等比数列的基本知识，利用等比数列的前n项和公式可解得.?
=q3==8，所以q=2，所以a1+a2+……+an==2n-1-.
2n-1(n为正奇数)?
11.已知数列{an}中，an=，则a9=.
2n-1（n为正偶数）
设数列{an}的前n项和为Sn，则S9=.
［答案］256377
［解析］a9=28=256，
S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.
12.在等比数列{an}中，已知对于任意n∈N+,有a1+a2+…+an=2n-1,则a21+a22+…+a2n=.?
［答案］×4n-
［解析］∵a1+a2+…+an=2n-1,?
∴a1+a2+…+an-1=2n-1-1(n≥2),
两式相减，得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1,?
∴a2n=(2n-1)2=22n-2=4n-1,?
∴a21+a22+…+a2n==×4n-.
三、解答题
13.在等比数列{an}中，已知a3=1，S3=4，求a1与q.
S3==4
［解析］（1）若q≠1,则，
a3=a1q2=1
从而解得q=1或q=-.
q=-
∵q≠1,∴.
a1=6
S3=3a1=4q=1
（2）若q=1,则，∴.
a3=a1=1a1=1
q=-q=1
综上所述得，或.
a1=6a1=1
14.(2011大纲文科，17)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
［分析］设出公比根据条件列出关于a1与q的方程.求得a1与q可求得数列的通项公式和前n项和公式.?
［解析］设{an}的公比为q，由已知有：
a1q=6a1=3a1=2
.解得或
6a1+a1q2=30q=2q=3
(1)当a1=3,q=2时，
an=a1qn-1=3×2n-1
Sn===3×(2n-1)
(2)当a1=2,q=3时，an=a1qn-1=2×3n-1
Sn===3n-1.?
综上，an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1)或an=2×3n-1,Sn=3n-1.
15.已知实数列｛an｝是等比数列，其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列.
(1)求数列｛an｝的通项公式；
(2)数列｛an｝的前n项和记为Sn,证明：Sn128(n=1,2,3,…).
［解析］(1)设等比数列｛an｝的公比为q(q∈R且q≠1),
由a7=a1q6=1,得a1=q-6,从而a4=a1q3=q-3,?
a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1,?
因为a4,a5+1,a6成等差数列,
所以a4+a6=2(a5+1)
即q-3+q-1=2(q-2+1),
q-1(q-2+1)=2(q-2+1).?
所以q=.?
故an=a1qn-1=q-6qn-1=qn-7=（）n-7.?
(2)证明：Sn==
=128［1-（）n］128.
16.2011年暑期人才招聘会上，A、B两家公司分别开出了工资标准：
A公司B公司
第一年月工资为1500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元．第一年月工资为２000元，以后每一年月工资比上一年月工资增加5％.
大学生王明被A、B两家公司同时录取，而王明只想选择一家连续工作10年，经过一番思考，他选择了A公司，你知道为什么吗？.
［解析］
A公司B公司
第一年月工资为1500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元．第一年月工资为２000元，以后每一年月工资比上一年月工资增加5％.
王明的选择过程第n年月工资为an第n年月工资为bn
首项为1500，公差为230的等差数列首项为2000，公比为1＋5％的等比数列
an=230n+1270bn=2000(1+5%)n-1
S10=12(a1+a2+…+a10)=12×［10×1500+×230］=304200
T10=12(b1+b2+…+b10)
=12×≈301869
结论显然S10T10,故王明选择了A公司
等比数列
等比数列教学目标
1.理解等比数列的概念,把握等比数列的通项公式,并能运用公式解决简单的问题.
(1)正确理解等比数列的定义,了解公比的概念,明确一个数列是等比数列的限定条件,能根据定义判定一个数列是等比数列,了解等比中项的概念;
(2)正确熟悉使用等比数列的表示法,能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项;
(3)通过通项公式熟悉等比数列的性质,能解决某些实际问题.
2.通过对等比数列的研究,逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.
3.通过对等比数列概念的归纳,进一步培养学生严密的思维习惯,以及实事求是的科学态度.
教学建议
教材分析
(1)知识结构
等比数列是另一个简单常见的数列,研究内容可与等差数列类比,首先归纳出等比数列的定义,导出通项公式,进而研究图像,又给出等比中项的概念,最后是通项公式的应用.
(2)重点、难点分析
教学重点是等比数列的定义和对通项公式的熟悉与应用,教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.
①与等差数列一样,等比数列也是非凡的数列,二者有许多相同的性质,但也有明显的区别,可根据定义与通项公式得出等比数列的特性,这些是教学的重点.
②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法,但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中,需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明,所以通项公式的推导是难点.
③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式,因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.
教学建议
(1)建议本节课分两课时,一节课为等比数列的概念,一节课为等比数列通项公式的应用.
(2)等比数列概念的引入,可给出几个具体的例子,由学生概括这些数列的相同特征,从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出,由学生将这些数列进行分类,有一种是按等差、等比来分的,由此对比地概括等比数列的定义.
(3)根据定义让学生分析等比数列的公比不为0,以及每一项均不为0的特性,加深对概念的理解.
(4)对比等差数列的表示法,由学生归纳等比数列的各种表示法.启发学生用函数观点熟悉通项公式,由通项公式的结构特征画数列的图象.
(5)由于有了等差数列的研究经验,等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决,教师只需把握课堂的节奏,作为一节课的组织者出现.
(6)可让学生相互出题,解题,讲题,充分发挥学生的主体作用.
教学设计示例
课题:等比数列的概念
教学目标
1.通过教学使学生理解等比数列的概念,推导并把握通项公式.
2.使学生进一步体会类比、归纳的思想,培养学生的观察、概括能力.
3.培养学生勤于思考,实事求是的精神,及严谨的科学态度.
教学重点,难点
重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.
教学用具
投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
讨论、谈话法.
教学过程
一、提出问题
给出以下几组数列,将它们分类,说出分类标准.(幻灯片)
①-2,1,4,7,10,13,16,19,…
②8,16,32,64,128,256,…
③1,1,1,1,1,1,1,…
④243,81,27,9,3,1,,,…
⑤31,29,27,25,23,21,19,…
⑥1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…
⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,…
⑧0,0,0,0,0,0,0,…
由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列,也可能分为等差、等比两类),统一一种分法,其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨,得出定义后再考察③是否为等比数列).
二、讲解新课
请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性,教师指出实际生活中也有许多类似的例子,如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫,再假设开始有一个变形虫,经过一个单位时间它分裂为两个变形虫,经过两个单位时间就有了四个变形虫,…,一直进行下去,记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性,这是我们将要研究的另一类数列——等比数列.(这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步)
等比数列(板书)
1.等比数列的定义(板书)
根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系,尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美,多数情况下,有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义,标注出重点词语.
请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比,并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列,教师再追问,还有没有其他的例子,让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式,学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列,让学生讨论后得出结论:当时,数列既是等差又是等比数列,当时,它只是等差数列,而不是等比数列.教师追问理由,引出对等比数列的熟悉:
2.对定义的熟悉(板书)
(1)等比数列的首项不为0;
(2)等比数列的每一项都不为0,即;
问题:一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件?
(3)公比不为0.
用数学式子表示等比数列的定义.
是等比数列①.在这个式子的写法上可能会有一些争议,如写成,可让学生研究行不行,好不好;接下来再问,能否改写为是等比数列?为什么不能?
式子给出了数列第项与第项的数量关系,但能否确定一个等比数列?(不能)确定一个等比数列需要几个条件?当给定了首项及公比后,如何求任意一项的值?所以要研究通项公式.
3.等比数列的通项公式(板书)
问题:用和表示第项.
①不完全归纳法
.
②叠乘法
,…,,这个式子相乘得,所以.
(板书)(1)等比数列的通项公式
得出通项公式后,让学生思考如何熟悉通项公式.
(板书)(2)对公式的熟悉
由学生来说,最后归结:
①函数观点;
②方程思想(因在等差数列中已有熟悉,此处再复习巩固而已).
这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量,知三求一,这是公式最简单的应用,请学生举例(应能编出四类问题).解题格式是什么?(不仅要会解题,还要注重规范表述的练习)
假如增加一个条件,就多知道了一个量,这是公式的更高层次的应用,下节课再研究.同学可以试着编几道题.
三、小结
1.本节课研究了等比数列的概念,得到了通项公式;
2.注重在研究内容与方法上要与等差数列相类比;
3.用方程的思想熟悉通项公式,并加以应用.
四、作业(略)
五、板书设计
三.等比数列
1.等比数列的定义
2.对定义的熟悉
3.等比数列的通项公式
(1)公式
(2)对公式的熟悉
探究活动
将一张很大的薄纸对折,对折30次后(假如可能的话)有多厚?不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米.
参考答案:
30次后,厚度为,这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度.假如纸再薄一些,比如纸厚0.001毫米,对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了.还记得国王的承诺吗?第31个格子中的米已经是1073741824粒了,后边的格子中的米就更多了,最后一个格子中的米应是粒,用计算器算一下吧(用对数算也行).
