一次函数的图像。

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教学课题：§5.3.2一次函数的图像
教学时间（日期、课时）：
教材分析：

学情分析：
教学目标：
1、理解一次函数及其图象的有关性质。
2、能熟练地作出一次函数的图象。
3、进一步培养学生数形结合的意识和能力。

教学准备
《数学学与练》

集体备课意见和主要参考资料
页边批注
教学过程
一．新课导入
上节课我们学习了如何画一次函数的图象，步骤为①列表；②描点；③连线。经过讨论我们又知道了画一次函数的图象不需要许多点，只要找两点即可，还明确了一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。
本节课我们进一步来研究一次函数的图象的其他性质。

二．新课讲授
（1）首先我们来研究一次函数的特例——正比例函数有关性质。
请大家在同一坐标系内作出正比例函数y=x，y=x，y=3x，y=-2x的图象。
图：
3、议一议
（1）正比例函数y=kx的图象有什么特点？

（2）你作正比例函数y=kx的图象时描了几个点？

（3）直线y=x，y=x，y=3x中，哪一个与x轴正方向所成的锐角最大？哪一与x轴正方向所成的锐角最小？

4、小结：正比例函数的图象有以下特点：
（1）正比例函数的图象都经过坐标原点。
（2）作正比例函数y=kx的图象时，除原点外，还需找一点，一般找（1,k）点。
（3）在正比例函数y=kx图象中，当k0时，k的值越大，函数图象与x轴正方向所成的锐角越大。
（4）在正比例函数y=kx的图象中，当k0时，y的值随x值的增大而增大；当k0时，y的值随x值的增大而减小。

5、做一做
在同一直角坐标系内作出一次函数y=2x+6,y=-x,y=-x+6,y=5x的图象。

一次函数y=kx+b的图象的特点：分析：在函数y=2x+6中，k0，y的值随x值的增大而增大；在函数y=-x+6中，y的值随x值的增大而减小。

由上可知，一次函数y=kx+b中，y的值随x的变化而变化的情况跟正比例函数的图象的性质相同。
对照正比例函数图象的性质，可知一次函数的图象不过原点，但是和两个坐标轴相交。在作一次函数的图象时，也需要描两个点。一般选取（0，b），（-，0）比较简单。
6、想一想
（1）x从0开始逐渐增大时，y=2x+6和y=5x哪一个值先达到20？这说明了什么？

（2）直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何？

（3）直线y=2x+6与y=-x+6的位置关系如何？

7、在同一直角坐标系内作出一次函数y=2x,y=2x+3,y=2x-3的图象。探索一次函数y=kx+b中,b的值对一次函数图象的影响.

三．巩固练习
1、正比例函数y=kx的图象的特点。

2、一次函数y=kx+b的图象的特点。

3、一次函数y=kx+b的k、b的值对一次函数图象的影响。y
①的图象在一、二、三象限0x

y
②的图象在一、三、四象限0x

y
③图象在一、二、四象限0x

y
④图象在二、三、四象限0x

四．小结
板书设计

作业设计
1、下列一次函数中，y的值随x值的增大而增大的是（）
A、y=-5x+3B、y=-x-7C、y=-D、y=-+4

2、下列一次函数中，y的值随x值的增大而减小的是（）
A、y=x-8B、y=-x+3C、y=2x+5D、y=7x-6

3、若一次函数的图象经过一、二、三象限,则应满足的条件是:
A.B.C.D.

4、如图,两个一次函数,它们在同一直角坐标系中大致的图象是:
yyyy
y1y1y2
0x0x0x0y1x
y2y2y1y2

A.B.C.D.

延伸阅读

4.3一次函数的图像（1）导学案

课题:一次函数正的图像
学习目标:1.能熟练画出一次函数的图象2.掌握一次函数及其图象的简单性质
【自主探索】
函数图象：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标与纵坐标，
在平面直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象
1.画出正比例函数的图象
解：列表
x……
y……

描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点.
连线：把这些点依次连接起来，得到的图象，它是.
2.(1)画出正比例函数的图象
(2)在所画的图象上任取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验
证它们是否都满足关系式
解：

3、根据上图回答下面问题
（1）满足关系式的所对应的点都在正比例函数的图象上吗？
（2）正比例函数的图象上的点都满足关系式吗？
（3）正比例函数的图象有何特点？你是怎样理解的？
小结
4、正比例函数的图象是一条经过_____________的_______.因此，画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这个与原点画直线就可以了。
5、在同一坐标系内画出正比例函数，，，的图象。
解：列表、描点，连线列表、描点，连线列表、描点，连线列表、描点，连线
（1）（2）（3）（4）

6、结论：在正比例函数中，
函数

函数
图象

过定点原点（0,0）原点（0,0）
变化趋势当，y的值随着x值的增大而增大；
当，y的值随着x值的增大而减少.

晚间训练：
7．下列图象哪个可能是函数y=-x的图象（）

ABCD
8、下列哪些点在正比例函数的图象上
（1,5），（-1，5），（0.5，-2.5），（-5,1）
9、函数的图象经过点P（3，－1），则的值为（）
A．3B．－3C．D．－
10、已知正比例函数的随的增大而增大，则函数的图象经过第__________象限。
11、下列正比例函数中，y的值随着x值得增大而减少的有
（1）（2）（3）（4）
12、关于正比例函数，下列说法正确的是（）
A.图象经过第一、三象限，y随x的增大而减少
B.图象经过第二、四象限，y随x的增大而减少
C.图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大
D.图象经过第二、四象限，y随x的增大而增大

13、若函数是正比例函数，则m=,则n=,
14、已知正比例函数，点（2，-3）在函数的图象上，则y随x的增大而.

15、已知函数
①若函数图象经过原点,求的值
②若这个函数是一次函数,且随着的增大而减小,求的取值范围。

16、在同一直角坐标系中画出下列函数的图像。
（1）y=x（2）y=-x

解：列表、描点，连线解：列表、描点、连线：

17、想一想
（1）正比例函数和中，随着x值得增大，y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能解释其中的道理吗？
（2）类似的，正比例函数和中，随着x值得增大，y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？

一次函数图

班级_____________姓名_____________
课题：§5.3一次函数的图像（1）（初二数学上050）A版
课型：新课
学习目标：（学习重点）
会画一次函数的图象，能对一次函数的图象和其函数关系式y＝kx＋b(k≠0)进行探索，并初步预测常数k与b的取值对于直线的位置所产生的影响.
补充例题：
例1．在同一平面直角坐标系中作出下列函数的图象.
（1）y＝12x；（2）y＝12x＋2；（3）y＝－3x；（4）y＝－3x＋2．
解：列表
x……
y＝12x
……
y＝12x＋2……
y＝－3x
y＝－3x＋2

小结：一次函数(k、b为常数，k≠0)的图象是；
一般地,直线y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点（0，）和（，0）；
正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是经过（0，）和（1，）的______．
例2．画出直线y=－12x+1
(1)结合图像观察，图像分布在哪些象限？
(2)试判断A（12，34），B（－1，2）是否在你所画的函数图像上．
（3）当x取何值时，函数y=－12x+1的值大于0？

例3．画出直线y＝－2x＋3，借助图象找出：（1）直线上横坐标是2的点；（2）直线上纵坐标是－3的点；（3）直线上到y轴距离等于2的点．
（4）当x取何值时，函数y=－2x＋3的值小于0？

例4．函数y＝－5x＋2与x轴的交点坐标是____，与y轴的交点坐标是________,图象与两坐标轴围成的三角形面积是.
例5．正方形ABCD的边长为2，点P是AD边上一动点，设AP=x.
⑴设梯形BCDP的面积为s，写出s与x的函数关系式.
⑵求x的取值范围.
⑶画出函数的图象.
课后续助：
一、填空题：
1．已知一次函数y＝2x＋4的图像经过点（m，8），则m＝________
2．已知直线y＝3x－8与x轴的交点坐标是____，与y轴的交点坐标是.图象与两坐标轴围成的三角形面积是.
3．若一次函数y＝k(x＋2)的图象与y轴的交点为（0，），则它的图象与x轴的交点坐标是_____________.
4．当x时，函数y=13x+1的值等于0，当x时，函数y=13x+1的值小于0，当x时，函数y=13x+1的值大于0.
二、选择题：
1．直线y＝2x＋3一定通过的两点是（）
A．(0,0)和（1，5）B．（－1.5，0）和(2，3)
C．(0，3)和(2，0)D．(－1.5，0)和(0，3)
2．一次函数y＝x－2的大致图象是（）
D
3．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系图象表示为

三、解答题
1．在同一平面直角坐标系中画出函数y＝x+2、y＝x－2、
y＝－x＋2、y＝－x－2的图象，这四条直线围成的是什么图形？

2.画出函数y＝－3x＋2的图象，借助图象找出：
（1）直线上横坐标是2的点，它的坐标是（，）
（2）直线上纵坐标是－1的点，它的坐标是（，）
（3）直线上到x轴的距离等于1的点，它的坐标是_______________
（4）直线上到y轴的距离等于2的点，它的坐标是_______________
（5）点（3、7）______（填“在”或“不在”）此图象上

3.求函数y＝32x－2与x轴、y轴的交点坐标，并求这条直线与
两坐标轴围成的三角形的面积.

4．已知一次函数y＝2x＋4与y＝bx－2的图象在x轴上相交于同一点，求b的值．

11．2一次函数

11．2一次函数
§11．2．1正比例函数
教学目标
１．认识正比例函数的意义．
２．掌握正比例函数解析式特点．
３．理解正比例函数图象性质及特点．
４．能利用所学知识解决相关实际问题．
教学重点
１．理解正比例函数意义及解析式特点．
２．掌握正比例函数图象的性质特点．
３．能根据要求完成转化，解决问题．
教学难点
正比例函数图象性质特点的掌握．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．
１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？
２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？
３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？
我们来共同分析：
一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：
25600÷（30×4+7）≈200（km）
若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：
y=200x（0≤x≤127）
这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即
y=200×45=9000（km）
以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．
类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．
Ⅱ．导入新课
首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？
１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．
２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．
３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．
４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．
答应:１．根据圆的周长公式可得：L=2r．
２．依据密度公式p=可得：m=7．8V．
３．据题意可知：h=0．5n．
４．据题意可知：T=-2t．
我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样．
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数（proportionalfunc-tion），其中k叫做比例系数．
我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？
[活动一]
画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．
１．y=2x２．y=-2x
结论：
１．函数y=2x中自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值：
x-3-2-10123
y-6-4-20246

画出图象如图（1）．
２．y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：
x-3-2-10123
y6420-2-4-6

画出图象如图（2）．
３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线．
不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；经过第二、四象限．
尝试练习：
在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较．
１．y=x２．y=-x
x-6-4-20246
y=x
-3-2-10123
Y=-x
3210-1-2-3

比较两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=x的图象从左向右上升，经过三、一象限，即随x增大y也增大；函数y=-x的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．
让学生在完成上述练习的基础上总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．当x0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们可以称它为直线y=kx．
[活动二]
经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系，完成由图象到关系式的转化，进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理．
结论：
经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．
画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）．因为两点可以确定一条直线．
Ⅲ．随堂练习
用你认为最简单的方法画出下列函数图象：
１．y=x２．y=-3x
Ⅳ．课时小结
本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．
Ⅴ．课后作业
1、习题11．2─1、2、6题．
2、《课堂感悟与探究》
Ⅵ．活动与探究
某函数具有下面的性质：
１．它的图象是经过原点的一条直线．
２．y随x增大反而减小．
请你举出一个满足上述条件的函数，写出解析式，画出图象．
解：函数解析式：y=-0．5x
x02
y0-1
板书设计
§11．2．1正比例函数
一、正比例函数定义
二、正比例函数图象特征
三、正比例函数图象特征与解析式的关系规律
四、随堂练习

备课资料
汽车由天津驶往相距120千米的北京，Ｓ（千米）表示汽车离开天津的距离，t（小时）表示汽车行驶的时间．如图所示
１．汽车用几小时可到达北京？速度是多少？
２．汽车行驶１小时，离开天津有多远？
３．当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？
解法一：用图象解答：
从图上可以看出4个小时可到达．
速度＝=30（千米／时）．
行驶１小时离开天津约为30千米．
当汽车距北京20千米时汽车出发了约3．3个小时．
解法二：用解析式来解答：
由图象可知：Ｓ与t是正比例关系，设S=kt，当t=4时S=120
即120=k×4k=30
∴S=30t．
当t=1时S=30×1=30（千米）．
当S=100时100=30tt=（小时）．
以上两种方法比较，用图象法解题直观，用解析式解题准确，各有优特点．