高考数学（理科）一轮复习空间的垂直关系学案含答案。

古人云，工欲善其事，必先利其器。作为高中教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，让高中教师能够快速的解决各种教学问题。那么一篇好的高中教案要怎么才能写好呢？以下是小编为大家收集的“高考数学（理科）一轮复习空间的垂直关系学案含答案”希望对您的工作和生活有所帮助。

学案44空间的垂直关系

导学目标：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．
自主梳理
1．直线与平面垂直
(1)判定直线和平面垂直的方法
①定义法．
②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条______直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也______这个平面．
(2)直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内______直线．
②垂直于同一个平面的两条直线______．
③垂直于同一直线的两个平面________．
2．直线与平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面内的________所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
一直线垂直于平面，说它们所成角为________；直线l∥α或lα，则它们成________角．
3．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法
①定义法．
②利用判定定理：一个平面过另一个平面的__________，则这两个平面垂直．
(2)平面与平面垂直的性质
两个平面垂直，则一个平面内垂直于________的直线与另一个平面垂直．
4．二面角的平面角
以二面角棱上的任一点为端点，在两个半平面内分别作与棱________的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．
自我检测
1．平面α⊥平面β的一个充分条件是()
A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥β
B．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥β
C．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β
D．存在一条直线l，l⊥α，l∥β
2．(2010浙江)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()
A．若l⊥m，mα，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，mα，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
3．(2011长沙模拟)对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；
②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；
③存在直线lα，直线mβ，使得l∥m；
④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.
其中，可以判定α与β平行的条件有()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
4．(2011十堰月考)已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是()
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
5．(2011大纲全国)已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________．
探究点一线面垂直的判定与性质
例1Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC.

变式迁移1
在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.证明：AB⊥VD.

探究点二面面垂直的判定与性质

例2(2011邯郸月考)如图所示，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1DC⊥平面ABCD.
变式迁移2(2011江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．
求证：(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.

探究点三直线与平面，平面与平面所成的角
例3(2009湖北)如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝2a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0λ≤2)．
(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有AC⊥BE；
(2)设二面角C—AE—D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθtanφ＝1，求λ的值．

变式迁移3(2009北京)如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC.
(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值．
(3)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
转化与化归思想综合应用
例(12分)已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是∠A＝60°的
菱形，又PD⊥底面ABCD，点M、N分别是棱AD、PC的中点.
(1)证明：DN∥平面PMB；
(2)证明：平面PMB⊥平面PAD.
多角度审题(1)在平面PMB内找到(或构造)一条直线与DN平行即可；(2)要证面PMB⊥面PAD，只需证明MB⊥面PAD即可．
【答题模板】
证明(1)
取PB中点Q，连接MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC的中点，所以QN∥BC∥MD，且QN＝MD，故四边形QNDM是平行四边形，
于是DN∥MQ.
又∵MQ平面PMB，DN平面PMB
∴DN∥平面PMB.[6分]
(2)∵PD⊥平面ABCD，MB平面ABCD，∴PD⊥MB.
又因为底面ABCD是∠A＝60°的菱形，且M为AD中点，
所以MB⊥AD.又AD∩PD＝D，所以MB⊥平面PAD.
又∵MB平面PMB，∴平面PMB⊥平面PAD.[12分]
【突破思维障碍】
立体几何的证明问题充分体现线面关系的转化思想，其思路为：
1．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直a⊥α；(2)判定定理1：m、nα，m∩n＝Al⊥m，l⊥nl⊥α；(3)判定定理2：a∥b，a⊥αb⊥α；(4)面面平行的性质：α∥β，a⊥αa⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥la⊥β.
2．证明线线垂直的方法：(1)定义：两条直线的夹角为90°；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a⊥α，bαa⊥b；(4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥αa⊥b.
3．证明面面垂直的方法：(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：aα，a⊥βα⊥β.
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011滨州月考)已知直线a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：
①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，nβ，则α⊥β；④若m∥α，α∩β＝n，则m∥n.
其中正确命题的个数是()
A．0B．1C．2D．3
3．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：
①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.
其中正确命题的序号是()
A．①②B．①④C．②④D．③④
4．(2011浙江)下列命题中错误的是()
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
5．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是()
A．一条直线B．一个圆
C．一个椭圆D．双曲线的一支
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝2a，则它的5个面中，互相垂直的面有________对．
7．(2011金华模拟)如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，
垂足为点H，有下列三个命题：
①点H是△A1BD的中心；
②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是____________．
8．正四棱锥S－ABCD底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2010山东)在如图所示的
几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.
(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；
(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．

10．(12分)(2009天津)如图，
在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝22.
(1)证明：PA∥平面BDE；
(2)证明：AC⊥平面PBD；
(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．
11．(14分)(2011杭州调研)如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点．
(1)求直线B1C与DE所成角的余弦值；
(2)求证：平面EB1D⊥平面B1CD；
(3)求二面角E－B1C－D的余弦值．
学案44空间的垂直关系
自主梳理
1．(1)②相交③垂直(2)①任意②平行③平行
2．射影直角0°3.(1)②一条垂线(2)交线4.垂直
自我检测
1．D2.B3.B4.D5.23
课堂活动区
例1解题导引线面垂直的判断方法是：证明直线垂直平面内的两条相交直线．即从“线线垂直”到“线面垂直”．
证明
(1)取AB中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，
故DE∥BC，且DE⊥AB，
∵SA＝SB，
∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.
∵SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE＝E，
∴AB⊥面SDE.而SD面SDE，∴AB⊥SD.
在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.
∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB＝A，
∴SD⊥平面ABC.
(2)若AB＝BC，则BD⊥AC，
由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD面ABC，
∴SD⊥BD.
∵SD⊥BD，BD⊥AC，SD∩AC＝D，
∴BD⊥平面SAC.
变式迁移1证明∵平面VAD⊥平面ABCD，
AB⊥AD，AB平面ABCD，
AD＝平面VAD∩平面ABCD，
∴AB⊥平面VAD.
∵VD平面VAD，∴AB⊥VD.
例2解题导引证明面面垂直，可先证线面垂直，即设法先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行．
证明如图所示，连接AC，BD，A1C1，则O为AC，BD的交点，O1为A1C1，B1D1的交点．
由棱柱的性质知：
A1O1∥OC，且A1O1＝OC，
∴四边形A1OCO1为平行四边形，
∴A1O∥O1C，
又A1O⊥平面ABCD，∴O1C⊥平面ABCD，
又O1C平面O1DC，
∴平面O1DC⊥平面ABCD.
变式迁移2
证明(1)如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，
所以直线EF∥平面PCD.
(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．
因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.
又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
例3解题导引高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一．有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查．
求这两种空间角的步骤：(几何法)．
根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)→认(指)→求．
(1)证明如图所示，连接BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD.
∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE.
(2)解如图所示，由SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
∴SD⊥CD.
又底面ABCD是正方形，
∴CD⊥AD.又SD∩AD＝D，
∴CD⊥平面SAD.
过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，故∠CFD是二面角C—AE—D的平面角，即∠CFD＝θ.
在Rt△BDE中，∵BD＝2a，DE＝λa，
∴tanφ＝DEBD＝λ2.
在Rt△ADE中，∵AD＝2a＝CD，DE＝λa，
∴AE＝aλ2＋2，
从而DF＝ADDEAE＝2λaλ2＋2.
在Rt△CDF中，tanθ＝CDDF＝λ2＋2λ，
由tanθtanφ＝1，得
λ2＋2λλ2＝1λ2＋2＝2λ2＝2.
由λ∈(0,2]，解得λ＝2，即为所求．
变式迁移3(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC.
(2)解∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE＝12BC.
又由(1)知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB.
又PA＝AB，∴△ABP为等腰直角三角形．
∴AD＝22AB.
在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴BC＝12AB.
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE＝DEAD＝BC2AD＝24.
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为24.
(3)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC.
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE.
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.
这时，∠AEP＝90°，
故存在点E使得二面角A—DE—P是直二面角．
课后练习区
1．C2.D3.C
4．D[两个平面α，β垂直时，设交线为l，则在平面α内与l平行的直线都平行于平面β，故A正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误．]
5．A
6．5
解析面PAB⊥面PAD，
面PAB⊥面ABCD，面PAB⊥面PBC，
面PAD⊥面ABCD，面PAD⊥面PCD.
7．①②③
解析由于ABCD—A1B1C1D1是正方体，所以A—A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°.
8.6＋2
解析如图取CD的中点F，SC的中点G，连接EF，GF，GE.
则AC⊥平面GEF，故动点P的轨迹是△EFG的三边．
又EF＝12DB＝2，
GE＝GF＝12SB＝62，
∴EF＋FG＋GE＝6＋2.
9．(1)证明因为MA⊥平面ABCD，
PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.
又BC平面ABCD，所以PD⊥BC.(2分)
因为四边形ABCD为正方形，
所以BC⊥DC.
又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.(4分)
在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，
所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF平面EFG，
所以平面EFG⊥平面PDC.(6分)
(2)解因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，
则PD＝AD＝2，
所以VP－ABCD＝13S正方形ABCDPD＝83.(8分)
由题意可知，DA⊥平面MAB，且PD∥MA，
所以DA即为点P到平面MAB的距离，
所以VP－MAB＝13×12×1×2×2＝23.(10分)
所以VP－MAB∶VP－ABCD＝1∶4.(12分)
10．(1)证明
设AC∩BD＝H，连接EH.在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又由题设，知E为PC的中点，故EH∥PA.又EH平面BDE，且PA平面BDE，
所以PA∥平面BDE.(4分)
(2)证明因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC.由(Ⅰ)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，
故AC⊥平面PBD.(8分)
(3)解由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．
由AD⊥CD，AD＝CD＝1，DB＝22，可得DH＝CH＝22，BH＝322.
在Rt△BHC中，tan∠CBH＝CHBH＝13.
所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为13.
(12分)
11．(1)解连接A1D，则由A1D∥B1C知，B1C与DE所成角即为A1D与DE所成角．(2分)
连接A1E，可设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，
则A1D＝2a，
A1E＝DE＝52a，
∴cos∠A1DE＝
A1D2＋DE2－A1E22A1DDE＝105.
∴直线B1C与DE所成角的余弦值是105.(6分)
(2)证明取B1C的中点F，B1D的中点G，
连接BF，EG，GF.∵CD⊥平面BCC1B1，
且BF平面BCC1B1，∴CD⊥BF.
又∵BF⊥B1C，CD∩B1C＝C，
∴BF⊥平面B1CD.(8分)
又∵GF綊12CD，BE綊12CD，
∴GF綊BE，∴四边形BFGE是平行四边形，
∴BF∥GE，∴GE⊥平面B1CD.
∵GE平面EB1D，
∴平面EB1D⊥B1CD.(10分)
(3)解连接EF.
∵CD⊥B1C，GF∥CD，∴GF⊥B1C.
又∵GE⊥平面B1CD，∴GE⊥B1C.
又∵GE∩GF＝G，∴B1C⊥平面GEF，∴EF⊥B1C，
∴∠EFG是二面角E－B1C－D的平面角．(12分)
设正方体的棱长为a，则在△EFG中，
GF＝12a，EF＝32a，GE⊥GF，∴cos∠EFG＝GFEF＝33，
∴二面角E－B1C－D的余弦值为33.(14分)

精选阅读

高考数学（理科）一轮复习直线与直线的位置关系学案含答案

学案48直线与直线的位置关系

导学目标：1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
自主梳理
1．两直线的位置关系
平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．
(1)两直线平行
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
l1∥l2________________________.
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2C2≠0)，
l1∥l2________________________.
(2)两直线垂直
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
l1⊥l2k1k2＝____.
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
l1⊥l2A1A2＋B1B2＝____.
2．两条直线的交点
两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________，因此，l1、l2是否有交点，就看l1、l2构成的方程组是否有________．
3．有关距离
(1)两点间的距离
平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝__________________________________.
(2)点到直线的距离
平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________________.
(3)两平行线间的距离
已知l1、l2是平行线，求l1、l2间距离的方法：
①求一条直线上一点到另一条直线的距离；
②设l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2之间的距离d＝________________.
自我检测
1．(2011济宁模拟)若点P(a,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－30表示的平面区域内，则实数a的值为()
A．7B．－7C．3D．－3
2．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点()
A．(0,4)B．(0,2)
C．(－2,4)D．(4，－2)
3．已知直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋p＝0，则ambn＝－1是直线l1⊥l2的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．(2009上海)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()
A．1或3B．1或5
C．3或5D．1或2
5．已知2x＋y＋5＝0，则x2＋y2的最小值是________.
探究点一两直线的平行与垂直
例1已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求满足以下条件的a、b的值：
(1)l1⊥l2且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且原点到这两条直线的距离相等．

变式迁移1已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)l1⊥l2时，求a的值．

探究点二直线的交点坐标
例2已知直线l1：4x＋7y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x＋3my－4＝0.当m为何值时，三条直线不能构成三角形．

变式迁移2△ABC的两条高所在直线的方程分别为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A的坐标为(1,2)，求BC边所在直线的方程．

探究点三距离问题
例3(2011厦门模拟)已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0.且l1与l2的距离是7510.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的12；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2∶5.
若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．

变式迁移3已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．
转化与化归思想的应用
例(12分)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
【答题模板】
解(1)设A′(x，y)，再由已知
∴A′－3313，413.[4分]
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则得M′613，3013.[6分]
设直线m与直线l的交点为N，则由
得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.[8分]
(3)方法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A(－1，－2)的对称点M′，N′均在直线l′上，
易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，[10分]
再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.[12分]
方法二∵l∥l′，∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)，
∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，∴由点到直线的距离公式得
|－2＋6＋C|22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C＝－9，[10分]
∴l′的方程为2x－3y－9＝0.[12分]
方法三设P(x，y)为l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，[10分]
∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.[12分]
【突破思维障碍】
点关于直线对称是轴对称中最基本的，要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段中点在对称轴上．直线关于点的对称可转化为点关于点的对称，直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称．
【易错点剖析】
(1)点关于线对称，不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题．
(2)线关于线对称，不能转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，不能转化为点关于点的对称问题．
1．在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系．解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题．判断两直线平行与垂直时，不要忘记考虑斜率不存在的情形，利用一般式则可避免分类讨论．
2．运用公式d＝|C1－C2|A2＋B2求两平行直线间的距离时，一定要把x、y项系数化为相等的系数．
3．对称思想是高考热点，主要分为中心对称和轴对称两种，关键要把握对称问题的本质，必要情况下可与函数的对称轴建立联系．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．直线3x＋2y＋4＝0与2x－3y＋4＝0()
A．平行B．垂直
C．重合D．关于直线y＝－x对称
2．(2011六安月考)若直线x＋ay－a＝0与直线ax－(2a－3)y－1＝0互相垂直，则a的值是()
A．2B．－3或1C．2或0D．1或0
3．已知直线l的倾斜角为3π4，直线l1经过点A(3,2)、B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于()
A．－4B．－2C．0D．2
4．P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为2，则P点坐标为()
A．(1,2)B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)
5．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a、b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是()
A.24，12B.2，22
C.2，12D.22，12

二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011重庆云阳中学高三月考)直线l1：x＋my＋6＝0和l2：3x－3y＋2＝0，若l1∥l2，则m的值为______．
7．设直线l经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l的距离最大时，直线l的方程为______________．
8．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是
①15°②30°③45°④60°⑤75°
其中正确答案的序号是________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011福州模拟)k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x＋4y－4＝0的交点在第一象限．

10．(12分)已知点P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，求过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程．

11．(14分)(2011杭州调研)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．
自主梳理
1．(1)k1＝k2且b1≠b2A1A2＝B1B2≠C1C2(2)－10
2．解交点唯一解3.(1)x2－x12＋y2－y12
(2)|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(3)②|C1－C2|A2＋B2
自我检测
1．D2.B3.A4.C
5.5
课堂活动区
例1解题导引运用直线的斜截式y＝kx＋b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．运用直线的一般式Ax＋By＋C＝0时，要特别注意A、B为0时的情况，求解两直线平行或垂直有关的问题并与求直线方程相联系，联立方程组求解，对斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法研究．
解(1)由已知可得l2的斜率必存在，且k2＝1－a.
若k2＝0，则a＝1.由l1⊥l2，l1的斜率不存在，∴b＝0.
又l1过(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0，
∴b＝3a－4＝－1，矛盾．∴此情况不存在，即k2≠0.
若k2≠0，即k1＝ab，k2＝1－a.
由l1⊥l2，得k1k2＝ab(1－a)＝－1.
由l1过(－3，－1)，得－3a＋b＋4＝0，
解之得a＝2，b＝2.
(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴l1的斜率存在，
∴k1＝k2，即ab＝1－a.
又原点到两直线的距离相等，且l1∥l2，
∴l1、l2在y轴上的截距互为相反数，即4b＝b.
解之得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.
∴a、b的值为2和－2或23和2.
变式迁移1解(1)方法一当a＝1时，
l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1与l2不平行；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1与l2不平行；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－a2x－3，
l2：y＝11－ax－(a＋1)，
l1∥l2－a2＝11－a，－3≠－a＋1，解得a＝－1，
综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．
方法二由A1B2－A2B1＝0，
得a(a－1)－1×2＝0.
由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，
∴l1∥l2aa－1－1×2＝0aa2－1－1×6≠0a2－a－2＝0，aa2－1≠6.
∴a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．
(2)方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1与l2不垂直；
当a≠1且a≠0时，l1：y＝－a2x－3，
l2：y＝11－ax－(a＋1)，
由－a211－a＝－1a＝23.
方法二由A1A2＋B1B2＝0，
得a＋2(a－1)＝0a＝23.
例2解题导引①转化思想的运用
三条直线l1、l2、l3不能构成三角形l1、l2、l3交于一点或至少有两条直线平行
三条直线交于一点l2与l3的交点在l1上l2与l3对应方程组的解适合l1的方程
②分类讨论思想的运用
本题依据直线的位置关系将不能构成三角形的情况分成两类，分类应注意按同一标准，不重不漏．
解当三条直线共点或至少有两条直线平行时，不能围成三角形．
①三条直线共点时，
由mx＋y＝0，2x＋3my＝4，得x＝42－3m2y＝－4m2－3m2(m2≠23)，
即l2与l3的交点为42－3m2，－4m2－3m2，
代入l1的方程得4×42－3m2＋7×－4m2－3m2－4＝0，
解得m＝13，或m＝2.
②当l1∥l2时，4＝7m，∴m＝47；
当l1∥l3时，4×3m＝7×2，∴m＝76；
当l2∥l3时，3m2＝2，即m＝±63.
∴m取集合－63，13，63，47，76，2中的元素时，三条直线不能构成三角形．
变式迁移2解可以判断A不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB，AC边上的高所在直线的方程分别为2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，
则可求得AB，AC边所在直线的方程分别为
y－2＝－32(x－1)，y－2＝x－1，
即3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0.
由3x＋2y－7＝0x＋y＝0，得B(7，－7)，
由x－y＋1＝02x－3y＋1＝0，得C(－2，－1)，
所以BC边所在直线的方程为2x＋3y＋7＝0.
例3解题导引在应用平行线间的距离公式求两条平行线间的距离时，应注意公式的适用条件，即在两条平行线的方程中x与y的系数化为分别对应相等的条件下，才能应用该公式．
如本例中求两条直线2x－y＋a＝0与－4x＋2y＋1＝0间的距离时，需将前一条直线化为－4x＋2y－2a＝0，或将后一条直线化为2x－y－12＝0后，再应用平行线间的距离公式．
解(1)∵l1：4x－2y＋2a＝0(a0)，l2：4x－2y－1＝0，
∴两条平行线l1与l2间的距离为d＝|2a＋1|25，
由已知，可得|2a＋1|25＝7510.
又a0，可解得a＝3.
(2)设点P的坐标为(x，y)，
由条件①，可知x0，y0.
由条件②和③，
可得|2x－y＋3|5＝|4x－2y－1|455|2x－y＋3|5＝2|x＋y－1|2，
化简得4|2x－y＋3|＝|4x－2y－1||2x－y＋3|＝|x＋y－1|，
于是可得，4|x＋y－1|＝|4x－2y－1|，
也就是4(x＋y－1)＝4x－2y－1，或4(x＋y－1)＝－4x＋2y＋1，
解得y＝12，或8x＋2y－5＝0.
当y＝12时，代入方程|2x－y＋3|＝|x＋y－1|，
解得x＝－30或x＝－230，均舍去．
由8x＋2y－5＝0|2x－y＋3|＝|x＋y－1|，
化简得8x＋2y－5＝0x－2y＋4＝0，或8x＋2y－5＝03x＝－2，
解得x＝19y＝3718或x＝－230y＝316(舍去)．
即存在满足题设条件的点P，其坐标为19，3718.
变式迁移3解方法一若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2的交点分别是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．
当直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，分别与直线l1，l2的方程联立，
由y＝kx－3＋1，x＋y＋1＝0，解得A3k－2k＋1，1－4kk＋1.
由y＝kx－3＋1，x＋y＋6＝0，解得B3k－7k＋1，1－9kk＋1.
由两点间的距离公式，得
3k－2k＋1－3k－7k＋12＋1－4kk＋1－1－9kk＋12＝25，
解得k＝0，即所求直线方程为y＝1.
综上可知，直线l的方程为x＝3或y＝1.
方法二因为两平行线间的距离
d＝|6－1|2＝522，
如图，直线l被两平行线截得的线段长为5，
设直线l与两平行线的夹角为θ，
则sinθ＝22，所以θ＝45°.
因为两平行线的斜率是－1，
故所求直线的斜率不存在或为0.
又因为直线l过点P(3,1)，
所以直线l的方程为x＝3或y＝1.
课后练习区
1．B2.C3.B4.C5.D
6．－17.3x－2y＋5＝08.①⑤
9．解由y＝kx＋3k－2x＋4y－4＝0，得x＝12－12k4k＋1y＝7k－24k＋1.(5分)
∵两直线的交点在第一象限，
∴12－12k4k＋107k－24k＋10，∴27k1.(11分)
即当27k1时，
两直线的交点在第一象限．(12分)
10．解设所求直线为l，由于l过点A且与点P1，P2距离相等，所以有两种情况，
(1)当P1，P2在l同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为
y－2＝5－3－4－2(x＋1)，即x＋3y－5＝0；(5分)
(2)当P1，P2在l异侧时，l必过P1P2的中点(－1,4)，此时l的方程为x＝－1.(10分)
∴所求直线的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
(12分)
11．解设点A(x，y)在l1上，
由题意知x＋xB2＝3，y＋yB2＝0，∴点B(6－x，－y)，(6分)
解方程组2x－y－2＝0，6－x＋－y＋3＝0，
得x＝113，y＝163，∴k＝163－0113－3＝8.(12分)
∴所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.(14分)

高考数学（理科）一轮复习空间点、线、面之间的位置关系学案

学案42空间点、线、面之间的位置关系

导学目标：1.理解空间直线、平面位置关系的含义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．
自主梳理
1．平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过______________的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线．
2．直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
共面直线异面直线：不同在任何一个平面内
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．
②范围：______________.
3．直线与平面的位置关系有________、______、________三种情况．
4．平面与平面的位置关系有______、______两种情况．
5．平行公理
平行于______________的两条直线互相平行．
6．定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________．
自我检测
1．(2011•泉州月考)若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是()
A．相交B．相交或异面
C．平行或异面D．平行、相交或异面
2．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b()
A．一定是异面直线B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线
3．如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()
4．(2010•全国Ⅰ)直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()
A．30°B．45°
C．60°D．90°
5．下列命题：
①空间不同三点确定一个平面；
②有三个公共点的两个平面必重合；
③空间两两相交的三条直线确定一个平面；
④三角形是平面图形；
⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；
⑥垂直于同一直线的两直线平行；
⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；
⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题是________．(填序号)
探究点一平面的基本性质
例1
如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.
(1)求AH∶HD；
(2)求证：EH、FG、BD三线共点．

变式迁移1
如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.
求证：B、D、O三点共线．

探究点二异面直线所成的角
例2(2009•全国Ⅰ)已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()
A.34B.54C.74D.34
变式迁移2(2011•淮南月考)在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝3，且AD⊥BC，对角线BD＝132，AC＝32，求AC和BD所成的角．
转化与化归思想的应用
例
(12分)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.
(1)求四棱锥的体积；
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．
多角度审题对(1)只需求出高PO，易得体积；对(2)可利用定义，过E点作PA的平行线，构造三角形再求解．
【答题模板】
解(1)在四棱锥P—ABCD中，∵PO⊥平面ABCD，
∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，[2分]
在Rt△AOB中，∵BO＝AB•sin30°＝1，又PO⊥OB，∴PO＝BO•tan60°＝3，
∵底面菱形的面积S＝2×12×2×2×32＝23，
∴四棱锥P—ABCD的体积VP—ABCD＝13×23×3＝2.[6分]
(2)
取AB的中点F，连接EF，DF，
∵E为PB中点，∴EF∥PA，
∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)．[8分]
在Rt△AOB中，
AO＝AB•cos30°＝3，
∴在Rt△POA中，PA＝6，∴EF＝62.
在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝3，
由余弦定理得cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF22DE•EF[10分]
＝32＋622－322×3×62＝6432＝24.
所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为24.[12分]
【突破思维障碍】
求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往将角的顶点取在其中的一条直线上，特别地，可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点．总之，顶点的选择要与已知量有关，以便于计算，具体步骤如下：
(1)利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上；(2)证明作出的角即为所求角；(3)利用三角形来求解，异面直线所成角的范围是(0°，90°]．
【易错点剖析】
1．求异面直线所成的角时，仅指明哪个角，而不进行证明．
2．忘记异面直线所成角的范围，余弦值回答为负值．
1．利用平面基本性质证明“线共点”或“点共线”问题：
(1)证明共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上，有时也可将问题转化为证明三点共线．
(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．
2．异面直线的判定方法：
(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．
(2)反证法：用此方法可以证明两直线是异面直线．
3．求异面直线所成的角的步骤：
(1)一般是用平移法(可以借助三角形的中位线、平行四边形等)作出异面直线的夹角；
(2)证明作出的角就是所求的角；
(3)利用条件求出这个角；
(4)如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()
A．异面B．相交
C．平行D．异面或相交
2．给出下列命题：
①若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；③一定存在平面α同时和异面直线a、b都平行．其中正确的命题为()
A．①B．②C．③D．①③
3．(2011•宁德月考)
如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为()
A．90°B．60°C．45°D．0°
4．(2009•全国Ⅱ)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()
A.1010B.15C.31010D.35
5．(2011•三明模拟)正四棱锥S—ABCD的侧棱长为2，底面边长为3，E为SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角为()
A．30°B．45°C．60°D．90°
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.则正确结论的序号是______．
7．(2009•四川)如图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
8．如图所示，正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011•温州月考)
如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．
求证：(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．

10．(12分)
在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P，Q，R分别是棱CC1，A1D1，A1B1的中点，画出过这三点的截面，并求这个截面的周长．

11．(14分)(2011•舟山模拟)
如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E为AB的中点．
(1)求证：AC⊥平面BDD1；
(2)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值．
(3)求点B到平面A1EC的距离．

学案42空间点、线、面之间的位置关系
自主梳理
1．两点不在一条直线上一条2.(1)平行相交
(2)①锐角或直角②0，π23.平行相交在平面内
4．平行相交5.同一条直线6.相等或互补
自我检测
1．D[a，c都与直线b异面，并不能确定直线a，c的关系．]
2．C[a，b是异面直线，直线c∥直线a.
因而cDb，
否则，若c∥b，则a∥b与已知矛盾，
因而cDb.]
3．C[A中PQ∥RS；B中RS∥PQ；
D中RS和PQ相交．]
4．C[
将直三棱柱ABC—A1B1C1补成如图所示的几何体．
由已知易知：该几何体为正方体．
连接C1D，则C1D∥BA1.
∴异面直线BA1与AC1所成的角为∠AC1D(或补角)，
在等边△AC1D中，∠AC1D＝60°.]
5．④
课堂活动区
例1解题导引证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证．
(1)解∵AEEB＝CFFB＝2，∴EF∥AC.
∴EF∥平面ACD.而EF⊂平面EFGH，
且平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH.
而EF∥AC，∴AC∥GH.
∴AHHD＝CGGD＝3，即AH∶HD＝3∶1.
(2)证明∵EF∥GH，且EFAC＝13，GHAC＝14，
∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．
令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，
P∈FG，FG⊂平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点．
变式迁移1证明∵E∈AB，H∈AD，
∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.
∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.
同理可证O∈平面BCD，
∴O∈平面ABD∩平面BCD，
即O∈BD，∴B、D、O三点共线．
例2解题导引高考中对异面直线所成角的考查，一般出现在综合题的某一步，求异面直线所成角的一般步骤为：
(1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点．
(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0°θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
D[
如图，A1D⊥平面ABC，且D为BC的中点，设三棱柱的各棱长为1，则AD＝32，由A1D⊥平面ABC知A1D＝12，Rt△A1BD中，易求A1B＝14＋14＝22.
∵CC1∥AA1，∴AB与AA1所成的角即为AB与CC1所成的角．在△A1BA中，由余弦定理可知cos∠A1AB＝1＋1－122×1×1＝34.∴AB与CC1所成的角的余弦值为34.]
变式迁移2解
如图所示，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连接EF、FH、HG、GE、GF.
由三角形的中位线定理知，EF∥AC，且EF＝34，GE∥BD，且GE＝134.GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角．
同理，GH∥AD，HF∥BC.GH＝12，HF＝32，
又AD⊥BC，∴∠GHF＝90°，∴GF2＝GH2＋HF2＝1.
在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2，
∴∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角为90°.
课后练习区
1．D
2．C[①错，c可与a、b都相交；
②错，因为a、c可能相交也可能平行；
③正确，例如过异面直线a、b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件．]
3．B[
将三角形折成三棱锥，如图所示，HG与IJ为一对异面直线，过D分别作HG与IJ的平行线，
因GH∥DF，
IJ∥AD，
所以∠ADF为所求，
因此HG与IJ所成角为60°.]
4．C[
如图所示，连接A1B，则A1B∥CD1故异面直线BE与CD1所成的角即为BE与A1B所成的角．设AB＝a，则A1E＝a，A1B＝5a，
BE＝2a.
△A1BE中，由余弦定理得
cos∠A1BE＝BE2＋A1B2－A1E22BE•A1B
＝2a2＋5a2－a22×2a×5a＝31010.]
5．C[设AC中点为O，则OE∥SC，连接BO，则∠BEO(或其补角)即为异面直线BE和SC所成的角，
EO＝12SC＝22，BO＝12BD＝62，
在△SAB中，cosA＝12ABSA＝322＝64
＝AB2＋AE2－BE22AB•AE，∴BE＝2.
在△BEO中，cos∠BEO＝BE2＋EO2－BO22BE•EO＝12，
∴∠BEO＝60°.
]
6．①③

解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，易知AB⊥EF，AB∥CM，EF与MN异面，MN⊥CD，故①③正确．
7．90°
解析延长A1B1至D，使A1B1＝B1D，则AB1∥BD，
∠MBD就是直线AB1和BM所成的角．设三棱柱的各条棱长为2，
则BM＝5，BD＝22，
C1D2＝A1D2＋A1C21－2A1D•A1C1cos60°
＝16＋4－2×4＝12.
DM2＝C1D2＋C1M2＝13，
∴cos∠DBM＝BM2＋BD2－DM22•BM•BD＝0，∴∠DBM＝90°.
8.36
解析如图，取PB中点N，连接CN、MN.
∠CMN为PA与CM所成的角(或补角)，
设PA＝2，则CM＝3，
MN＝1，CN＝3.
∴cos∠CMN＝MN2＋CM2－CN22MN•CM＝36.
9．证明(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，
∵E、F分别是AB和AA1的中点，
∴EF∥A1B，且EF＝12A1B，(2分)
又∵A1D1綊BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，
∴EF与CD1确定一个平面α，
∴E，F，C，D1∈α，
即E，C，D1，F四点共面．(6分)
(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝12CD1，
∴四边形CD1FE是梯形，
∴CE与D1F必相交，设交点为P，(8分)
则P∈CE⊂平面ABCD，且P∈D1F⊂平面A1ADD1，
∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.(10分)
又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，
∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．(12分)
10．解如图所示，连接QR并延长，分别与C1B1，C1D1的延长线交于E，F两点．
连接EP交BB1于M点，
连接FP交DD1于N点．
再连接RM，QN，则五边形PMRQN为过三点P，Q，R的截面．(3分)
由Q，R分别是边A1D1，A1B1的中点，知△QRA1≌△ERB1，(6分)
∴B1E＝QA1＝12a，
由△EB1M∽△EC1P，
知EM∶EP＝EB1∶EC1＝1∶3，(9分)
PM＝23EP＝2312a2＋32a2＝103a，
同理PN＝PM＝103a，
易求RM＝QN＝106a，QR＝22a，
∴五边形PMRQN的周长为10＋22a.
(12分)
11．(1)证明由已知有D1D⊥平面ABCD
得AC⊥D1D，又由ABCD是正方形，
得AC⊥BD，∵D1D与BD相交，∴AC⊥平面BDD1.(4分)
(2)解延长DC至G，使CG＝EB，连接BG、D1G，
∵CG綊EB，∴四边形EBGC是平行四边形．
∴BG∥EC.
∴∠D1BG就是异面直线BD1与CE所成的角．(6分)
在△D1BG中，D1B＝23，
BG＝5，D1G＝22＋32＝13.
∴cos∠D1BG＝D1B2＋BG2－D1G22D1B•BG
＝12＋5－132×23×5＝1515.
∴异面直线BD1与CE所成角的余弦值是1515.(8分)
(3)解连接A1B，
∵△A1AE≌△CBE，∴A1E＝CE＝5.
又∵A1C＝23，
∴点E到A1C的距离d＝5－3＝2.
∴S△A1EC＝12A1C•d＝6，
S△A1EB＝12EB•A1A＝1.(11分)
又∵VB—A1EC＝VC—A1EB，
设点B到平面A1EC的距离为h，
∴13S△A1EC•h＝13S△A1EB•CB，∴6•h＝2，h＝63.
∴点B到平面A1EC的距离为63.(14分)

高考数学（理科）一轮复习直线、圆的位置关系学案有答案

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃，有效的提高课堂的教学效率。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？小编经过搜集和处理，为您提供高考数学（理科）一轮复习直线、圆的位置关系学案有答案，相信能对大家有所帮助。

学案50直线、圆的位置关系

导学目标：1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．
自主梳理
1．直线与圆的位置关系
位置关系有三种：________、________、________.
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：
(1)代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式Δ
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：
dr________，d＝r________，dr________.
2．圆的切线方程
若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为____________________________．
注：点P必须在圆x2＋y2＝r2上．
经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上点P(x0，y0)的切线方程为________________________．
3．计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．
(2)代数方法
运用韦达定理及弦长公式
|AB|＝1＋k2|xA－xB|
＝1＋k2[xA＋xB2－4xAxB].
说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．
4．圆与圆的位置关系
(1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________.
判断圆与圆的位置关系常用方法：
(几何法)设两圆圆心分别为O1、O2，半径为r1、r2(r1≠r2)，则|O1O2|r1＋r2________；|O1O2|＝r1＋r2______；|r1－r2||O1O2|r1＋r2________；|O1O2|＝|r1－r2|________；0≤|O1O2||r1－r2|??________．
(2)已知两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则与两圆共交点的圆系方程为________________________________________________________________，其中λ为λ≠－1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆．
当λ＝－1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
自我检测
1．(2010江西)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围是()
A.－34，0
B.－∞，－34∪0，＋∞
C.－33，33
D.－23，0
2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()
A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0
C．x－3y＋4＝0D．x－3y＋2＝0
3．(2011宁夏调研)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有()
A．1条B．2条
C．3条D．4条
4．过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为()
A．2B．23C．3D．25
5．(2011聊城月考)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是()
A．相切B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心D．相离
探究点一直线与圆的位置关系
例1已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值时点P的坐标．

变式迁移1从圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程．

探究点二圆的弦长、中点弦问题
例2(2011汉沽模拟)已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．

变式迁移2已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线kx－y－4k＋3＝0.
(1)证明：不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点；
(2)求当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长．

探究点三圆与圆的位置关系
例3已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，
(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．

变式迁移3已知⊙A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，⊙B：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0.当a，b变化时，若⊙B始终平分⊙A的周长，求：
(1)⊙B的圆心B的轨迹方程；
(2)⊙B的半径最小时圆的方程．

探究点四综合应用
例4已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．

变式迁移4已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若O为坐标原点，且OM→ON→＝12，求k的值．
1．求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条．
2．解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式．这就是通常所说的“几何法”和“代数法”．
3．判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是()
A．相离B．相切或相交
C．相交D．相切
2．(2011珠海模拟)直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于()
A.3或－3B．－3或33
C．－33或3D．－33或33
3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()
A.3B．2
C.6D．23
4．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是()
A．(4,6)B．[4,6)
C．(4,6]D．[4,6]
5．(2010全国Ⅰ)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA→PB→的最小值为()
A．－4＋2B．－3＋2
C．－4＋22D．－3＋22

二、填空题(每小题4分，共12分)
6．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a0)的公共弦的长为23，则a＝________.
7．(2011三明模拟)已知点A是圆C：x2＋y2＋ax＋4y－5＝0上任意一点，A点关于直线x＋2y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________.
8．(2011杭州高三调研)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2的半径的最大值是________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)圆x2＋y2＝8内一点P(－1,2)，过点P的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点．
(1)当α＝3π4时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．

10．(12分)(2011湛江模拟)自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．

11．(14分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

学案50直线、圆的位置关系
自主梳理
1．相切相交相离(1)相交相切相离(2)相交相切相离2.x0x＋y0y＝r2(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r24.(1)相离外切相交内切内含相离外切相交内切内含(2)(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0
自我检测
1．A2.D3.B4.B5.B
课堂活动区
例1解题导引(1)过点P作圆的切线有三种类型：
当P在圆外时，有2条切线；
当P在圆上时，有1条切线；
当P在圆内时，不存在．
(2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类．
(3)切线长的求法：
过圆C外一点P作圆C的切线，切点为M，半径为R，
则|PM|＝|PC|2－R2.
解(1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.
①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，
由|k＋2|1＋k2＝2，解得k＝2±6，得y＝(2±6)x.
②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，
设直线方程为x＋y－a＝0，
由|－1＋2－a|2＝2，
得|a－1|＝2，即a＝－1，或a＝3.
∴直线方程为x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
综上，圆的切线方程为y＝(2＋6)x，或y＝(2－6)x，
或x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
(2)由|PO|＝|PM|，
得x21＋y21＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，
整理得2x1－4y1＋3＝0.
即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．
当|PM|取最小值时，即OP取得最小值，直线OP⊥l，
∴直线OP的方程为2x＋y＝0.
解方程组2x＋y＝0，2x－4y＋3＝0，得点P的坐标为－310，35.
变式迁移1解设圆切线方程为y－3＝k(x－2)，
即kx－y＋3－2k＝0，∴1＝|k＋2－2k|k2＋1，
∴k＝34，另一条斜率不存在，方程为x＝2.
∴切线方程为x＝2和3x－4y＋6＝0.
圆心C为(1,1)，∴kPC＝3－12－1＝2，
∴过两切点的直线斜率为－12，又x＝2与圆交于(2,1)，
∴过切点的直线为x＋2y－4＝0.
例2解题导引(1)有关圆的弦长的求法：
已知直线的斜率为k，直线与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点C到l的距离为d，圆的半径为r.
方法一代数法：弦长|AB|＝1＋k2|x2－x1|
＝1＋k2x1＋x22－4x1x2；
方法二几何法：弦长|AB|＝2r2－d2.
(2)有关弦的中点问题：
圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系．
解(1)方法一
如图所示，|AB|＝43，取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB，连接AC、BC，
则|AD|＝23，|AC|＝4，
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由点C到直线AB的距离公式，得|－2k－6＋5|k2＋－12＝2，
解得k＝34.
当k＝34时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.
∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.
方法二当直线l的斜率存在时，
设所求直线的斜率为k，
则直线的方程为y－5＝kx，即y＝kx＋5.
联立直线与圆的方程y＝kx＋5，x2＋y2＋4x－12y＋24＝0，
消去y，得(1＋k2)x2＋(4－2k)x－11＝0.①
设方程①的两根为x1，x2，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝2k－41＋k2，x1x2＝－111＋k2.②
由弦长公式，得1＋k2|x1－x2|
＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝43.
将②式代入，解得k＝34，
此时直线方程为3x－4y＋20＝0.
又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x＝0.
∴所求直线的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，
则CD⊥PD，即CD→PD→＝0，
(x＋2，y－6)(x，y－5)＝0，
化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
变式迁移2(1)证明由kx－y－4k＋3＝0，
得(x－4)k－y＋3＝0.
∴直线kx－y－4k＋3＝0过定点P(4,3)．
由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，
即(x－3)2＋(y－4)2＝4，
又(4－3)2＋(3－4)2＝24.
∴直线和圆总有两个不同的交点．
(2)解kPC＝3－44－3＝－1.
可以证明与PC垂直的直线被圆所截得的弦AB最短，因此过P点斜率为1的直线即为所求，其方程为y－3＝x－4，即x－y－1＝0.|PC|＝|3－4－1|2＝2，
∴|AB|＝2|AC|2－|PC|2＝22.
例3解题导引圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，有时得不到确切的结论，通常还是从圆心距d与两圆半径和、差的关系入手．
解对于圆C1与圆C2的方程，经配方后
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
(1)如果C1与C2外切，
则有m＋12＋－2－m2＝3＋2.
(m＋1)2＋(m＋2)2＝25.
m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.
(2)如果C1与C2内含，
则有m＋12＋m＋223－2.
(m＋1)2＋(m＋2)21，m2＋3m＋20，
得－2m－1，
∴当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切；
当－2m－1时，圆C1与圆C2内含．
变式迁移3解(1)两圆方程相减得公共弦方程
2(a＋1)x＋2(b＋1)y－a2－1＝0.①
依题意，公共弦应为⊙A的直径，
将(－1，－1)代入①得a2＋2a＋2b＋5＝0.②
设圆B的圆心为(x，y)，∵x＝ay＝b，
∴其轨迹方程为x2＋2x＋2y＋5＝0.
(2)⊙B方程可化为(x－a)2＋(y－b)2＝1＋b2.
由②得b＝－12[(a＋1)2＋4]≤－2，
∴b2≥4，b2＋1≥5.当a＝－1，b＝－2时，⊙B半径最小，
∴⊙B方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5.
例4解题导引这是一道探索存在性问题，应先假设存在圆上两点关于直线对称，由垂径定理可知圆心应在直线上，以AB为直径的圆经过原点O，应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量来解决．因此能否将问题合理地转换是解题的关键．
解圆C的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，
圆心为C(1，－2)．
假设在圆C上存在两点A、B，则圆心C(1，－2)在直线y＝kx－1上，即k＝－1.
于是可知，kAB＝1.
设lAB：y＝x＋b，代入圆C的方程，
整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)0，b2＋6b－90，
解得－3－32b－3＋32.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－b－1，x1x2＝12b2＋2b－2.
由OA⊥OB，知x1x2＋y1y2＝0，
也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，
∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0，
解得b＝－4或b＝1，均满足Δ0.
即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0.
变式迁移4解(1)方法一∵直线l过点A(0,1)且斜率为k，
∴直线l的方程为y＝kx＋1.
将其代入圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，
得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.①
由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k2)×70，
得4－73k4＋73.
方法二同方法一得直线方程为y＝kx＋1，
即kx－y＋1＝0.
又圆心到直线距离d＝|2k－3＋1|k2＋1＝|2k－2|k2＋1，
∴d＝|2k－2|k2＋11，解得4－73k4＋73.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由①得x1＋x2＝4＋4k1＋k2x1x2＝71＋k2，
∴OM→ON→＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝4k1＋k1＋k2＋8＝12k＝1(经检验符合题意)，∴k＝1.
课后练习区
1．C2.C3.D4.A5.D
6．17.－108.1
9．解(1)当α＝3π4时，kAB＝－1，
直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(3分)
故圆心(0,0)到AB的距离d＝|0＋0－1|2＝22，
从而弦长|AB|＝28－12＝30.(6分)
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4.由x21＋y21＝8，x22＋y22＝8，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即－2(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，
∴kAB＝y1－y2x1－x2＝12.(10分)
∴直线l的方程为y－2＝12(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.(12分)
10.
解已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切．(4分)
设l的方程为y－3＝k(x＋3)，则
|5k＋2＋3|12＋k2＝1，(8分)
即12k2＋25k＋12＝0.∴k1＝－43，k2＝－34.
则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0.
(12分)
11．解两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，
半径分别为11和61－m.
(1)当两圆外切时，5－12＋6－32＝11＋61－m.
解得m＝25＋1011.(4分)
(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离，故只有61－m－11＝5.
解得m＝25－1011.(8分)
(3)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0.(12分)
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为
2×112－|4＋3×3－23|42＋322＝27.(14分)

高考数学（理科）一轮复习双曲线学案含答案

学案52双曲线

导学目标：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．
自主梳理
1．双曲线的概念
平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a2c)，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a0，c0；
(1)当________时，P点的轨迹是________；
(2)当________时，P点的轨迹是________；
(3)当________时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)
y2a2－x2b2＝1(a0，b0)

图形

性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a
对称性对称轴：坐标轴
对称中心：原点对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点顶点坐标：
A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线y＝±bax
y＝±abx

离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2

实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系c2＝a2＋b2(ca0，cb0)
3.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________，其渐近线方程为________，离心率为________．
自我检测
1．(2011安徽)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()
A．2B．22
C．4D．42
2．已知双曲线x22－y2b2＝1(b0)的左、右焦点分别为F1、F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P(3，y0)在该双曲线上，则PF1→PF2→等于()
A．－12B．－2
C．0D．4
3．(2011课标全国)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()
A.2B.3
C．2D．3
4．(2011武汉调研)已知点(m，n)在双曲线8x2－3y2＝24上，则2m＋4的范围是__________________．
5．已知A(1,4)，F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，求|PF|＋|PA|的最小值．
探究点一双曲线的定义及应用
例1已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．

变式迁移1已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
探究点二求双曲线的标准方程
例2已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4,3)，求双曲线的标准方程．

变式迁移2(2011安庆模拟)已知双曲线与椭圆x29＋y225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________．
探究点三双曲线几何性质的应用
例3已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.
(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1||PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．

变式迁移3已知双曲线C：x22－y2＝1.
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)已知M点坐标为(0,1)，设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝MP→MQ→，求λ的取值范围．
方程思想的应用
例(12分)过双曲线x23－y26＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求|AB|；
(2)求△AOB的面积；
(3)求证：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.
多角度审题(1)要求弦长|AB|需要A、B两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB；(2)在(1)的基础上只要求点到直线的距离；(3)要充分联想到A、B两点在双曲线上这个条件．
【答题模板】
(1)解由双曲线的方程得a＝3，b＝6，
∴c＝a2＋b2＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．
直线AB的方程为y＝33(x－3)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y＝33x－3x23－y26＝1，得5x2＋6x－27＝0.[2分]
∴x1＋x2＝－65，x1x2＝－275，
∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋332x1＋x22－4x1x2＝433625＋1085＝1635.[4分]
(2)解直线AB的方程变形为3x－3y－33＝0.
∴原点O到直线AB的距离为d＝|－33|32＋－32＝32.[6分]
∴S△AOB＝12|AB|d＝12×1635×32＝1235.[8分]
(3)证明
如图，由双曲线的定义得
|AF2|－|AF1|＝23，
|BF1|－|BF2|＝23，[10分]
∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，
即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.[12分]
【突破思维障碍】
写出直线方程，联立直线方程、双曲线方程，消元得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|，再求点O到直线AB的距离从而求面积，最后利用双曲线的定义求证等式成立．
【易错点剖析】
在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ0，而导致错解．
1．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中a，b，c的大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．
2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程是y＝±abx.
3．双曲线标准方程的求法：(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c，即可求得方程．(2)待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是()
A．双曲线B．双曲线左边一支
C．双曲线右边一支D．一条射线
2．设点P在双曲线x29－y216＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于()
A．22B．16C．14D．12
3．(2011宁波高三调研)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为()
A.2B.3C．2D.5
4．双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P是双曲线右支上的一点，则分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是()
A．相交B．相离C．相切D．内含
5．(2011山东)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()
A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1
C.x23－y26＝1D.x26－y23＝1
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011上海)设m是常数，若点F(0,5)是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.
7．设圆过双曲线x29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为______．
8．(2011铜陵期末)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)根据下列条件，求双曲线方程：
(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)；
(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．

10．(12分)(2011广东)设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M(355，455)，F(5，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．

11．(14分)(2010四川)已知定点A(－1,0)，F(2,0)，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N.
(1)求E的方程；
(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．

学案52双曲线
自主梳理
1．双曲线焦点焦距(1)ac双曲线(2)a＝c两条射线(3)ac3.等轴双曲线y＝±xe＝2
自我检测
1．C[∵2x2－y2＝8，∴x24－y28＝1，
∴a＝2，∴2a＝4.]
2．C
3．B[设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入x2a2－y2b2＝1得y2＝b2(c2a2－1)＝b4a2，∴y＝±b2a，故|AB|＝2b2a，依题意2b2a＝4a，
∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e2－1＝2，∴e＝3.]
4．(－∞，4－23]∪[4＋23，＋∞)
5．解设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知
|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，
∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|.
∴当满足|PF1|＋|PA|最小时，|PF|＋|PA|最小．
由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，
故所求最小值为9.
课堂活动区
例1解题导引求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．
解设F(x，y)为轨迹上的任意一点，
因为A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，
所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a
(其中a表示椭圆的长半轴)．
所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|.
所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝122＋92－122＋52＝2.
所以|FA|－|FB|＝2.
由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．
所以点F的轨迹方程是y2－x248＝1(y≤－1)．
变式迁移1解
设动圆M的半径为r，则由已知得，|MC1|＝r＋2，
|MC2|＝r－2，
∴|MC1|－|MC2|＝22，
又C1(－4,0)，C2(4,0)，
∴|C1C2|＝8.∴22|C1C2|.
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以
C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．
∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.
∴点M的轨迹方程是x22－y214＝1(x≥2)．
例2解题导引根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选取方程的形式，当焦点不能定位时，则应分两种情况讨论．解决本题的方法有两种：一先定位，避免了讨论；二利用其渐近线的双曲线系，同样避免了对双曲线方程类型的讨论．在共渐近线的双曲线系x2a2－y2b2＝λ(参数λ≠0)中，当λ0时，焦点在x轴上；当λ0时，焦点在y轴上．
解方法一∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，
当x＝4时，y＝2yp＝3，
∴双曲线的焦点在y轴上．
从而有ab＝12，∴b＝2a.
设双曲线方程为y2a2－x24a2＝1，
由于点P(4,3)在此双曲线上，
∴9a2－164a2＝1，解得a2＝5.
∴双曲线方程为y25－x220＝1.
方法二∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，
即x2－y＝0，
∴双曲线的渐近线方程为x24－y2＝0.
设双曲线方程为x24－y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线过点P(4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.
∴所求双曲线方程为x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.
变式迁移2y24－x212＝1
解析由于在椭圆x29＋y225＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为(0，±4)，离心率e＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y轴上，坐标为(0，±4)，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，且c＝4，所以a＝12c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是双曲线的方程为y24－x212＝1.
例3解题导引双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等．
解(1)由16x2－9y2＝144，得x29－y216＝1，
∴a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1(－5,0)，
F2(5,0)，离心率e＝53，
渐近线方程为y＝±43x.
(2)||PF1|－|PF2||＝6，
cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|
＝|PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|22|PF1||PF2|
＝36＋64－10064＝0，
∴∠F1PF2＝90°.
变式迁移3解(1)因为a＝2，b＝1，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为y－22x＝0，y＋22x＝0.
(2)设P点坐标为(x0，y0)，则Q的坐标为(－x0，－y0)，
λ＝MP→MQ→＝(x0，y0－1)(－x0，－y0－1)
＝－x20－y20＋1＝－32x20＋2.
∵|x0|≥2，∴λ的取值范围是(－∞，－1]．
课后练习区
1．C2.A3.A4.C
5．A[∵双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，
圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．
又渐近线方程与圆C相切，
即直线bx－ay＝0与圆C相切，
∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①
又∵x2a2－y2b2＝1的右焦点F2(a2＋b2，0)为圆心C(3,0)，
∴a2＋b2＝9.②
由①②得a2＝5，b2＝4.
∴双曲线的标准方程为x25－y24＝1.]
6．16
解析由已知条件有52＝m＋9，所以m＝16.
7.1638.62
9．解(1)方法一由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，
(2分)
设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，
由题意，得ba＝43，－32a2－232b2＝1，
解得a2＝94，b2＝4.(4分)
所以双曲线的方程为49x2－y24＝1.(6分)
方法二设所求双曲线方程x29－y216＝λ(λ≠0)，(2分)
将点(－3,23)代入得λ＝14，(4分)
所以双曲线方程为x29－y216＝14，
即49x2－y24＝1.(6分)
(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意c＝25.(8分)
又双曲线过点(32，2)，∴322a2－4b2＝1.
又∵a2＋b2＝(25)2，
∴a2＝12，b2＝8.(10分)
故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.(12分)
10．解(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.
圆(x＋5)2＋y2＝4的圆心为F1(－5，0)，半径为2，
圆(x－5)2＋y2＝4的圆心为F(5，0)，半径为2.
由题意得|CF1|＝r＋2，|CF|＝r－2或|CF1|＝r－2，|CF|＝r＋2，
∴||CF1|－|CF||＝4.(4分)
∵|F1F|＝254.
∴圆C的圆心轨迹是以F1(－5，0)，F(5，0)为焦点的双曲线，其方程为x24－y2＝1.(6分)
(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，
∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，(8分)
且|MF|＝355－52＋455－02＝2.(9分)
直线MF的方程为y＝－2x＋25，与双曲线方程联立得
y＝－2x＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x＋84＝0.
解得x1＝14515(舍去)，x2＝655.
此时y＝－255.(11分)
∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为(655，－255)．(12分)
11．解(1)设P(x，y)，
则x－22＋y2＝2x－12，
化简得x2－y23＝1(y≠0)．(5分)
(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，与双曲线方程x2－y23＝1联立消去y，
得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0.
由题意知，3－k2≠0且Δ＞0.(7分)
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k2k2－3，x1x2＝4k2＋3k2－3，
y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2x1x2－2x1＋x2＋4
＝k24k2＋3k2－3－8k2k2－3＋4＝－9k2k2－3.
因为x1，x2≠－1，
所以直线AB的方程为y＝y1x1＋1(x＋1)．
因此M点的坐标为12，3y12x1＋1，
FM→＝－32，3y12x1＋1.
同理可得FN→＝－32，3y22x2＋1.
因此FM→FN→＝－32×－32＋9y1y24x1＋1x2＋1
＝94＋－81k2k2－344k2＋3k2－3＋4k2k2－3＋1＝0.(11分)
②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x＝2，则B(2,3)，C(2，－3)．
AB的方程为y＝x＋1，
因此M点的坐标为12，32，FM→＝－32，32.
同理可得FN→＝－32，－32.
因此FM→FN→＝－32×－32＋32×－32＝0.(13分)
综上，FM→FN→＝0，故FM⊥FN.
故以线段MN为直径的圆过点F.(14分)