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溶液的有关计算。

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溶液的有关计算

考点说明

1．掌握溶液质量、体积、密度、溶质质量分数之间的计算；

2．掌握溶液的稀释与浓缩，相同溶质的不同溶液相混合等过程中的计算。

知识整理

计算类型

依据

内容

计算式

1.基本计算

溶质的质量分数的概念

m水、m质、m液及ω互换

ω＝（m质/m液）×100％

＝[m质/(m质+m水)]×100％

2.与溶液密度有关的溶质的质量分数的计算

溶液密度与溶质的质量分数概念

ρ、m质、m液及ω计算

ω＝m质/（ρ·V液）×100%

3.稀释计算

稀释前后溶质的质量相等

溶液加水稀释计算

m1×ω＝[m1+m水]×ω2

1．溶质的质量分数表示溶质在溶液里的相对含量。当溶液的质量一定时，溶质的质量越大，溶质的质量分数也越大；当溶质的质量一定时，溶液的质量越大，溶质的质量分数就越小。

计算时的注意点：

（1）溶质的质量分数是质量比而不是体积比，若是体积，必须先用物理公式ρ＝m/v进行换算，然后计算；

（2）在运算过程中，质量的单位要统一；

（3）因为通常溶液均为水溶液，所以溶质应为无水的物质；能与水反应的物质，其溶质应是反应后的生成物，而不是原来加入的物质，因此计算时应先算出反应后的生成物的质量。

2．溶液的稀释与浓缩的计算

溶液中溶质质量分数增大的方法有两种：一是加溶质，另一种是蒸发溶剂（即浓缩）。溶液稀释的方法是加溶剂。

经典例题

例1.将100mL98％的浓硫酸（密度为1.84g/mL）缓缓倒入100mL水中，搅拌均匀，计算所得溶液中溶质的质量分数。

【分析】该题是将浓溶液稀释成稀溶液，可根据稀释前后溶质质量不变的原则进行计算。应注意先将溶液体积换算成溶液的质量。

浓硫酸的质量＝100mL×1.84g/mL=184g

浓硫酸中溶质的质量＝184g×98%=180.32g

稀硫酸的质量是浓硫酸质量加上水的质量184g+100mL×1g/mL=284g

ω(H2SO4)=(180.32g/284g)×100%=63.5%

【答案】稀释后浓硫酸溶液中硫酸的质量分数为63.5%。

例2.常温下将10g下列固体与90g水充分混合，所得溶液的溶质质量分数最小的是

A.胆矾B.氧化钙C.氧化钠D.硝酸钾（）

【分析】计算溶液中溶质的质量分数关键在于判断溶液中溶质是什么，同时求出溶质和溶液的质量各是多少。

物质溶解在水中有下列几种情况需要考虑：①物质在溶解时没有生成新物质且该不含有结晶水，溶质为物质本身，如KNO3,其质量分数等于[10g/(10g+90g)]×100%=10%；②结晶水合物溶于水，溶质应为无水物，结晶水成为溶剂的一部分，如CuSO4·5H2O,这种情况溶质的质量减少了，故溶质质量分数小于10％；③物质溶解时发生化学变化，生成了新物质，溶质为生成物，如Na2O溶于水，溶质质量为NaOH，溶质的质量分数10％；④溶质质量分数还受溶解度的影响，如常温下将10g氧化钙溶于90g水充分混合，虽然CaO与水混合后溶液中溶质为Ca(OH)2,但其质量分数却比胆矾溶液水所得溶液得溶质质量分数小，这是因为CaO溶于水生成的Ca(OH)2微溶于水，只有极少量的Ca(OH)2溶解于水。

【答案】B

例3.一定量溶质质量分数为8％的食盐水蒸发掉50g水后，溶质质量分数增大一倍，则原溶液中溶质的质量为（）

A.8gB.6.4gC.3.2gD.4g

【分析】欲使某溶液中溶质质量分数增大一倍，在恒温下蒸发掉的溶剂质量应等于原溶液质量的一半，故本题蒸发50g水以前溶液的质量为100g，故溶质质量为100g×8％＝8g。

【答案】A

自主检测

一、选择题（每小题均只有1个正确答案）

1.从100g10%NaCl的溶液中倒出10g，则剩下的90gNaCl溶液中溶质的质量分数为

A.1%B.90%C.10%D.11.1%（）

2.将100mL水（密度为1g/cm3）与100mL酒精（密度为0.81g/cm3）混合均匀，所得溶液这溶质的质量分数为()

A.40%B.50%C.44.4%D.无法判断

3.将400g溶质质量分数20%的NaCl溶液稀释成溶质质量分数为16%的NaCl溶液，需加入水()

A.100gB.200gC.400gD.800g

4.向溶质质量分数为24%的KCl溶液中加入120水后，溶质的质量分数减小为12%，则原溶液的质量为()

A.14.4gB.28.8gC.120gD.240g

5.40℃时，200g硝酸钾饱和溶液，蒸发掉20g水后，仍然冷却到40℃，则蒸发前后保持不变的是()

①溶液的质量②溶液中溶质的质量分数③溶剂的质量④溶质的质量⑤硝酸钾的溶解度

A.①②B.②③C.②⑤D.②④

6.某温度下，在100g溶质质量分数为30%的某物质的饱和溶液中，加入6g该物质和10g水充分搅拌后，所得溶液中溶质的质量分数是()

A.34%B.30%C.31%D.15%

7.在80g水中加入20gSO3，完全溶解后所得溶液中溶质的质量分数为()

A.20%B.24.5%C.25%D.80%

8.将10g某物质投入到90g水中，使之溶解后，所得溶液中溶质的质量分数()

A.一定等于10%B.一定大于10%

C.一定小于10%D.三种情况均可能

9.某同学用98%的浓硫酸配制一定质量10%的稀硫酸。在用量筒量取浓硫酸时，俯视读数，其他步骤均正确，该同学所配得的稀硫酸的质量分数（）

A.偏小B.偏大C.准确D.都有可能

10.对100g溶质质量分数为10%的某物质的溶液，分别进行如下操作：①蒸发掉10g水，无晶体析出②加入溶质质量分数为10%的同种溶质的溶液10g③加入10g同种溶质，且完全溶解④加入10g水。操作后的四种溶液的溶质质量分数由小到大的顺序是()

A.①②③④B.④②①③C.④③②①D.④②③①

11.欲使100g10％的盐酸溶液的质量分数增至20％，可采用的方法是（）

A.蒸发溶剂B.加入溶剂C.加入溶质D.降低温度

12.t℃时，分别将ag下列物质投入bg水中，使其完全溶解，则下列说法中不正确的是

①硝酸钾②氯化钠③三氧化硫④硫酸铜晶体（）

A.③溶液中溶质质量分数最大B.①、②溶液中溶质质量分数相等

C.③、④溶液中溶质质量分数不等D.④比①溶液中溶质质量分数小

二、填空题

13.将100g含水为98％的氯化钠溶液稀释为含水99％的氯化钠溶液，则加水g。

14.将20℃的硝酸钾饱和溶液（无硝酸钾晶体存在）升温至30℃，所得溶液中溶质的质量分数（填“增大”、“减小”或“不变”）

15.要配制50质量分数为20％的食盐溶液。现提供25质量分数为40％的食盐溶液、20质量分数为15％的食盐溶液及足量的固体食盐和水。请选用上述药品，设计三种配制方案填入下表：

配制方案（只要说明配制时所需要的各种药品的量）

方案一

方案二

方案三

三、计算题

16.将10.8g固体氢氧化钠溶于49.2g水中，配成密度为1.2g/cm3的溶液。

（1）求氢氧化钠溶液的溶质质量分数及该溶液的体积；

（2）若将上述氢氧化钠溶液稀释到16％，求需加水的质量。

1.C2.C3.A4.C5.C6.B7.B8.D9.A10.B11.C12.D13.10014.不变15.方案一：需10g食盐固体和40g水方案二：需25g质量分数为40％的食盐溶液和25g水方案三：需20g质量分数为15％的食盐溶液，7g食盐固体和23g水16.(1)18%50mL(2)7.5mL

扩展阅读

正多边形的有关计算

做好教案课件是老师上好课的前提，大家在用心的考虑自己的教案课件。在写好了教案课件计划后，才能更好的在接下来的工作轻装上阵！那么到底适合教案课件的范文有哪些？下面是小编帮大家编辑的《正多边形的有关计算》，仅供参考，欢迎大家阅读。

正多边形的有关计算(二)

1、复习正多边形的基本计算图，并会通过解一般直角三角形来完成正多边形的计算，解决实际应用问题；

2、通过正十边形的边长a10与半径R的关系的证明，学习边计算边推理的数学方法；

3、在基本计算图的基础上，能将同圆内接正n边形与外切正n边形的有关计算数据进行相互转化．

4、在解应用题时，使学生学会把实际问题抽象为数学问题，把实物抽象为几何图形的抽象能力；

5、根据条件进行正确迅速计算的运算能力；

6、用代数计算的结果作证明依据的综合、分析问题，解决问题的能力；

7、通过研究同圆内接正n边形与外切正n边形的关系，培养学生的观察能力．

教学重点：

(1)应用正多边形的基本计算图解决实际应用问题；

(2)用

边形与外切正n边形已知条件与未知元素的相互转化．

教学难点：

例3的证明

教学过程：

一、新课引入：

上节课我们根据正多边形的定义及其概念，运用将正多边形分割成三角形的方法，得到了化正多边形有关计算为解直角三角形问题基本计算图，并应用基本计算图解决诸如正三角形、正方形、正六边形的有关计算问题，即解决了含特殊角的正多边形的有关计算问题，本节课我们继续研究正多边形的有关计算问题．

正多边形的有关计算方法是基本的几何计算知识之一，掌握这些知识，一方面可以为学生进一步学习打好基础，另一方面，这些知识在生产和生活中常常会用到，掌握后对学生参加实践活动具有实用意义，为此本堂课讲解了几个正多边形有关计算的实例，借以培养学生用数学意识．

二、新课讲解：

展示正多边形的一般计算图7-144，提问以下问题让学生回忆并作答：

1．在Rt△AOD中，斜边R是正n边形的______；(安排中下生回答：半径)

2．直角边rn是正n边形的______；(安排中下生回答：边心距)

3．图中的an表示正多边形的什么？(安排中下生回答：边长)

4．图中的an表示正多边形的什么？(安排中下生回答：中心角)

哪位同学记得解这类题的一般步骤？(安排中下生回答：先画计算

度数是多少？(安排中下生回答：45°)

分析完后，安排学生计算出结果．

(幻灯给出应用题)：在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形，测得这个正五边形的边长是48cm，求它的半径R和边心距r5(精确到0.1cm)．

解：设正五边形为ABCDE，它的中心为点O，连接OA，作OF⊥AB，垂足为F，(问：这一步目的是什么？)则OA=R，OF=r5，∠AOF=？(安排学生回答：36°)

∴r5=24·ctg36°=24×1.3764≈33.0(cm)．

答：这个正多边形的半径约为40.8cm，边心距约为33.0cm．

正多边形的有关计算，在生产和生活中常常会用到，但将实际问题归结为正多边形的有关计算后，解题的步骤方法就依然如故了，本题拨禾轮问题与前题正方形的计算不是同出一辙吗？

巩固练习：教材P.173中7，要用圆形铁片截出边长a的正方形铁片，选用的圆铁片的直径最小要多长？

启发，提出下列问题：1．要截出边长为a的正方形铁片与选用的直径最小的圆铁片它们之间是什么关系？(安排中等生回答：正方形是圆的内接正方形)2．这题实质是给出了正方形的什么元素，求什么元素？(安排中下生回答：给出正方形边长求半径．)

请同学们以最快的速度，求出答案．

幻灯给出顶角36°的等腰三角形，作如下启发思考的提问：

1．如图7-146，已知△ABC中AB=AC，∠A=36°，哪位同学知道∠B与∠c的度数？(安排中下生回答)2．如果BD平分∠ABC交AC于D，你发现图形中与BC相等的线段有哪些？(安排中下生回答)3．你发现图形中哪两个三角形相似？(安排中等生回答)4．如果AC=a，BC应是多少？怎么计算？(安排学生讨论、研究)

(继续启发思考提问)：大家观察证明中BC2=DEAC这一步，因BC=AD，所以前等式变为AD2=DC·AC，也就是说点D将线段AC分为两部分，其中较长的线段AD是较小线段CD与全线段AC的比例中项，哪位同学记得点D应叫做线段AC的什么点？(安排回忆起来的学生回答：黄金分割点)由上面的证明我们知道AD应是AC的黄金分割线段，由于BC与AD相等，观察发现BC是顶角36°角的等腰三角形的底，AC是这等腰三角形的腰？通过上面证明哪位同学能说一下你所得的结论？(安排中上学生回答：顶角36°角的等腰三角形的底边长是它腰长的黄金分割线段)若腰长为a则底边长应是多少？(安排中等生回答：

1．哪位同学知道正十边形的中心角的度数是多少？(安排中下生回答：36°)2．大家想想看，正十边形的夹36°中心角的半径与边长组成一个什么图形？(安排中等生回答：顶角36°的等腰三角形)3．如果一个正十边形的半径为R，那么这个正十边形的边长a10应该等于多少？

幻灯供题：已知⊙O的内接正六边形的边长为2，求⊙O的外切正三角形的边长．

大家观察⊙O的半径OC，它与内接正六边形ABCDEF、外切正△MNP有什么联系？(安排中上学生回答：OC是内接正六边形的半径，它又是外切正△MNP的弦心距)由于正六边形的边长等于半径，知边长为2即知⊙O的半径R=2，而半径OC又是⊙O外切

通过这题你发现连接圆内接正n边形与圆外切正多边形的桥梁是什么？(安排中等学生回答：这个圆的半径R)这R是内接正n边形的半径又是同圆外切正多边形的边心距，所以解这类题的关键在于根据已知条件首先求出R，再将R转化求出未知元素．

三、课堂小结：

哪位同学能说一下，这堂课我们都学习了什么知识？(安排上等生归纳)

1．应用正多边形的有关计算解决实际问题．

3．明确了连接圆内接正n边形与同圆外切正多边形的桥梁是这个圆的半径，即它是内接正n边形的半径又是同圆外切正多边形的边心距，因此解决此类问题首先要求它．

四、布置作业

教材P.165中练习1；P.173中8；P.173中12(此题改为：求5孔心所在圆的半径)；P.173中8、9、10、11．

正多边形的有关计算(一)

老师会对课本中的主要教学内容整理到教案课件中，是认真规划好自己教案课件的时候了。只有规划好了教案课件新的工作计划，我们的工作会变得更加顺利！那么到底适合教案课件的范文有哪些？下面的内容是小编为大家整理的正多边形的有关计算(一)，仅供参考，希望能为您提供参考！

1、使学生学会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题．

2、通过定理的证明过程培养学生观察能力、推理能力、概括能力；

3、通过一定量的计算，培养学生正确迅速的运算能力；

教学重点：

化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理；正多边形计算图及其应用．

教学难点：

正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算．

教学过程：

一、新课引入：

前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质，今天我们来学习正多边形的有关计算．

大家知道正多边形在生产和生活中有广泛的应用性，伴随而来的有关正多边形计算问题必然摆在大家的面前，如何解决正多边形的计算问题，正是本堂课研究的课题．

二、新课讲解：

哪位同学回答，什么叫正多边形．(安排中下生回答：各边相等，各角相等的多边形．)

什么是正多形的边心距、半径？(安排中下生回答：正多边形内切圆的半径叫做边心距．正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．)

正多边形的边有什么性质、角有什么性质？(安排中下生回答：边都相等，角都相等．)

什么叫正多边形的中心角？(安排中下生回答：正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．)

正n边形的中心角度数如何计算？(安排中下生回答：中心角的度数

正n边形的一个外角度数如何计算？(安排中下生回答：一个外角度

哪位同学有所发现？(安排举手学生：正n边形的中心角度数=正n边形的一个外角度数．)

哪位同学记得n边形的内角和公式？(请回忆起来的学生回答)．

哪位同学能根据n边形内角和定理和正n边形的性质给出求正n边形一个内角度数的公式？(安排中下生回答：正n边形每个内角度数

正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角有何数量关系？(安排中下生回答：互补)．

根据正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角的互补关系和正n边形每个外角度数公式，正n边形每个内角度数又可怎样计算？(安排中

(幻灯展示练习题，学生思考，回答)

1．正五边形的中心角度数是______；每个内角的度数是______；

2．一个正n边形的一个外角度数是360°，则它的边数n=______，每个内角度数是______；

3．一个正n边形的一个内角的度数是140°，则它的边数n=______，中心角度数是______．

对于前2题安排中下生回答，对于第3题不仅要回答题目的答案而且要求回答思路．

解此方程n=9．

幻灯展示正三角形、正方形、正五边形、正六边形．如图7-138，让学生边观察、边回答老师依次提出的问题、边思考．

1．观察每个图形的半径，分别将它们分割成多少个什么样子的三角形？(安排中下生回答：等腰三角形)

2．观察每个图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？(安排中等生回答：全等，依据(S．S．S)或(S．A．S))

3．将上述四个图形的观察与思考推而广之，你得出了什么结论？哪位同学说说自己的想法(安排中上生回答：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形．)

套上幻灯片的复合片：作出各等腰三角形底边上的高，如图7-139，安排学生观察、思考并回答以下问题：

1．这些等腰三角形的每一条高都将每个等腰三角形分割为两个直角三角形，这两个直角三角形全等吗？为什么？(安排中下生回答)

2．这些等腰三角形的高在正多边形中的名称是什么？(安排中下生回答：边心距)

3．正n边形的n条半径、n条边心距将正n边形分割成全等直角三角形的个数是多少？(安排中等生回答：2n个)

给出定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形．

再套幻灯片的复合片，如图7-140，安排学生观察每个直角三角形都由正多边形的哪些元素组成．

安排中下生回答：直角三角形的斜边是正多边形的半径R、一条直角边是正多边形的边心距．另一直角边是正多边形边长的一半(在此安排中等生回答：为什么？)半径与边心距的夹角是正多边形一个中心角的一半．(安排中等生回答“为什么？”)

讲解：由于这个直角三角形融合了正多边形诸多元素，所以就可将正多边形有关半径、边心距、边长、中心角的计算问题归结为解直角三角形的问题来解决．

幻灯给出正多边形抽象的计算图7-141，教师讲解：

由于正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的问题来解决，所以我们只要画出这个直角三角形就可以了，其余就不画或略画．图中R表示半径，rn表示正n边形的边心距，an表示正n边形的边长，an表示正n边形的中心角．

提问：对于给定具体边数的正n边形，你首先可以求出直角三角形

(教师讲解)：直角三角形中一锐角已知，所以只要再给直角三角形的R、rn、an其中一项赋值就可求出其它元素．例如：(幻灯展示题目)

例1已知：如图7-142，正△ABC的边心距r3=2．

求：R、a3．

问：要解此题，首先要做什么？(找中等生回答：画出基本计算图)

最后要做什么工作：(找中上生回答：选择三角函数)

解：

∵n=3

又

完成下列各题：(幻灯展示题目)

1．已知，正方形ABCD的边长a4=2．

求：R，r4．

2．已知：正六边形ABCDEF的半径R=2，

求：r6，a6．

(对于计算正确且较快的学生，让他们自拟试题进行计算，教师重点辅导需要帮助的学生)

再回到例1，问：你会求这个正三角形的周长P3吗？怎么求？为什么这样求？(安排中等生回答：边长×3，因为正三角形三边相等)．

再问：你会求这个正三角形的面积S3吗？怎么求？为什么这样求？(安排中等生回答：直角△AOC的面积×6，由定理可知这样的直角三角形的个数是边数的2倍．或者，等腰△AOB的面积×3，由定理可知选择的等腰三角形的个数与边数相同．)

请同学们分别计算上述二题的周长和面积(计算快而准的学生让其自拟题目再练习)

(幻灯给出例2)：已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长a6、周长P6和面积S6．

(提问)：1．首先要作什么？(安排中下生回答：画基本计算图)2．然

么？(安排中下生回答：选择三角函数)

∴P6=9R．

通过上面计算，你得出正六边形的半径与边长有什么数量关系？(安排中下生回答：相等)希望大家记住这个结论：a6=R，因为它不仅有利于计算而且是尺规画正六边形的依据．

三、课堂小结：

哪位同学能说一下，这堂课我们都学习了什么知识？(安排中等生归纳)

1．化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理，2．运用正多

角计算．

四、布置作业

教材P.163中1、2；P.165中2．

学有余力者布置下题：已知正n边形的半径为R，求an、Pn、rn、Sn．