导数及其应用。
古人云，工欲善其事，必先利其器。教师要准备好教案，这是每个教师都不可缺少的。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，帮助教师更好的完成实现教学目标。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“导数及其应用”，供您参考，希望能够帮助到大家。
第三章导数及其应用
知识体系总览
3.1导数的概念
知识梳理
1.平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度，即一段时间或一段位移内的速度；若物体的运动方程为则物体从到这段时间内的平均速度；一般的，函数在区间上的平均变化率为。
2.瞬时速度：是某一时刻或位置物体的速度，方向与物体运动方向相同。我们测量的瞬时速度是用很短时间内的平均速度来代替的，是对物体速度的一种粗略的估算。当平均速度中的无限趋近于0时，平均速度的极限称为在时刻的瞬时速度，记作v==。求瞬时速度的步骤为：
(1)设物体的运动方程为；
(2)先求时间改变量和位置改变量
(3)再求平均速度
(4)后求瞬时速度：瞬时速度v==.
3.求函数的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量．
（2）求平均变化率．
（3）取极限，得导数＝．
4.上点（）处的切线方程为;
3.1.1问题探索求自由落体的瞬时速度
典例剖析
题型一平均速度
例1．已知自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=，计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒….各段内平均速度（）。
分析：先求出，再求出，即为各段时间内的平均速度。
解：设指时间改变量；=指路程改变量。
则=；
所以t从3秒到3.1秒平均速度；
t从3秒到3.001秒平均速度；
t从3秒到3.0001秒平均速度；
评析：通过对各段时间内的平均速度计算，可以思考在各段时间内的平均速度的变化情况；可见某段时间内的平均速度随变化而变化。
题型二瞬时速度
例2.以初速度为做竖直上抛运动的物体，秒时的高度为求物体在时刻t=m处的瞬时速度。
分析：先求出平均速度,求瞬时速度。
解：
所以物体在时刻m处的瞬时速度。
评析：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.
备选题
例3：设函数，求：
（1）当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量；
（2）当自变量x由1变到1.1时，函数的增量；
（3）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；
解：（1）
（2）
（3）
评析：本题也可以由直接求解。
点击双基
1.在求平均变化率中，自变量的增量（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
解：故选D
2.一质点的运动方程是，则在一段时间内相应得平均速度为：（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
解：平均速度===，故选D
3、在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy）,则为（）
A.Δx++2B.Δx－－2C.Δx+2D.2+Δx－
解:==Δx+2，故选C
4.一物体位移s和时间t的关系是s=2t-3,则物体的初速度是
解：平均速度==2-3t,当t趋向0时，平均速度趋向2.
5.一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是
解：
课外作业：
一．选择题
1、若质点M按规律运动，则秒时的瞬时速度为（）
A．B．C．D．
解：，故选C
2、任一做直线运动的物体，其位移与时间的关系是，则物体的初速度是（）
A0B3C－2D
解：，故选B
3、设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（）
ABCD
解：=，故选D
4、物体的运动方程是，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为()
A．1B．2C．3D．4
解：，故选B
5、一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是（）
A．3米/秒B．2米/秒C．1米/秒D．4米/秒
解：，故选C
6、在曲线的图象上取一点（1,）及附近一点，则为（）
ABCD
解：=，故选C
7.．物体的运动规律是，物体在时间内的平均速度是（）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．当时，
解：由平均变化率知故选B
8.将边长为8的正方形的边长增加a,则面积的增量S为（）
A．16aB.64C.+8D.16a+a
解：S=S（8+a）-S（8）=（8+a-=16a+a故选D
二．填空题：
9、已知一物体的运动方程是，则其在________时刻的速度为7。
解：
10.物体运动方程y=+3x，则物体在时间段上的平均速度为＿＿＿＿＿＿
解：平均速度==9
11、当球半径r变化时，体积V关于r的瞬时变化率是＿＿＿＿＿＿
解：==4;所以瞬时变化率是。
三解答题：
12、环城自行车比赛运动员的位移与比赛时间满足（
求。
解
13.设一物体在秒内所经过的路程为米，并且，试求物体在运动第5秒末的速度。
解：
14、求函数y=-+4x+6在x=2时的瞬时变化率
解：平均变化率==-2x+4-
当x趋于0时,瞬时变化率为-2x+4,x=2,瞬时变化率为0.
思悟小结
求瞬时速度的步骤：
1．设物体的运动方程为；
2.先求时间改变量和位置改变量
3.再求平均速度
4.后求瞬时速度：当无限趋近于0，无限趋近于常数v，即为瞬时速度。
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2012届高考数学备考复习：导数及其应用
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专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
第五讲导数及其应用
【最新考纲透析】
1.导数概念及其几何意义
（1）了解导数概念的实际背景。
（2）理解导数的几何意义。
2．导数的运算
（1）能根据导数定义求函数的导数。
（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。
3．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
4．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题
5．定积分与微积分基本定理
（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。
（2）了解微积分基本定理的含义。
【核心要点突破】
要点考向1：利用导数研究曲线的切线
考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。
2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。
考向链接：1．导数的几何意义
函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）。
2．求曲线切线方程的步骤：
（1）求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。
注：①当曲线在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为；
②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。
例1：（2010海南高考理科T3）曲线在点处的切线方程为（）
（A）（B）（C）（D）
【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.
【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.
【规范解答】选A.因为，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A.
要点考向2：利用导数研究导数的单调性
考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各省市高考中的单调性问题，几乎均用它解决。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式考查，属中高档题目。
考向链接：利用导数研究函数单调性的一般步骤。
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式＞0或＜0。
②若已知的单调性，则转化为不等式≥0或≤0在单调区间上恒成立问题求解。
例2：（2010山东高考文科Ｔ21）已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论的单调性.
【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.
【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择.
【规范解答】（1）当
所以
因此，,即曲线
又
所以曲线
（2）因为,所以,令
当时，所以
当时，0，此时，函数单调递减；
当时，0，此时，函数单调递增.
当时，由，
即，解得.
①当时，，恒成立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减;
②当时，，
时，,此时,函数单调递减
时，0,此时,函数单调递增
时，，此时，函数单调递减
③当时，由于,
时，,此时,函数单调递减：
时，0,此时,函数单调递增.
综上所述：
当时，函数在上单调递减;函数在上单调递增
当时,函数在上单调递减
当时，函数在上单调递减；函数在上单调递增；
函数在上单调递减.
【方法技巧】1、分类讨论的原因
(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；
(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；
(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变；
(4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题的结果有多种可能.
2、分类讨论的原则
(1)要有明确的分类标准；
(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏；
(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行.
3、分类讨论的一般步骤
(1)明确讨论对象，确定对象的范围；
(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；
(3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果；
(4)归纳总结，得出结论.
要点考向3：利用导数研究函数的极值与最值
考情聚焦：1．导数是研究函数极值与最值问题的重要工具，几乎是近几年各省市高考中极值与最值问题求解的必用方法。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、或指、对数式结构，多以解答题形式出现，属中高档题。
考向链接：1．利用导数研究函数的极值的一般步骤：
（1）确定定义域。（2）求导数。（3）①或求极值，则先求方程=0的根，再检验在方程根左右值的符号，求出极值。（当根中有参数时要注意分类讨论）
②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程=0的根的大小或存在情况，从而求解。
2．求函数的极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
例3：（2010天津高考理科Ｔ2１）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
（III）如果，且，证明
【命题立意】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。
【思路点拨】利用导数及函数的性质解题。
【规范解答】
（Ⅰ）解：f’，令f’(x)=0,解得x=1，
当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
x()1()
f’(x)+0-
f(x)极大值
所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x1时，2x-20,从而’(x)0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。
又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).
(Ⅲ)证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以,即2。
要点考向4：利用导数研究函数的图象
考情聚焦：1．该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值（最值）、零点及数形结合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家的新宠。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。
例4：（2010福建高考理科Ｔ20）(Ⅰ)已知函数f(x)=x3-x，其图像记为曲线C.
（i）求函数f(x)的单调区间；
(ii)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f(x1）处的切线交于另一点P2（x2,f(x2).曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3f(x3)），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则为定值：
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题，并予以证明。
【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。
【思路点拨】第一步（1）利用导数求解函数的单调区间，（2）利用导数求解切线的斜率，写出切线方程，并利用定积分求解及其比值；第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题，并利用平移的方法进行证明。
【规范解答】（Ⅰ)(i)，令得到，令有，因此原函数的单调递增区间为和；单调递减区间为；
(ii)，，，因此过点的切线方程为：，即，由得，所以或，故，进而有，用代替，重复上面的计算，可得和，又，，因此有。
（Ⅱ）【命题】若对于任意函数的图像为曲线，其类似于(I)(ii)的命题为：若对任意不等于的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另外一点，线段、与曲线所围成面积为，则。
【证明】对于曲线，无论如何平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑的情形，，，，因此过点的切线方程为：
，联立，得到：，
化简：得到
从而所以同样运用(i)中方法便可以得到
所以。
【方法技巧】函数导数的内容在历届高考中主要切线方程、导数的计算，利用导数判断函数单调性、极值、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立几、解几等知识的联系，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用。
【高考真题探究】
1.（2010全国高考卷Ⅱ文科Ｔ7）若曲线在点处的切线方程是，则
（A）(B)
(C)(D)
【命题立意】本题考查了导数的几何意义和曲线的切线方程知识。
【思路点拨】由题意知，曲线在点处的切线的斜率为1，根据导数的几何意义得y在x=0
处的导数为1，再把（0，b）代入切线方程可以解出a、b的值。
【规范解答】选A，,在点处的切线方程是。
斜率为1，所以,所以.
2．（2010江西高考理科Ｔ１２）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为
【命题立意】本题将各知识点有机结合，属创新题型，主要考查对函数的图像识别能力，灵活分析问题和解决问题的能力，考查分段函数，考查分段函数的导数，考查分类讨论的数学思想，考查函数的应用，考查平面图形面积的计算，考查数形结合的思维能力．
【思路点拨】本题结合题意及图像的变化情况可用排除法；也可先求面积的函数，再求其导数，最后结合图像进行判断.
【规范解答】选A．方法一：在五角星匀速上升过程中露出的图形部分的面积共有四段不同变化情况，第一段和第三段的变化趋势相同，只有选项A、C符合要求，从而先排除B、D，在第二段变化中，面积的增长速度显然较慢，体现在导函数图像中其图像应下降，排除选项C，故选A.
方法二：设正五角星的一个顶点到内部较小正五边形的最近边的距离为1，且设，则依据题意可得：
其导函数故选A.
【方法技巧】从题设条件出发，结合所学知识点，根据“四选一”的要求，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.这种方法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的变化情况较多时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以排除，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中考查较多.
3．（2010全国高考卷Ⅱ理科Ｔ10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则[来
（A）64（B）32（C）16（D）8
【命题立意】本题主要考查了导数的几何意义，曲线的切线方程求法，考查考生的运算求解能力．
【思路点拨】先求出切线方程，然后表示出切线与两个坐标围成的三角形的面积。
【规范解答】选A，所以曲线在点处的切线：
所以，
【方法技巧】利用导数解决切线问题有两种类型：（1）“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率。（2）“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，
故应先设切点，再求切点坐标。
4．（2010北京高考理科Ｔ１8）已知函数()=In(1+)-+，(≥0)。
(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求()的单调区间。
【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一个易错点是忽视定义域。
【思路点拨】（1）求出，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由讨论的正负，从而确定单调区间。
【规范解答】（I）当时，，
由于，，
所以曲线在点处的切线方程为
即
（II），.
当时，.
所以，在区间上，；在区间上，.
故的单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时，
故的单调递增区间是.
当时，，得，.
所以在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是
【方法技巧】
（1）过的切线方程为。
（2）求单调区间时要在定义域内讨论内的正负。
5．（2010全国高考卷Ⅱ理科Ｔ22）设函数．
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．
【命题立意】本题考查了导数的单调性、极值等知识，结合不等式考查推理论证能力、运算求解能力，
考查分类讨论思想、化归与转化思想。
【思路点拨】（Ⅰ）可以构造函数，利用导数单调性，求当时的最值证明不等式成立，
（Ⅱ）可结合（Ⅰ）的结论和方法证明，要注意对a分类讨论.
【规范解答】（Ⅰ）当时，当且仅当
令，则
当时，是增函数；当时，是减函数；
于是g(x)在x=0处达到最小值，因而当时，即
所以当x-1时，
（Ⅱ）由题设，此时
当a0时，若，则不成立；
当a0时，令h(x)=axf(x)+f(x)-x，则.当且仅当
⑴当时，由（Ⅰ）知
=(2a-1)f(x)
h(x)在是减函数，即
⑵当a时，由⑴知x
当时，所以h(x)h(0)=0，即
综上，a的取值范围是[0,.
6．（2010江苏高考Ｔ20）设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质。
(1)设函数，其中为实数。
(i)求证：函数具有性质；(ii)求函数的单调区间。
(2)已知函数具有性质，给定设为实数，
，，且，
若||||，求的取值范围。
【命题立意】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。
【思路点拨】(1)求出，并将其表示为的形式，注意.
(2)利用一的结论求解。
【规范解答】
（1）(i)
∵时，恒成立，
∴函数具有性质；
(ii)（方法一）设，与的符号相同。
当时，，，故此时在区间上递增；
当时，对于，有，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，而，所以当x1时，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而
当时，，，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增。
（方法二）当时，对于，
所以，故此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而
当时，，，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增。
(2)（方法一）由题意，得：
又对任意的都有0，
所以对任意的都有，在上递增。
又。
当时，，且，
若，∴，（不合题意）。
综合以上讨论，得所求的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。
①当时，有，
，得，同理可得，所以由的单调性知、，
从而有||||，符合题设。
②当时，，
，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。
③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）
【跟踪模拟训练】
一、选择题（共6小题，每小题6分，总分36分）
1.若函数在R上可导，且，则（C）
A．B．C．D．无法确定
2．函数在定义域内可导，若，且当时，，设，，，则（D）
A．B．C．D．
3．设函数在上可导，且，则当时有(A)
A．B．
C．D．
4．设f(x)是函数f(x)的导函数，y=f(x)的图像如右图所示，则y=f(x)的图像最有可能的是（C）
5．在区间上的最大值是（C）
A．B．0C．2D．4
6．如图，函数的图象在点P处的切线是，则=（C）．
A．B．0C．D．不确定
二、填空题（共3小题，每小题6分，总分18分）
7．过原点作函数的图像的切线，则切点坐标是
8．函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,，若a1=16，则a1+a3+a5的值是________
9．函数的单调减区间为。
三、解答题（10、11小题各15分，12题16分）
10．已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.
11．（2010安徽安庆高三二模（文））已知函数.
⑴当时，求函数的最小值；
⑵若在上是单调函数，求的取值范围.
12．（2010届北京市朝阳区高三一模（文））已知函数，．
（Ⅰ）若函数在处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，若函数在上存在单调递增区间，求的取值范围．
参考答案
1．C
2．D
3．A
4．C
5．C
6．C
7．
8．【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。
【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由，即可求得切线与x轴交点的横坐标。
【规范解答】由y=x2(x0)得，，
所以函数y=x2(x0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：
当时，解得，
所以.
【答案】21
9．【解析】考查利用导数判断函数的单调性。
，
由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
【答案】
10．【解析】(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
当a0时，对x∈R有f′(x)0.
∴当a0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞).
(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,
∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1.f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1,
由（1）中f(x)的单调性可知，f(x)在x=-1处取得极大值
f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.
∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点，又f(-3)=
-19-3.f(3)=171,结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是
(-3,1).
11．解析：（1）当时，
………2分
令得或（，舍去负值）。………3分
函数及导数的变化情况如下表：
∴当时，函数的最小值是………6分
（2），………7分
令
要使在上为单调函数，只需对，都有或
，∴，∴………8分
①当时，恒成立即恒成立；………10分
②当时，，∴，∴恒成立；……12分
综上所述：当时，在上为单调函数………13分
12．解析：（Ⅰ）=.
因为函数在处取得极值，所以，解得.
于是函数，,.
函数在点处的切线的斜率，
则在点处的切线方程为.…………………………6分
（Ⅱ）当时，是开口向下的抛物线，要使在上存在子区间使，应满足或
解得，或，所以的取值范围是．……14分
【备课资源】
1．（2008全国Ⅱ）设曲线在点处的切线与直线平行，则（）
A．1B．C．D．
【解析】选A.，于是切线的斜率，∴有
2.（2009江西高考）设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率为()
【解析】选A.由已知g′(1)=2,而f′（x）=g′(x)+2x,
所以f′(1)=g′(1)+2×1=4.
3.若函数y=f(x)的导函数在区间［a,b］上是增函数，则函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象可能是()
【解析】选A.因为函数y=f(x)的导函数y=f′(x)在区间［a,b］上是增函数，即在区间［a,b］上各点处的斜率k是递增的，由图易知，选A.
4.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈(-,)时,f(x)=x+sinx,则（）
(A)f(1)f(2)f(3)
(B)f(2)f(3)f(1)
(C)f(3)f(2)f(1)
(D)f(3)f(1)f(2)
5.函数f(x)=x3+3ax2+3［(a+2)x+1］有极大值又有极小值,则a的取值范围是________.
【解析】f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),若f(x)既有极大值,又有极小值,则f′(x)=0有两个不等的实根,
即Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)0,a2-a-20,
解得a2或a-1.
答案:{a|a-1或a2}
6.（2009马鞍山模拟）由直线x=1,x=2,曲线y=sinx及x轴所围图形的面积为_________.
【解析】由已知方程
=cos1-(2cos21-1)=1+cos1-2cos21
答案：1+cos1-2cos21
7.已知函数
(1)求的导数;
(2)求证:不等式sin3x＞x3cosx在(0,]上恒成立;
(3)求的最大值.
9.（2009马鞍山模拟）已知函数f(x)=x2-alnx,
（1）若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值；
（2）若函数f(x)在(1,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围;
（3）讨论方程f(x)=0解的个数，并说明理由.
【解析】(1)∵f′(2)=1,∴a=2，
∵(2,f(2))在直线y=x+b上，
∴b=f(2)-2=2-2ln2-2=-2ln2.
10.（2009芜湖模拟）若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：
f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l：y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知h(x)=x2,φ(x)=2elnx(其中e为自然对数的底数).
(1)求F（x)=h(x)-φ(x)的极值;
(2)函数h(x)和φ(x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由.
11.（2009山东高考）已知函数f(x)=ax3+bx2+x+3,其中a≠0.
(1)当a,b满足什么条件时，f(x)取得极值?
(2)已知a0.且f(x)在区间(0,1］上单调递增，试用a表示出b的取值范围.
【解析】(1)由已知得f′(x)=ax2+2bx+1，令f′(x)=0得ax2+2bx+1=0.
若f(x)可取得极值,方程ax2+2bx+1=0必须有解，其中Δ=4b2-4a.
当Δ=(2b)2-4a≤0时无极值.
当Δ=(2b)2-4a0，即b2a时.
f′(x)=ax2+2bx+1=0有两个不同的解，即
因此f′(x)=a(x-x1)(x-x2),
①当a＞0时,f(x),f’(x)随x的变化情况如下表:
由此表可知f(x)在点x1,x2处分别取得极大值和极小值.
②当a＜0时,f(x),f’(x)随x的变化情况如下表:
由此表可知f(x)在点x1,x2处分别取得极大值和极小值.
综上所述,当a和b满足b2＞a时,f(x)能取得极值.
导数及其应用复习课导学案及练习题
题型一分类讨论思想在导数中的应用
例1设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.
(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论f(x)的极值.
跟踪1设函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的偶函数，当x∈[－1,0)时，f(x)＝x3－ax(a为实数).
(1)当x∈(0,1]时，求f(x)的解析式；
(2)若a3，试判断f(x)在(0,1]上的单调性，并证明你的结论；
(3)是否存在a，使得x∈(0,1]时，f(x)有最大值1?
题型二转化与化归思想在导数中的应用
例2设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数.
(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.
跟踪2如果函数f(x)＝2x2－lnx在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________.
题型三数形结合思想在导数中的应用
例3求函数f(x)＝x3－3ax＋2的极值，并说明方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根(其中a0)?
跟踪3已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a、b∈R且ab≠0)的图象如图所示，
若|x1||x2|，则()
A.a0，b0B.a0，b0
C.a0，b0D.a0，b0
【达标检测】
1.当a取下列哪个值时，函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点()
A.8B.6C.4D.2
2.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象的是()
3.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)2，则f(x)2x＋4的解集为()
A.(－1,1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－∞，＋∞)
4.设函数f(x)＝kx3－3x2＋1(k≥0).
(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的极小值大于0，求k的取值范围.
高三理科数学导数及其应用总复习教学案
一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，教师要准备好教案，这是教师需要精心准备的。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助教师能够更轻松的上课教学。那么怎么才能写出优秀的教案呢？下面是小编帮大家编辑的《高三理科数学导数及其应用总复习教学案》，仅供参考，欢迎大家阅读。
第三章导数及其应用
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考试要求重难点击命题展望
1.导数概念及其几何意义
(1)了解导数概念的实际背景；
(2)理解导数的几何意义.
2.导数的运算
(1)能根据导数定义，求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数；
(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.
3.导数在研究函数中的应用
(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；
(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
4.生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题.
5.定积分与微积分基本定理
(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；
(2)了解微积分基本定理的含义.本章重点：
1.导数的概念；
2.利用导数求切线的斜率；
3.利用导数判断函数单调性或求单调区间；
4.利用导数求极值或最值；
5.利用导数求实际问题最优解.
本章难点：导数的综合应用.导数与定积分是微积分的核心概念之一，也是中学选学内容中较为重要的知识之一.由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数、数列问题提供了更一般、更有效的方法.因此，本章知识在高考题中常在函数、数列等有关最值不等式问题中有所体现，既考查数形结合思想，分类讨论思想，也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力.考题可能以选择题或填空题的形式来考查导数与定积分的基本运算与简单的几何意义，而以解答题的形式来综合考查学生的分析问题和解决问题的能力.
知识网络
3.1导数的概念与运算
典例精析
题型一导数的概念
【例1】已知函数f(x)＝2ln3x＋8x，
求f(1－2Δx)－f(1)Δx的值.
【解析】由导数的定义知：
f(1－2Δx)－f(1)Δx＝－2f(1－2Δx)－f(1)－2Δx＝－2f′(1)＝－20.
【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx的极限.
【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可以近似地表示为f(t)＝t2100，则在时刻t＝10min的降雨强度为()
A.15mm/minB.14mm/min
C.12mm/minD.1mm/min
【解析】选A.
题型二求导函数
【例2】求下列函数的导数.
(1)y＝ln(x＋1＋x2)；
(2)y＝(x2－2x＋3)e2x；
(3)y＝3x1－x.
【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.
(1)y′＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)′
＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2.
(2)y′＝(2x－2)e2x＋2(x2－2x＋3)e2x
＝2(x2－x＋2)e2x.
(3)y′＝13(x1－x1－x＋x(1－x)2
＝13(x1－x1(1－x)2
＝13x(1－x)
【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝；f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(用数字作答).
【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2，
由导数定义f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f′(1).
当0≤x≤2时，f(x)＝4－2x，f′(x)＝－2，f′(1)＝－2.
题型三利用导数求切线的斜率
【例3】已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且l与C切于点P(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标.
【解析】由l过原点，知k＝y0x0(x0≠0)，又点P(x0，y0)在曲线C上，y0＝x30－3x20＋2x0，
所以y0x0＝x20－3x0＋2.
而y′＝3x2－6x＋2，k＝3x20－6x0＋2.
又k＝y0x0，
所以3x20－6x0＋2＝x20－3x0＋2，其中x0≠0，
解得x0＝32.
所以y0＝－38，所以k＝y0x0＝－14，
所以直线l的方程为y＝－14x，切点坐标为(32，－38).
【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.
【变式训练3】若函数y＝x3－3x＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程.
【解析】设切点为P(x0，y0)，则由
y′＝3x2－3得切线的斜率为k＝3x20－3.
所以函数y＝x3－3x＋4在P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(3x20－3)(x－x0).
又切线经过点(－2,2)，得
2－y0＝(3x20－3)(－2－x0)，①
而切点在曲线上，得y0＝x30－3x0＋4，②
由①②解得x0＝1或x0＝－2.
则切线方程为y＝2或9x－y＋20＝0.
总结提高
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数通常有以下两种求法：
(1)导数的定义，即求ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的值；
(2)先求导函数f′(x)，再将x＝x0的值代入，即得f′(x0)的值.
2.求y＝f(x)的导函数的几种方法：
(1)利用常见函数的导数公式；
(2)利用四则运算的导数公式；
(3)利用复合函数的求导方法.
3.导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，就是函数y＝f(x)的曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率.
3.2导数的应用(一)
典例精析
题型一求函数f(x)的单调区间
【例1】已知函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)，求函数f(x)的单调区间.
【解析】函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)的定义域是(1，＋∞).
f′(x)＝2x－a－ax－1＝2x(x－a＋22)x－1，
①若a≤0，则a＋22≤1，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤0时，f(x)的增区间为(1，＋∞).
②若a＞0，则a＋22＞1，
故当x∈(1，a＋22]时，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≤0；
当x∈[a＋22，＋∞)时，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≥0，
所以a＞0时，f(x)的减区间为(1，a＋22]，f(x)的增区间为[a＋22，＋∞).
【点拨】在定义域x＞1下，为了判定f′(x)符号，必须讨论实数a＋22与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.
【变式训练1】已知函数f(x)＝x2＋lnx－ax在(0,1)上是增函数，求a的取值范围.
【解析】因为f′(x)＝2x＋1x－a，f(x)在(0,1)上是增函数，
所以2x＋1x－a≥0在(0,1)上恒成立，
即a≤2x＋1x恒成立.
又2x＋1x≥22(当且仅当x＝22时，取等号).
所以a≤22，
故a的取值范围为(－∞，22].
【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时f′(x)≥0在(a，b)上恒成立；同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时f′(x)≤0在(a，b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.
题型二求函数的极值
【例2】已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由.
【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
因为x＝±1是函数f(x)的极值点，
所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的两根.
由根与系数的关系，得
又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1.③
由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.
(2)由(1)得f(x)＝12x3－32x，
所以当f′(x)＝32x2－32＞0时，有x＜－1或x＞1；
当f′(x)＝32x2－32＜0时，有－1＜x＜1.
所以函数f(x)＝12x3－32x在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数.
所以当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f(x)来讲，f(x)在点x＝x0处取极值的必要条件是f′(x)＝0.但是，当x0满足f′(x0)＝0时，f(x)在点x＝x0处却未必取得极值，只有在x0的两侧f(x)的导数异号时，x0才是f(x)的极值点.并且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f′(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值.
【变式训练2】定义在R上的函数y＝f(x)，满足f(3－x)＝f(x)，(x－32)f′(x)＜0，若x1＜x2，且x1＋x2＞3，则有()
A.f(x1)＜f(x2)B.f(x1)＞f(x2)
C.f(x1)＝f(x2)D.不确定
【解析】由f(3－x)＝f(x)可得f[3－(x＋32)]＝f(x＋32)，即f(32－x)＝f(x＋32)，所以函数f(x)的图象关于x＝32对称.又因为(x－32)f′(x)＜0，所以当x＞32时，函数f(x)单调递减，当x＜32时，函数f(x)单调递增.当x1＋x22＝32时，f(x1)＝f(x2)，因为x1＋x2＞3，所以x1＋x22＞32，相当于x1，x2的中点向右偏离对称轴，所以f(x1)＞f(x2).故选B.
题型三求函数的最值
【例3】求函数f(x)＝ln(1＋x)－14x2在区间[0,2]上的最大值和最小值.
【解析】f′(x)＝11＋x－12x，令11＋x－12x＝0，化简为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2或x2＝1，其中x1＝－2舍去.
又由f′(x)＝11＋x－12x＞0，且x∈[0,2]，得知函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，同理，得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，所以f(1)＝ln2－14为函数f(x)的极大值.又因为f(0)＝0，f(2)＝ln3－1＞0，f(1)＞f(2)，所以，f(0)＝0为函数f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln2－14为函数f(x)在[0,2]上的最大值.
【点拨】求函数f(x)在某闭区间[a，b]上的最值，首先需求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后，将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数f(x)在[a，b]上的最值.
【变式训练3】(2008江苏)f(x)＝ax3－3x＋1对x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝.
【解析】若x＝0，则无论a为何值，f(x)≥0恒成立.
当x∈(0,1]时，f(x)≥0可以化为a≥3x2－1x3，
设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝3(1－2x)x4，
x∈(0，12)时，g′(x)＞0，x∈(12，1]时，g′(x)＜0.
因此g(x)max＝g(12)＝4，所以a≥4.
当x∈[－1,0)时，f(x)≥0可以化为
a≤3x2－1x3，此时g′(x)＝3(1－2x)x4＞0，
g(x)min＝g(－1)＝4，所以a≤4.
综上可知，a＝4.
总结提高
1.求函数单调区间的步骤是：
(1)确定函数f(x)的定义域D；
(2)求导数f′(x)；
(3)根据f′(x)＞0，且x∈D，求得函数f(x)的单调递增区间；根据f′(x)＜0，且x∈D，求得函数f(x)的单调递减区间.
2.求函数极值的步骤是：
(1)求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)判断f′(x)在方程根左右的值的符号，确定f(x)在这个根处取极大值还是取极小值.
3.求函数最值的步骤是：
先求f(x)在(a，b)内的极值；再将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3.3导数的应用(二)
典例精析
题型一利用导数证明不等式
【例1】已知函数f(x)＝12x2＋lnx.
(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的值域；
(2)求证：x＞1时，f(x)＜23x3.
【解析】(1)由已知f′(x)＝x＋1x，
当x∈[1，e]时，f′(x)＞0，因此f(x)在[1，e]上为增函数.
故f(x)max＝f(e)＝e22＋1，f(x)min＝f(1)＝12，
因而f(x)在区间[1，e]上的值域为[12，e22＋1].
(2)证明：令F(x)＝f(x)－23x3＝－23x3＋12x2＋lnx，则F′(x)＝x＋1x－2x2＝(1－x)(1＋x＋2x2)x，
因为x＞1，所以F′(x)＜0，
故F(x)在(1，＋∞)上为减函数.
又F(1)＝－16＜0，
故x＞1时，F(x)＜0恒成立，
即f(x)＜23x3.
【点拨】有关“超越性不等式”的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.
【变式训练1】已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时()
A.f′(x)＞0，g′(x)＞0B.f′(x)＞0，g′(x)＜0
C.f′(x)＜0，g′(x)＞0D.f′(x)＜0，g′(x)＜0
【解析】选B.
题型二优化问题
【例2】(2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
【解析】(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
即n＝mx－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x
＝256(mx－1)＋mx(2＋x)x
＝256mx＋mx＋2m－256.
(2)由(1)知f′(x)＝－256mx2＋12mx＝m2x2(x－512).
令f′(x)＝0，得x＝512.所以x＝64.
当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数.
所以f(x)在x＝64处取得最小值.
此时n＝mx－1＝64064－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小.
【变式训练2】(2010上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).
【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，
则由已知可得4(4r＋2h)＝9.6，所以2r＋h＝1.2.
S＝2.4πr－3πr2，h＝1.2－2r＞0，所以r＜0.6.
所以S＝2.4πr－3πr2(0＜r＜0.6).
令f(r)＝2.4πr－3πr2，则f′(r)＝2.4π－6πr.
令f′(r)＝0得r＝0.4.所以当0＜r＜0.4，f′(r)＞0；
当0.4＜r＜0.6，f′(r)＜0.
所以r＝0.4时S最大，Smax＝1.51.
题型三导数与函数零点问题
【例3】设函数f(x)＝13x3－mx2＋(m2－4)x，x∈R.
(1)当m＝3时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β.若对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】(1)当m＝3时，f(x)＝13x3－3x2＋5x，f′(x)＝x2－6x＋5.
因为f(2)＝23，f′(2)＝－3，所以切点坐标为(2，23)，切线的斜率为－3，
则所求的切线方程为y－23＝－3(x－2)，即9x＋3y－20＝0.
(2)f′(x)＝x2－2mx＋(m2－4).
令f′(x)＝0，得x＝m－2或x＝m＋2.
当x∈(－∞，m－2)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，m－2)上是增函数；
当x∈(m－2，m＋2)时，f′(x)＜0，f(x)在(m－2，m＋2)上是减函数；
当x∈(m＋2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(m＋2，＋∞)上是增函数.
因为函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且f(x)＝13x[x2－3mx＋3(m2－4)]，
所以
解得m∈(－4，－2)∪(－2,2)∪(2,4).
当m∈(－4，－2)时，m－2＜m＋2＜0，
所以α＜m－2＜β＜m＋2＜0.
此时f(α)＝0，f(1)＞f(0)＝0，与题意不合，故舍去.
当m∈(－2,2)时，m－2＜0＜m＋2，
所以α＜m－2＜0＜m＋2＜β.
因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，
所以α＜1＜β.
所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值.
因为当x＝m＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，
所以m＋2＝1，即m＝－1.
当m∈(2,4)时，0＜m－2＜m＋2，
所以0＜m－2＜α＜m＋2＜β.
因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，
所以α＜1＜β.
所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值.
因为当x＝m＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，
所以m＋2＝1，即m＝－1(舍去).
综上可知，m的取值范围是{－1}.
【变式训练3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范围.
【解析】(1)当a＞0时，F(x)的递增区间为(1a，＋∞)，递减区间为(0，1a)；
当a≤0时，F(x)的递减区间为(0，＋∞).
(2)[12ln2，1e).
总结提高
在应用导数处理方程、不等式有关问题时，首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值.
3.4定积分与微积分基本定理
典例精析
题型一求常见函数的定积分
【例1】计算下列定积分的值.
(1)(x－1)5dx；
(2)(x＋sinx)dx.
【解析】(1)因为[16(x－1)6]′＝(x－1)5，
所以(x－1)5dx＝＝16.
(2)因为(x22－cosx)′＝x＋sinx，
所以(x＋sinx)dx＝＝π28＋1.
【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；
(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；
(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：
①若f(x)是偶函数时，则f(x)dx＝2f(x)dx；
②若f(x)是奇函数时，则f(x)dx＝0.
【变式训练1】求(3x3＋4sinx)dx.
【解析】(3x3＋4sinx)dx表示直线x＝－5，x＝5，y＝0和曲线y＝3x3＋4sinx所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.
又f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)
＝－(3x3＋4sinx)＝－f(x).
所以f(x)＝3x3＋4sinx在[－5,5]上是奇函数，
所以(3x3＋4sinx)dx＝－(3x3＋4sinx)dx，
所以(3x3＋4sinx)dx＝(3x3＋4sinx)dx＋(3x3＋4sinx)dx＝0.
题型二利用定积分计算曲边梯形的面积
【例2】求抛物线y2＝2x与直线y＝4－x所围成的平面图形的面积.
【解析】方法一：如图，
由
得交点A(2,2)，B(8，－4)，
则S＝[2x－(－2x)]dx＋[4－x－(－2x)]dx
＝＋
＝163＋383＝18.
方法二：S＝[(4－y)－y22]dy
＝＝18.
【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x＝φ(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.
【变式训练2】设k是一个正整数，(1＋xk)k的展开式中x3的系数为116，则函数y＝x2与y＝kx－3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为.
【解析】Tr＋1＝Crk(xk)r，令r＝3，得x3的系数为C3k1k3＝116，解得k＝4.由得函数y＝x2与y＝4x－3的图象的交点的横坐标分别为1,3.
所以阴影部分的面积为S＝(4x－3－x2)dx＝(2x2－3x－＝43.
题型三定积分在物理中的应用
【例3】(1)变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置；
(2)一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x＝0运动到x＝a时阻力所做的功.
【解析】(1)当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)≤0，所以前2秒内所走过的路程为
s＝v(t)dt＋(－v(t))dt
＝(1－t2)dt＋(t2－1)dt
=＋＝2.
2秒末所在的位置为
x1＝x0＋v(t)dt＝1＋(1－t2)dt＝13.
所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x1＝13.
(2)物体的速度为v＝(bt3)′＝3bt2.
媒质阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k为比例常数，且k＞0.
当x＝0时，t＝0；
当x＝a时，t＝t1＝(ab)，
又ds＝vdt，故阻力所做的功为
W阻＝ds＝kv2vdt＝kv3dt
＝k(3bt2)3dt＝277kb3t71＝277k3a7b2.
【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v(t)＝a(t)dt，s(t)＝v(t)dt和W＝F(x)dx这三个公式.
【变式训练3】定义F(x，y)＝(1＋x)y，x，y∈(0，＋∞).令函数f(x)＝F[1，log2(x2－4x＋9)]的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A(0，m)，过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n＞0)，设曲线C1在点A，B之间的曲线段与线段OA，OB所围成图形的面积为S，求S的值.
【解析】因为F(x，y)＝(1＋x)y，所以f(x)＝F(1，log2(x2－4x＋9))＝＝x2－4x＋9，故A(0,9)，又过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n＞0)，f′(x)＝2x－4.
所以解得B(3,6)，
所以S＝(x2－4x＋9－2x)dx＝(x33－3x2＋9x)=9.
总结提高
1.定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.?
2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.?
3.利用定积分求平面图形面积的步骤：?
（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；?
（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；?
（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；?
（4）计算定积分，写出答案.
2015届高考数学（文科）一轮总复习导数及其应用
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第三篇导数及其应用第1讲导数的概念及运算
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2014深圳中学模拟)曲线y＝x3在原点处的切线方程为________．
解析∵y′＝3x2，∴k＝y′|x＝0＝0，
∴曲线y＝x3在原点处的切线方程为y＝0.
答案y＝0
2．已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝________.
解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，
由f′(x0)＝2，即lnx0＋1＝2，解得x0＝e.
答案e
3．(2014辽宁五校联考)曲线y＝3lnx＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是________．
解析由题意知y′＝3x＋1＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，∴点P0的坐标是(1,3)．
答案(1,3)
4．(2014烟台期末)设函数f(x)＝xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的部分图象为________．
解析函数f(x)的导函数为f′(x)＝(xsinx＋cosx)′＝xcosx，即k＝g(t)＝tcost，则函数g(t)为奇函数，图象关于原点对称，排除①，③.当0＜t＜π2时，g(t)＞0，所以排除④，选②.
答案②
5．曲线y＝sinxsinx＋cosx－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为________．
解析y′＝cos2x＋sin2xsinx＋cosx2＝11＋sin2x，
故所求切线斜率k＝＝12.
答案12
6．(2013广东卷)若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
解析y′＝2ax－1x，∴y′|x＝1＝2a－1＝0，∴a＝12.
答案12
7．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.
解析由题意得f′(x)＝2x＋3f′(2)，
∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.
答案－2
8．(2013江西卷)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.
解析y′＝αxα－1，∴斜率k＝y′|x＝1＝α＝2－01－0＝2，∴α＝2.
答案2
二、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝exlnx；
(2)y＝xx2＋1x＋1x3；
(3)y＝x－sinx2cosx2；
(4)y＝(x＋1)1x－1.
解(1)y′＝(exlnx)′＝exlnx＋ex1x＝exlnx＋1x.
(2)∵y＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.
(3)先使用三角公式进行化简，得
y＝x－sinx2cosx2＝x－12sinx，
∴y′＝x－12sinx′＝x′－12(sinx)′＝1－12cosx.
(4)先化简，y＝x1x－x＋1x－1＝，
∴y′＝n＝－12x1＋1x.
10．(2014南通二模)f(x)＝ax－1x，g(x)＝lnx，x＞0，a∈R是常数．
(1)求曲线y＝g(x)在点P(1，g(1))处的切线l.
(2)是否存在常数a，使l也是曲线y＝f(x)的一条切线．若存在，求a的值；若不存在，简要说明理由．
解(1)由题意知，g(1)＝0，又g′(x)＝1x，g′(1)＝1，所以直线l的方程为y＝x－1.
(2)设y＝f(x)在x＝x0处的切线为l，则有
ax0－1x0＝x0－1，a＋1x20＝1，解得x0＝2，a＝34，此时f(2)＝1，
即当a＝34时，l是曲线y＝f(x)在点Q(2,1)的切线．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、填空题
1．(2014盐城一模)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是0，π4，则点P横坐标的取值范围是________．
解析设P(x0，y0)，倾斜角为α，y′＝2x＋2，则k＝tanα＝2x0＋2∈[0,1]，解得x0∈－1，－12.
答案－1，－12
2．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)，n∈N*，则f2013(x)＝________.
解析f1(x)＝f0′(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝sinx，…，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f2013(x)f1(x)＝cosx.
答案cosx
3．(2014武汉中学月考)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012的值为________．
解析f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，
点P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，得x＝1－1n＋1＝nn＋1，即xn＝nn＋1，
∴x1x2…x2012＝12×23×34×…×20112012×20122013＝12013，则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012
＝log2013(x1x2…x2012)＝－1.
答案－1
二、解答题
4．设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
(1)解方程7x－4y－12＝0可化为y＝74x－3，
当x＝2时，y＝12.又f′(x)＝a＋bx2，于是2a－b2＝12，a＋b4＝74，
解得a＝1，b＝3.故f(x)＝x－3x.
(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，
由f′(x)＝1＋3x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝1＋3x20(x－x0)，即y－(x0－3x0)＝1＋3x20(x－x0)．令x＝0，得y＝－6x0，从而得切线与直线x＝0交点坐标为0，－6x0.
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为12－6x0|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.
