3.4等比数列（第一课时）。

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，高中教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师能够井然有序的进行教学。那么，你知道高中教案要怎么写呢？下面是小编为大家整理的“3.4等比数列（第一课时）”，仅供参考，欢迎大家阅读。

3.4等比数列（第一课时）

教学目的：

1.掌握等比数列的定义.2.理解等比数列的通项公式及推导;理解等比中项概念.教学重点：等比数列的定义及通项公式教学难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题教学过程：一、复习引入：

1．等差数列的定义：－=d，（n≥2，n∈N*）2．等差数列的通项公式：

3．几种计算公差d的方法：d=－==

4．等差中项：成等差数列二、讲解新课：

下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?1，2，4，8，16，…，263;①5，25，125，625，…；②1，－，…；③对于数列①，=;=2（n≥2）对于数列②，=;=5（n≥2）对于数列③，=·；（n≥2）共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数

1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：｛｝成等比数列=q（,q≠0）注意：等比数列的定义隐含了任一项2.等比数列的通项公式1:由等比数列的定义，有：；；；…………………3.等比数列的通项公式2:4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±（a,b同号）a,G,b成等比数列G=ab（a·b≠0）三、例题

例1课本P123例1，请同学们认真阅读题目，并自己动手解题.例2一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.（课本P123例2）例3求下列各等比数列的通项公式：1．=-2,=-8（答案）2．=5,且2=-3例4.求数列=5,且的通项公式解：以上各式相乘得：例5.已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证是等比数列.（课本P123例3）四、练习：1．求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），…….2.一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项.五、作业：课本P125习题3.41（2）（4），2，5，6，7（2），8，9.

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3.5等比数列的前n项和（第一课时）

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，高中教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师提高自己的教学质量。你知道如何去写好一份优秀的高中教案呢？以下是小编为大家精心整理的“3.5等比数列的前n项和（第一课时）”，仅供参考，希望能为您提供参考！

3.5等比数列的前n项和（第一课时）

教学目的：

1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路．

2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。

教学重点：等比数列的前n项和公式推导

教学难点：灵活应用公式解决有关问题

教学过程：

一、复习等比数列的通项公式，有关性质，及等比中项等概念。

二、引进课题，采用印度国际象棋发明者的故事，

即求①

用错项相消法推导结果，两边同乘以公比：

②

②－①：这是一个庞大的数字1．84×，

以小麦千粒重为40计算，则麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出来的。

三、一般公式推导：设①

乘以公比，②

①-②：，时：

时：

公式的推导方法二：

有等比数列的定义，

根据等比的性质，有

即（结论同上）

围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．

公式的推导方法三：

＝

＝＝

（结论同上）

注意：（1）和各已知三个可求第四个，

（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆，

（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。

四、例1、求等比数列的前8项和.（P127，例一）——直接应用公式。

例2、某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）（P127，例二）——应用题，且是公式逆用（求），要用对数算。

例3、求和：（x+（其中x≠0，x≠1，y≠1）（P127，例三）——简单的“分项法”。

例4、设数列为求此数列前项的和。

——用错项相消法，注意分两种情况讨论

例5、已知{}为等比数列，且=a，=b，（ab≠0），求．

——注意这是一道多级分类讨论题.一级分类：分两种情况讨论；时，要分

四、练习：

是等比数列，是其前n项和，数列（）是否仍成等比数列？

提示：应注意等比数列中的公比q的各种取值情况的讨论，还易忽视等比数列的各项应全不为0的前提条件.

五、小结1.等比数列求和公式：当q=1时，

当时，或；

2．是等比数列的前n项和，

①当q=－1且k为偶数时，不是等比数列.

②当q≠－1或k为奇数时，仍成等比数列。

3．这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前n项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．

六、作业：P129.习题3．51，2，3，4，5，6，7.

等比数列学案

第3课时等比数列的前n项和
知能目标解读
1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法--错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和.
2.掌握等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时，特别要注意q=1和q≠1这两种情况.
3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题.
重点难点点拨
重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题.
难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用.
学习方法指导
1.等比数列的前n项和公式
（1）设等比数列{an}，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为
na1(q=1)
Sn=.
(q≠1)
也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论.
（2）等比数列{an}中，当已知a1,q(q≠1)，n时，用公式Sn=，当已知a1,q(q≠1)，an时，用公式Sn=.
2.等比数列前n项和公式的推导
除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导.
(1)合比定理法
由等比数列的定义知：==…==q.
当q≠1时，=q,即=q.
故Sn==.
当q=1时，Sn=na1.
(2)拆项法
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)
当q≠1时，Sn==.
当q=1时，Sn=na1.
(3)利用关系式Sn-Sn-1=an(n≥2)
∵当n≥2时，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qSn-1
∴Sn=a1+q(Sn-an)
即(1-q)Sn=a1(1-qn)
当q≠1时，有Sn=,
当q=1时，Sn=na1.
注意：
(1)错位相减法，合比定理法，拆项法及an与Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧.
(2)错位相减法适用于{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求{anbn}的前n项和.
3.等比数列前n项和公式的应用
（1）衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.
（2）公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q=1和q≠1的讨论.
4.等比数列前n项和公式与函数的关系
(1)当公比q≠1时，令A=，则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.
当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）.
(2)当q≠1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点.
知能自主梳理
1.等比数列前n项和公式
（1）等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时，Sn==;当q=1时，Sn=.
(2)推导等比数列前n项和公式的方法是.
2.公式特点
（1）若数列{an}的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数)，且q≠0,q≠1，则数列{an}为.
（2）在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知求.
［答案］1.（1）na1(2)错位相减法
2.（1）等比数列（2）三二
思路方法技巧
命题方向等比数列前n项和公式的应用
［例1］设数列｛an｝是等比数列，其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.
［分析］应用等比数列前n项和公式时，注意对公比q的讨论.
［解析］当q=1时，S3=3a1=3a3,符合题目条件；
当q≠1时，=3a1q2,
因为a1≠0,所以1－q3=3q2(1-q),
2q3-3q2+1=0,(q-1)2(2q+1)=0,
解得q=-.
综上所述，公比q的值是1或－.
［说明］（1）在等比数列中，对于a1,an,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量.
（2）等比数列前n项和问题，必须注意q是否等于1，如果不确定，应分q=1或q≠1两种情况讨论.
（3）等比数列前n项和公式中，当q≠1时，若已知a1,q,n利用Sn=来求；若已知a1,an,q,利用Sn=来求.
变式应用1在等比数列{an}中,已知S3=,S6=,求an.
［解析］∵S6=,S3=,
∴S6≠2S3，∴q≠1.
=①
∴
=②
②÷①得1+q3=9,∴q=2.
将q=2代入①，得a1=,
∴an=a1qn-1=2n-2.
命题方向等比数列前n项的性质
［例2］在等比数列{an}中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n.
［分析］利用等比数列前n项的性质求解.
［解析］∵{an}为等比数列，∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列，
∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)
∴S3n=+S2n=+60=63.
［说明］等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.
变式应用2等比数列{an}中，S2=7，S6=91,求S4.
［解析］解法一：∵{an}为等比数列，∴S2，S4-S2，S6-S4也为等比数列，
∴（S4-7）2=7×（91-S4），解得S4=28或-21.
∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)0,
∴S4=28.
解法二：∵S2=7,S6=91,∴q≠1.
=7①?
∴
=91②
得q4+q2-12=0,∴q2=3,
∴q=±.
当q=时，a1=,
∴S4==28.
当q=-时，a1=-,
∴S4==28.
探索延拓创新
命题方向等比数列前n项和在实际问题中的应用
［例3］某公司实行股份制，一投资人年初入股a万元，年利率为25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.
（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；
（2）写出第n年年底，此投资人的本利之和bn与n的关系式（不必证明）；
（3）为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标，若a=395,则x的值应为多少?(在计算中可使用lg2≈0.3)
［解析］(1)第一年年底本利和为a+a25%=1.25a,
第二年年底本利和为（1.25a-x）+(1.25a-x)×25%=1.252a-1.25x,
第三年年底本利和为（1.252a-1.25x-x）+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.
(2)第n年年底本利和为
bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+…+1.25)x.
(3)依题意，有
395×1.2520-(1.2519+1.2518+…+1.25)x=4×395,
∴x=
=.①
设1.2520=t,∴lgt=20lg（）=20(1-3lg2)=2.
∴t=100,代入①解得x=96.
变式应用3某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行货款的年利息为10％，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？
［解析］第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行
20000（1＋10％）－x=20000×1.1－x,
第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行［20000(1+10%)-x］(1+10%)-x
=20000×1.12-1.1x-x,
…
第10次还款x元后，还欠银行20000×1.110－1.19x-1.18x-…-x,
依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得
20000×1.110－（1.19＋1.18＋…＋1）x=0,
解得x=≈3255(元).
名师辨误做答
［例4］求数列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,…的前n项和.
［误解］所求数列的前n项和Sn=1+a+a2+a3+…+a
=.
［辨析］所给数列除首项外，每一项都与a有关，而条件中没有a的范围，故应对a进行讨论.
［正解］由于所给数列是在数列1,a,a2,a3,…中依次取出1项，2项，3项，4项，……的和所组成的数列.因而所求数列的前n项和中共含有原数列的前（1+2+…+n）项.所以Sn=1+a+a2+…+a.①当a=0时，Sn=1.②当a=1时，Sn=.③当a≠0且a≠1时，Sn=.
课堂巩固训练
一、选择题
1.等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则=（）
A.2B.4C.D.?
［答案］C
［解析］由题意得==.故选C.
2.等比数列{an}的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（）?
A.-2B.1C.-2或1D.2或-1?
［答案］C
［解析］由题意可得，a1+a1q+a1q2=3a1,?
∴q2+q-2=0,∴q=1或q=-2.
3.等比数列{2n}的前n项和Sn=（）
A.2n-1B.2n-2C.2n+1-1D.2n+1-2?
［答案］D?
［解析］等比数列｛2n｝的首项为2，公比为2.?
∴Sn===2n+1-2,故选D.
二、填空题
4.若数列{an}满足：a1=1,an+1=2an（n∈N+），则a5=;前8项的和S8=.（用数字作答）
［答案］16255?
［解析］考查等比数列的通项公式和前n项和公式.?
q==2,a5=a1q4=16,
S8==28-1=255.
5.在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=.
［答案］3?
［解析］∵a3=2S2+1,a4=2S3+1,?
两式相减，得a3-a4=-2a3,?
∴a4=3a3,∴q=3.
三、解答题
6.在等比数列{an}中，已知a6-a4=24，a3a5=64，求数列{an}的前8项和.
［解析］解法一：设数列{an}的公比为q，根据通项公式an=a1qn-1，由已知条件得
a6-a4=a1q3(q2-1)=24,①?
a3a5=(a1q3)2=64,②?
∴a1q3=±8.
将a1q3=-8代入①式，得q2=-2,没有实数q满足此式，故舍去.?
将a1q3=8代入①式，得q2=4,∴q=±2.?
当q=2时，得a1=1,所以S8==255;?
当q=-2时，得a1=-1，所以S8==85.
解法二：因为{an}是等比数列，所以依题意得?
a24=a3a5=64,?
∴a4=±8,a6=24+a4=24±8.?
因为{an}是实数列，所以＞0,?
故舍去a4=-8,而a4=8，a6=32，从而a5=±=±16.?
公比q的值为q==±2,?
当q=2时，a1=1,a9=a6q3=256,?
∴S8==255;?
当q=-2时，a1=-1，a9=a6q3=-256,
∴S8==85.
课后强化作业
一、选择题
1.等比数列{an}中，a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为（）
A.81B.120C.168D.192
［答案］B
［解析］公式q3===27,q=3,a1==3,?
S4==120.
2.已知等比数列的前n项和Sn=4n+a，则a=（）
A.-4B.-1C.0D.1
［答案］B
［解析］设等比数列为｛an｝，由已知得a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,
a3=S3-S2=48,∴a22=a1a3,?
即144=(4+a)×48，∴a=-1.
3.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于（）?
A.31B.33C.35D.37
［答案］B
［解析］解法一：S5＝==1
∴a1=
∴S10===33,故选B.?
解法二：∵a1+a2+a3+a4+a5=1?
∴a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)q5=1×25＝32
∴S10＝a1+a2+…+a9+a10=1+32=33.
4.已知等比数列{an}中，公比q是整数，a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前8项和为（）
A.514B.513C.512D.510
［答案］D
a1+a1q3=18
［解析］由已知得，
a1q+a1q2=12
解得q=2或.
∵q为整数，∴q=2.∴a1=2.
∴S8==29-2=510.
5.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1,S3=7，则S5=（）
A.B.C.D.
［答案］B
［解析］设公比为q,则q0,且a23=1,
即a3=1.∵S3=7,∴a1+a2+a3=++1=7,
即6q2-q-1=0,?
∴q=或q=-(舍去)，?
∴a1==4.?
∴S5==8（1-）=.
6.在等比数列｛an｝（n∈N+）中，若a1=1,a4=,则该数列的前10项和为（）
A.2－B.2－C.2－D.2－
［答案］B
［解析］∵a1=1,a4=,
∴q3==,∴q=.?
∴S10==2［1-（）10］=2-,故选B.
7.已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,S3=3,S6=27,则此等比数列的公比q等于（）
A.2B.-2C.D.-
［答案］A?
S3==3,①
［解析］
S6==27,②
得=9,解得q3=8.?
∴q=2,故选A.
8.正项等比数列｛an｝满足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列｛bn｝的前10项和是（）
A.65B.-65C.25D.-25
［答案］D
［解析］∵{an}为正项等比数列，a2a4=1,
∴a3=1,又∵S3=13,∴公比q≠1.
又∵S3==13,a3=a1q2,?
解得q=.?
∴an=a3qn-3=()n-3=33-n,?
∴bn=log3an=3-n.
∴b1=2,b10=-7.
∴S10==＝－25.
二、填空题
9.等比数列，-1，3，…的前10项和为.
［答案］-
［解析］S10==-.
10.（2011北京文，12）在等比数列｛an｝中，若a1=,a4=4,则公比q=;a1+a2+…+an=.
［答案］2,2n-1-
［解析］本题主要考查等比数列的基本知识，利用等比数列的前n项和公式可解得.?
=q3==8，所以q=2，所以a1+a2+……+an==2n-1-.
2n-1(n为正奇数)?
11.已知数列{an}中，an=，则a9=.
2n-1（n为正偶数）
设数列{an}的前n项和为Sn，则S9=.
［答案］256377
［解析］a9=28=256，
S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.
12.在等比数列{an}中，已知对于任意n∈N+,有a1+a2+…+an=2n-1,则a21+a22+…+a2n=.?
［答案］×4n-
［解析］∵a1+a2+…+an=2n-1,?
∴a1+a2+…+an-1=2n-1-1(n≥2),
两式相减，得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1,?
∴a2n=(2n-1)2=22n-2=4n-1,?
∴a21+a22+…+a2n==×4n-.
三、解答题
13.在等比数列{an}中，已知a3=1，S3=4，求a1与q.
S3==4
［解析］（1）若q≠1,则，
a3=a1q2=1
从而解得q=1或q=-.
q=-
∵q≠1,∴.
a1=6
S3=3a1=4q=1
（2）若q=1,则，∴.
a3=a1=1a1=1
q=-q=1
综上所述得，或.
a1=6a1=1
14.(2011大纲文科，17)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
［分析］设出公比根据条件列出关于a1与q的方程.求得a1与q可求得数列的通项公式和前n项和公式.?
［解析］设{an}的公比为q，由已知有：
a1q=6a1=3a1=2
.解得或
6a1+a1q2=30q=2q=3
(1)当a1=3,q=2时，
an=a1qn-1=3×2n-1
Sn===3×(2n-1)
(2)当a1=2,q=3时，an=a1qn-1=2×3n-1
Sn===3n-1.?
综上，an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1)或an=2×3n-1,Sn=3n-1.
15.已知实数列｛an｝是等比数列，其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列.
(1)求数列｛an｝的通项公式；
(2)数列｛an｝的前n项和记为Sn,证明：Sn128(n=1,2,3,…).
［解析］(1)设等比数列｛an｝的公比为q(q∈R且q≠1),
由a7=a1q6=1,得a1=q-6,从而a4=a1q3=q-3,?
a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1,?
因为a4,a5+1,a6成等差数列,
所以a4+a6=2(a5+1)
即q-3+q-1=2(q-2+1),
q-1(q-2+1)=2(q-2+1).?
所以q=.?
故an=a1qn-1=q-6qn-1=qn-7=（）n-7.?
(2)证明：Sn==
=128［1-（）n］128.
16.2011年暑期人才招聘会上，A、B两家公司分别开出了工资标准：
A公司B公司
第一年月工资为1500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元．第一年月工资为２000元，以后每一年月工资比上一年月工资增加5％.
大学生王明被A、B两家公司同时录取，而王明只想选择一家连续工作10年，经过一番思考，他选择了A公司，你知道为什么吗？.
［解析］
A公司B公司
第一年月工资为1500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元．第一年月工资为２000元，以后每一年月工资比上一年月工资增加5％.

王明的选择过程第n年月工资为an第n年月工资为bn
首项为1500，公差为230的等差数列首项为2000，公比为1＋5％的等比数列
an=230n+1270bn=2000(1+5%)n-1
S10=12(a1+a2+…+a10)=12×［10×1500+×230］=304200
T10=12(b1+b2+…+b10)
=12×≈301869

结论显然S10T10,故王明选择了A公司

等比数列

等比数列教学目标
1.理解等比数列的概念,把握等比数列的通项公式,并能运用公式解决简单的问题.
(1)正确理解等比数列的定义,了解公比的概念,明确一个数列是等比数列的限定条件,能根据定义判定一个数列是等比数列,了解等比中项的概念;
(2)正确熟悉使用等比数列的表示法,能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项;
(3)通过通项公式熟悉等比数列的性质,能解决某些实际问题.
2.通过对等比数列的研究,逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.
3.通过对等比数列概念的归纳,进一步培养学生严密的思维习惯,以及实事求是的科学态度.
教学建议
教材分析
(1)知识结构
等比数列是另一个简单常见的数列,研究内容可与等差数列类比,首先归纳出等比数列的定义,导出通项公式,进而研究图像,又给出等比中项的概念,最后是通项公式的应用.
(2)重点、难点分析
教学重点是等比数列的定义和对通项公式的熟悉与应用,教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.
①与等差数列一样,等比数列也是非凡的数列,二者有许多相同的性质,但也有明显的区别,可根据定义与通项公式得出等比数列的特性,这些是教学的重点.
②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法,但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中,需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明,所以通项公式的推导是难点.
③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式,因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.
教学建议
(1)建议本节课分两课时,一节课为等比数列的概念,一节课为等比数列通项公式的应用.
(2)等比数列概念的引入,可给出几个具体的例子,由学生概括这些数列的相同特征,从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出,由学生将这些数列进行分类,有一种是按等差、等比来分的,由此对比地概括等比数列的定义.
(3)根据定义让学生分析等比数列的公比不为0,以及每一项均不为0的特性,加深对概念的理解.
(4)对比等差数列的表示法,由学生归纳等比数列的各种表示法.启发学生用函数观点熟悉通项公式,由通项公式的结构特征画数列的图象.
(5)由于有了等差数列的研究经验,等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决,教师只需把握课堂的节奏,作为一节课的组织者出现.
(6)可让学生相互出题,解题,讲题,充分发挥学生的主体作用.
教学设计示例
课题:等比数列的概念
教学目标
1.通过教学使学生理解等比数列的概念,推导并把握通项公式.
2.使学生进一步体会类比、归纳的思想,培养学生的观察、概括能力.
3.培养学生勤于思考,实事求是的精神,及严谨的科学态度.
教学重点,难点
重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.
教学用具
投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
讨论、谈话法.
教学过程
一、提出问题
给出以下几组数列,将它们分类,说出分类标准.(幻灯片)
①-2,1,4,7,10,13,16,19,…
②8,16,32,64,128,256,…
③1,1,1,1,1,1,1,…
④243,81,27,9,3,1,,,…
⑤31,29,27,25,23,21,19,…
⑥1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…
⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,…
⑧0,0,0,0,0,0,0,…
由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列,也可能分为等差、等比两类),统一一种分法,其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨,得出定义后再考察③是否为等比数列).
二、讲解新课
请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性,教师指出实际生活中也有许多类似的例子,如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫,再假设开始有一个变形虫,经过一个单位时间它分裂为两个变形虫,经过两个单位时间就有了四个变形虫,…,一直进行下去,记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性,这是我们将要研究的另一类数列——等比数列.(这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步)
等比数列(板书)
1.等比数列的定义(板书)
根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系,尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美,多数情况下,有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义,标注出重点词语.
请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比,并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列,教师再追问,还有没有其他的例子,让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式,学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列,让学生讨论后得出结论:当时,数列既是等差又是等比数列,当时,它只是等差数列,而不是等比数列.教师追问理由,引出对等比数列的熟悉:
2.对定义的熟悉(板书)
(1)等比数列的首项不为0;
(2)等比数列的每一项都不为0,即;
问题:一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件?
(3)公比不为0.
用数学式子表示等比数列的定义.
是等比数列①.在这个式子的写法上可能会有一些争议,如写成,可让学生研究行不行,好不好;接下来再问,能否改写为是等比数列?为什么不能?
式子给出了数列第项与第项的数量关系,但能否确定一个等比数列?(不能)确定一个等比数列需要几个条件?当给定了首项及公比后,如何求任意一项的值?所以要研究通项公式.
3.等比数列的通项公式(板书)
问题:用和表示第项.
①不完全归纳法
.
②叠乘法
,…,,这个式子相乘得,所以.
(板书)(1)等比数列的通项公式
得出通项公式后,让学生思考如何熟悉通项公式.
(板书)(2)对公式的熟悉
由学生来说,最后归结:
①函数观点;
②方程思想(因在等差数列中已有熟悉,此处再复习巩固而已).
这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量,知三求一,这是公式最简单的应用,请学生举例(应能编出四类问题).解题格式是什么?(不仅要会解题,还要注重规范表述的练习)
假如增加一个条件,就多知道了一个量,这是公式的更高层次的应用,下节课再研究.同学可以试着编几道题.
三、小结
1.本节课研究了等比数列的概念,得到了通项公式;
2.注重在研究内容与方法上要与等差数列相类比;
3.用方程的思想熟悉通项公式,并加以应用.
四、作业(略)
五、板书设计
三.等比数列
1.等比数列的定义
2.对定义的熟悉
3.等比数列的通项公式
(1)公式
(2)对公式的熟悉
探究活动
将一张很大的薄纸对折,对折30次后(假如可能的话)有多厚?不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米.
参考答案:
30次后,厚度为,这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度.假如纸再薄一些,比如纸厚0.001毫米,对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了.还记得国王的承诺吗?第31个格子中的米已经是1073741824粒了,后边的格子中的米就更多了,最后一个格子中的米应是粒,用计算器算一下吧(用对数算也行).

说课题目：等比数列的前n项和（第一课时）

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，高中教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。怎么才能让高中教案写的更加全面呢？以下是小编为大家精心整理的“说课题目：等比数列的前n项和（第一课时）”，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。

说课题目：等比数列的前n项和（第一课时）

（选自人教版高中数学第一册（上）第三章第五节）

一、教材分析

1.从在教材中的地位与作用来看

《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．

2.从学生认知角度看

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．

3.学情分析

教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨．

4.重点、难点

教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用．

教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．

公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点．

二、目标分析

知识与技能目标：

理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础

上能初步应用公式解决与之有关的问题．

过程与方法目标：

通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转

化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．

情感与态度价值观：

通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之

间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点．

三、过程分析

学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：

1.创设情境，提出问题

在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么呢？

设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性．故事内容紧扣本节课的主题与重点．

此时我问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数．带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的这种思路给予肯定．

设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍．同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔.

2.师生互动，探究问题

在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，22，…，263是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？

探讨1：，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）

探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则有，记为（2）式．比较（1）(2）两式，你有什么发现？

设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机．

经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：．老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？

设计意图：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心．

3.类比联想，解决问题

这时我再顺势引导学生将结论一般化，

这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导．

设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感．

对不对？这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？（这里引导学生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础．）

再次追问：结合等比数列的通项公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）

设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力．这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用．

4.讨论交流，延伸拓展

在此基础上，我提出：探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？我们知道,

那么我们能否利用这个关系而求出sn呢？根据等比数列的定义又有，能否联想到等比定理从而求出sn呢？设计意图：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.以上两种方法都可以化归到,这其实就是关于的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用.

5.变式训练,深化认识

首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结．

设计意图：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识．

6.例题讲解，形成技能

设计意图：解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想．

7.总结归纳，加深理解

以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结．

设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力．

8.故事结束，首尾呼应

最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1.84×1019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺．

设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维．

9.课后作业，分层练习

必做：P129练习1、2、3、4

选作：

（2）“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？设计意图：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间．

四、教法分析

对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系．在教学中，我采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．

利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率．

五、评价分析

本节课通过三种推导方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前n项和公式．错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实．学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性．同时通过精讲一题，发散一串的变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能．在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质．