高一上册数学《子集全集补集》重难点解析人教版。

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高一上册数学《子集全集补集》重难点解析人教版

子集

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(任意aA则aB)，那么集合A称为集合B的子集，记为AB或BA，读作集合A包含于集合B或集合B包含集合A。

即：aA有aB，则AB。

延伸

根据子集的定义，我们知道AA。也就是说，任何一个集合是它本身的子集。

对于空集，我们规定A，即空集是任何集合的子集。

真子集

如果集合A是B的子集，且AB，即B中至少有一个元素不属于A，那么A就是B的真子集，可记作：AB。

如上面的文氏图中，集合A就是集合B的真子集。

全集

任意集合都可能是全集。当研究一个特定集合的时候，这个集合就是全集。若研究实数，则所有实数的集合实数线R就是全集。这是康托尔在1870年代和1880年代运用实分析第一次发展现代朴素集合论和集合的势的时候默认的全集。康托尔一开始只关心R的子集。

这种全集概念在文氏图的应用中有所反映。在文氏图中，操作传统上发生在一个表示全集U的大长方形中。集合通常表示为圆形，但这些集合只能是U的子集。集合A的补集则为长方形中表示A的圆形的外面的部分。严格地说，这是A对U的相对补集UA;但在U是全集的场合下，这可以被当成是A的绝对补集A。同样的，有空交集的概念，即零个集合的交集(指没有集合，而不是空集)。没有全集，空交集将是所有东西组成的集合，这一般被认为是不可能的;但有了全集，空交集可以被当成是有条件(即U)下的所有东西组成的集合。

这种惯例在基于布尔格的代数方法研究基础集合理论时非常有用。但对公理化集合论的一些非标准形式并非如此，例如新基础集合论，这里所有集合的类并不是布尔格，而仅仅是相对有补格。相反，U的幂集，即U的所有子集组成的集合，是一个布尔格。上述的绝对补集是布尔格中的补运算;而空交集U则作为布尔格中的最大元(或空交)。这里，适用于补运算、交运算和并运算(集合论中的并集)的德摩根律成立，而且对空交和空并(即空集)也成立。

补集

在集合论和数学的其他分支中，存在补集的两种定义：相对补集和绝对补集。相对补集：若A和B是集合，则A在B中的相对补集是这样一个集合：其元素属于B但不属于A，B-A={x|xB但xA}。

绝对补集：若给定全集S，有AS，则A在S中的相对补集称为A的绝对补集(或简称补集)，写作SA。

注意：学习补集的概念，首先要理解全集的相对性，补集符号SA有三层含义：

A是U的一个子集，即A

SA表示一个集合，且UA

SA是由S中所有不属于A的元素组成的集合，SA与A没有公共元素，U中的元素分布在这两个集合中;

全集是一个相对的概念，只包含所研究问题中所涉及的所有元素，补集只相对于相应的全集而言，如：我们在整数范围内研究问题，则Z为全集，而当问题拓展到实数集时，则R为全集，补集也只是相对于此而言。

相关知识

子集、全集、补集（2）

1.2子集、全集、补集（2）
教学目标：
1．使学生进一步理解集合及子集的意义，了解全集、补集的概念；
2．能在给定的全集及其一个子集的基础上，求该子集的补集；
3．培养学生利用数学知识将日常问题数学化，培养学生观察、分析、归纳等能力．

教学重点：
补集的含义及求法．
教学重点：
补集性质的理解．

教学过程：
一、问题情境
1．情境．
（1）复习子集的概念；
（2）说出集合{1，2，3}的所有子集．
2．问题．
相对于集合{1，2，3}而言，集合{1}与集合{2，3}有何关系呢？
二、学生活动
1．分析、归纳出全集与补集的概念；
2．列举生活中全集与补集的实例．
三、数学建构
1．补集的概念：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为A(读作“A在S中的补集”)，即A＝{x｜x∈S，且xA}，A可用右图表示．

2．全集的含义：如果集合S包含我们研究的各个集合，这时S可以看作一个全集，全集通常记作U．
3．常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*，整数集Z，有理数集Q，实数集R．则无理数集可表示为Q．
四、数学运用
1．例题．
例1已知全集S＝Z，集合A＝{x|x＝2k，kZ}，B＝{x|x＝2k＋1，kZ}，分别写出集合A，B的补集SA和SB．
例2不等式组2x－1＞13x－6≤0的解集为A，S＝R，试求A及A，并把它们表示在数轴上．
例3已知全集S＝{1，2，3，4，5}，A＝{x∈S｜x2－5qx＋4＝0}．
（1）若A＝S，求q的取值范围；
（2）若A中有四个元素，求A和q的值；
（3）若A中仅有两个元素，求A和q的值．
2．练习：
（1）A在S中的补集等于什么？即(A)＝．
（2）若S＝Z，A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，则A＝，B＝．
（3）＝，S＝．
五、回顾小结
1．全集与补集的概念；
2．任一集合对于全集而言，其任意子集与其补集一一对应．
六、作业
教材第10页习题3，4．

1.2子集、全集、补集

1.2子集、全集、补集

教学目的：通过本小节的学习，使学生达到以下要求：

(1)了解集合的包含、相等关系的意义；(2)理解子集、真子集的概念；

(3)理解补集的概念；(4)了解全集的意义．

教学重点与难点：本小节的重点是子集、补集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。

教学过程:

第一课时

一提出问题:现在开始研究集合与集合之间的关系.

存在着两种关系:“包含”与“相等”两种关系.

二“包含”关系—子集

1.实例:A={1,2,3}B={1,2,3,4,5}引导观察.

结论:对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,

则说:集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作AB(或BA)

也说:集合A是集合B的子集.

2.反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB(或BA)

注意:也可写成；也可写成；也可写成；也可写成。

3.规定:空集是任何集合的子集.φA

三“相等”关系

1.实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

2.①任何一个集合是它本身的子集。AA

②真子集：如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作

③空集是任何非空集合的真子集。

④如果AB,BC,那么AC

证明：设x是A的任一元素，则xA

AB,xB又BCxC从而AC

同样；如果AB,BC,那么AC

⑤如果AB同时BA那么A=B

四例题：

例一写出集合{a,b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.

例二解不等式x-32,并把结果用集合表示出来.

练习P9

例三已知，问集合M与集合P之间的关系是怎样的？

例四已知集合M满足

五小结：子集、真子集的概念，等集的概念及其符号

几个性质：AA

AB,BCAC

ABBAA=B

作业：P10习题1.21,2,3

高一数学教案：《子集、全集、补集 》教学设计

高一数学教案：《子集、全集、补集 》教学设计

教学目标：

（1）理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念；

（2）了解全集、空集的意义，

（3）掌握有关子集、全集、补集的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力；

（4）会求已知集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集；

（5）能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形（文氏图）准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想；

（6）培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力．

教学重点：子集、补集的概念

教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别

教学用具：幻灯机

教学过程设计

（一）导入新课

上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识．

【提出问题】（投影打出）

已知 ， ， ，问：

1．哪些集合表示方法是列举法．

2．哪些集合表示方法是描述法．

3．将集M、集从集P用图示法表示．

4．分别说出各集合中的元素．

5．将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来．将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来．

6．集M中元素与集N有何关系．集M中元素与集P有何关系．

子集、全集、补集·典型例题

每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，大家在细心筹备教案课件中。我们制定教案课件工作计划，才能在以后有序的工作！哪些范文是适合教案课件？下面是小编为大家整理的“子集、全集、补集·典型例题”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

子集、全集、补集·典型例题

能力素质

例1判定以下关系是否正确

(2){1，2，3}＝{3，2，1}

(4)0∈{0}

分析空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

解根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．

说明：含元素0的集合非空．

例2列举集合{1，2，3}的所有子集．

分析子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个．

含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；

含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；

含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．

________．

分析A中必含有元素a，b，又A是{a，b，c，d}真子集，所以满足条件的A有：{a，b}，{a，b，c}{a，b，d}．

答共3个．

说明：必须考虑A中元素受到的所有约束．

[]

分析作出4图形．

答选C．

说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便．

点击思维

例5设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系式中正确的是

[]

分析问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上

x＝5－4a＋a2＝(2－a)2＋1≥1，

y＝4b2＋4b＋2＝(2b＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A＝B．

答选A．

说明：要注意集合中谁是元素．

M与P的关系是

[]

A．M＝UPB．M＝P

分析可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：M＝UN＝U(UP)＝P；三是利用画图的方法．

答选B．

说明：一题多解可以锻炼发散思维．

例7下列命题中正确的是

[]

A．U(UA)＝{A}

分析D选择项中A∈B似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支．

是由这所有子集组成的集合，集合A是其中的一个元素．

∴A∈B．

答选D．

说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意．

例8已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C．

分析逆向操作：A中元素减2得0，2，4，6，7，则C中元素必在其中；B中元素加2得3，4，5，7，10，则C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7．

答C＝{4}或{7}或{4，7}．

说明：逆向思维能力在解题中起重要作用．

学科渗透

例9设S＝{1，2，3，4}，且M＝{x∈S|x2－5x＋p＝0}，若SM＝{1，4}，则p＝________．

分析本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于SM＝{1，4}，

∴M＝{2，3}则由韦达定理可解．

答p＝2×3＝6．

说明：集合问题常常与方程问题相结合．

例10已知集合S＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|a＋1|，2}，SA＝{a＋3}，求a的值．

S这个集合是集合A与集合SA的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．

解由补集概念及集合中元素互异性知a应满足

在(1)中，由①得a＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去．

在(2)中，由①得a＝－3，a＝2，分别代入②③④检验，a＝－3不合②，故舍去，a＝2能满足②③④．故a＝2符合题意．

说明：分类要做到不重不漏．

高考巡礼

[]

A．M＝N

D．M与N没有相同元素

分析分别令k＝…，－1，0，1，2，3，…得

答选C．

说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性