合情推理导学案。

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助教师掌握上课时的教学节奏。教案的内容要写些什么更好呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《合情推理导学案》，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

2.1.1合情推理
学习目标
1.结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2.能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.
2.结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;
3.能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.

学习过程
一、课前准备

问题3：因为三角形的内角和是，四边形的内角和是，五边形的内角和是
……所以n边形的内角和是

新知1：从以上事例可一发现：

叫做合情推理。归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。
新知2：类比推理就是根据两类不同事物之间具有
推测其中一类事物具有与另一类事物的性质的推理.

简言之，类比推理是由的推理.

新知3归纳推理就是根据一些事物的,推出该类事物的

的推理.归纳是的过程

例子:哥德巴赫猜想：
观察6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,14=7+7,
16=13+3,18=11+7,20=13+7,……,
50=13+37,……,100=3+97，

猜想：

归纳推理的一般步骤
1通过观察个别情况发现某些相同的性质。
2从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。

※典型例题
例1用推理的形式表示等差数列1,3,5,7……2n-1，……的前n项和Sn的归纳过程。
变式1观察下列等式：1+3=4=，
1+3+5=9=，
1+3+5+7=16=，
1+3+5+7+9=25=，
……
你能猜想到一个怎样的结论？

变式2观察下列等式：1=1
1+8=9，
1+8+27=36，
1+8+27+64=100，
……
你能猜想到一个怎样的结论？

例2设计算的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。

变式：（1）已知数列的第一项，且，试归纳出这个数列的通项公式
例3：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.

圆的概念和性质球的类似概念和性质
圆的周长
圆的面积
圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦
与圆心距离相等的弦长相等，

※动手试试

1.观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？

2如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交。

3如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行。

三、总结提升
※学习小结
1．归纳推理的定义.

2.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.

3.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.
A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程
B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程
C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确
D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能

2.已知，猜想的表达式为（）.
A.B.
C.D.

3.，经计算得猜测当时，有_________________________

4.下列说法中正确的是（）.
A.合情推理是正确的推理
B.合情推理就是归纳推理
C.归纳推理是从一般到特殊的推理
D.类比推理是从特殊到特殊的推理

5.下面使用类比推理正确的是（）.
A.“若,则”类推出“若,则”
B.“若”类推出
“”
C.“若”类推出“（c≠0）”
D.“”类推出“

课后作业
1.设，
，n∈N，则（）.
A.B.－
C.D.－

2.一同学在电脑中打出如下若干个圆
若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有个黑圆.

3.在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55……中的x的值是
4.已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=，观察下列立方和：
13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，……

试归纳出上述求和的一般公式。

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合情推理

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，作为高中教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助授课经验少的高中教师教学。高中教案的内容要写些什么更好呢？下面是小编精心为您整理的“合情推理”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

2.1合情推理
一、教材分析
数学归纳法是人教A版普通高中课程标准实验教科书选修2-2第2章第三小节的内容，此前学生刚学习了合情推理，合情推理用的是不完全归纳法，结论的正确性有待证明。通过本节课的学习，对培养学生的抽象思维能力和创新能力，深化不等式、数列等知识，提高学生的数学素养，有重要作用。根据课程标准，本节分为两课时，此为第一课时。
二、教学目标
1，知识目标：
理解合情推理的原理和实质，并能初步运用。
2，能力目标：
学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。
3，情感、态度与价值观目标：
在愉悦的学习氛围中，通过理解数学归纳法的原理和本质，感受数学内在美，激发学习热情。
三、教学重点难点
教学重点：能利用归纳进行简单的推理.
教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.
四、教学方法
探究法
五、课时安排：1课时
六、教学过程
例1、在同一个平面内，两条直线相交，有1个焦点；3条直线相交，最多有3个交点；……；从中归纳一般结论，n条直线相交，最多有几个交点？

例2、有菱形纹和无菱形纹的正六边形地板砖，按图所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中的正六边形地板砖有多少块？

小结归纳推理的特点：

例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比。

练习：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间四面体性质的猜想。

小结类比推理的特点：

当堂检测：
1、已知数对如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3）（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）（1，5），（2，4），……，则第60个数对是_______

2、在等差数列中，也成等差数列，在等比数列中，=____________________也成等比数列

课后练习与提高

1、右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，
称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，所表示的数是
(A)2(B)4(C)6(D)8

2、下列推理正确的是
(A)把与类比，则有：．
(B)把与类比，则有：．
(C)把与类比，则有：．
(D)把与类比，则有：．
3、四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2005次互换座位后，小兔的座位对应的是

(A)编号1(B)编号2(C)编号3(D)编号4

4、下列各列数都是依照一定的规律排列，在括号里填上适当的数
（1）1，5，9，13，17，（）；
（2），，，，（）．
5、从中，得出的一般性结论

是．
七、板书设计
八、教学反思

高考数学（理科）一轮复习合情推理与演绎推理学案附答案

学案37合情推理与演绎推理

导学目标：1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
自主梳理
自我检测
1．(2010山东)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)
等于()
A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)
2．(2010珠海质检)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋dia＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b0ab”类比推出“若a，b∈C，则a－b0ab”．其中类比结论正确的个数是()
A．0B．1C．2D．3
3．(2009江苏)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．
4．(2010陕西)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________．
5．(2011苏州月考)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为___________________________________________．

探究点一归纳推理
例1在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an2＋an，n∈N*，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由．
变式迁移1观察：①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝34；
②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝34.
由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．

探究点二类比推理
例2(2011银川月考)在平面内，可以用面积法证明下面的结论：
从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为pa，pb，pc，且相应各边上的高分别为ha，hb，hc，则有paha＋pbhb＋pchc＝1.
请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论．

变式迁移2在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径r＝a2＋b22，将此结论类比到空间有_______________________________________________．
探究点三演绎推理
例3在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D、E是垂足．求证：AB的中点M到D、E的距离相等．

变式迁移3指出对结论“已知2和3是无理数，证明2＋3是无理数”的下述证明是否为“三段论”，证明有错误吗？
证明：∵无理数与无理数的和是无理数，而2与3都是无理数，∴2＋3也是无理数．
1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想.一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明．
2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理．
3．从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，把这种推理称为演绎推理，也就是由一般到特殊的推理，三段论是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011福建厦门华侨中学模拟)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是()
A．B*D，A*DB．B*D，A*C
C．B*C，A*DD．C*D，A*D
2．(2011厦门模拟)设f(x)＝1＋x1－x，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2，…，则f2010(x)等于()
A．－1xB．xC.x－1x＋1D.1＋x1－x
3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“ab＝ba”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)c＝ac＋bc”；
③“(mn)t＝m(nt)”类比得到“(ab)c＝a(bc)”；
④“t≠0，mt＝xtm＝x”类比得到“p≠0，ap＝xpa＝x”；
⑤“|mn|＝|m||n|”类比得到“|ab|＝|a||b|”；
⑥“acbc＝ab”类比得到“acbc＝ab”．
以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是()
A．1B．2C．3D．4
4．(2009湖北)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．
下列数中既是三角形数又是正方形数的是()
A．289B．1024C．1225D．1378
5．已知整数的数对如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是()
A．(3,8)B．(4,7)
C．(4,8)D．(5,7)
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________________________________________________________________________．
7．(2011广东深圳高级中学模拟)定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：
8．(2011陕西)观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此规律，第n个等式为_____________________________________________________．
三、解答题(共38分)
9．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－23，且Sn＋1Sn＋1＋2＝0(n≥2)．计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．

10．(12分)(2011杭州调研)已知函数f(x)＝－aax＋a(a0且a≠1)，
(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点12，－12对称；
(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
11．(14分)如图1，若射线OM，ON上分别存在点M1，M2与点N1，N2，则＝OM1OM2ON1ON2；如图2，若不在同一平面内的射线OP，OQ和OR上分别存在点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由．

学案37合情推理与演绎推理
自主梳理
归纳推理全部对象部分个别类比推理这些特征
特殊到特殊①一般原理②特殊情况③特殊情况一般特殊
自我检测
1．D[由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．]
2．C[①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．]
3．1∶8
解析∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.
4．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
解析由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，…，因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
5．一切奇数都不能被2整除大前提
2100＋1是奇数小前提
所以2100＋1不能被2整除结论
课堂活动区
例1解题导引归纳分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般、由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的，观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一．
解在{an}中，a1＝1，a2＝2a12＋a1＝23，
a3＝2a22＋a2＝12＝24，a4＝2a32＋a3＝25，…，
所以猜想{an}的通项公式为an＝2n＋1.
这个猜想是正确的，证明如下：
因为a1＝1，an＋1＝2an2＋an，
所以1an＋1＝2＋an2an＝1an＋12，
即1an＋1－1an＝12，所以数列1an是以1a1＝1为首项，
12为公差的等差数列，
所以1an＝1＋(n－1)×12＝12n＋12，
所以通项公式an＝2n＋1.
变式迁移1解猜想sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝34.
证明如下：
左边＝sin2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sinα]
＝sin2α＋32cosα－12sinα32cosα＋12sinα
＝sin2α＋34cos2α－14sin2α＝34＝右边．
例2解题导引类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其他属性亦类似的一种推理方法，例如我们拿分式同分数来类比，平面几何与立体几何中的某些对象类比等等．我们必须清楚类比并不是论证，它可以帮助我们发现真理．类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想．
解
类比：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为pa，pb，pc，pd，且相应各面上的高分别为ha，hb，hc，hd.
则有paha＋pbhb＋pchc＋pdhd＝1.
证明如下：
paha＝13S△BCDpa13S△BCDha＝VP—BCDVA—BCD，
同理有pbhb＝VP—CDAVB—CDA，pchc＝VP—BDAVC—BDA，pdhd＝VP—ABCVD—ABC，
VP—BCD＋VP—CDA＋VP—BDA＋VP—ABC＝VA—BCD，
∴paha＋pbhb＋pchc＋pdhd
＝VP—BCD＋VP—CDA＋VP—BDA＋VP—ABCVA—BCD＝1.
变式迁移2在三棱锥A—BCD中，若AB、AC、AD两两互相垂直，且AB＝a，AC＝b，AD＝c，则此三棱锥的外接球半径R＝a2＋b2＋c22
例3解题导引在演绎推理中，只有前提(大前提、小前提)和推理形式都是正确的，结论才是正确的，否则所得的结论可能就是错误的．推理时，要清楚大前提、小前提及二者之间的逻辑关系．
证明(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提
在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，——小前提
所以△ADB是直角三角形．——结论
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提
而M是Rt△ADB斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，——小前提
所以DM＝12AB.——结论
同理EM＝12AB，所以DM＝EM.
变式迁移3解证明是“三段论”模式，证明有错误．证明中大前提使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原理的真实性仍无法断定．
课后练习区
1．B[由(1)(2)(3)(4)图得A表示|，B表示□，C表示—，D表示○，故图(A)(B)表示B*D和A*C.]
2．A[计算f2(x)＝f1＋x1－x＝1＋1＋x1－x1－1＋x1－x＝－1x，
f3(x)＝f－1x＝1－1x1＋1x＝x－1x＋1，
f4(x)＝1＋x－1x＋11－x－1x＋1＝x，f5(x)＝f1(x)＝1＋x1－x，
归纳得f4k＋i(x)＝fi(x)，k∈N*，i＝1,2,3,4.
∴f2010(x)＝f2(x)＝－1x.]
3．B[只有①、②对，其余错误，故选B.]
4．C[设图(1)中数列1,3,6,10，…的通项公式为an，则
a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n.
故an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，
∴an＝nn＋12.
而图(2)中数列的通项公式为bn＝n2，因此所给的选项中只有1225满足a49＝49×502＝b35＝352＝1225.]
5．D[观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依次类推和为n＋1的数对有n个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由nn＋12＝60n(n＋1)＝120，n∈Z，n＝10时，nn＋12＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，
∴第60个数对是(5,7)．]
6．空间正四面体的内切球的半径是高的14
解析利用体积分割可证明．
7．n
8．n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
解析∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，∴第n个等式为n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
9．解当n＝1时，S1＝a1＝－23.(2分)
当n＝2时，1S2＝－2－S1＝－43，
∴S2＝－34.(4分)
当n＝3时，1S3＝－2－S2＝－54，
∴S3＝－45.(6分)
当n＝4时，1S4＝－2－S3＝－65，
∴S4＝－56.(8分)
猜想：Sn＝－n＋1n＋2(n∈N*)．(12分)
10．(1)证明函数f(x)的定义域为R，任取一点(x，y)，它关于点12，－12对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．(2分)
由已知得y＝－aax＋a，
则－1－y＝－1＋aax＋a＝－axax＋a，(4分)
f(1－x)＝－aa1－x＋a＝－aaax＋a
＝－aaxa＋aax＝－axax＋a，∴－1－y＝f(1－x)．
即函数y＝f(x)的图象关于点12，－12对称．(6分)
(2)解由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)，
即f(x)＋f(1－x)＝－1.(9分)
∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，
f(0)＋f(1)＝－1，
则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.
(12分)
11．解类似的结论为：VO—P1Q1R1VO—P2Q2R2＝OP1OP2OQ1OQ2OR1OR2.
(4分)
这个结论是正确的，证明如下：
如图，过R2作R2M2⊥平面P2OQ2于M2，连接OM2.
过R1在平面OR2M2作R1M1∥R2M2交OM2于M1，
则R1M1⊥平面P2OQ2.
由VO—P1Q1R1＝13S△P1OQ1R1M1＝1312OP1OQ1sin∠P1OQ1R1M1
＝16OP1OQ1R1M1sin∠P1OQ1，(8分)
同理，VO—P2Q2R2＝16OP2OQ2R2M2sin∠P2OQ2.
所以＝OP1OQ1R1M1OP2OQ2R2M2.(10分)
由平面几何知识可得R1M1R2M2＝OR1OR2.(12分)
所以＝OP1OQ1OR1OP2OQ2OR2.
所以结论正确．(14分)

高一数学教案：《合情推理》教学设计

高一数学教案：《合情推理》教学设计

一、教学内容与内容解析

1．内容：

归纳推理的含义，会利用归纳进行一些简单的推理.

2．内容解析：

（1）本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修2—2）中第二章《推理与证明》第一节的第一课时。推理与证明是一种数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理与证明思想贯穿于高中数学的整个知识体系，但是作为一章内容出现在高中数学教材中尚属首次。《推理与证明》是新课标教材的亮点之一，本章内容将推理与证明的一般方法进行了必要的总结和归纳，同时也对后继知识的学习起到引领的作用。

推理一般包括合情推理和演绎推理,合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.。培养和提高学生演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标，合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证明通常包括逻辑证明和实验、实践的证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。

本章的内容属于数学思维方法的范畴，把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用他们，以培养言之有理，论证有据的习惯。学习这一章，要突出体现数学的人文价值和实际应用价值。

本节课所要学习的归纳推理便是合情推理的一种。归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理，前提是其结论的必要条件。首先，归纳推理的前提必须是真实的，否则，归纳就失去了意义。其次，归纳推理的结论超过了前提所判定的范围，因此在归纳推理中，前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，重在合乎情理。

(2)本节的内容属于数学思维方法的范畴，在教学过程中教师的立意是把归纳推理作为一个重要的数学思维的过程，让学生了解归纳推理的含义，着重学会用归纳的方法进行数学推理和猜想。

事实上，研究归纳推理的真实目的，就是把几个事实中蕴含的共性，通过变形、语言转换、多角度观察等手段，观察归纳出“共性”，进而提出猜想，并达到利用归纳推理来达到发现新事实，获得新结论的目的。因此，学习这一部分内容可以加深学生对数学发现的过程的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质．

归纳推理，为人类能够发现新事实、获得新结论，做出科学发现的重要手段，这是人们应该具备的一种基本素养．

二、教学目标与目标解析

1．目标：

（1）了解归纳推理的概念和归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳进行一些简单的推理.

（2）通过本节内容的学习，包括欣赏一些伟大猜想产生的过程，体会并认识如何利用归纳推理去猜测和发现一些新事实，得出新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向的作用。从而让学生对归纳推理有一个理性的认识，归纳推理不仅是一个概念，更是一个数学发现的过程。

（3）通过学生主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度.

2．目标解析：

教学目标（1）和（2）是本节课的教学重点也是难点。我们要建立一种数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。借助学生已有生活常识，形成推理的直观认识；让学生通过欣赏歌德巴赫猜想产生的过程，对归纳推理有初步认识，体验数学的一种基本思维过程，经历人们学习和生活中经常使用的思维活动。

教学目标（2）是学生初学时不易达到的目标，教学时要紧密地结合学生熟悉的已学过的数学实例和生活实例，让学生体会观察“几个事实”时应该关注的要点，如何观察更能发现“几个事实”中的“共性”。波利亚（G. Poliva，1888一1985）认为，“数学有两个侧面，由欧几里德方法提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．”通过本节课要让学生意识到数学不仅仅是演绎的科学，更是归纳的科学．

三、教学问题诊断分析

1．如何发现“几个事实”的“共性”，也就是“如何去观察，才能发现规律”。学生可以很顺利地得到几个事实，但是如何去观察，这是学生学习时遇到的第一个教学问题。也是本节课的教学难点之一。教学时，应通过实例，帮助学生总结出观察一定要有目标，数、式变形；语言的转化以及多角度的观察等都是有效的途径，并用具体问题让学生练习进行体会。

2．在充分体会了归纳推理的生活实例和数学实例以及其他学科实例之后，学生充分感受到数学美和发现规律的喜悦，能够自主总结出归纳推理的一般步骤，但是容易忽略归纳推理所得结论的不可靠性，从而忽略检验的步骤。所以本节课设计了费马猜想的产生及推翻过程，让学生充分体会检验的必要性，体会数学发展的螺旋上升过程。

3．归纳推理的作用：对于归纳推理的作用，不能片面认为“万能”的，也不能由于归纳结论的或然性而否定其在科学中的发现作用，所以通过例题的设置、同学的分析和讨论、教师的必要讲解，要让学生对归纳推理有一个全方位的立体的认识。

四、教学支持条件

1．在进行本节课的教学时，学生已经有大量的运用归纳推理生活实例和数学实例，这些内容是学生理解归纳推理的重要基础，因此教学时应充分注意这一教学条件，引导学生多进行归纳与概括。

2．数学史上有一些著名的猜想是运用归纳推理的典范，教学这一内容时应充分利用这一条件，不仅可让学生体会归纳推理的过程，感受归纳推理能猜测和发现一些新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向的作用，还可利用著名猜想让学生体会数学的人文价值，激发学生学习数学的兴趣和探索真理的欲望。

五、教学过程设计

（一）创设情景，引出课题

1.耳熟能详的《狼来了》的故事蕴含的推理；介绍四幅图的大致内容，说明推理在现实生活中是到处存在的。

（设计意图：自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”。创造和谐积极的学习气氛。进而利用章头引言向学生简要介绍本章的主要内容及学生学完后应达到的目标。）

2.以讲故事的形式展现歌德巴赫猜想。

（设计意图：一是吸引学生的注意；二是分解了哥德巴赫猜想中的难点；三是从这故事中提示了归纳推理的主要内涵。）

（二）抽象思维，形成概念

1.归纳推理的思维过程：几个事实→一种观察→一般观点→从头核对→提出猜想。（由歌德巴赫猜想的过程归纳出来）

2.归纳推理的概念：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般结论（简称归纳）。（部分推出整体，个别推出一般）

3.学生分小组讨论：

将学生划分为两大部分，一部分讨论生活中运用归纳推理例子，一部分讨论学科学习中使用归纳推理的例子。学生举例之后教师总结。

（设计意图：分组讨论降低了概念学习的难度，使学生能够更多的围绕重点展开探索和研究。）

（三）初步应用，巩固概念

1.利用两道国家公务员行政能力测试试题的解决及一个拼图游戏，让学生初步运用归纳推理。

（1）.观察规律 13，15，18，22，（ ? ）答案：B

A.25 　 B.27 　 C.30 　D.34

（2）下面?处应是什么样的图形? 答案：C

（3）

观察拼图得猜想：1+3+5+7+…+(2n-1)=n2

（设计意图：前两题分别通过对数、形的观察，可以归纳出下一个结果。拼图游戏让学生从图形语言、文字语言、数学语言相互转化中观察到共性，发现规律。）

2.例1：(1)已知数列{an}的第一项a1=1，且an+1=(n=1,2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式。（提醒：观察项与序号的对应关系）

(2)由(1)知an =，若Sn =++…+(n=1,2,3,…),试归纳出{Sn}这个数列的通项公式。

（设计意图：①如果不能得出观察结果，可以多列出几项；②观察要根据题意，既要有明确的目标；③为了有利于观察，有时需要做适当的变形以更突出共性。）

例2：足球有12块黑皮子，20块白皮子，黑皮是五边形，白皮是六边形，我终于数清它有60个顶点，可棱数始终没数清楚。“复杂的多面体有许多面、顶点和棱”，这是多面体给人们最初的印象，那么面数、顶点数、棱数有没有什么关系呢？如果有关系就可以帮助弄清楚棱数了。

师生活动：学生数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.（发现欧拉公式）

（设计意图：通过两个例题，让学生体会归纳推理的一般步骤，进一步感受归纳推理的作用。通过第二题让学生感受归纳推理起到了能够提供研究方向的作用，培养学生进行归纳推理的能力。）

（四）感受猜想完善思维

1.练习

⑴观察：

sin230°+ sin290°+ sin2150°=，sin25°+ sin265°+ sin2125°=

由上面两式结构规律，你可以归纳猜想

⑵已知两个圆①x2+y2=1与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程;两个圆③(x-2)2+(y-3)2=2与④(x-1)2+(y+1)2=2则由③式减去④式可得上述两圆的对称轴方程;两个圆⑤(x+5)2+(y-3)2=7与⑥(x-2)2+y2=7则由⑤式减去⑥式可得上述两圆的对称轴方程;由上面命题的结构规律，可以归纳猜想一个更一般的命题为 。

⑶合作学习

对自然数n,f(n)=n2-n+11，计算f(0),f(1),f(2)，…，f(7)的值,同时作出归纳推理，你有什么猜想？（学生互相讨论）

（设计意图：合作学习有助于观察的多种方式的呈现，通过学生多角度的观察所得到结论的交流，让学生感受数学美和发现规律的喜悦，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律。同时让学生感受到只要做个有心人，发现规律并非难事。鼓励学生多角度的观察，大胆的猜测和探究，培养学生的观察能力，同时感受归纳推理出来的有的结论是错误的）

2.介绍费马猜想：已知2+1=5, 2+1=17, 2+1=257, 2+1=65537都是质数，运用归纳推理你能得出什么样的结论？ 半个世纪后欧拉发现2+1=4294967297=647×

6700417. 说明了什么？后来人们又发现2+1, 2+1, 2+1都是合数，你们又能得到什么样的结论？

（设计意图：让学生在解决问题的过程中发现归纳推理需要检验过程，从而自我修正归纳推理的一般步骤。教师生动讲述欧拉发现第五个费马数的过程，激发学生的好奇心与求知欲，让学生知道大数学家的归纳推理猜想也可能是错的，让学生接受数学文化的熏陶，感受归纳推理的魅力；同时，通过“猜想——验证——再猜想”说明科学的进步与发展处在一个螺旋上升的过程。）

3.归纳推理的作用

（1）发现新事实 （2）提供研究方向

六、目标检测设计

演绎推理导学案

§2.1.2演绎推理
学习目标
1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；
2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.

学习过程
一、课前准备
复习1：归纳推理是由到的推理.
类比推理是由到的推理.
复习2：合情推理的结论.

二、新课导学
※学习探究
探究任务一：演绎推理的概念
问题：观察下列例子有什么特点？
（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以；

（2）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以；

（3）三角函数都是周期函数，是三角函数，所以；

（4）两条直线平行，同旁内角互补.如果A与B是两条平行直线的同旁内角，那么.

新知：演绎推理是

的推理.简言之，演绎推理是由到的推理.

探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？

所有的金属都导电铜是金属铜能导电

已知的一般原理特殊情况根据原理，对特殊情况做出的判断

大前提小前提结论

新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：
大前提——；

小前提——；

结论——.
新知：用集合知识说明“三段论”：
大前提：
小前提：
结论：

试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（4）写成“三段论”的形式.

※典型例题
例1命题：等腰三角形的两底角相等
已知：
求证：
证明：

把上面推理写成三段论形式：

变式：已知空间四边形ABCD中，点E,F分别是AB,AD的中点，求证：EF平面BCD

例2求证：当a1时，有

动手试试：1证明函数的值恒为正数。

2下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？
所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）
菱形是所有边长都相等的凸多边形，（小前提）
菱形是正多边形.（结论）
小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确.

三、总结提升
※学习小结
1.合情推理；结论不一定正确.

2.演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.

3应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.因为指数函数是增函数，是指数函数，则是增函数.这个结论是错误的，这是因为

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

2.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”
结论显然是错误的，是因为
A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

3.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为
A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

4.归纳推理是由到的推理；
类比推理是由到的推理；
演绎推理是由到的推理.
课后作业
1.运用完全归纳推理证明：函数的值恒为正数。