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图形的旋转学案

【学习目标】
1.能结合实际例子说出旋转的定义，知道旋转的三要素。
2.理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质。
3.能根据旋转的性质进行简单的旋转作图。
【预习指导】
1、旋转的定义：
旋转的三要素：
2、旋转的性质：
3、预习疑难摘要：
【学习过程】
一、自主学习
自学课本55页---56页内容，回答下列问题
1.试举出生活中旋转的例子。并思考：旋转的过程中，图形的现状和大小是否发生了变化？

2.什么叫做图形的旋转？旋转后图形的位置是有什么确定的？

3.指出课本实验中的旋转中心、旋转方向和旋转角。
二、探究活动
根据课本图2-13（2）试探究以下问题：
1.点A、B旋转后的对应点分别是谁？分别测量OA、OA′、OB、OB′的长度和∠AOA′、
∠BOB′的大小，你发现了什么？
2.△ABC的三边和三个内角的对应元素分别是谁？它们的大小有什么系？
3.△ABC与△A′B′C′是全等三角形吗？为什么？
三、合作交流
1、试归纳旋转的性质：
（1）
（2）
2、图形的旋转和图形的中心对称有什么关系？
四、初试身手
如图，点E是正方形ABCD的边CD上的一点，将△ADE按顺时针方向旋转到△ABF的位置。
(1)写出旋转中心和旋转角；
（2）写出△ADE与△ABF所有的对应边和对应角；
（3）连接EF,判定△AEF的形状。
五、动手操作
完成课本57页“观察与思考”中的三个问题，然后讨论：
（1）要画出一个图形绕某个点旋转后的图形，可以先在这个图形上选择几个
，确定它们旋转后的位置，这样，问题转化为点的作图。
（2）要画出一个点旋转后的位置，你采用了什么方法？根据是什么？

六、巩固练习
课本58页练习1,2

七、自我小结：
我的收获：
我的困惑：
【当堂达标测试】
1、试试你的判断能力：一个图形经过旋转
①图形上的每一个点到旋转中心的距离相等.()
②图形上可能存在不动点.()
③图形上任意两点的连线与其对应点的连线相等.()
2、钟表上的分针匀速旋转一周需要60分钟
①分针的旋转中心在哪儿？每分钟旋转角是多少度？时针呢？
②经过20分钟，分针旋转多少度？
③分针旋转150°最少需要多少时间？C
3、如图，△ABC与△BDE都是等腰直角三角形，
B

4、如图，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B、C对应点的位置，以及旋转后的三角形．

图形的平移与旋转

第二十九讲图形的平移与旋转
前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科．
几何变换是指把一个几何图形Fl变换成另一个几何图形F2的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换．
如图1，若把平面图形Fl上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F2后，则由的变换叫平移变换．
平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等．
如图2，若把平面图Fl绕一定点旋转一个角度得到图形F2，则由Fl到F2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角．
旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等．

通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决．
注合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换．等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变．
例题求解
【例1】如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC＝1：2：3，则∠APD=．

思路点拨通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形．
【例2】如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN=45°，记AM＝m，MN=x，DN=n，则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是()
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随x、m、n的变化而改变

思路点拨把△ACN绕C点顺时针旋转45°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN相等的角，在一条直线上的m、x、n集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．
注下列情形，常实施旋转变换：
(1)图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；
(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；
(3)图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．
【例3】如图，六边形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED—AB＝AF—CD>0，求证：该六边形的各角相等．
(全俄数学奥林匹克竞赛题)

思路点拨设法将复杂的条件BC—FF=ED—AB=AF—CD>0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换．
注平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决．
【例4】如图，在等腰△ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF．已知BC=2，求证：EF≥1．(西安市竞赛题)

思路点拨本例实际上就是证明2EF≥BC，不便直接证明，通过平移把BC与EF集中到同一个三角形中．
注三角形中的不等关系，涉及到以下基本知识：
(1)两点间线段最短，垂线段最短；
(2)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
(3)同一个三角形中大边对大角(大角对大边)，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
【例5】如图，等边△ABC的边长为，点P是△ABC内的一点，且PA2+PB2＝PC2，若PC=5，求PA、PB的长．(“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨题设条件满足勾股关系PA2+PB2＝PC2的三边PA、PB、PC不构成三角形，不能直接应用，通过旋转变换使其集中到一个三角形中，这是解本例的关键．
学历训练
1．如图，P是正方形ABCD内一点，现将△ABP绕点B顾时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′=．
2．如图，P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB=8，PC＝10，则∠APB．
3．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，则CD的长为．

4．如图，把△ABC沿AB边平移到△ABC的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA是()
A．B．C．lD．(2002年荆州市中考题)
5．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点C、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；④EF=AP．
当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
(2003年江苏省苏州市中考题)
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E，S四边形ABCDd=8，则BE的长为()
A．2B．3C．D．(2004年武汉市选拔赛试题)

7．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为和，对角线BD、FH都在直线上，O1、O2分别为正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O2在直线上平移时，正方形EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有变化．
(1)计算：O1D=，O2F=；
(2)当中心O2在直线上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2=；
(3)随着中心O2在直线上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程)．(徐州市中考题)
8．图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：
在图a中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B1B2（即阴影部分）；
在图b中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B1B2B3（即阴影部分）；

（1）在图c中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影；
（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1=，,S2=，S3=；
（3）联想与探索：
如图d，在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．
(2002年河北省中考题)
9．如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，求证：AN＝BM．
说明及要求：本题是《几何》第二册几15中第13题，现要求：
(1)将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图在图中画出符合要求的图形(不写作法，保留作图痕迹)．
(2)在①所得的图形中，结论“AN＝BM”是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)在①得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并证明你的结论．

10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是cm2．
11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE、BC的延长线交于点F，若AE=10，则S△ADE+S△CEF的值是．
(绍兴市中考题)
12．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内一点，则PA+PB+PC与AB+AC的大小关系是()
A．PA+PB+PC>AB+ACB．PA+PB+PCC．PA+PB+PC＝AB+ACD．无法确定
13．如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3，则PC所能达到的最大值为()
A．B．C．5D．6
(2004年武汉市选拔赛试题)
14．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，BD=CE，连DE，求证：DE>DC．
15．如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5的实数，满，求△ABC的面积．
16．如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，∥表示小河甲，∥表示小河乙，A为校本部大门，B为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河垂直距离为40米，B到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A、B两点水平距离(与小河平行方向)120米，为使A、B两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A、D两点间来往的路程是多少米?(“五羊杯”竞赛题)

17．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，O是△ABC内一点，点O到△ABC各边的距离都等于1，将△ABC绕点O顺时针旋转45°，得△A1BlC1，两三角形公共部分为多边形KLMNPQ．
(1)证明：△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形；
(2)求△ABC与△A1BlC1公共部分的面积．(山东省竞赛题)

18．(1)操作与证明：如图1，O是边长为a的正方形ACBD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值．
(2)尝试与思考：如图2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或正五边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．
(3)探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系；若不是定值，请说明理由．
(江苏省连云港市中考题)

图形的平移与旋转导学案

教案课件是老师上课中很重要的一个课件，大家应该在准备教案课件了。对教案课件的工作进行一个详细的计划，新的工作才会更顺利！有多少经典范文是适合教案课件呢？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“图形的平移与旋转导学案”，供您参考，希望能够帮助到大家。

§2.2提公因式法（二）
学习目标：
1.掌握用提公因式法分解因式的方法
2.培养学生的观察能力和化归转化能力
3.通过观察能合理进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点
预习作业
1．把分解因式，这里要把多项式看成一个整体，则_______是多项式的公因式，故可分解成___________________
2．请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:
（1）2－a=__________（a－2）（2）y－x=__________（x－y）
（3）b+a=__________（a+b）（4）_________
（5）_________（6）_________
（7）__________（8）________
3．一般地，关于幂的指数与底数的符号有如下规律（填“”或“—”）：
例2把下列各式分解因式:
（1）（2）

（3）
变式训练
1.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（）
A.B.C.D.
2.下列因式分解中正确的是（）
B.
C.D.

3.用提公因式法将下列各式分解因式
（1）(2)

（3）(4)

(5)先分解因式，再计算求值
，其中

拓展训练
1．若，则_______________
2.长，宽分别为，的矩形，周长为14，面积为10，则的值为_________
3．三角形三边长，，满足，试判断这个三角形的形状

3、运用公式法（一）
学习目标：
（1）了解运用公式法分解因式的意义；
（2）会用平方差公式进行因式分解；
本节重难点：
用平方差公式进行因式分解
中考考点：正向、逆向运用平方差公式。
预习作业：
请同学们预习作业教材P54~P55的内容：
1.平方差公式字母表示:.
2.结构特征：项数、次数、系数、符号

活动内容：填空：
（1）（x+3）（x–3）=；
（2）（4x+y）（4x–y）=；
（3）（1+2x）（1–2x）=；
（4）（3m+2n）（3m–2n）=．
根据上面式子填空：
（1）9m2–4n2=；
（2）16x2–y2=；
（3）x2–9=；
（4）1–4x2=．
结论：a2–b2=（a+b）（a–b）
平方差公式特点：系数能平方，指数要成双，减号在中央
例1：把下列各式因式分解：
（1）25–16x2（2）9a2–

变式训练：
（1）（2）
例2、将下列各式因式分解：
（1）9（x–y）2–（x+y）2（2）2x3–8x

变式训练：
（1）（2）

注意：1、平方差公式运用的条件：（1）二项式（2）两项的符号相反（3）每项都能化成平方的形式
2、公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式
3、各项都有公因式，一般先提公因式。
例3：已知n是整数，证明：能被8整除。

拓展训练：
1、计算：
2、分解因式：

3、已知a,b,c为△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状。