一次数函数的简单应用(2)。

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一次数函数的简单应用(2)〖教学目标〗

◆1、会综合运用一次函数的解析式和图象解决简单实际问题．

◆2、了解直角坐标系中两条直线（不平行于坐标轴）的交点坐标与两条直线的函数解析式所组成的二元一次方程组的解之间的关系．

◆3、会用一次函数的图象求二元一次方程组的解（包括近似解）．

〖教学重点与难点〗

◆教学重点：本节教学的重点是运用一次函数的解析式和图象等解决简单实际问题．

◆教学难点：构造数学模型（包括函数解析式和图象）与实际问题情景之间的对应关系，是本节教学的难点．

〖教学过程〗

一．创设情景，引入新课：

我们知道在日常生活和生产实践中有不少问题的数量关系可以用一次函数来刻画。比方说行程问题，如果速度是常量，则路程与时间成一次函数关系。

看投影：

二．合作学习，思考探究

活动一：思考以下几个问题：

1．涉及几个一次函数关系？

2．各个函数关系中，包含哪些常量，哪些变量？

3．小聪和小慧出发的时刻是否相同？出发的地点呢？

4．如果这两个一次函数都用t表示自变量，那么t=0的实际意义是什么?如果分别用s1,s2表示小聪与小慧的行驶的路程，那么当t=0时，s1,s2分别是多少？

小组讨论后汇总，一起制定解题的政策和方法，老师做启发：

1．如果能求出经过多少时间小聪能追上小慧，那么问题解决了吗？

2．对于求小聪追及小慧的时间，可以用几种不同的方法来解决？

（用方程s1=s2，或图象法，这里学生不一定想到图象，给予提示）

3．不管是采用方程（s1=s2），还是利用图象（图象交点的横坐标表示追及所经过时间，交点的纵坐标表示追及时两人行驶的路程），解决问题首先要做的工作是什么？

教师总结，板书解题过程。（见书本）

三．应用新知，拓展提高

1．一次招聘会上，A，B两公司都在招聘销售人员。A公司给出的工资待遇是：每月1000元基本工资，另加销售额的2﹪作为奖金；B公司给出的工资待遇是：每月600元基本工资，另加销售额的4%作为奖金。如果你去应聘，那么你将怎样选择？

小组讨论，然后请同学黑板上板书。

2．利用一次函数的图象，求下列二元一次方程组的解（或近似解）：

（1）（2）3．某商场要印制商品宣传材料，甲印刷厂的收费标准是：每份材料收1元印刷费，另收1500元制版费；乙印刷厂的收费标准是：每份材料收2。5元印制费，不收制版费。

（1）分别写出两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式；

（2）在同一直角坐标系中画出它们的图象。

（3）根据图象回答下列问题：印制800份宣传材料时，选择哪一家印刷厂比较合算？商场计划花费3000元用于印刷宣传材料，找哪一家印刷厂能印刷宣传材料多一些？

四．课堂练习

详见书本作业题。

五．知识整理

1．直角坐标系中两条直线（不平行于坐标轴）的交点坐标与两条直线的函数解析式所组成的二元一次方程组的解之间的关系。

2．会用一次函数的图象求二元一次方程组的解（包括近似解）。

六．作业

7．5（2）作业本。

扩展阅读

一次函数的应用

教案课件是老师不可缺少的课件，大家应该在准备教案课件了。只有规划好教案课件工作计划，才能使接下来的工作更加有序！你们会写多少教案课件范文呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“一次函数的应用”，供您参考，希望能够帮助到大家。

教学课题：§5.4.2一次函数的应用
教学时间（日期、课时）：
教材分析：

学情分析：

教学目标：
1、能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题。
2、通过解决实际问题，进一步发展学生的数学应用能力。
3、通过函数来解决实际问题，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，从而培养学生学习数学的兴趣，使他们能积极参与数学活动，进而更好地解决实际问题。

教学准备
《数学学与练》

集体备课意见和主要参考资料
页边批注
教学过程
一．新课导入
例题1、某居民小区按照分期付款的形式福利售房，政府给予一定的贴息。小明家购得一套现价为120000元的房子，购房时首期（第一年）付款30000元，从第二年起，以后每年应付房款为5000元与上一年剩余欠款利息的和，设剩余欠款年利率为0.4％。
1)若第x（x≥2）年小明家交付房款y元，求年付房款y（元）与x（年）的函数关系式；
2)将第三、第十年应付房款填入下表中：
年份第一年第二年第三年…第十年
交房款（元）300005360…

二．新课讲授
例题2、已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套。已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利润45元；做一套N型号的时装需要A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利润50元。若设生产N型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为y元。
（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）雅美服装厂在生产这批服装中，当N型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？
例题3、某地长途汽车客运公司规定，旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）是行李重量x（公斤）的一次函数，其图象如图所示。
求(1)y与x之间的函数关系式
(2)旅客最多可免费携带行李的公斤数。
例题4、扬州火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物往广州，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50节，已知用一节A型货厢的运费是0.5吨万元，用一节B型货厢的运费是0.8万元。
(1)设运输这批货物的总运费为y(万元)，用A型货的节数为x(节)，试写出y与x之间的函数关系式；
(2)已知甲种货物35吨和乙种货物15吨，可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来。
(3)利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？
三．巩固练习
书：P203练习
四．小结
能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题。
板书设计
作业设计
1）一根弹簧的原长为12cm，它能挂的重量不能超过15kg并且每挂重1kg就伸长12cm写出挂重后的弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是（）
A、y=12x+12（0＜x≤15B、y=12x+12（0≤x＜15
C、y=12x+12（0≤x≤15）D、y=12x+12（0＜x＜15
2）如图公路上有A、B、C三站，一辆汽车在上午8时从离A站10千米的P地出发向C站匀速前进，15分钟后离A站20千米。
(1)设出发x小时后，汽车离A站y千米，写出y与x之间的函数关系式；
(2)当汽车行驶到离A站150千米的B站时，接到通知要在中午12点前赶到离B站30千米的C站。汽车若按原速能否按时到达？若能，是在几点几分到达；若不能，车速最少应提高到多少？

4.4一次函数的应用2导学案

课题:4.4一次函数的应用（2）
学习目标:1.能熟练求出一次函数的关系式
1.直线y＝kx经过点A(－3,6)，求这条直线的表达式

2.如图，求这条直线的表达式

3.已知一次函数y＝kx(k≠0)
x…..－3－2－10123….
y…..6420－2－4－6…..

4.直线y＝kx＋b经过点A(－3,0)和点B(0,2)，求这条直线的表达式．

5.如图，求直线AB对应的函数表达式．

6.已知一次函数y＝kx＋b(a，b是常数，且a≠0)．x与y的部分对应值如下表：
x…..－10123….
y…..420－2－4…..
求关系式.

7.画出函数y=2x的图像.
8.画出函数y=2-2x的图像.
9.将直线y＝2x向上平移两个单位长度，所得的直线是

【总结】
（1）先观察直线是否过坐标原点，
若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为y＝kx(k≠0)；
若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为y＝kx＋b(k≠0)；
（2）然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标．
对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各
点坐标分别代入y＝kx或y＝kx＋b中，求出其中的k，b，即可确定出其关系式．

【晚间训练】
10.一个正比例函数的图象过点(-2，3)与(a，-3)，求a值。

11.如图，直线是某正比例函数的图象，点是否在该函数图象上？

12.若一次函数的图象过点（-1,1），点是否在该函数的图象上？

13.一次函数y=kx+b的图象如图所示，看图填空：
（1）当x=0时，y=_________，当x=________时，y=0；
（2）k=_______，b=_________；
（3）当x=5时，y=__________，当y=30时，x=___________.

14、油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0．2升／分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t(分钟）的函数关系是（）．
A．B．C．D．

15、已知：一次函数的图象如图所示，
①求直线l的解析式；②求函数的图象与两坐标轴的交点坐标；
③判断点(3，4)是否在此函数的图象上；

16、从地面竖直向上抛射一个物体，在落体之前，物体向上的速度是运动时间
的一次函数。经测量，该物体的初始速度为25，2s后物体的速度为5。
（1）写出，t之间的关系式。
（2）经过多长时间后，物体将达到最高点？（此时物体的速度为0）

一次函数图象的应用

第六章一次函数
５．一次函数图象的应用（一）
一、学生起点分析
学生已学习了一次函数及其图象，认识了一次函数的性质．在现实生活中也见识过大量的函数图象，所以具备了从函数图象中获取信息，并借助这些信息分析问题、解决问题的基础．但由于初中学生的年龄特点，他们认识事物还不够全面、系统，所以还需通过具体实例来培养他们这方面的能力．

二、教学任务分析
《一次函数图象的应用》是义务教育课程标准北师大版实验教科书数学八年级（上）第六章《一次函数》的第五节．本节内容安排了2个课时完成，本节为第一课时．主要是利用一次函数图象解决有关现实问题，与原传统教材相比，新教材更注重借助材料让学生在具体操作中获取一次函数图象的有关信息，从而回答和解决现实生活中的具体问题，也就是说，新教材注重在图象信息的识别与分析中，提高学生的识图能力，进一步培养学生的数形结合能力和数学应用能力，发展形象思维．

三、教学目标分析
知识与技能目标：
1．能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；
2．在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系。
过程与方法目标：
1．通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识，发展形象思维；
2．通过具体问题的解决，培养学生的数学应用能力；
3．引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式．
情感与态度目标：
1．在具体的案例中，培养学生良好的环保意识和对生活的热爱等．
●教学重点
一次函数图象的应用．
●教学难点
正确地根据图象获取信息，并解决现实生活中的有关问题．

四、课前准备
有条件的学校可以准备多媒体课件，没有条件的可以准备投影片或者小黑板．

五、教学过程
本节课分为八个教学环节

第一环节复习引入
内容：在前几节课里，我们通过从生活中的实际问题情景出发，分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的性质，从中对一次函数在现实生活中的广泛应用有了一定的了解．怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问题，是我们这节课的主要内容．首先，想一想一次函数具有什么性质？
在一次函数中
当时，随的增大而增大，
当时，直线交轴于正半轴，必过一、二、三象限；
当时，直线交轴于负半轴，必过一、三、四象限．
当时，随的增大而减小，
当时，直线交轴于正半轴，必过一、二、四象限；
当时，直线交轴于负半轴，必过二、三、四象限.
意图：在前面的学习中我们已得到一次函数的图象是一条直线，并且讨论了、的正负对图象的影响．通过对上节课学习内容的回顾，为进一步研究一次函数图象和性质的应用做好铺垫.
效果：学生通过知识回顾，再次明确一次函数图象和性质，为学习本节课在知识上作好准备.
说明：如果学生一次函数的图象和性质掌握较好，也可以直接从下一环节（第二环节）开始，进入本课题的学习.

第二环节初步探究
内容：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．干旱持续时间(天)与蓄水量(万米3)的关系如下图所示，回答下列问题：
(1)干旱持续10天后，蓄水量为多少？连续干旱23天后呢？
(2)蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报．干旱多少天后将发出严重干旱警报？
(3)按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？
（根据图象回答问题，有困难的可以互相交流．）
答案：(1)求干旱持续10天时的蓄水量，也就是求等于10时所对应的的值．当时，约为1000万米3．同理可知当为23天时，约为750万米3．
(2)当蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，也就是当等于400万米3时，求所对应的的值．当等于400万米3时，所对应的的值约为40天．
（3）水库干涸也就是为0，所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求．当为0时，所对应的的值约为60天．
意图：通过生动的现实情景引入一次函数图象的应用，目的是培养学生的识图能力．
效果：本题插图中干涸的河床势必给学生一个很强的视觉刺激，从而渗透环保教育．
说明：在具体的教学活动中，教师应注意学生对以上问题的掌握情况：如果学生掌握得好，进入下面的练习；如果学生掌握得不好，则可以再引导学生多练习一道类似的习题（见分层教学第1题）．

第三环节反馈练习：
内容：当得知周边地区的干旱情况后，育才学校的小明意识到节约用水的重要性．当天在班上倡议节约用水，得到全班同学乃至全校师生的积极响应．从宣传活动开始，假设每天参加该活动的家庭数增加数量相同，最后全校师生都参加了活动，并且参加该活动的家庭数（户）与宣传时间（天）的函数关系如图所示．
根据图象回答下列问题：
（1）活动开始当天，全校有多少户家庭参加了该活动？
（2）全校师生共有多少户？该活动持续了几天？
（3）你知道平均每天增加了多少户？
（4）活动第几天时，参加该活动的家庭数达到800户？
（5）写出参加活动的家庭数与活动时间之间的函数关系式
答案：（1）200户；
（2）全校师生共有1000户，该活动持续了20天；
（3）平均每天增加了40户；
（4）第15天时，参加该活动的家庭数达到800户；
（5）．
意图：通过创设情境，让学生进一步认识到一次函数图象的应用，倡导节约用水．同时，通过练习以检验学生对已学内容是否掌握．
效果：通过练习，学生会运用一次函数的图象去分析现实生活中的问题，同时渗透环保意识，珍惜水资源．
说明：在具体的教学活动中，教师应观察学生的表现，对知识是否掌握，如果学生掌握得好，进入下一个环节；如果学生掌握得不好，则可以再引导，以达到“过手”的目的．（视其情况，可以选用分层教学第2题）

第四环节深入探究
内容：1．看图填空
(1)当时，;
(2)直线对应的函数表达式是________________．
答案：(1)观察图象可知当时，；
(2)直线过(－2，0)和(0，1)
设表达式为，得
①
②
把②代入①得
∴直线对应的函数表达式是
2．议一议
一元一次方程与一次函数有什么联系？（请大家根据刚做的练习来进行解答．）
答案：一元一次方程的解为，一次函数包括许多点．因此是的特殊情况．
当一次函数的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程的解．
函数与轴交点的横坐标即为方程的解．
意图：通过本题让学生认识到一次函数与一元一次方程的联系，从“数”的角度看，当一次函数的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程的解；从“形”的角度看，函数与x轴交点的横坐标即为方程的解．
效果：通过练习，学生明晰了函数与方程的关系，能用函数关系解决方程问题，同时也能用方程的观点来看待函数．

第五环节反馈练习
内容：全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务，某地区现有土地面积100万千米2，沙漠面积200万千米2，土地沙漠化的变化情况如下图所示．
(1)如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠面积将增加多少万千米2？
(2)如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从现在开始，第几年底后，该地区将丧失土地资源？
(3)如果从现在开始采取植树造林措施，每年改造4万千米2沙漠，那么到第几年底，该地区的沙漠面积能减少到176万千米2．
解：(1)如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠面积将新增加10万千米2．
(2)从图象可知，每年的土地面积减少2万千米2，现有土地面积100万千米2，100÷2=50，故从现在开始，第50年底后，该地区将丧失土地资源．
(3)如果从现在开始采取植树造林等措施，每年改造4万千米2沙漠，每年沙化2万千米2，实际每年改造面积2万千米2，由于，故到第12年底，该地区的沙漠面积能减少到176万千米2．
意图：通过土地沙漠化的问题进一步培养学生的识图能力，让学生能从图象中获取信息，建立相关的代数式，从而求解较复杂的问题；同时，通过土地沙漠化的问题情景引导学生关注自己身边的生存环境．
效果：通过对较复杂的问题的探究，培养了学生分析问题和解决问题的能力，并渗透德育教育．

第六环节探究升级
内容：(续前一问题)当得知周边地区的干旱情况后，育才学校的小明意识到节约用水的重要性，当天在班上倡议节约用水，得到全班同学乃至全校师生的积极响应．从宣传活动开始，假设每天参加该活动的家庭数增加数量相同，最后都参加了活动，并且参加该活动的家庭数（户）与宣传时间（天）的函数关系如图所示．
根据图象回答下列问题：
（6）若每户每天节约用水0.1吨，那么活动第20天可节约多少吨水？
（7）写出活动开展的第天节约的水量与天数的函数关系．
答案：（6）第20天可节约100吨水；
（7）．
意图：通过问题的层层深入，引导学生的思维向纵深发展，进一步巩固用函数的思想解决生活中的问题．
效果：学生通过合作交流，解决问题，在教师的引导下，逐步加深了对一次函数图象和性质的运用.
说明：视学生的掌握情况，对学有余力的同学可以给出这个问题的第（8）问．（见分层教学第3题）

第七环节课堂小结
内容：本节课主要应掌握以下内容：
1．能通过函数图象获取信息．
2．能利用函数图象解决简单的实际问题．
3．初步体会方程与函数的关系．
意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使这节课知识系统化，感性认识上升为理性认识.
效果：学生畅所欲言，相互进行补充,从小结中感知了一次函数的图象在生活中的应用．
说明：教师视其情况，可以选择展示一些前面小节中用过的实际问题与一次函数图象的实例的图片，让学生体会到数学与生活的联系，激发学生的学习热情．

第八环节布置作业
内容：
1．课外探究
在生活中，你还遇到过哪些可以用一次函数关系来表示的实际问题？选择你感兴趣的问题，编制一道数学题与同学交流．
2．课外作业习题5.6

六、教学设计反思
（1）设计理念
一次函数是刻画现实世界变量间关系的最为简单的模型，其应用比比皆是．在教学设计中，争取选用最具有现实生活背景，与学生生活密切相关的问题，一方面力求让学生体会数学的广泛运用，另一方面，在学科教育中渗透德育教育．
（2）评价方式
在教学活动中教师应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，关注学生对图象的识图能力和解决问题的过程，应关注学生对基本知识技能的掌握情况和对一次函数与方程之间的关系的理解．教学过程中可通过学生对“议一议”、“想一想”的探究情况和学生对反馈练习的完成情况分析学生的认识状况，对于学生的回答，只要学生的方法有道理，教师应给予鼓励和恰当的评价，帮助学生认识自我，建立自信，真正在教学的过程中发挥评价的教育功能.
（3）分层教学
1．某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满油后，油箱中的剩余油量(升)与摩托车行驶路程(千米)之间的关系如图所示．
根据图象回答下列问题：
（1）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？
（2）摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？
（3）油箱中的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警？
分析：(1)函数图象与轴交点的横坐标即为摩托车行驶的最长路程．
(2)x从0增加到100时，从10开始减少，减少的数量即为消耗的数量．
(3)当小于1时，摩托车将自动报警．
答案：(1)观察图象，得
当时，
因此一箱汽油可供摩托车行驶500千米．
(2)从0增加到100时，从10减少到8，减少了2，因此摩托车每行驶100千米消耗2升汽油．
(3)当时，
因此行驶了450千米后，摩托车将自动报警．
2．某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程．
盒内钱数(元)与存钱月数之间的函数关系如图所示．观察图象回答下列问题：
（1）盒内原来有多少元？2个月后盒内有多少元？
（2）该同学经过几个月能存够200元？
（3）该同学至少存几个月存款才能超过140元？
解：（1）40，80.
（2）当时，,所以该同学经过8个月能存够200元．
(3)观察图象可知，该同学经过5个月能超过140元．
3．(续前一问题)当得知周边地区的干旱情况后，育才学校的小明意识到节约用水的重要性，当天在班上倡议节约用水，得到全班同学乃至全校师生的积极响应．从宣传活动开始，假设每天参加该活动的家庭数增加数量相同，最后都参加了活动，并且参加该活动的家庭数（户）与宣传时间（天）的函数关系如图所示．
根据图象回答下列问题：
（8）写出活动开展到第5天时，全校师生共节约多少吨水？
答案：（8）第5天时，全校师生共节约160吨水．
意图：学生知识上有一定的分层，可更好地调动不同学生的学习热情.教师可根据学生的掌握情况，适当选择上述题目要求学生分层完成．
效果：通过分层练习，调动了不同学生的学习热情，教师应留给学生充分的时间思考,在独立思考的基础上，
鼓励学生相互讨论，得出结果．
●附：板书设计
一次函数图象的应用(一)

一、做一做

（保留性板书）（暂时性板书）