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高中必修一函数教案

发表时间:2020-12-17

函数与一次函数。

每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件,规划教案课件的时刻悄悄来临了。只有制定教案课件工作计划,未来的工作就会做得更好!你们了解多少教案课件范文呢?小编特地为您收集整理“函数与一次函数”,相信能对大家有所帮助。

函数与一次函数基础知识复习

1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x称为自变量,把y称为因变量,y是x的函数。
*判断A是否为B的函数,只要看B取值确定的时候,A是否有唯一确定的值与之对应

3、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法:
(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;
(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;
(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;
(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;
(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。

练习1.函数y=的自变量的取值范围是_______,函数y=的自变量的取值范围是_____。
2.函数y=的自变量的取值范围是()
Ax2Bx2Cx≥2Dx≤2
3.求下列函数自变量的取值范围:(12分)
⑴y=⑵y=
4.已知代数式有意义,则点P在第_______象限。
5、函数的图像
一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
6、函数解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);
第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。
练习1。在同一坐标系中,作出函数y=-2x与y=x+1的图象
8、函数的表示方法
列表法:一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法:简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示。
图象法:形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
9、正比例函数及性质
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
注:正比例函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取零
当k0时,直线y=kx经过三、一象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大;当k0时,直线y=kx经过二、四象限,从左向右下降,即随x增大y反而减小.
(1)解析式:y=kx(k是常数,k≠0)
(2)必过点:(0,0)、(1,k)
(3)走向:k0时,图像经过一、三象限;k0时,图像经过二、四象限
(4)增减性:k0,y随x的增大而增大;k0,y随x增大而减小
(5)倾斜度:|k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴

练习1、下列函数中,是正比例函数的是()
A、y=B、y=C、y=D、y=
2.已知函数y=(+2)x,y随x增大而()
A、增大B、减小C、与m有关D、无法确定
3.若函数是正比例函数,则,图像过______象限.
4.已知函数:①y=-x,②y=3x,③y=3x-1④y=3x2,⑤y=x3,⑥y=7-3x中,正比例函数有()
A.①⑤B.①④C.①③D.③⑥

10、一次函数及性质
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注:一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取任意实数
一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-,0)两点的一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b0时,向上平移;当b0时,向下平移)
练习1.一次函数,y随x的增大而减小,求这个一次函数的解析式。
2.下列关于x的函数中,是一次函数的是()

(1)解析式:y=kx+b(k、b是常数,k0)
练习1.已知直线经过点A(2,3),B(-1,-3),则直线解析式为________________。
2.已知一次函数y=(m+1)x+m+3。则m的取值范围是______。
3.已知一次函数的图象经过点(1,5),(-2,-3)求此函数的解析式。
4.
(2)必过点:(0,b)和(-,0)
练习1.一次函数y=-2x+4的图象与x轴交点坐标是,与y轴交点坐标是
(3)走向:k0,图象经过第一、三象限;k0,图象经过第二、四象限
b0,图象经过第一、二象限;b0,图象经过第三、四象限
直线经过第一、二、三象限
直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限
直线经过第二、三、四象限
练习1.在函数y=,y=,y=,y=x+8中,一次函数有()
A、1个B、2个C、3个D、4个
2.若函数y=(m+1)+2是一次函数,则m的值为()
A、m=±1B、m=-1C、m=1D、m≠-1
3.已知点A(1,a)在直线y=-2x+3上,则a=_。
4.已知点P在直线y=上,且点P到y轴的距离等于3个单位长度,则点P的坐标为_。
5.直线y=kx+b经过一、二、四象限,则k、b应满足()
A.k0,b0B.k0,b0C.k0,b0;D.k0,b0
6.关于函数,下列结论正确的是()
A.图象必经过点(﹣2,1)B.图象经过第一、二、三象限
C.当时,D.随的增大而增大
7.已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb0,则在直角坐标系内它的大致图象是()
A.B.C.D.
8.如果直线y=kx+b经过一、二、四象限,那么有()
A.k>0,b>0B.k>0,b<0C.k0,b<0D.k<0,b>0

9.一次函数y=3x-2的图象不经过的象限是()
A.第一象限B第二象限C.第三象限D第四象限

(4)增减性:k0,y随x的增大而增大;k0,y随x增大而减小.

练习1.一次函数的图象经过点P(1,3),且y随x的增大而增大,写出一个满足条件的函数关系式_。
2.若一次函数y=(1-2m)x+3的图象经过A(,)和B(,),当<时,<,则m的取值范围是()
A、m<0B、m>0C、m<D、m>
3.直线y=10x+4的函数值随自变量的增加而___。直线y=-4x+6的函数值随自变量的减少而___。
4.已知点(-4,y1),(2,y2)都在直线y=-x+2上,则y1y2大小关系是()
(A)y1y2(B)y1=y2(C)y1y2(D)不能比较
5.已知点(-4,y1),(2,y2)都在直线y=-12x+2上,则y1y2大小关系是()
A.y1y2B.y1=y2C.y1y2D.不能比较
6.已知函数y=(2m+1)x+m-3
(1)若函数图象经过原点,求m的值
(2)若这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,求m的取值范围.

(5)倾斜度:|k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于x轴.
(6)图像的平移:当b0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位;
当b0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

练习1.直线与平行,且经过(2,1),则k=,b=
11、一次函数y=kx+b的图象的画法.
根据几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下:是先选取它与两坐标轴的交点:(0,b),.即横坐标或纵坐标为0的点.

b0b0b=0
k0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限

图象从左到右上升,y随x的增大而增大
k0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限

图象从左到右下降,y随x的增大而减小

练习1.下列各组函数中,与y轴的交点相同的是()
A、y=5x与y=2x+3B、y=-2x+4与y=-2x-4
C、y=+3与y=-2x+3D、y=4x-1与y=x+1
2.若一次函数y=(1-2m)x+3的图象经过A(,)和B(,),当<时,<,则m的取值范围是()
A、m<0B、m>0C、m<D、m>
3.已知直线y=中,若ab>0,ac<0,那么这条直线不经过()
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
4.一次函数y=2x+6的图象与y轴相交,则交点坐标为_。
5.某个一次函数y=kx+b的图象位置大致如下图(1)所示,则k的取值范围为_,b的取值范围为_。
(图1)(图2)

12、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b0时,向上平移;当b0时,向下平移).
练习1.将直线y=3x-1向上平移3个单位,得直线_。
2.直线y=3x-2可由直线y=3x向平移单位得到。
3.直线y=x+2可由直线y=x-1向平移单位得到。

13、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
(1)两直线平行:k1=k2且b1b2
(2)两直线相交:k1k2
(3)两直线重合:k1=k2且b1=b2

练习1.已知直线y=2x与直线y=kx+3互相平行,则k的值为()
A、k=-2B、k=2C、k=±2D、无法确定k的值
14、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤:
(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;
(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程;
(3)解方程得出未知系数的值;
(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

练习1.已知一次函数y=kx+b的图象经过(-1,1)、(2,3)两点,则这个一次函数的关系式为_。

15、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值.从图象上看,相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

16、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b0或ax+b0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于0时,求自变量的取值范围.

17、一次函数与二元一次方程组
(1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.
(2)二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.

(18).一次函数应用。

练习1.直线y=-2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则b的值为()
A、4B、-4C、±4D、±2
2.已知函数,求:
(1)函数图象与x轴、y轴的交点坐标;
(2)当x取何值时,函数值是正数;
(3)求的图象与两坐标轴围成的三角形的面积。
3.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,-5),且与正比例函数y=x的图象相交于点(2,a),求
(1)a的值
(2)k,b的值
(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积.
4.一次函数的图象与x轴的交点坐标是______,与y轴的交点坐标是__,直线与两坐标轴所围成的三角形面积为_________.
(19)联系中考
1.(2009年济宁市)阅读下面的材料:
在平面几何中,我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线,给出它们平行的定义:设一次函数的图象为直线,一次函数的图象为直线,若,且,我们就称直线与直线互相平行.
解答下面的问题:
(1)求过点且与已知直线平行的直线的函数表达式,并画出直线的图象;
(2)设直线分别与轴、轴交于点、,如果直线:与直线平行且交轴于点,求出△的面积关于的函数表达式.
【关键词】一次函数
【答案】解:(1)设直线l的函数表达式为y=kx+b.
∵直线l与直线y=—2x—1平行,∴k=—2.
∵直线l过点(1,4),∴—2+b=4,∴b=6.
∴直线l的函数表达式为y=—2x+6.
直线的图象如图.
(2)∵直线分别与轴、轴交于点、,∴点、的坐标分别为(0,6)、(3,0).
∵∥,∴直线为y=—2x+t.
∴C点的坐标为.
∵t>0,∴.
∴C点在x轴的正半轴上.
当C点在B点的左侧时,;
当C点在B点的右侧时,.
∴△的面积关于的函数表达式为

2(2009黑龙江大兴安岭)邮递员小王从县城出发,骑自行车到A村投递,途中遇到县城中学的学生李明从A村步行返校.小王在A村完成投递工作后,返回县城途中又遇到李明,便用自行车载上李明,一起到达县城,结果小王比预计时间晚到1分钟.二人与县城间的距离(千米)和小王从县城出发后所用的时间(分)之间的函数关系如图,假设二人之间交流的时间忽略不计,求:
(1)小王和李明第一次相遇时,距县城多少千米?请直接写出答案.
(2)小王从县城出发到返回县城所用的时间.
(3)李明从A村到县城共用多长时间?

【关键词】一次函数的实际问题
【答案】(1)4千米,
(2)解法一:
84+1=85
解法二:求出解析式
84+1=85
(3)写出解析式
20+85=105

3.(2009年河北)某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块,A型板材规格是60cm×30cm,B型板材规格是40cm×30cm.现只能购得规格是150cm×30cm的标准板材.一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材,共有下列三种裁法:(图15是裁法一的裁剪示意
裁法一裁法二裁法三

A型板材块数120
B型板材块数2mn
设所购的标准板材全部裁完,其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y
张、按裁法三裁z张,且所裁出的A.B两种型号的板材刚好够用.
(1)上表中,m=,n=;
(2)分别求出y与x和z与x的函数关系式;
(3)若用Q表示所购标准板材的张数,求Q与x的函数关系式,
并指出当x取何值时Q最小,此时按三种裁法各裁标准板材
多少张?
【关键词】函数的运用
【答案】解:(1)0,3.
(2)由题意,得
,∴.
,∴.
(3)由题意,得.
整理,得.
由题意,得
解得x≤90.
【注:事实上,0≤x≤90且x是6的整数倍】
由一次函数的性质可知,当x=90时,Q最小.
此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张.

4.(2009年潍坊)某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务,有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱.供应这种纸箱有两种方案可供选择:
方案一:从纸箱厂定制购买,每个纸箱价格为4元;
方案二:由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱,机器租赁费按生产纸箱数收取.工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元,每加工一个纸箱还需成本费2.4元.
(1)若需要这种规格的纸箱个,请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用(元)和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用(元)关于(个)的函数关系式;
(2)假设你是决策者,你认为应该选择哪种方案?并说明理由.
解:(1)从纸箱厂定制购买纸箱费用:
蔬菜加工厂自己加工纸箱费用:

(2)

由,得:,
解得:.
当时,,
选择方案一,从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低.
当时,,
选择方案二,蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低.
当时,,
两种方案都可以,两种方案所需的费用相同.

5.(2009年牡丹江)某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召,计划生产、两种型号的冰箱100台.经预算,两种冰箱全部售出后,可获得利润不低于4.75万元,不高于4.8万元,两种型号的冰箱生产成本和售价如下表:
型号A型B型
成本(元/台)22002600
售价(元/台)28003000
(1)冰箱厂有哪几种生产方案?
(2)该冰箱厂按哪种方案生产,才能使投入成本最少?“家电下乡”后农民买家电(冰箱、彩电、洗衣机)可享受13%的政府补贴,那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元?
(3)若按(2)中的方案生产,冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品:体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学.其中体育器材至多买4套,体育器材每套6000元,实验设备每套3000元,办公用品每套1800元,把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下,请你直接写出实验设备的买法共有多少种.
【关键词】一次函数的实际问题
【答案】解:(1)设生产型冰箱台,则型冰箱为台,由题意得:
解得:
是正整数
取38,39或40.
有以下三种生产方案:
方案一方案二方案三
A型/台383940
B型/台626160

(2)设投入成本为元,由题意有:
随的增大而减小
当时,有最小值.
即生产型冰箱40台,型冰箱60台,该厂投入成本最少
此时,政府需补贴给农民
(3)实验设备的买法共有10种.

6.一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨,准备加工后进行销售,销售后获利的情况如下表所示:
销售方式粗加工后销售精加工后销售
每吨获利(元)10002000
已知该公司的加工能力是:每天能精加工5吨或粗加工15吨,但两种加工不能同时进行.受季节等条件的限制,公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完.
⑴如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜,则公司应安排几天精加工,几天粗加工?
⑵如果先进行精加工,然后进行粗加工.
①试求出销售利润W元与精加工的蔬菜吨数m之间的函数关系式;
②若要求在不超过10天的时间内,将140吨蔬菜全部加工完后进行销售,则加工这批蔬菜最多可获得多少利润?此时如何分配加工时间?
【答案】解:⑴设应安排x天进行精加工,y天进行粗加工,1分
根据题意得:x+y=12,5x+15y=140.3分
解得x=4,y=8.
答:应安排4天进行精加工,8天进行粗加工.4分
⑵①精加工m吨,则粗加工(140-m)吨,根据题意得:
W=2000m+1000(140-m)
=1000m+140000.6分
②∵要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完,
∴m5+140-m15≤10解得m≤5.8分
∴0<m≤5.
又∵在一次函数W=1000m+140000中,k=1000>0,
∴W随m的增大而增大,
∴当m=5时,Wmax=1000×5+140000=145000.9分
∴精加工天数为5÷5=1,
粗加工天数为(140-5)÷15=9.
∴安排1天进行精加工,9天进行粗加工,可以获得最多利润为145000元.10分.

精选阅读

一次函数图像


班级_____________姓名_____________
课题:§5.3一次函数的图像(2)(初二数学上060)A版
课型:新课
学习目标:(学习重点)
1.能根据k、b的符号说出一次函数y=kx+b的图象(直线)的大致情况.
2.理解并掌握一次函数y=kx+b的性质.
补充例题:
例1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象.
①y=2x-4y=12x+1

观察直线y=2x-4:
(1)图象与x轴的交点坐标是,与y轴的交点坐标是
(2)图象经过这些点:(-3,);(-1,);(0,);(,-2);(,2)
(3)当x的值越来越大时,y的值越来越
(4)整个函数图象来看,是从左至右(填上升或下降)
(5)当x取何值时,y0?
②y=-2x+2y=-13x-1

观察直线y=-2x+2:
(1)图象与x轴的交点坐标是,与y轴的交点坐标是
(2)图象经过这些点:(-3,);(-1,);(0,);(,-4);(,-8)
(3)当x的值越来越大时,y的值越来越
(4)整个函数图象来看,是从左至右(填上升或下降)
(5)当x取何值时,y0?
小结:一次函数y=kx+b有下列性质:1.当k>0时,y随x的增大而______,这时函数的图象从左到右_____;当k<0时,y随x的增大而______,这时函数的图象从左到右_____.
2.当b>0时,这时函数的图象与y轴的交点在______
当b>0时,这时函数的图象与y轴的交点在_____.
当b=0时,这时函数的图象与y轴的交点在_____.
3.当k>0,b>0时,一次函数图像经过______________象限.
当k>0,b<0时,一次函数图像经过______________象限.
当k<0,b>0时,一次函数图像经过______________象限.
当k<0,b<0时,一次函数图像经过______________象限.
当k>0,正比例函数图像经过______________象限.
当k<0,正比例函数图像经过______________象限.
补充例题:
例1.(1)一次函数y=kx+b的图象位置大致如下图所示,试分别确定k、b的符号,并说出函数的性质.
(2)下列图形中,表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m、n是常数,且mn≠0)的图象是()

例2.(1)若k>0,b>0,则直线y=kx+b的图象经过第___________象限.
(2)若k0,b>0,则直线y=kx+b的图象经过第___________象限.
(3)已知函数y=kx+b的图象不经过第二象限,则k______,b______.

例3.已知一次函数y=(m+5)x+(2-n).①m为何值时,y随x的增大而减少?②m、n为何值时,函数图像与y轴的交点在x轴上方?③m、n为何值时,函数图像过原点?④m、n为何值时,函数图像经过二、三、四象限?

例4.已知一次函数y=(1-2m)x+m-1,若函数y随x的增大而减小,并且函数的图象与y轴的交点在x轴下方,求m的取值范围.
课后续助:
一、填空题:
1.已知一次函数y=kx+5的图象经过点(-1,2),则k=_________.
2.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则k=_______,b=________.
3.若k<0,b<0,则一次函数y=kx+b的图象经过第______________象限.
4.已知直线l1:y=ax+b经过第一、二、四象限,那么直线l2:y=bx+a所经过的象限是.
5.(1)一次函数y=x-1的图象与x轴交点坐标为__________,与y轴的交点坐标为__________,y随x的增大而____________.
(2)一次函数y=-5x+4的图象经过___________象限,y随x的增大而________.
(3)一次函数y=kx+1的图象过点A(2,3),则k=_______,该函数图象经过点B(-1,____)和C(0,_____)
(4)已知函数y=mx+(m+2),当m________时,的图象过原点;当m________时,函数y值x随的增大而增大.
(5)写出一个y随x的增大而减少的一次函数_______.
二、选择题:
1.直线y=x+1不经过的象限是()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.下列函数中,y随x的增大而增大的函数是()
A.y=-3xB.y=-2x+1C.y=x-3D.y=-x-2
3.若函数y=(m-1)x+1是一次函数,且y随自变量x的增大而减小,那么m的取值为()A.m>1B.m≥1C.m<1D.m=1
4.已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb0,则它的大致图象是()

ABCD
三、解答题:
1.已知一次函数y=(p+8)x+(6-q).
①p、q为何值时,y随x的增大而增大?
②p、q为何值时,函数与y轴交点在x轴上方?
③p、q为何值时,图象过原点?
2.若一次函数y=(2k-3)x+2-k的图象与y轴的交点在x轴上方,且y随x的增大而增大,求k的取值范围.

3.已知一次函数y=ax+1+a2的图象与y轴的交点的纵坐标为5,且图象经过第一、二、三象限,求此函数的解析式.
4.已知一次函数y=(3m-8)x+1-m图象与y轴交点在x轴下方,且y随x的增大而减小,其中m为整数.
(1)求m的值;(2)当x取何值时,0<y<4?

11.2一次函数


11.2一次函数
§11.2.1正比例函数
教学目标
1.认识正比例函数的意义.
2.掌握正比例函数解析式特点.
3.理解正比例函数图象性质及特点.
4.能利用所学知识解决相关实际问题.
教学重点
1.理解正比例函数意义及解析式特点.
2.掌握正比例函数图象的性质特点.
3.能根据要求完成转化,解决问题.
教学难点
正比例函数图象性质特点的掌握.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
一九九六年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环.4个月零1周后人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它.
1.这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米(精确到10千米)?
2.这只燕鸥的行程y(千米)与飞行时间x(天)之间有什么关系?
3.这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米?
我们来共同分析:
一个月按30天计算,这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于:
25600÷(30×4+7)≈200(km)
若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km,那么它的行程y(千米)就是飞行时间x(天)的函数.函数解析式为:
y=200x(0≤x≤127)
这只燕鸥飞行1个半月的行程,大约是x=45时函数y=200x的值.即
y=200×45=9000(km)
以上我们用y=200x对燕鸥在4个月零1周的飞行路程问题进行了刻画.尽管这只是近似的,但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型.
类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多.它们都具备什么样的特征呢?我们这节课就来学习.
Ⅱ.导入新课
首先我们来思考这样一些问题,看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示?这些函数有什么共同特点?
1.圆的周长L随半径r的大小变化而变化.
2.铁的密度为7.8g/cm3.铁块的质量m(g)随它的体积V(cm3)的大小变化而变化.
3.每个练习本的厚度为0.5cm.一些练习本摞在一些的总厚度h(cm)随这些练习本的本数n的变化而变化.
4.冷冻一个0℃的物体,使它每分钟下降2℃.物体的温度T(℃)随冷冻时间t(分)的变化而变化.
答应:1.根据圆的周长公式可得:L=2r.
2.依据密度公式p=可得:m=7.8V.
3.据题意可知:h=0.5n.
4.据题意可知:T=-2t.
我们观察这些函数关系式,不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式,和y=200x的形式一样.
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数(proportionalfunc-tion),其中k叫做比例系数.
我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点,那么它的图象有什么特征呢?
[活动一]
画出下列正比例函数的图象,并进行比较,寻找两个函数图象的相同点与不同点,考虑两个函数的变化规律.
1.y=2x2.y=-2x
结论:
1.函数y=2x中自变量x可以是任意实数.列表表示几组对应值:
x-3-2-10123
y-6-4-20246

画出图象如图(1).
2.y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数,列表表示几组对应值:
x-3-2-10123
y6420-2-4-6

画出图象如图(2).
3.两个图象的共同点:都是经过原点的直线.
不同点:函数y=2x的图象从左向右呈上升状态,即随着x的增大y也增大;经过第一、三象限.函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态,即随x增大y反而减小;经过第二、四象限.
尝试练习:
在同一坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比较.
1.y=x2.y=-x
x-6-4-20246
y=x
-3-2-10123
Y=-x
3210-1-2-3

比较两个函数图象可以看出:两个图象都是经过原点的直线.函数y=x的图象从左向右上升,经过三、一象限,即随x增大y也增大;函数y=-x的图象从左向右下降,经过二、四象限,即随x增大y反而减小.
让学生在完成上述练习的基础上总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律:正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线.当x0时,图象经过三、一象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大;当k0时,图象经过二、四象限,从左向右下降,即随x增大y反而减小.
正是由于正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条直线,我们可以称它为直线y=kx.
[活动二]
经过原点与点(1,k)的直线是哪个函数的图象?画正比例函数的图象时,怎样画最简单?为什么?
让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系,完成由图象到关系式的转化,进一步理解数形结合思想的意义,并掌握正比例函数图象的简单画法及原理.
结论:
经过原点与点(1,k)的直线是函数y=kx的图象.
画正比例函数图象时,只需在原点外再确定一个点,即找出一组满足函数关系式的对应数值即可,如(1,k).因为两点可以确定一条直线.
Ⅲ.随堂练习
用你认为最简单的方法画出下列函数图象:
1.y=x2.y=-3x
Ⅳ.课时小结
本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征,并掌握图象特征与关系式的联系规律,经过思考、尝试,知道了正比例函数不同表现形式的转化方法,及图象的简单画法,为以后学习一次函数奠定了基础.
Ⅴ.课后作业
1、习题11.2─1、2、6题.
2、《课堂感悟与探究》
Ⅵ.活动与探究
某函数具有下面的性质:
1.它的图象是经过原点的一条直线.
2.y随x增大反而减小.
请你举出一个满足上述条件的函数,写出解析式,画出图象.
解:函数解析式:y=-0.5x
x02
y0-1
板书设计
§11.2.1正比例函数
一、正比例函数定义
二、正比例函数图象特征
三、正比例函数图象特征与解析式的关系规律
四、随堂练习

备课资料
汽车由天津驶往相距120千米的北京,S(千米)表示汽车离开天津的距离,t(小时)表示汽车行驶的时间.如图所示
1.汽车用几小时可到达北京?速度是多少?
2.汽车行驶1小时,离开天津有多远?
3.当汽车距北京20千米时,汽车出发了多长时间?
解法一:用图象解答:
从图上可以看出4个小时可到达.
速度==30(千米/时).
行驶1小时离开天津约为30千米.
当汽车距北京20千米时汽车出发了约3.3个小时.
解法二:用解析式来解答:
由图象可知:S与t是正比例关系,设S=kt,当t=4时S=120
即120=k×4k=30
∴S=30t.
当t=1时S=30×1=30(千米).
当S=100时100=30tt=(小时).
以上两种方法比较,用图象法解题直观,用解析式解题准确,各有优特点.

一次函数(1)


一次函数(1)〖教学目标〗

◆1、理解正比例函数、一次函数的概念。

◆2、会根据数量关系,求正比例函数、一次函数的解析式。◆3、会求一次函数的值。

〖教学重点与难点〗

◆教学重点:一次函数、正比例函数的概念和解析式。

◆教学难点:例2的问题情境比较复杂,学生缺乏这方面的经验。〖教学过程〗比较下列各函数,它们有哪些共同特征?提示:比较所含的代数式均为整式,代数式中表示自变量的字母次数都为一次。定义:一般地,函数叫做一次函数。当时,一次函数就成为叫做正比例函数,常数叫做比例系数。强调:(1)作为一次函数的解析式,其中中,哪些是常量,哪些是变量?哪一个是自变量,哪一个是自变量的函数?其中符合什么条件?(2)在什么条件下,为正比例函数?(3)对于一般的一次函数,它的自变量的取值范围是什么?做一做:下列函数中,哪些是一次函数?哪些是正比例函数?系数和常数项的值各为多少?例1:求出下列各题中与之间的关系,并判断是否为的一次函数,是否为正比例函数:(1)某农场种植玉米,每平方米种玉米6株,玉米株数与种植面积之间的关系。(2)正方形周长与面积之间的关系。(3)假定某种储蓄的月利率是0.16%,存入1000元本金后。本钱与所存月数之间的关系。此例是为了及时巩固一次函数、正比例函数的概念,相对比较容易,可以让学生自己完成。解:(1)因为每平方米种玉米6株,所以平方米能种玉米株。得,是的一次函数,也是正比例函数。(2)由正方形面积公式,得,不是的一次函数,也不是正比例函数。(3)因为该种储蓄的月利率是0.16%,存月所得的利息为,所以本息和,是的一次函数,但不是的正比例函数。练习:1.已知若是的正比例函数,求的值。2.已知是的一次函数,当时,;当时,(1)求关于的一次函数关系式。(2)求当时,的值。例2:按国家1999年8月30日公布的有关个人所得税的规定,全月应纳税所得额不超过500元的税率为5%,超过500元至2000元部分的税率为10%(1)设全月应纳税所得额为元,且。应纳个人所得税为元,求关于的函数解析式和自变量的取值范围。(2)小明妈妈的工资为每月2600元,小聪妈妈的工资为每月2800元。问她俩每月应纳个人所得税多少元?提示:此题较为复杂,而有关个人所得税的计算方法和一些专有名词学生可能很生疏。所以讲解时,首先要帮助学生理解问题,对个人所得税,应纳税所得额这些名词的含义要予以说明。尤其是根据累进税率计算个人所得税的方法,要举例说明。例如,某人某月工资收入为2400元,则应纳税所得额为,应纳个人所得税为。讲解第(2)题时,要提醒学生注意函数解析式中自变量的意义,表示的是工资中应纳税的部分,所以不能把题设中的工资额直接代入函数解析式计算个人所得税。解:(1)所求的函数解析式为,自变量的取值范围为。(2)小明妈妈的全月应纳税所得额为将代入函数解析式,得小聪妈妈的全月应纳税所得额为将代入函数解析式,得答:小明妈妈每月应纳个人所得税155元,小聪妈妈每月应纳个人所得税175元。练习:教科书,1,2。作业:教科书A组,B组;作业本(2)。

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