-3平行四边形的性质-1。
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<wWw.jab88.CoMp>课题16-3平行四边形的性质-1
教学目标
1、学生经历平行四边形的探究过程；
2、能熟练的运用平行四边形的对边及对角的性质解决问题；
3、培养学生探究归纳能力以及数形结合的思想方法。
教学重点
平行四边形的性质的形成与运用
教学难点
平行四边形的性质的综合应用
教学方法
引导探究式
教学手段
多媒体
教学过程
师生活动
设计说明
一、引入新课
二、新课探究
1、平行四边形的概念（作用：性质与判定）；
2、特殊平行四边形间的关系；
本节课，我们就来探究一下特殊的四边形---平行四边形的性质：
问题：独立作出一个平行四边形，通过测量猜想自己的发现，试试进行严格的证明（明确已知与求证、思考如何将新知识转化为原有的知识）。
学生讨论，教师巡视、倾听。（给足时间）
教师引导学生结合图形小结：
1、平行四边形的对边相等；
2、平行四边形的对角相等；
3、平行四边形对角线互相平分。
巩固基础知识；
增强学生的探究能力；
增强学生归纳能力。
教学过程
师生活动
设计说明
（对于学生回答正确的答案给予肯定，但教师明确教学重点）
教师结合几何画板进行验证，由学生口答证明过程，教师适时板书已知与求证。
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD（平行四边形的对边相等）
∠A=∠C（平行四边形的对角相等）
本节课，我们主要结合前两个性质进行练习：
学生独立完成后交流。
例1、已知E、F是ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF，请写出图中所有的全等的三角形，并进行证明。
分析：
平行四边形的条件得到了平行的结
回顾：文字语言、图形语言、符号语言；
巩固性质，增强学生间的交流
教学过程
师生活动
论，从而可以得到许多等角，由公共边及对边为证明全等创造了必要的条件。
学生口答思路，并独立完成证明过程，派一学生代表板书语言。
教师引导学生小结：
1、看图知性；
2、证明线段、角相等的新的方法：平行四边形的对边、对角；
思考：
（1）若m∥n，AB与CD是夹在m、n间的平行线段，你能说出AB、CD的长度关系吗？
（2）若AB、CD分别是A、D到n的距离，你能说出它们长度间的关系吗？
教师引导学生口答结论及理由：
推论1、夹在平行线间的平行线段相等；
推论2、平行线间的距离处处相等。
结合图形与同学交流我们学习过的“距离”。
练习：P63—1、2、3
课堂小结
1、知识点：
平行四边形的性质（文字语言、图形语言、符号语言）；证明线段相等的新的方法：性质与推论；
2、学习方法：大胆猜想、结合所学的知识进行证明；看见基本图形（平行四边形等）要思考基本性质；将平行四边形的问题转化为全等
课后作业
板书设计
练习：
课题：
性质：
例1、
课后反思
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平行四边形的性质
4.1平行四边形的性质（2）
导学目标
1.掌握平行四边形的性质及平行线间的距离的概念。
2.理解平行线间的距离处处相等的结论，并了解其简单应用。
导学重点：理解并正确运用平行四边形的性质。
导学难点：平行四边形性质的探索。
导学方法：探索归纳法。
导学过程：
一、复习引入课题
1.在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（）
A.1∶2∶3∶4B.1∶2∶2∶1
C.1∶1∶2∶2D.2∶1∶2∶1
2.平行四边形的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（）
A.2B.4C.6D.8
3.在□ABCD中，∠A、∠B的度数之比为5∶4，则∠C等于（）
A.60°B.80°C.100°D.120°
4.□ABCD的周长为36cm，AB=BC，则较长边的长为（）A.15cmB.7.5cmC.21cmD.10.5cm
5.如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为（）
A.8.3B.9.6C.12.6D.13.6
二、讲授新课
1.做一做：（P100“做一做”的内容）
鼓励学生应用多种方式探索平行四边形的性质：
如图4-3，□ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，
（1）图中有哪些三角形是全等的？有哪些线段是相等的？
（2）能设法验证你的猜想吗？(测量,旋转,证明)
2.观察：
通过以上活动，你能得到哪些结论？结论：平行四边形的性质3：______________________。
三、例题讲解：
如下图，四边形ABCD是平行四边形，BD⊥AD，求BC，CD及OB。
引导学生寻求解题思路。
（让学生发表自己的见解，既培养了学生的语言表达能力及推理能力，又提高了学生的逻辑思维能力）
提出问题：“想一想”
引出平行线间距离的概念，并引导学生对比点到直线的距离，两点间距离等概念。
（让学生进一步感知生活中处处有数学）
和直线l距离为8cm的直线有______条.
三、例题讲解：p101例2
得出结论：平行线之间的距离________________.
四、随堂练习：
P102随堂练习第1题
2．如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？
五、课堂小结：你学到了什么？
六、课后巩固：p102习题4.2第1题和第2题
七、课后反思：
平行四边形的性质（2）
平行四边形的性质（2）
教学目标：
1、知识与技能：探索并掌握平行四边形对角线互相平分的性质，掌握平行线之间的距离的功概念。
2、过程与方法：
利用平行四边形的对边相等的性质，借助三角形全等的知识，通过合理推理，探索平行四边形的对角线互相平分的性质。
3、情感态度与价值观：
在探索平行四边形的性质活动中，培养学生的探究、合作精神，增强推理的能力。
教学重点：
史学史掌握平行四边形的对角线互相平分的性质。
教学难点：
平行四边形性质的综合运用。
教学互动设计：
一、回顾、思考
1、定义与性质——
2、利用定义与性质解题————
①、已知平行四边形的一角，可求；
②、已知平行四边形的两邻边，可求；
3、练一练
略
二、情境导课
如图4—3，□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O。
（1）图中有哪些三角形是全等的？
（2）能设法验证你的结论吗？
想一想
由本题你又能得出平行四边形怎样的性质？
平行四边形的性质：
A
B
D
C
O
平行四边形的对角线互相平分。三、利用定义、性质解题
1、例1如图,四边形ABCD是平行四边形,
DB^AD,求BC,CD及OB的长.。
分析：（1）在□ABCD中，BC是的对边；
CD是的对边；
因为AD、AB已知，
所以，利用平行四边形的性质“”可求出它们；
（2）点O是，
利用平行四边形的性质“”可知OB是BD的一半。
（3）求BD的长应摆在△中用定理来计算。
2、想一想
在笔直的铁轨上,夹在两根铁轨之间的枕木是否一样长?（见P101图）
a
b
A
B
C
D
例2已知直线a∥b,过直线a上任意两点A、B分别向直线b作垂线,交直线b于点C、点D.
(1)线段AC、BD所在的直线有怎样的位置关系?
(2)比较线段AC、BD的长短.
在例2中,线段AC的长是点A到直线b的距离;同样,线段BD的长是点B到直线b的距离,且AC=BD.
如果两条直线平行,则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，这个距离称为平行线之间的距离..
平行线间的距离处处相等.
3、议一议
举出生活中的几个实例,反映“平行线之间的垂线段处处相等”的几何事实.
四、随堂练习
□ABCD的两条对角线相交O,OA,OB,AB的长度分别为3厘米,4厘米,5厘米,求其他各边以及两条对角线的长度.
A
B
D
C
O
A
B
D
C
O
A
B
D
C
O
五、作业
P102习题4.21、2、3
19.1.1平行四边形及其性质(一)
第十九章平行四边形
19.1.1平行四边形及其性质(一)
一、教学目标：
1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角的性质．
2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的．
3．培养学生发现问题、解决的能力及逻辑推理能力．
二、重点、难点
1．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等及对角线互相的性质，以及性质的应用．
2．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
三、课堂引入
1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护栏，想一想它们是四边形。
平行四边形是我们常见的图形，请你在举出平行四边形在生活中应用的例子。
你能说出平行四边形的定义吗？
(1)定义：两组对边分别的四边形是平行四边形．
(2)如右图：平行四边形用符号“”来表示．读作。
2：平行四边的定义：
①用文字语言表示为：（如图是图形语言）
在四边形ABCD中，AB平行于DC，AD平行于BC，那么四边形ABCD是．
②用符号语言表示为：
∵AB//DC，AD//BC，∴四边形ABCD是。（判定）；反过来：
∵四边形ABCD是。∴AB//DC，AD//BC（性质）．
注意：平行四边形中对边是指无公共的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共的边，邻角是指有一条公的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．
所以我说定义很特殊：既可以当用，又可以当用。
3;平行四边的性质：
【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的一般性质（如内角和为360°）和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们进行探究．
我们根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行以外，度量它的边和角，发现平行四边形的对边，对角，邻角，
（1）证明，如图：∵AB∥CD，AD∥BC∴∠+∠BAD＝180°，∠+∠=180°∴平行四边形中，相邻的角互为补角．
（2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等．
下面证明这个结论的正确性．
已知：如图ABCD，
求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．
分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形即可得到结论．
（作对角线是解决四边形问题常用的线，通过作对角线，可以把四边形的问题转化为形的问题来解决．）
证明：连接AC，如图
∵AB∥，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠＝∠4．又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（ASA）．
∴AB＝，＝AD，∠＝∠D．又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD．
由此得到：用文字语言表示为
平行四边形性质1平行四边形的对边相等．
平行四边形性质2平行四边形的对角相等．
用符号语言表示为：
∵如图在ABCD中∴AB＝，CB＝AD，∠B＝∠，∠A＝∠C．
五、例习题分析
例1如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．
分析：要证AF=CE，需证△≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠=∠B，AD=，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得=DF．由“边角边”可得出所需要的结论．
证明．在ABCD中，∵AB=CD，又∵=∴BE=DF.
∵CB＝AD，∠B＝∠D∴△≌△∴.
六、随堂练习
1．填空：
（1）在ABCD中，∠A=，则∠B=度，∠C=度，∠D=度．
（2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A=度，∠B=度，∠C=度，∠D=度．
（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB=cm，BC=cm，CD=cm，CD=cm．
2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，
求证：BE＝DF．
七、课后练习
1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）．
（A）对角相等（B）对角互补（C）邻角互补（D）内角和是
3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．
【证明】:∵AD∥BC∴∠DBC=∠,又∵BD平分∠ABC。
∴∠=∠ADB,∴=∴AB=AD.
又∵AD∥BC，AE∥CD∴四边形AECD是
∴AD=CE，又AB=AD∴.
19.1.1平行四边形的性质(二)
一、教学目标：
1．理解平行四边形对称的特征，掌握平行四边形对角线互相的性质．
2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关，和证明．
3．培养学生的论证能力和逻辑能力．
二、重点、难点
1．重点：平行四边形对角线互相的性质，以及性质的应用．
2．难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
三．课堂引入
1．复习提问：
（1）的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是。
（2）平行四边形的性质：
①具有一般四边形的性质（内角和是）．②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．
边：平行四边形的对边相等．
2．【探究】：
请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转，观察它还和EFGH重合吗？（填重合或不重合）进一步，我们还能发现平行四边形的对角线有性质是（用文字说明）
结论：（1）平行四边形是对称图形，两条对角线的交点是；
（2）平行四边形的对角线互相．
用符号语言表示为：如图在EFGH中EG、HF交与O点∴OH=,
GO=
四、例习题分析
例1已知：如图4－21，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．
求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．
证明：在ABCD中，AB∥CD，
∴∠1＝∠．∠3＝∠．又＝OC()，
∴△AOE≌△COF（）∴OE＝OF，=CF（全等三角形对应边相等）．
∵ABCD，∴AB=（平行四边形对边相等）．∴AB—AE=CD—CF．即BE=FD．
【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．
请你利用图（b）来证明。你想到的辅助线是。可以利用对顶。（自己完成证明）
【证明】
例2已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．
19.1.2（一）平行四边形的判定
一、教学目标：
1．在探索平行四边形的判定，理解并掌握用、角，对角线来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来问题．
3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．
二、重点、难点
3．重点：平行四边形的判定方法及应用．
4．难点：平行四边形的判定定理与定理的灵活应用．
三、课堂引入
1．欣赏上面图片、提出问题．有个平行四边形？你是怎样判断的？
让你画一个平行四边你会怎么画。（自己说自己的想法）
从中得到平行四边的判定方法：（1）文字语言表示为：
平行四边形判定方法1两组对边分别的四边形是平行四边形。
平行四边形判定方法2对角线互相的四边形是平行四边形。
平行四边形判定方法3两组对角的四边形是平行四边形
（2）用符号语言表示：如图：（1）∵AB＝，CB＝∴四边形ABCD是平行四边形
（2）∵AO=CO,BO=DO.∴四边形ABCD是平行四边形（3）∵∠BAD=∠，∠ABC=∠
∴四边形ABCD是平行四边形.
五、例习题分析
例1（教材P96例3）已知：如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
分析:欲证四边形BFDE是平行四边形可根据判定方法2来证明．
证明:在ABCD中，AO=CO,BO=DO,又∵E,F为AO,CO的中点
∴=,BO=DO∴四边形BEDF是。
例2已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．
求证：(1)∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；
(2)△ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．
证明：(1)∵A′B′∥BA，C′B′∥BC，
∴四边形ABCB′是形．
∴∠ABC＝∠B′(平行四边形的对角相等)．
同理∠CAB＝∠A′，∠＝∠C′．
(2)∵A′B′∥BA，C′B′∥BC∴四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平行四边形．
∴AB＝B′C，AB＝A′C(平行四边形的对边相等)．
∴＝A′C．同理B′A＝，A′B＝．
∴△ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点．
例3）小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．
解：有6个平行四边形，分别是，，，，，．
理由是：因为正△ABO≌正△AOF，所以AB=，=FA
根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，
可知四边形是平行四边形．其它五个同理．
六、随堂练习
1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=____cm，CD=____cm时，
四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=___cm，DO=___cm时，
四边形ABCD为平行四边形．
2．已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．
【证明】：
七、课后练习
1．（选择）下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（）．
（A）对角线互相垂直（B）对角线相等
（C）对角线互相垂直且相等（D）对角线互相平分
2．已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥AC，
求证：BE=CF
19.1.2（二）平行四边形的判定
一、教学目标：
1．掌握用一组对边平行且来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来问题．
3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高问题的能力．
二、重点、难点
1．重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法．
2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合．
三、课堂引入
1.平行四边形的性质有个；2..平行四边形的判定方法有个我们看下面的判方法
【探究】取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？（）填是或者不是
结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
如图;∵AD=CB，且ABCD,∴四边形ABCD是。
四、例习题分析
例1）已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，
求证：BE=DF．
分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形，也可以证明
四边形BEDF是四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD=CB．
∵E、F分别是AD、BC的点，
∴DE∥BF，且DE=AD，BF=．
∴DE=．
∴四边形BEDF是平行四边形（）．
∴BE=DF．
例2已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．
分析：由已知得BE⊥AC于E，DFAC于F，所以BE∥DF．需再证明BE=，这需要证明△ABE与△CDF，（由角角边即可证明全等）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，且AB∥CD．
∴∠BAE=∠DCF．（）
∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴BE∥DF，且∠BEA=∠DFC=°．
∴△ABE≌△CDF（）．
∴BE=DF．又∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．
五、课堂练习
1．（选择）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）．
（A）AB∥CD，AD=BC（B）∠A=∠B，∠C=∠D
（C）AB=CD，AD=BC（D）AB=AD，CB=CD
2．已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC，
找出图中的平行四边形，并说明理由．
3．已知：如图，在ABCD中，
AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线．求证：四边形AFCE是平行四边形．
六、课后练习
1．判断题：
(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形；()
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；()
(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；()
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；()
(5)对角线相等的四边形是平行四边形；()
(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形．()
2．延长△ABC的中线AD至E，使DE=AD．求证：四边形ABEC是平行四边形．
19.1.2（三）平行四边形的判定——三角形的中位线
一、教学目标：
1．理解三角形中位线的，掌握它的性质．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的和计算．3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的．
4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．
二、重点、难点
1．重点：掌握和运用形中位线的性质．2．难点：三角形中位线性质的证明（线的添加方法）．三、课堂引入
创设情境实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）
图中有几个平行四边形？。
你是如何判断的？。
五、例习题分析
例1如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC．
分析：所证明的结论既有平行关系，又有关系，联想已学过的知
识，可以把要证明的内容转化到一个中，利用平行四边形的
对边平且的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这
就需要添加适当的线来构造平行四边形．
方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接，由△ADE≌△，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）自己写清楚辅助线的做法
【证明】：
定义：连接三角形两边点的线段叫做三角形的中位线．
（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？
（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．符号语言表示为：在△ABC中，AD=,AE=CE,∴DEBC且DE∥BC。
例2已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：连结AC（图（2）），△DAG中，∵AH=HD，CG=GD，
∴HG∥AC，HG=AC（三角形中位线性质）．
同理EF∥AC，EF=AC．∴HG∥EF，且HGEF．
∴四边形EFGH是平行四边形．
此题可得结论：顺次连结四边形四条边的点，所得的四边形是四边形．
六、课堂练习
1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，
连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，
如果测得MN=20m，那么A、B两点的距离是m，
理由是．
2．已知：三角形的各边分别为8cm、10cm和12cm，
求连结各边中点所成三角形的周长是．
．
七、课后练习
1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是cm．
2．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
