三角形的内切圆。

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4.5三角形的内切圆

【教师寄语】真正的聪明是能够忍辱负重。真正的智慧是懂得蓄势待发。真正的成功是最后掌声四起。真正的阶梯是永远拼搏！

【学习目标】

1.理解三角形内切圆的概念，掌握三角形内切圆的性质，能准确辨析内心和外心的不同

2.掌握画三角形的内切圆的方法，能借助三角形内切圆的性质解决有关几何问题。

3.应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心。

【学习过程】

一、情境创设

试一试：

一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮。

分析：①让学生展开讨论，教师指导学生发现，实际上是作一个圆，使它和已知三角形铁皮的各边都相切．

②让学生展开充分的讨论，如何确定这个圆的圆心及半径？

③在此基础上，由学生形成作图题的完整过程。

二、探求新知

⒈本课知识点：

⑴和三角形各边都相切的圆叫做，叫做三角形的内心，这个三角形叫做．

⑵分别画出直角三角形和钝角三角形的内切圆．

小结：①一个三角形的内切圆是唯一的；

②内心与外心类比：

名称确定方法图形性质

外心三角形三边中垂线的交点

（1）OA=OB=OC；

（2）外心不一定在三角形的内部．

内心三角形三条角平分线的交点

（1）到三边的距离相等；

（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；

（3）内心在三角形内部．

⒉例题学习

例1、如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相

切于点D、E、F,∠B=60°,∠C=70°.求∠EDF的度数。

三.再攀高峰

探究活动一问题：如图，有一张三角形纸片，其中BC=6cm，AC=8cm，∠C=90°．今需在△ABC中剪出一个半圆，使得此半圆直径在三角形一边上，并且与另两边都相切，请设计出所有可能方案，并通过计算说明如何设计使得此半圆面积最大，最大为多少？

探究活动二问题：如图1，有一张四边形ABCD纸片，且AB=AD=6cm，CB=CD=8cm，∠B=90°．

（1）要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能请你度量出圆的半径；

（2）计算出最大的圆形纸片的半径（要求精确值）．

四、达标测试

1．如图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）

A．40°B．55°C．65°D．70°

图1图2图3

2．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°则∠DOE=（）

A．70°B．110°C．120°D．130°

3．如图3，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（）

A．112.5°B．112°C．125°D．55°

4．下列命题正确的是（）

A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B．三角形的内心不一定在三角形的内部

C．等边三角形的内心，外心重合D．一个圆一定有唯一一个外切三角形

5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（）

A．1.5，2.5B．2，5C．1，2.5D．2，2.5

6．如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．

（1）求证：BF=CE；

（2）若∠C=30°，CE=2，求AC的长．

7．如图，⊙I切△ABC的边分别为D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，M是上的动点（与D，E不重合），∠DMF的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由．

五、非常演练

1．如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（）

A．（）nRB．（）nRC．（）n－1RD．（）

2．阅读材料：如图（1），△ABC的周长为L，内切圆O的半径为r，连结OA，OB，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．

∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA

又∵S△OAB=ABr，S△OBC=BCr，S△OCA=ACr

∴S△ABC=ABr+BCr+CAr

=Lr（可作为三角形内切圆半径公式）

（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5，12，13的三角形内切圆半径；

（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（2）且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；

（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，…an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．

六、课堂小结

通过本节课的学习，

你认为要重点掌握的知识是_____________________________________________________，

在学习的过程中你的困惑有_____________________________________________________，

你对自己本节课的表现满意的地方是_____________________________________________。

延伸阅读

九年级数学竞赛从三角形的内切圆谈起强化辅导讲座

每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，大家在用心的考虑自己的教案课件。教案课件工作计划写好了之后，这样接下来工作才会更上一层楼！有没有好的范文是适合教案课件？小编特地为大家精心收集和整理了“九年级数学竞赛从三角形的内切圆谈起强化辅导讲座”，仅供您在工作和学习中参考。

注：设Rt△ABC的各边长分别为a、b、c(斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式：
(1)；
(2)．
请读者给出证
【例题求解】
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°°，BC=5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为．
思路点拨AF=AD，BE=BD，连OE、OF，则OECF为正方形，只需求出AF(或AD)即可．

【例2】如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点(异于A、B)，过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON，NP，下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP：③DPPC为定值；④FA为∠NPD的平分线，其中一定成立的是()
A．①②③B．②③④C．①③④D．①④
思路点拨本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出NP∥AD∥BC是解本例的关键．

【例3】如图，已知∠ACP=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D三点的圆交AB于F，求证：F为△CDE的内心．
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨连CF、DF，即需证F为△CDE角平分线的交点，充分利用与圆有关的角，将问题转化为角相等问题的证明．

【例4】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，以AB为直径作半圆O切CD于E，连结OE，并延长交AD的延长线于F．
(1)问∠BOZ能否为120°，并简要说明理由；
(2)证明△AOF∽△EDF，且；
(3)求DF的长．

思路点拨分解出基本图形，作出基本辅助线．(1)若∠BOZ=120°，看能否推出矛盾；(2)把计算与推理融合；(3)把相应线段用DF的代数式表示，利用勾股定理建立关于DF的一元二次方程．

注：如图，在直角梯形ABCD中，若AD+BC=CD，则可得到应用广泛的两个性质：
(1)以边AB为直径的圆与边CD相切；
(2)以边CD为直径的圆与边AB相切．
类似地，三角形三条中线的交点叫三角形的重心，三角形三边高所在的直线的交点叫三角形的垂心．外心、内心、垂心、重心统称三角形的四心，它们处在三角而中的特殊位置上，有着丰富的性质，在解题中有广泛的应用．
【例5】如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是△ABC；△ACD、△BCD的角平分线的交点，求证：(1)O1O⊥CO2；(2)OC=O1O2．
(武汉市选拔赛试题)
思路点拨在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，所以通过证交角为90°的方法得两线垂直，又利用全等三角形证明两线段相等．

学力训练
1．如图，已知圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于=cm．
2．如图，在直角，坐标系中A、B的坐标分别为(3，0)、(0，4)，则Rt△ABO内心的坐标是．
3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB=8，BC=5，若以AB为直径的⊙O与DC相切于E，则DC=．(云南省曲靖市中考题)

4．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径等于()
A．B．C．D．
(重庆市中考题)
5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，以CD为直径的半圆O切AB于点E，这个梯形的面积为21cm2，周长为20cm，那么半圆O的半径为()
A．3cmB．7cmC．3cm或7cmD．2cm
6．如图，△ABC中，内切圆O和边B、CA、AB分别相切于点D、EF，则以下四个结论中，错误的结论是()
A．点O是△DEF的外心B．∠AFE=(∠B+∠C)
C．∠BOC=90°+∠AD．∠DFE=90°一∠B
7．如图，BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，切点分别为B、P，过C点的切线与AD交于点D，连结AO、DO．
(1)求证：△ABO∽△OCD；
(2)若AB、CD是关于x的方程的两个实数根，且S△ABO+S△OCD=20，求m的值．

8．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连结AD并延长，BC相交于点E．
(1)若BC=，CD=1，求⊙O的半径；
(2)取BE的中点F，连结DF，求证：DF是⊙O的切线；
(3)过D点作DG⊥BC于G，OG与DG相交于点M，求证：DM＝GM．
9．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1cm／秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2cm／秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．
(1)求⊙O的直径；
(2)求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCP的面积；
(3)是否存在某时刻t，使直线PQ与⊙O相切，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(2002年烟台市中考题)
10．已知在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD为AB上的高，Ol、O2分别为△ACD、△BCD的内心，则OlO2=．
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分线相交于P点，又PE⊥AB于点E，若BC=2，AC=3，则AEEB=．
12．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的()
A．内心B．外心C．圆心D．重心
13．如图，AD是△ABC的角平分线，⊙O过点AB和BC相切于点P，和AB、AC分别交于点E，F，若BD=AE，且BE=a，CF=b，则AF的长为()
A．B．C．D．
14．如图，在矩形ABCD中，连结AC，如果O为△ABC的内心，过O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD于F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为()
A．B．C．D．不能确定
(《学习报》公开赛试题)
15．如图，AB是半圆的直径，AC为半圆的切线，AC=AB．在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB于点F，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F．
(1)设AD是x°的弧，并要使点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是；
(2)不论D点取在半圆什么位置，图中除AB=AC外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予证明．
16．如图，△ABC的三边满足关系BC=(AB+AC)，O、I分别为△ABC的外心、内心，∠BAC的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H．
求证：(1)AI=BD；(2)OI=AE．

17．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点F，问EP与PD是否相等?证明你的结论．

18．如图，已知点P在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的AB(不含端点)上运动，PH⊥OA于H，△OPH的重心为G．
(1)当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中有无长度保持不变的线段?如果有，请指出并求出其相应的长度；
(2)设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围；
(3)如果△PGH为等腰三角形，试求出线段PH的长．

三角形的边

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7.1.1三角形的边
教学目标
1.认识三角形,了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形.
2.经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形三边不等的关系.
3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法,并能运用它解决有关的问题.
4.帮助学生树立几何知识源于客观实际,用客观实际的观念,激发学生学习的兴趣.
重点、难点
重点:
1.对三角形有关概念的了解,能用符号语言表示三条形.
2.能从图中识别三角形.
3.通过度量三角形的边长的实践活动,从中理解三角形三边间的不等关系.
难点:
1.在具体的图形中不重复,且不遗漏地识别所有三角形.
2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形.
教学过程
一、看一看
1.投影:图形见章前P68-69图.
教师叙述:三角形是一种最常见的几何图形之一.(看条件许可,可以把古埃及的金字塔、飞机、飞船、分子结构……的投影,给同学放映)从古埃及的金字塔到现代的飞机、上天的飞船,从宏大的建筑如P68-69的图,到微小的分子结构,处处都有三角形的身影.结合以上的实际使学生了解到:我们所研究的“三角形”这个课题来源于实际生活之中.
学生活动:(1)交流在日常生活中所看到的三角形.
(2)选派代表说明三角形的存在于我们的生活之中.
2.板书:在黑板上老师画出以下几个图形.
(1)教师引导学生观察上图:区别三条线段是否存在首尾顺序相接所组成的.图(1)三条线段AC、CB、AB是否首尾顺序相接.(是)
(2)观察发现,以上的图,哪些是三角形?
(3)描述三角形的特点:
板书:“不在一直线上三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”.
教师提问:上述对三角形的描述中你认为有几个部分要引起重视.
学生回答:
a.不在一直线上的三条线段.
b.首尾顺次相接.
二、读一读
指导学生阅读课本P71,第一部分至思考,一段课文,并回答以下问题:
(1)什么叫三角形?
(2)三角形有几条边?有几个内角?有几个顶点?
(3)三角形ABC用符号表示________.
(4)三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为________.
三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点,三角形ABC用符号表示为△ABC,三角形ABC的三边,AB可用边AB的所对的角C的小写字母c表示,AC可用b表示,BC可用a表示.
三、做一做
画出一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?
同学们在画图计算的过程中,展示议论,并指定回答以上问题:
(1)小虫从B出发沿三角形的边爬到C有如下几条路线.
a.从B→C
b.从B→A→C
(2)从B沿边BC到C的路线长为BC的长.
从B沿边BA到A,从A沿边C到C的路线长为BA+AC.
经过测量可以说BA+ACBC,可以说这两条路线的长是不一样的.
四、议一议
1.在用一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么关系?
2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么关系?
3.三角形三边有怎样的不等关系?
通过动手实验同学们可以得到哪些结论?
三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
五、想一想
三角形按边分可以,分成几类?按角分呢?
(1)三角形按边分类如下:
三角形不等三角形
等腰三角形底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
(2)三角形按角分类如下:
三角形直角三角形
斜三角形锐角三角形
钝角三角形
六、练一练
有三根木棒长分别为3cm、6cm和2cm,用这木棒能否围成一个三角形?
分析:(1)三条线段能否构成一个三角形,关键在捡判定它们是否符合三角形三边的不等关系,符合即可的构成一个三角形,看不符合就不可能构成一个三角形.
(2)要让学生明确两条木棒长为3cm和6cm,要想用三根木棒合起来构成一个三角形,这第三根木棒的长度应介于3cm和8cm之间,由于它的第三根木棒长只有2cm,所以不可能用这三条木棒构成一个三角形.
错导:∵3cm+6cm2cm
∴用3cm、6cm、2cm的木棒可以构成一个三角形.
错因:三角形的三边之间的关系为任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,这里3+62,没错,可6-3不小于2,所以回答这类问题应先确定最大边,然后看小于最大量的两量之和是否大于最大值,大时就可构成,小时就无法构成.
七、忆一忆
今天我们学了哪些内容:
1.三角形的有关概念(边、角、顶点)
2.会用符号表示一个三角形.
3.通过实践了解三角形的三边不等关系.
八、作业
1.课本P71练习1.2,P75练习7.11.2.
2.补充：如图，线段、相交于点，能否确定与的大小，并加以说明．

三角形的外角

一、课题：7.2.2三角形的外角

二、学习目标：

㈠知识与技能：1.理解三角形的外角的定义；

2.掌握三角形的内角和外角的关系。

㈡过程与方法：1.通过剪、拼的方法猜想归纳出“三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。”，然后再证明这个结论，使学生体会到从实验猜想归纳证明得出结论的科学探究方法。

2.在学生操作、观察、思考和交流和过程中,丰富学生的生活，激发学生进一步探索知识的热情。

㈢情感、态度与价值观：通过动手操作，使学生在学习活动中学会合作，培养其相互协作意识及数学表达能力，体验探索、交流与成功。

三、教学重难点：1.重点：三角形的内角与外角的关系。

2.难点：外角定理的论证过程。

四、课时：第二课时课型：新授课。

五、教学准备:多媒体课件、三角形纸板、剪纸刀。

六、教学过程：

㈠、创设情景，导入新课

每天清晨，小明同学都到市民广场去跑步，市民广场是一个三角形形状的广场，小明每天沿着这个广场边缘的小路，按逆时针方向跑步(如图)，小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪些角？

㈡、观察归纳，学习新知

活动一：

1.做一做：画△ABC把它的BC边延长，得到∠ACD。

2.观察：

∠ACD的特征：①∠ACD的顶点是；

②一边AC是；

③另一边CD是。

3.归纳定义：

三角形的外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角。

4.思考：

以某三角形的一个顶点为顶点的外角有个，它们互为；因此，一个三角形有个外角。

㈢、合作交流，解读探究

活动二：

探索三角形的外角与内角的关系

问题1：∠ACD与它相邻的内角∠ACB是什么关系？

问题2：在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，你能求出∠ACD吗？

问题3：在△ABC中，∠ACD与∠A与∠B是什么关系呢？

A

B

C

D

活动三：

在△ABC中，∠ACD是一个外角，为什么∠ACD=∠A＋∠B？

方法一：(利用三角形内角和定理)

∵∠ACB＋∠A＋∠B=180°(三角形的内角和为180°)

∠ACB＋∠ACD=180°(邻补角定义)

∴∠ACD=∠A＋∠B(等量代换)

方法二：(利用平行线)

过C作CE∥AB

则∠1=∠A(两直线平行,内错角相等)

∠2=∠B(两直线平行,同位角相等)

∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B(等量代换)

活动四：

比较∠ACD与∠A、∠B的大小。

A

B

C

D

活动五：归纳三角形外角的性质：

1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补；

2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

3.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

活动六：巩固练习

课本P81练习;

㈣课时小结

本节课你学到了哪些知识?

1.三角形外角的定义。

2.三角形外角的性质。

㈤、课后作业

活动七：

必做题：P82～83习题7.2中第5、6、8三题；

选做题：P83习题7.2中第9题。

七、板书设计：

7.2.2三角形的外角

一、三角形外角的概念

二、探究三角形的外角与不相邻的内角间的关系

（投影区）

八、教学反思：