88教案网

你的位置: 教案 > 高中教案 > 导航 > 向量的概念及其表示

高中向量的教案

发表时间:2020-09-22

向量的概念及其表示。

老师工作中的一部分是写教案课件,大家在仔细设想教案课件了。写好教案课件工作计划,我们的工作会变得更加顺利!你们知道适合教案课件的范文有哪些呢?下面是由小编为大家整理的“向量的概念及其表示”,欢迎大家与身边的朋友分享吧!

2.1.向量

一、课题:向量
二、教学目标:1.理解向量的概念,掌握向量的二要素(长度、方向);
2.能正确地表示向量,初步学会求向量的模长;
3.注意向量的特点:可以平行移动(长度、方向确定,起点不确定)。
三、教学重、难点:1.向量、相等向量、共线向量的概念;
2.向量的几何表示。
四、教学过程:
(一)问题引入:
老鼠由向西北方向逃窜,如果猫由向正东方向追赶,那么猫能否抓到老鼠?为什么?
(二)新课讲解:
1.向量定义:既有大小又有方向的量叫做向量。
2.向量的表示方法:(1)用有向线段表示;
(2)用字母表示:
说明:(1)具有方向的线段叫有向线段。有向线段的三要素:起点、方向和长度;
(2)向量的长度(或称模):线段的长度叫向量的长度,记作.
3.单位向量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义:
(1)单位向量:长度为1的向量叫单位向量,即;
(2)零向量:长度为零的向量叫零向量,记作;
(3)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫平行向量,记作:;
(4)相等向量:长度相等,方向相同的向量叫相等向量。即:;
(5)共线向量:平行向量都可移到同一直线上。平行向量也叫共线向量。
说明:(1)规定:零向量与任一向量平行,记作;
(2)零向量与零向量相等,记作;
(3)任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示,与有向线段的起点无关。
4.例题分析:
例1如图1,设是正六边形的中心,分别
写出图中与向量,,相等的向量。
解:;;

例2如图2,梯形中,,分别是腰、
的三等分点,且,,求.
解:分别取,的中点分别记为,,
由梯形的中位线定理知:
∴∴.

例3在直角坐标系中,已知,与轴正方向所成的角为,与轴正方向所成的角为,试作出.
解:

五、课堂练习:
六、课堂小结:1.正确理解向量的概念,并会用数学符号和有向线段表示向量;
2.明确向量的长度(模)、零向量、单位向量、平行向量、共线向量和相等
向量的意义。
七、作业:.

延伸阅读

《向量的概念及表示》教学实录


《向量的概念及表示》教学实录

1基本情况分析

1.1授课对象

学生来自四星级普通高中,学生基础相对较好,进入高中后,经过培养,课堂上初步具有思考、交流、探究的意识和能力.

1.2教材分析

所用教材为《普通高中课程标准实验教科书数学(必修4)》(苏教版).本节内容为第2章第1节第1课时.向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景.

在教学中,我们通过位移、力等实例,了解向量的实际背景,通过物理中矢量和标量的区别,认识向量和数量的区别,理解平面向量的含义.向量是数形结合的载体,教科书一直坚持从形和数两个方面来建构和研究向量,且这种数形结合的方法一直贯穿本章的始终.

教学目标(1)了解向量的物理实际背景,理解平面向量的一些基本概念,能正确进行平面向量的几何表示;(2)经历类比方法学习向量及其几何表示的过程,体验对比理解向量基本概念的简易性,从而养成科学的学习方法;(3)通过本节的学习,让学生感受向量的概念、方法源于现实世界,从而激发学生学习数学的热情,培养学生学习数学的兴趣.

教学重点向量及其几何表示,相等向量、平行向量的概念.

教学难点向量的概念,对平行向量(也叫做共线向量)的理解.

2教学过程

2.1创设情境,引入概念

问题1由于大陆和台湾没有直航,因此2006年春节探亲,乘飞机要先从台北到香港,再从香港到上海,这里发生了两次位移.

在物理学中,我们用一条带箭头的线段表示位移.位移是矢量,矢量有什么特征?

设计意图通过物理课中学过的位移这一矢量,抽象形成数学中的向量概念,建立学习向量的认知基础.

2.2学生活动,理解概念

师:能否再举一些既有距离又有方向的量?

生:力,速度,加速度等.

设计意图通过实例使学生认识理解向量概念的实质,让学生大量举例,体验到数学中的向量源于现实.

2.3建构数学,完善概念

师:我们把既有大小又有方向的量称为向量.向量常用一条有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.以A为起点、B为终点的向量记为,向量也可用小写字母a,b,c来表示.

师:向量的大小称为向量的长度(或称为模),记作.

师:既然向量只有大小和方向这两个要素,接下来我们就抓住这两要素来研究向量.如果从向量的大小角度来考虑,同学们觉得有哪些向量比较特殊?

生:我觉得有两类向量比较特殊,一类是模为1的向量,还有一类是模为0的向量.

师:在实数中我们有两个特殊的数:0和1.类似的,我们在向量中也有两类比较特殊的向量:模为1和0的向量.我们把1个单位长度的向量称为单位向量.单位向量的模为1,它的方向确定吗?

生:方向不能确定,是任意的.

师:单位向量有且只有一个吗?

生:不是.各个方向上都有单位向量.

师:在平面直角坐标系内,起点在原点的单位向量,它们的终点的轨迹是什么图形?

生:它们终点的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆.

师:很好,这位同学观察地非常仔细!在PPT屏幕(图1)上我们可以看到任何一方向上都有单位向量,如果我们将这些向量的模不断缩小(动画演示),直至模为0时,得到一个新的向量,大家觉得这样的向量怎么命名比较合理?

生:零向量.

师:很好,我们把长度为0的向量称为零向量,记作0.

师:0与0有什么区别呢?

生:数0只有大小;而0是个向量,既有大小又有方向.

师:0的大小是0,而方向又如何呢?

生:它的方向是任意的.

师:很好!因为它的起点与终点重合,所以方向是任意的.

概念辨析:

辨析1:单位向量有且只有一个吗?

辨析2:零向量有且只有一个吗?

设计意图教师在课堂教学时应结合教学内容,让学生经历知识的发现过程,体验获得知识与能力的成功与喜悦.笔者从特殊实数0和1的研究类比到特殊向量(零向量、单位向量)的研究,抓住向量概念中的关键词“大小”,引出单位向量与零向量这两个特殊向量,利用单位向量变零向量的动画演示,使学生直观感受零向量的方向是任

意的,真正理解教材中零向量方向规定的合理性.通过概念辨析,进一步理解单位向量和零向量这两个概念.

师:刚刚我们是从向量的大小角度来考虑的,如果仅从向量的方向角度来研究,你觉得还有哪些特殊关系的向量呢?

生:方向相同或相反向量.比如图2中a与b方向相反,a与c方向相同.

师:我们把方向相同或相反的非零向量称为平行向量.

师:这里定义的平行向量全面吗?

生:还少了0.

师:很好!我们规定0与任意向量都平行.因此平行向量这个定义是分两类来说明的,今后我们谈到向量平行时同学们不能忘记零向量的情况.

概念辨析:

辨析3:由上述结论可知a0,b0,那么ab吗?

辨析4:若ab,bc,则ac,这个结论对吗?

辨析5:若a,b是不平行的两个向量,若存在一个c使得ac,bc,则c=.

设计意图:通过概念辨析,对“零向量与任一向量平行”这一规定有全面正确的理解.

教师接下来出示了一道练习题:如图3,a与b是平行向量吗?

生:这两个向量的方向相反,所以它们是平行向量.

师:很好.在平行向量里如果再把大小考虑在内,大家觉得又会有什么更加特殊的平行向量呢?

生:模相等的平行向量.

师:我们把长度相等且方向相同的向量称为相等向量.同学们,你能构造一个图形其中有相等向量吗?

生:如图4,在平行四边形ABCD中,.

师:在此平行四边形ABCD中,可以看作是平移得到的.虽然这两个向量对应的有向线段的起点不同,一个是A,另一个是D,但平移过程中它们的大小和方向都未改变,因此这两个向量相等.由此它能说明什么?

F

C

D

E

BA

A

图5

生:向量与表示它的有向线段的起点无关,只与向量的大小和方向有关.

师:不错.我们可以通过这个办法将向量随意平移,比如图5中我们可再将上述的平移,得到一个,.由此通过这个办法我们可得到一系列的相等向量.

师:在图4的平行四边形ABCD中,与是什么关系呢?

生:这两个向量长度相等方向相反.

师:很好.我们把与a长度相等,方向相反的向量叫作a的相反向量,记作-a.规定:-0=0.

师:刚才提到向量与表示它的有向线段的起点是无关的,即它们是“自由”的.如果一直线与三个向量都平行(图6),那么我们可以将这三个向量都平移到直线上.因此,“平行向量”我们又可以称什么?

生:共线向量.

师:很好.“平行向量”与“共线向量”是同一个概念.

设计意图笔者抓住向量概念中的关键词“方向”,引出向量间的特殊关系:平行向量.抓住向量的“大小”和“方向”,引出了向量间的另两种特殊关系:相等向量与相反向量.通过学生举例找相等向量的过程,发现向量与表示它的有向线段的起点没有关系,进而引出共线向量的概念.

概念辨析:

辨析6:若向量,则直线ABCD对吗?

辨析7:若直线ABCD,则向量对吗?

设计意图针对平行向量与共线向量的理解不易到位,笔者创设了一串辨析题,让学生类比联想平面几何中的“平行”与“共线”,明确向量平行(共线)与直线平行(共线)的区别与联系,深化了学生对概念的理解.

2.4例题示范,运用概念

例1:已知为正六边形ABCDEF的中心,在图7所标出的向量中:(1)确定与相等的向量;(2)确定与相反的向量;(3)找出与共线的向量;(4)找出与长度相等且平行的向量.

B

图8

A

例2:在图8中的方格纸中有一个向量,分别以图中的格点为起点和终点作向量,其中与相等的向量有多少个?与长度相等的共线向量有多少个?(除外)

设计意图这一环节主要是让学生巩固所学的向量概念.

2.5回顾反思,总结提升

向量主要是从两个方面来刻画的:一个是大小,一个是方向.

设计意图通过小结,既让学生巩固本课重点、难点,又让学生进一步体会利用数学认识问题、解决问题的一般方法,培养其思维能力.

2.6课外作业,巩固概念

概念辨析

(1)模相等的两个平行向量是相等的向量;

(2)若和都是单位向量,则;

(3)任一向量与它的相反向量都不相等;

(4)共线的向量,若起点不同,则终点也不同;

(5)若,则ABCD;

(6)若ABCD,则;

(7)与共线,与共线,则与也共线;

(8)向量与不共线,则与都不是零向量.

书本P59,感受理解3.

《向量的概念及表示》教学反思


一名优秀的教师就要对每一课堂负责,高中教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来,有效的提高课堂的教学效率。关于好的高中教案要怎么样去写呢?以下是小编为大家精心整理的“《向量的概念及表示》教学反思”,仅供您在工作和学习中参考。

《向量的概念及表示》教学反思

(1)创设合理的问题情境是课堂教学的基础

本课通过位移的合成,了解向量的实际背景.通过物理中矢量和标量的区别,认识向量和数量的区别,理解平面向量的含义.在学生回答了位移和距离的区别以后,要求学生再举出一些类似的例子,让学生参与建立向量概念的活动.向量既是重要的数学模型,又是重要的物理模型,学生不仅可以掌握一种新的数学工具,而且可以帮助学生体会数学的内部联系,数学与实际生活的联系,以及数学在解决实际问题中的作用.

(2)找准知识点的内在联系

本节课,大多数教师都认为比较难上,原因就在于概念多,关系复杂,如何让概念在学生活动中自然生成出来,是令教师感到为难的地方.比如本节课,向量主要是从两个方面来刻画的:一个是大小,一个是方向.为了认识它,人们就从这两个方面来进行分类:按大小,就有了零向量、单位向量等特殊向量;按方向,就有了平行与不平行之分.由于研究的是自由向量,平行就是共线,于是就出现了共线向量的类别了.这样诸多概念就串在一条线索上了,这样的课堂就不会零碎和散乱了.

(3)通过概念辨析,突破教学难点

从方向上去刻画向量,产生了平行的概念,但由于研究的是自由向量,同时又规定零向量的方向任意,从而造成了“向量的平行”与“直线平行”两者之间有了区别,这就需要学生调整原有的认知结构来适应新的内容,产生“顺应”的心理过程,凡是“顺应”,基本都是难点.针对这些难点,再讲解完知识点后有概念辨析之一环节,帮助学生突破难点.

(4)关注学生的学习

学生的数学学习活动不仅仅是接受,记忆,机械地模仿和练习,还包括自主探索、合作交流和动手实践等学习方式,学生在丰富的活动中以“再创造”的形式学习知识,体验数学生成和发展的创造历程,发展创造能力和创新意识,培养积极的情感.

集合的概念及其表示


第一章集合
第一课时集合(一)
教学目标:
使学生掌握集合的概念和性质,集合的元素特征,有关数的集合;培养学生的思维能力,提高学生理解掌握概念的能力;培养学生认识事物的能力,引导学生爱班、爱校、爱国.
教学重点:
集合的概念,集合元素的三个特征.
教学难点:
集合元素的三个特征,数集与数集关系.
教学方法:
尝试指导法
学生依集合概念的要求、集合元素的特征,在教师指导下,能自己举出符合要求的实例,加深对概念的理解、特征的掌握.
教学过程:
Ⅰ.复习回顾
师生共同回顾初中代数中涉及“集合”的提法.
[师]同学们回忆一下,在初中代数第六章不等式的解法一节中提到:
一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集.
不等式解集的定义中涉及到“集合”.
Ⅱ.讲授新课
下面我们再看一组实例
幻灯片:
观察下列实例
(1)数组1,3,5,7.
(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点.
(3)满足3x-2>x+3的全体实数.
(4)所有直角三角形.
(5)高一(3)班全体男同学.
(6)所有绝对值等于6的数的集合.
(7)所有绝对值小于3的整数的集合.
(8)中国足球男队的队员.
(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.
(10)参与中国加入WTO谈判的中方成员.
通过以上实例.教师指出:
1.定义
一般地,某些指定对象集在一起就成为一个集合(集).
师进一步指出:
集合中每个对象叫做这个集合的元素.
[师]上述各例中集合的元素是什么?
[生]例(1)的元素为1,3,5,7.
例(2)的元素为到两定点距离的和等于两定点间距离的点.
例(3)的元素为满足不等式3x-2>x+3的实数x.
例(4)的元素为所有直角三角形.
例(5)为高一(3)班全体男同学.
例(6)的元素为-6,6.
例(7)的元素为-2,-1,0,1,2.
例(8)的元素为中国足球男队的队员.
例(9)的元素为参加2008年奥运会的中国代表团成员.
例(10)的元素为参与WTO谈判的中方成员.
[师]请同学们另外举出三个例子,并指出其元素.
[生](1)高一年级所有女同学.
(2)学校学生会所有成员.
(3)我国公民基本道德规范.
其中例(1)的元素为高一年级所有女同学.
例(2)的元素为学生会所有成员.
例(3)的元素为爱国守法、明礼诚信、团结友爱、勤俭自强、敬业奉献.
[师]一般地来讲,用大括号表示集合.
师生共同完成上述例题集合的表示.
如:例(1){1,3,5,7};
例(2){到两定点距离的和等于两定点间距离的点};
例(3){3x-2>x+3的解};
例(4){直角三角形};
例(5){高一(3)班全体男同学};
例(6){-6,6};
例(7){-2,-1,0,1,2};
例(8){中国足球男队队员};
例(9){参加2008年奥运会的中国代表团成员};
例(10){参与WTO谈判的中方成员}.
2.集合元素的三个特征
幻灯片:
问题及解释
(1)A={1,3},问3,5哪个是a的元素?
(2)A={所有素质好的人}能否表示为集合?
(3)A={2,2,4}表示是否准确?
(4)A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示为同一集合?
生在师的指导下回答问题:
例(1)3是集合A的元素,5不是集合A的元素.例(2)由于素质好的人标准不可量化,故A不能表示为集合.例(3)的表示不准确,应表示为A={2,4}.例(4)的A与B表示同一集合,因其元素相同.
由此从所给问题可知,集合元素具有以下三个特征:
(1)确定性
集合中的元素必须是确定的,也就是说,对于一个给定的集合,其元素的意义是明确的.
如上例(1)、例(2)、再如
{参加学校运动会的年龄较小的人}也不能表示为一个集合.
(2)互异性
集合中的元素必须是互异的,也就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.
如上例(3),再如
A={1,1,1,2,4,6}应表示为A={1,2,4,6}.
(3)无序性
集合中的元素是无先后顺序,也就是说,对于一个给定集合,它的任何两个元素都是可以交换的.
如上例(1)
[师]元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于”(也可表示为)两种.
如A={2,4,8,16}4∈A8∈A32A
请同学们考虑:
A={2,4},B={{1,2},{2,3},{2,4},{3,5}},
A与B的关系如何?
虽然A本身是一个集合.
但相对B来讲,A是B的一个元素.
故A∈B.
幻灯片:
3.常见数集的专用符号
N:非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合)
N*或N+:正整数集(非负整数集N内排除0的集合)
Z:整数集(全体整数的集合)
Q:有理数集(全体有理数的集合)
R:实数集(全体实数的集合)
[师]请同学们熟记上述符号及其意义.
Ⅲ.课堂练习
1.(口答)说出下面集合中的元素.
(1){大于3小于11的偶数}其元素为4,6,8,10
(2){平方等于1的数}其元素为-1,1
(3){15的正约数}其元素为1,3,5,15
2.用符号∈或∈填空
1∈N0∈N-3∈N0.5∈N2∈N
1∈Z0∈Z-3∈Z0.5∈Z2∈Z
1∈Q0∈Q-3∈Q0.5∈Q2∈Q
1∈R0∈R-3∈R0.5∈R2∈R
3.判断正误:
(1)所有在N中的元素都在N*中(×)
(2)所有在N中的元素都在Z中(√)
(3)所有不在N*中的数都不在Z中(×)
(4)所有不在Q中的实数都在R中(√)
(5)由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0(×)
(6)不在N中的数不能使方程4x=8成立(√)
Ⅳ.课时小结
1.集合的概念中,“某些指定的对象”,可以是任意的具体确定的事物,例如数、式、点、形、物等.
2.集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性,要能熟练运用之.

第二章平面向量第1课时2.1向量的概念及表示教案


第1课时§2.1向量的概念及表示
【教学目标】
一、知识与技能
1.理解向量的概念,掌握向量的二要素(长度、方向),能正确地表示向量;
2.注意向量的特点:可以平行移动(长度、方向确定,起点不确定);
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念。
二、过程与方法
(1)从对不同问题的思考中感受什么是向量。
(2)通过师生互动、交流与学习,培养学生探求新知识的学习品质.
三、情感、态度与价值观
(1)通过向量包含大小和方向,概念的学习感知数学美。
(2)向量的方向包含正反两方面,正反关系的对照培养学生辨证唯物主义思维
【教学重点难点】:1.向量、相等向量、共线向量等概念;
2.向量的几何表示
【教学过程】
一、问题情境:
问题1、湖面上有3个景点O,A,B,如图所示.一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后,游艇再将游客送至景点B,从景点O到景点A有一个位移,从景点A到景点B也有一个位移.位移与距离这两个量有什么不同?

问题2、下列物理量中,那些量分别与位移和距离这两个量类似:
(1)物体在重力作用下发生位移,重力所做的功;
(2)物体所受重力;
(3)物体的质量为a千克;
(4)1月1日的4级偏南风的风速。
问题3、上述的物理量中有什么区别吗?
二、新课讲解:
(一)概念辨析:
(1)向量的定义:

(2)向量的表示:

(3)向量的大小及表示
(4)零向量:

(5)单位向量:

(二)向量的关系:
问题4:在平行四边形ABCD中,向量与,与有什么关系?
(1)平行向量

(2)相等向量

(3)相反向量

说明:(1)规定:零向量与任一向量平行,记作;
(2)零向量与零向量相等,记作;
(3)任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示,与有向线段的起点无关。
问题5:1.向量能否平移?

2.要确定一个向量必须确定什么?要确定一个有向线段必须确定什么?两者有何区别?

二、例题分析:
例1、已知O为正六边形ABCDEF的中心,如图,所标出的向量中:
(1)试找出与FE共线的向量;
(2)确定与FE相等的向量;
(3)OA与BC向量相等么?
例2、判断:
(1)平行向量是否一定方向相同?
(2)不相等的向量是否一定不平行?
(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?
(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?
(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?
(6)两个非零向量相等的当且仅当什么?
(7)共线向量一定在同一直线上吗?

例3、如图,在4×5的方格纸中有一个向量AB,分别以图中的格点为起点和终点作向量,其中与AB相等的向量有多少个?与AB长度相等的共线向量有多少个?(AB除外)
课时小结:
(1)向量是既有大小又有方向的量,向量有两个要素:方向和长度,称为自由向量;有向线段具有三个要素:起点,方向和长度;
(2)数量(标量)与向量的区别与联系:向量不同于数量。数量是只有大小的量,而向量是既有大小又有方向的量;数量可以比较大小,而向量不能比较大小,只有它的模可以比较大小;记号“”是没有意义的,而||>||才有意义。