待定系数法。

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，帮助高中教师掌握上课时的教学节奏。那么，你知道高中教案要怎么写呢？小编经过搜集和处理，为您提供待定系数法，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

2.2.3待定系数法
一．学习目标
1.掌握常用函数的解析式形式；
2.掌握待定系数法求解析式的一般步骤；
二．知识点
1.待定系数法定义
一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式,可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做_________.
2.利用待定系数法解决问题的步骤：
○1确定所求问题含有待定系数解析式.
○2根据_______,列出一组含有待定系数的方程.
○3解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.
3.用待定系数法求二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
○1一般式：（a、b、c为常数，且）.
○2顶点式：（a、b、c为常数,）.
○3交点式：（a、、为常数,）.
要确定二次函数的解析式，就是要确定解析式中的_______，由于每一种形式中都含有___________，所以用待定系数法求二次函数解析式时，要具备三个独立条件.
三．例题
例1.已知一个正比例函数的图象经过点（－3，4），求这个函数的解析表达式.

变式：○1已知一次函数图象经过点（－4，15），且与正比例函数图象交于点（６，－５），求此一次函数和正比例函数的解析式.

○2若是一次函数，，求其解析式

例2．根据下列条件，求二次函数的解析式.
○1图象过点（2，0）、（4，0）及点（0，3）；
○2图象顶点为（1，2），并且图象过点（0，4）；
○3图象过点（1，1）、（0，2）、（3，5）.

四．限时训练
1.已知一次函数是增函数，则它的图象经过（）
A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限
2.抛物线()和在同一坐标系中如下图，正确的示意图是（）
3.已知二次函数的图象顶点为（2，－1），与轴交点坐标为（0，11），则（）
A.a=1,b=－4,c=－11B.a=3,b=12,c=11
C.a=3,b=－6,c=11D.a=3,b=－12,c=11
4.已知与成正比例，且当时，.则与的函数关系式______________.
5.已知一次函数有，则的解析式__________.
6.若函数，的图象关于直线对称，则为__________.
7.已知抛物线经过点（1，3），顶点是（2，2），则其解析式为___________.
8.抛物线与轴交于A，B,并且在轴上的截距为4，则其方程为_______________.
9.二次函数满足，且在轴上的一个截距为－1，在轴上的截距为3，则其方程为_______________.
10.在函数中，若，且，则该函数有最______值(填“大”或“小”)，且该值为___________.
11.已知是一次函数，且满足，求．

12.已知二次函数对任意实数满足关系式，且有最小值．又知函数的图象与轴有两个交点，它们之间的距离为，求函数的解析式．

13.已知是二次函数，且.求的解析式.

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1.5.2二项式系数的性质

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师缓解教学的压力，提高教学质量。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？以下是小编收集整理的“1.5.2二项式系数的性质”，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。

1.5.2二项式系数的性质

教学目标：
理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用
教学重点：
理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用
教学过程
一、复习引入：
1．二项式定理
，
2．二项展开式的通项公式：
二、讲解新课：
1二项式系数表（杨辉三角）
展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
2．二项式系数的性质：
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．
（2）增减性与最大值．∵，
∴相对于的增减情况由决定，，
当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．
（3）各二项式系数和：
∵，
令，则
三、例子
例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
证明：在展开式中，令，则，
即，
∴，
即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
说明：由性质（3）及例1知.
例2．已知，求：
（1）；（2）；（3）.
解：（1）当时，，展开式右边为
∴，
当时，，∴，
（2）令，①
令，②
①②得：，∴.
（3）由展开式知：均为负，均为正，
∴由（2）中①+②得：，
∴，
∴
例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
解：
=，
∴原式中实为这分子中的，则所求系数为
例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数
解：∵
∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，
在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为
∴展开式中含x的项为，
∴此展开式中x的系数为240
例5.已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项
解：依题意
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10
设第r+1项为常数项，又
令，
此所求常数项为180
课堂小节：本节课学习了二项式系数的性质
课堂练习：
课后作业：

归纳法

俗话说，凡事预则立，不预则废。教师要准备好教案，这是教师需要精心准备的。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助教师营造一个良好的教学氛围。你知道怎么写具体的教案内容吗？小编收集并整理了“归纳法”，相信您能找到对自己有用的内容。

普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-2[人教版B]
2.3.1数学归纳法

教学目标：
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学重点：
了解数学归纳法的原理
教学过程
一、复习：推理与证明方法
二、引入新课
1、数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.
3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；
(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确
4、例子
例1
用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，那么an=a1+(n－1)d对一切n∈N*都成立.
例2用数学归纳法证明
例3判断下列推证是否正确，若是不对，如何改正.
证明：①当n=1时，左边＝右边＝，等式成立
②设n=k时，有
那么，当n=k+1时，有
即n=k+1时，命题成立
根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立
课堂练习：第80页练习
课后作业：第82页A:1,2,3

函数表示法

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，高中教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助授课经验少的高中教师教学。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？下面是小编精心为您整理的“函数表示法”，仅供您在工作和学习中参考。

函数的表示方法
【本课重点】1、掌握函数的三种表示方法，并会用解析法研究两个变量的函数关系。
2、掌握分段函数的概念及表示方法。
【预习导引】
1.已知函数,则f(x2)为()
A.B.C.D.
2.已知函数,则函数f(-x)为()
A.B.-f(x)C.D.-f(x)
3.已知,当m=________时,f(x)为正比例函数;当m=________时,f(x)为反比例函数;当m=________时,f(x)二次函数.
4.已知一次函数f(x)=ax+b,满足f(2)=0,f(-2)=1,则f(x)=______________
【三基探讨】

【典例练讲】
例1.(1)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]=4x+3,求f(x).
(2)已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x+2,求f(x).

例2.(1)已知函数f(x)满足,求f(x).
(2)已知函数f(x)满足,求f(x).

例3（1）已知函数，求（1）的值，
（2）根据下图写出解析式（图是直线的一部分与抛物线的一部分组成）

例4（备选题）（1）设f(x)是R上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数x、y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)的解析式
（2）已知函数f(x)的定义域为,且满足,求f(x)的解析式.
【课后检测】
1.已知函数,函数g(x)=f[f(x)],下列命题中正确的是()
A.B.C.D.以上三个均不正确
2.已知函数g(x)=1-2x,,则的值是()
A.1B.3C.15D.30
3.已知f(x)=则f(f(x))的定义域为()
A.{x|x≠-1,x∈R}B.{x|x≠-1且x≠0,x∈R}
C.{x|x≠0,x∈R}D.{x|x≠-1且x≠-2,x∈R}

4.函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b),且f(2)=m,f(3)=n,则f(72)的值为____
5.已知函数,则_______
6、（1）已知二次函数的最大值等于13，且，求的解析式
(2)已知,若g[f(x)]=，求a的值
（3），求

7、已知函数在的图象如图所示，求此函数的表达式
（选做题）（1）已知3f(x)-2f(-x)=-2x+1,求f(x).
（2）已知对任意实数x,y都有f(x+y)=2f(y)+x2+2xy-y2+3x-3y,求f(x)的解析式
【感悟札记】

函数的表示法

俗话说，凡事预则立，不预则废。教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，减轻教师们在教学时的教学压力。那么怎么才能写出优秀的教案呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“函数的表示法”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

§1.2.2函数的表示法（二）——映射的概念
一、内容与解析
（一）内容：映射
（二）解析：⑴映射是两个集合与中，元素之间存在的某种对应关系.说其是一种特殊的对应，就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许存在“一对多”的对应.
⑵映射中只允许“一对一”与“多对一”这两种对应的特点，从到的映射:→实际是要求集合中的任一元素都必须对应于集合中唯一的元素.但对集合中的元素并无任何要求，即允许集合中的元素在集合中可能有一个元素与之对应，可能有两个或多个元素与之对应，也可能没有元素与之对应.
⑶映射中对应法则是有方向的，一般来说从集合到集合的映射与从集合到集合的映射是不同的.
(4)我们可以把对应关系看成一面镜子，集合中的元素在这面镜子中存在一个像，一个相对应的元素，原像则是集合中的元素.这样像和原像的概念就比较容易理解.并且映射中集合的每一个元素在集合中都有它的像，通过对应关系——即通过镜子总存在像，而且像是唯一的，不会“照”出许多的像来，这是映射区别于一般对应的本质特征.
二、目标及其解析：
（一）教学目标
（1）了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．
（2）解析：重点把握映射与函数的区别。
三、问题诊断分析
函数与映射的区别与联系
(1)函数包括三要素:定义域、值域、两者之间的对应关系;映射包括三要素:集合A,集合B,以及A,B之间的对应关系
(2)函数定义中的两个集合为非空数集;映射中两个集合中的元素为任意元素,如人、物、命题等都可以.
(3)在函数中,对定义域中的每一个,在值域中都有唯一确定的函数值和它对应;在映射中,对集合A中的任意元素,在集合B中都有唯一确定的像和它对应.
(4)在函数中,对值域中的每一个确定的函数值,在定义域中都有确定的自变量的值和它对应;在映射中,对于集合B中的任一元素,在集合A中不一定有原像.
(5)函数实际上就是非空数集A到非空数集B的一
个映射
(6)通过右图我们可以清晰的看到这三者的关系.

四、教学支持条件分析
在本节课一次递推的教学中，准备使用PowerPoint2003。因为使用PowerPoint2003，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。
五、教学过程
1.教学映射概念：
①先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意
,，对应法则：开平方；
，，对应法则：平方；
,,对应法则：求正弦；
②定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“”
关键:A中任意，B中唯一；对应法则f.
③分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？
④讨论：映射的一些对应情况？（一对一；多对一）一对多是映射吗？
→举例一一映射的实例（一对一）
2.教学例题：
①出示例1.探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？
A={P|P是数轴上的点}，B=R；A={三角形}，B={圆}；
A={P|P是平面直角体系中的点}，；A={高一某班学生}，B=？
（师生探究从A到B对应关系→辨别是否映射？一一映射？→小结：A中任意，B中唯一）
②讨论：如果是从B到A呢？
③练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则；
，对应法则；
，，；
设；
，
六、类型题探究
题型一映射的判断
例1下列集合到集合的对应中，判断哪些是到的映射?判断哪些是到的一一映射?
(1)，对应法则．
(2)，，，，．
(3)，，对应法则除以2得的余数．
(4)，，对应法则
．
【思维导图】

【解答关键】根据给出的f分析这个对应是否为“一对一”与“多对一”；若是则为映射，否则不是，再观察是不是一对一的对应，若是则为一一映射.
【规范解答】(1)是映射，不是一一映射，因为集合中有些元素(正整数)没有原像．
(2)是映射，是一一映射．不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数都存在倒数．
(3)是映射，因为集合中不同元素对应集合中相同的元素．
(4)是映射，不是一一映射，因为集合中的元素(如-4，4)都对应集合中的元素(2)．
【易错辨析】判断一个对应是不是映射或一一映射，应观察对应的特点；说明一个对应不是映射或一一映射，只须找出一个反例．对于一一映射是一种特殊的映射，它的判断主要考虑：若⑴A中的不同元素在B中有不同的像；⑵B中任何一个元素在A中都有原像，则这个映射就是一一映射.
【活学活用】1.下列集合到集合的对应是映射的是（）
A.：中的数平方；
B.：中的数求平方根；
C.：中的数取倒数；
D.：中的数取绝对值；
1．A.解析：B中错误在集合A中的元素1在集合B中有两个元素-1，1与之对应，因此不是映射.C，D中错误都在于集合中有0这个元素在集合B中没有相对应的元素.
题型二映射对应法则的应用
例2已知A={1，2，3，}，B={4，7,,},其中N+.若xA,yB,有对应关系：是从集合A到集合B的一个映射，且=4,=7,试求的值.

【解答关键】先通过已知条件求得，再通过分析映射的两个集合中元素之间的关系，得出m、n之间的方程，解得相应的参数值.
【规范解答】由=4,=7,列方程组：故对应法则为：.
由此判断A中元素3的像是或.若=10，因N+不可能成立,所以=10,解得=2或n=-5(舍去).
又当集合A中的元素的像是时,即=16,解得=5.
当集合A中的元素的像是时,即=10,解得=3.由元素唯一性知,=3舍去.
故=3,q=1,=5,=3或=3,q=1,=5,=2.
【归纳总结】通过该题，加深对映射的理解，加深对映射中对应法则的理解和应用.解好此题的关键是分清原象和象各是谁，对应法则是什么，对应法则是如何把象与原象联系在一起的.映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射.
【活学活用】2.设f:A→B是A到B的一个映射，其中A=B={（x，y）|x，y∈R}，f:（x，y）→（x－y，x+y），求A中元素（－1，2）的象和B中元素（－1，2）的原象.
2．这是一个映射的问题，由已知（x，y）的象为（x－y，x+y），确定了对应法则.
先求A中元素（－1，2）的象.令x=－1，y=2，
由题意得x－y=－1－2=－3，x+y=－1+2=1，所以（－1，2）的象为（－3，1）;
再求B中元素（－1，2）的原象.令解得
所以（－1，2）的原象是（，）.
题型三利用映射研究函数问题
例3设A={x∣0≤x≤2}，B={y∣1≤y≤2}，图中表示A到B的函数是（）

【解答关键】本题已知两个集合为数集，再根据图像观察是否为映射，便可得出是否为函数.
【规范解答】首先C图中，A中同一个元素x（除x=2)与B中两个元素对应，它不是映射，当然更不是函数；其次，A、B两图中，A所对应的“象”的集合均为{y∣0≤y≤2}，而{y∣0≤y≤2}B={y∣1≤y≤2}，故它们均不能构成的函数．从而答案选D．
【易混辨析】本题根据映射观点下的函数定义直接求解．考察函数图像与映射之间的关系，此类问题回到定义中去，牢牢掌握映射的概念，就很容易解决，而关于映射知识点的考察，一般也是对其概念进行考察.函数首先必须是映射，是当集合A与B均为非空数集时的映射．因此，判断一个对应是否能构成函数，应判断：①集合A与B是否为非空数集；②f：A→B能否为一个映射．另外，函数f：A→B中，象的集合M叫函数的值域，且MB．
【活学活用】3.图中表示的是从集合到集合的对应，其中能构成映射的是()

3.A解析：到的一个对应能否构成到的映射的关键是：集合中的任一元素都必须满足对应于集合中唯一的元素.因此，图象中必须满足对于的每一个值，必须有且只有唯一的值与之对应.不难得知应选A.
(二）小结
七、目标检测
一、选择题
1.设是集合A到B的映射，下列说法正确的是（）
A、A中每一个元素在B中必有像B、B中每一个元素在A中必有原像
C、B中每一个元素在A中的原像是唯一的D、B是A中所在元素的像的集合
1.A解析：是对映射概念的判断，对于答案B，D集合B中的元素在集合A中不一定有原像，因此也不是集合A中所在元素的像的集合.答案C自然也错.
2.下列各对应关系中,是从A到B的映射的有()

A、（2）（3）B、（1）（4）C、（2）（4）D、（1）（3）
2.D解析：（1）（3）这两个图所表示的对应都符合映射的定义，对于（2）中的元素都对应着两个元素，（4）中的元素没有元素与之对应.
3.点在映射下的对应元素为，则点在作用下的对应元素为()
A.B.C.D.
3.C解析：，.
4.已知映射f：A→B，其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的像，且对任意a∈A，在B中和它们对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是（）
A．4B．5C．6D．7
4.A解析：依题意，由A→B的对应法则为f：a→|a|．于是，将集合A中的7个不同元素分别取绝对值后依次得3，2，1，1，2，3，4．由集合元素的互异性可知，B={1，2，3，4}，它有4个元素，答案选A．
二、填空题
5.已知集合A={x∣0≤x≤4}，B={y∣0≤y≤2}，下列从A到B的对应f：①f：x→y=
②f：x→y=③f：x→y=④f：x→y=
（1）其中不是映射的是；（2）其中是一一映射的是．
5．（1）③，（2）①④解析：.③中当x=4时在集合B中找不到对应的像.②中集合B中的像x=2找不到对应的原像.
6.已知集合A=Z,B={x|x=2n＋1,nZ},C=R,且从A到B的映射是x→2x-1,从B到C的映射是x→,则从A到C的映射是____.
6.x→解析：A到C的映射为x→.
7.若映射f：A→B的像的集合是Y，原像的集合是X，则X与A的关系是______，Y和B的关系是_____.
7.A=XYB解析：是对映射概念的判断，显然X与A的关系是相等，因为B中每一个元素在A中不一定有原像，所以Y和B的关系是YB.
三、解答题
8.已知，，且从到的映射满足，试确定这样的映射的个数.
8.因为从到的映射满足，所以
⑴当时，有或或
⑵当时，有
综上，从到的映射中满足的映射的个数是4个.
9.已知映射f：A→B中，A=B={(x，y)∣x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x+2y+2，4x+y)．
（1）求A中元素（5，5）的像；
（2）求B中元素（5，5）的原像；
（3）是否存在这样的元素(a，b)，使它的像仍是自己？若有，求出这个元素．
9.（1）由题意有A中元素（5，5）的像为
（2）B中元素（5，5）的原像满足x+2y+2=5，4x+y=5，解得.
所以B中元素（5，5）的原像为(1，1)；
（3）假设存在这样的元素(a，b)，使它的像仍是自己
它满足方程组x=x+2y+2，y=4x+y．解得，此元素为（0，-1）．
高考能力演练
10.设A={(x，y)∣x∈R，y∈R}．如果由A到A的一一映射，使像集合中的元素(y-1，x+2)和原像集合中的元素(x，y)对应，那么像(3，-4)的原像是（）
A．（-5，5）B．（4，-6）C．（2，-2）D．（-6，4）
10.D解析：由像与原像的概念可知，本题中的对应法则是f：(x，y)→(y-1，x+2)，问题即：当点(y-1，x+2)是（3，-4）时，对应的x，y的值分别是多少？于是由
，即像（-3，4）的原像是（-6，4），选D．
11.已知集合，，其中，.若，，映射:→使中元素和中元素对应.求和的值.
11.∵中元素对应中元素，
∴中元素的象是，的象是，的象是.∴，或.
又，∴，解之，得.
∵的象是，∴，解之，得.
12.现代社会对破译密文的难度要求越来越高，有一种密码把英文的明文（真实文）按两个字母一组分组（如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组），例如：
Wishy.usuccess，分组为Wi，sh，y.，us，uc，ce，ss得到
,,,,,,,
其中英文的a，b，c，…，z的26个字母（不论大小写）依次对应的1，2，3，…，26这26个自然数，见表格：
abcdefghijklm
12345678910111213
n.pqrstuvwxyz
14151617181920212223242526
给出如下一个变换公式将明文转换为密文.如
→→，即ce变成mc（说明：29÷26余数为3）.
又如→→，即wi变成.a（说明：41÷26余数为15，105÷26余数为1）.
（1）按上述方法将明文star译成密文；
（2）若按上述方法将某明文译成的密文是kcwi，请你找出它的明文.
12.（1）将star分组：st，ar，对应的数组分别为，
由得→，→.
∴star翻译成密文为ggkw.
（2）由得
将kcwi分组：kc，wi，对应的数组分别为，,由得→→，→.
∴密文kcwi翻译成明文为g..d.