发展的亚太。

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助高中教师提前熟悉所教学的内容。那么一篇好的高中教案要怎么才能写好呢？考虑到您的需要，小编特地编辑了“发展的亚太”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

课标要求:以欧洲联盟、北美自由贸易区及亚太经济合作组织为例，认识当今世界经济区域集团化发展趋势。

教学目标:

（1）知识与能力：了解东盟的发展历程，说说中国与东盟的交往情况；分析北美自由贸易区建立的原因和影响，比较北美自由贸易区与欧盟的异同；概述亚太经济合作组织建立的过程，探讨亚太国家加强合作的途径与方式。

（2）过程与方法：通过搜集中国与东盟交往的材料，了解东盟日益扩大及其影响；用列表等方式比较北美自由贸易区与欧盟的异同，学习用比较的方法认识历史问题；通过上网等途径搜集中国参加APEC会议的资料，多渠道去了解和认识APEC建立的史实及影响。

（3）情感、态度与价值观：通过对东盟、北美自由贸易区和亚太经合组织等区域经济一体化进程的学习和了解，体会当今世界国家间加强合作、竞争与发展的重要性，树立合作与竞争的意识。

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精选阅读

古代商业的发展

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，让教师能够快速的解决各种教学问题。关于好的教案要怎么样去写呢？考虑到您的需要，小编特地编辑了“古代商业的发展”，仅供您在工作和学习中参考。

一、教学目标：
1．知识与能力目标
概述中国古代商业产生发展的面貌，了解不同时期商业发展的特点；通过学习商业、城市经济在各个时期的演变，提高学生梳理、分析历史发展线索的能力。
2．过程与方法目标
结合教材的图表、问题探究以及插图，归纳中国古代城市、商业发展等的演变特点。
3．情感、态度与价值观目标
商业的产生是经济发展的结果，反过来又促进经济的发展；古代的“重农抑商”政策总的来看违背了历史潮流，是造成农耕社会发展迟滞和漫长的主要因素。
二、重点难点：
重点:中国古代商业产生、发展和繁荣的重要表现；市的变迁和城市的发展；
难点:影响商业发展的因素.
三、课标要求：
概述古代中国商业发展的概貌，了解古代商业发展的特点。
四、教学过程：
自主学习
1、请同学们在阅读中注意从总体上把握古代商业发展概况：重农抑商政策下艰难发展。完成下表：
时期概况原因
商朝产生――――
春秋战国打破控制――――
秦汉以后商业活动受限制长期推行重农抑商政策
隋唐农业、手工业发展，开通
宋
元繁荣种类增加，出现，
成政府的主要财源
成为国际性商业大都会
明清商业繁荣成商品
长途贩运产生
2、请同学们阅读课本第二子目内容，了解“市”的形成与发展。知道主要的商业城市。
结合课本上的“唐朝长安城平面图”和《清明上河图》总结出宋朝前后不同的特点
宋以前宋朝到明清
分布地区在以上城市设市更加普遍。兴起四大商业市镇
地点限制特定地点，与分开界限被打破
官府管理官府严格管理不受
时间限制按时开、闭市时间限制被打破出现早市、夜市
关于主要的商业城市，可以把它分为两个方面：
⑴传统的大城市：长安、洛阳、开封、临安、大都
⑵经济重心南移催生的城市：四大商业市镇和扬州、益州

合作探究
1．想一想，商业产生的根源何在？它与农业、手工业关系如何？

2．“法律贱商人，商人已富贵矣”，商业还是得到了发展。分析秦汉时期商业有所发展的原因。
3．根据中国宋朝商业发展的原因，概括影响商业发展的要素。

4．外出经商难免要携带大量财物，那古人是如何解决这一问题的呢？

5．归纳中国古代商业发展的主要特点。

五、知识检测：
1.（2009枣庄模拟）“垄断”一词源于孟子“必求垄断而登之，以左右望而网市利”。“垄断”一词反映了（）
A.春秋战国时期商业的发展B.春秋战国时期农业的发展
C.春秋战国时期人们追逐名利D.春秋战国时期注重文化娱乐生活
2.（2009淮安等四市模拟）王建在《汴路即事》诗中写道：“天涯同此路，人语各殊方。草市迎江货，津桥税海商”。诗中的“草市”指的是（）
A.固定的城市商品交易市场B.自然形成的乡村贸易集市
C.通宵买卖的城市夜市D.繁荣的边疆茶马市场
3.电视剧《贞观长歌》中有很多剧情发生在都城长安的“市”上，下列“市”的场景布置不符合史实的是()
A.“市”的四面建有围墙B.“市”里有专职官员管理
C.“市”门内外店铺林立D.“市”门在白天定时开关
4.（2011年北京卷，12）在北京曾经发现一处战国时期的遗址，从中出土了燕、韩、赵、魏等国铸币3876枚。辽宁、吉林和内蒙古等地也有燕国货币出土。根据以为信息可以得出的正确认识有（）
①燕国与北方游牧地区有贸易往来②各诸侯国的货币可以相互流通
③诸侯国之间商业贸易往来频繁④燕国都城是战国时期唯一的商业中心
A.①②③B.②③④
C.①③④D.①②④
5.（2011年天津卷，26）宋人诗云：“东家打麦声彭魄，西家缫丝雪能白。……东家麦饭香扑扑，西家卖丝籴新谷。”计中反映了宋代（）
A.产品商品化程度提高B.手工业仅在乡村发展
C.开始出现独立的手工业家庭D.手工业者脱离农业生产
6．（2011年海南卷，3）下列各项史料中，能够反映南宋都城临安面貌的是（）
A．（崇仁坊北街）一街辐辏，遂倾两市，昼夜喧呼，灯火不绝。
B．有大市，自余（其余）小市十余所。大市备置官司，税敛既重，时甚苦之。
C．酒楼歌馆，直至四鼓方静，而五鼓朝马将动，其有趁早市者，复起开张，无论四时皆然。
D．郭（廓）城绕宫城南，悉筑为坊，坊开巷。坊大者容四五百家，小者六七十家。
7.（2011年天津卷，25）下列各组古今地名对应正确的是（）
①大都——北京②汴梁——开封③临安——苏州④益州——成都
A.①②③B.①②④
C.①③④D.②③④
8.（2011年浙江文综，16）清乾隆年间苏州《吴县永禁官吏占用钱江（杭州）会馆碑》记载：“商贾捐资，建设会馆，所以便往还而通贸易，或存货于斯，或客栖于斯，诚为集商经营交易时不可缺之所”。下列说法中错误的是（）
A.该碑文反映出苏杭之间的商贸联系
B.会馆为商人出资建造的地方商业中心
C.会馆为旅居异乡的同乡商人所组建
D.会馆为同一地域商人活动的重要场所
9．（2011年上海历史,11）有人认为，中国古代某种对外贸易“在下只是些和平民众小规模的商贩活动，在上只是政府借以表示中国文化传播之一种光荣礼节而已。”下列符合这一认识的经济活动是（）
A．汉朝的丝绸之路B．宋朝的海上丝绸之路
C．明朝的朝贡贸易D．晚清的中英鸦片贸易
10.（2009山东高考）16世纪晚期，山东某地开始出现“地多烟草、木棉，转卖四方，五谷之利不及其半”的情况，这说明当时该地()
①农业经济衰退②农业结构发生变化③商品经济发展④农产品加工业兴起
A.①②B.②③C.③④D.①③
11.（2010临沂二模）读图并结合所学知识回答有关问题：
请回答：
（1）图一反映了我国商业在战国时期的什么发展状况？反映的政治状况是什么？这种状况是怎么结束的？

（2）图二反映了我国货币在北宋时期出现了什么新特点？概括指出这一特点产生的原因？

（3）图一、图二反映了我国货币的什么发展趋势？这种发展趋势与图三反映的生产方式有什么内在联系？

六、知识拓展：
闭关锁国，即严格限制中外交往。由于自给自足的封建经济稳定，统治者认为无需同外国进行经济交流;（根本原因）;当时西方殖民者正向东方扩展势力，统治者担心遭受侵略，又害怕沿海人民同外国人交往，会危及自己的统治。
其影响：对西方殖民者的侵略活动起过一定自卫作用；但中国与世隔绝，既看不到世界形势的变化，也不能向西方学习先进技术和文化，中国逐渐在世界上落伍了。

工业的发展 ,1

教案示例1

——“工业的发展”第一课时

中国工业的巨大发展

中国的工业布局

中国工业分布变化图，中国工业发展景观图片

（讲述）上节我们了解了我国基础工业及其分布与全国主要工业基地的分布。那么，我们的工业到底如何呢？下面我们就来看一看中国工业的发展状况。

（板书）第2节工业的发展

（讲述）首先让我们从纵向上来看一看我国工业的发展情况。请同学们看下面一组数字：

1949年的数字——

工业总产值仅占工农业总产值的17％。

机器设备的进口率为80％。

在全部社会劳动者中，工业职工只占2％左右。

这三个数字说明，旧中国工业水平很低，规模小，产品少，对外依赖性强。新中国成立后，中国的工业发展十分迅速。

（提问）请同学们看“我国主要工业产品的产量增长”图，对比1949年的数字，计算1999年的产量是1949年的多少倍。

学生读图、计算，并回答：增长倍数：原煤超过30倍，原油超过1000倍，钢超过500倍，水泥超过800倍，化肥5000多倍，棉布10倍以上。

（提问）从计算结果可得出什么结论？

（新中国工业生产增长速度很快）

（板书）一、较高的增长速度

（讲述）旧中国的工业不但工业产量低，而且工业部门残缺不全，主要是采矿业、纺织业和简单的加工业，因此许多工业产品不能自己生产，完全依赖进口。车是“洋车”，收音机是“洋匣子”，就连一些最普遍的日用品像铁钉、火柴、煤油也需要进口，都称“洋钉”、“洋火”、“洋油”。

也正是因为旧中国工业如此落后，在新中国成立之初，西方工业国家对中国实行经济封锁，想以此来卡住中国人民的脖子。但新中国并没有被卡死，自己当家作主的中国人民发扬“自力更生，艰苦奋斗”的精神，艰苦创业，使中国工业迅速发展，工业产值突飞猛进，工业部门也由少到多，并最终形成了独立的、门类比较齐全的工业体系。现在我国已拥有联合国产业分类中所列的全部工业门类，我国的工业产品不但能满足国内生产和消费的基本需要，而且许多工业产品大量出口。更值得骄傲的是，在一些高科技领域如航天、卫星、核工业等，中国已经开始步入世界先进行列。

（板书）二、独立的工业体系

（展示图片）引导学生看工业发展的图片，直观感受一下中国的工业。

（新课结束，复习反馈）

第2节工业的发展

较高的增长速度

工业的发展 ,2

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，作为高中教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师能够井然有序的进行教学。那么，你知道高中教案要怎么写呢？小编经过搜集和处理，为您提供工业的发展 ,2，欢迎您参考，希望对您有所助益！

教案示例2

——“工业的发展”第二课时

中国工业的巨大发展

日趋合理的工业布局

计算机课件

（复习提问，导入新课）

（复习提问）上一节我们从两个方面回顾了新中国工业的发展，提问：与旧中国相比，新中国工业在哪两个方面取得了巨大的发展？

（总结）一是取得了较高的增长速度，二是建成了独立的、门类比较齐全的工业体系。

（讲述）新中国的工业，除了在工业门类和工业产值上取得了巨大发展以外，在工业的分布上也日趋合理。

（板书）三、日趋合理的工业布局

工业建设的一个重要问题就是布局问题，也就是在什么地方建设什么工业的问题。在选择工业位置时要考虑的因素很多，如原料供应、产品销售、交通运输、市场、区域发展，甚至地形、气候等等，而且不同的工业对这些因素又有不同的要求。由于工业是国民经济的主导产业，工业布局对一个地区、一个国家的经济发展都会产生重大的影响。因此，工业布局合理，工业分布保持平衡就十分重要。

（展示）动画“我国工业布局的变化”。请同学们注意分清两类工业中心：旧中国原有的和新中国新建的和两类重点建设地区：第一个五年计划的和现在工业建设地区。

（提问）旧中国原有的工业中心有哪几个？

（大连、天津、青岛、上海、广州、沈阳、武汉、重庆）

（展示）各旧工业中心的图片

（提问）这样的布局是否合理，为什么？

（不合理，只集中于少数城市，而且太偏重沿海地区，对全国特别是内地和农村发展不利。）

（展示）各新建工业中心和乡镇企业的图片

（展示）图片：中国工业布局的变化

（提问）新中国工业发展有什么变化？这些变化说明了什么？

（总结）工业中心大量增加，遍布全国各省区；工业发展由沿海指向内地；在一些工业集中分布地区形成区域性工业基地。这些变化，在充分发挥地区优势的基础上，促进了全国工业的发展，由沿海到内地，由城市到农村，使我国的工业布局日趋合理。

引导学生读教材“日趋合理的工业布局”部分内容，加深学生对我国工业布局的了解，并转入对我国工业前景的展望。

（展示）录像“主要的工业中心和乡镇企业的发展”

（板书）四、迅速发展中的中国高新技术产业

我国的高新技术起步较晚，但发展迅猛。

（板书）1.高新技术产业

高新技术产业是建立在新的科学技术基础上的新兴产业，经济增长速度快，产品更新换代快，是构成一个国家综合国力的主要因素。

（板书）2.高新技术产业的布局

（讲述）高新技术产业要求布局在技术发达、知识密集、人才聚集的区域。高新技术产业开发区倾向于依附大城市，呈点状分布。因其受经济基础及国家政策倾斜的影响。

（展示）国家级高新技术产业开发区分布图

（展示）重庆市高新技术开发区

教师引导学生读阅读材料“中国硅谷——北京中关村高科技园区”，并回答问题：

我国高新技术产业开发区为什么选择珠江三角洲、京津唐、沪宁杭等地区？

因为这些地区工业基础好、科技力量雄厚、高层次知识性人才聚集、交通便利等因素。

学生讨论，自由发言。

（板书）五、中国工业的前景

我国的工业是在一个很低的水平上发展起来的，尽管我国的工业发展成就十分巨大，但是与工业发达国家相比，仍然存在很大的差距。

教师引导学生读表格，并回答提出的问题。

（展示）表格：1999年中国、美国和世界部分工业产品的产量和人均产量的对比

钢发电量水泥电视机糖总量（万吨）人均（千克）总量（亿千瓦时）人均（千瓦时）总量（万吨）人均（千克）总量（万台）人均（台/千人）总量（万吨）人均（千克）中国115599211670935536004293637298266美国107643973212211872948135011444275628世界72755123137457232915076025513714221330822

问题：

1.把上表所列的我国的工业产品的总量和人均量与美国比较，哪些差距较大，哪些比较接近或已超过？

2.把上表所列的我国工业产品的人均量与世界人均量比较，哪些差距较大，哪些比较接近或已超过？

学生回答问题。

（讲述并提问）由统计数据可以看出，从工业产品的生产总量来看，除发电量一项外，其他几项我国与美国并无太大差距，有些项目，如水泥产量还远远高于美国，可以说，我国许多工业产品产量都居世界前列。但是，若按人均量来计算，则各项均与美国有较大差距，与全世界平均状况相比，也只有电视机和水泥两项较为接近。

那么，这说明一个什么问题呢？

（中国人口太多，与人口数量相比，工业规模还很不够。）

（讲述）同学们分析得很好。作为发展中国家，与发达国家相比，我国的工业还存在许多问题。比如总体水平低，现代化程度差，科学技术上明显滞后，工业生产效率也较低，这里面除了技术和设备的原因以外，经营管理水平低也是一个重要原因。一些基础工业，如能源工业相对薄弱也成为制约工业发展的重要因素。

（板书）差距：现代化技术、经营管理、人均产量

（讲述）不过还应当看到，自改革开放以来，我国是世界经济发展速度最快的国家，当今世界正进人知识经济时代，这也是我国工业发展的大好时机，那么，要进一步发展我国工业，尽快赶上世界发达国家，我们应如何努力呢？

学生讨论，自由发言。学生一般都能谈到发展高科技，也有的同学会针对前面提到的差距提出加强经营管理，控制人口，加强能源建设等。

（讲述）同学们讨论得很好，你们有很多非常好的想法，许多都与国家政策是不谋而合的。下面让我们来看一看教材上提出的几个方面的发展方向。

（展示）录像：工业前景

（总结并板书）

（讲述）对于我们整个国家来讲，以上三个方面是要努力做的。那么做为一个学生，我们又应当如何做呢？

（好好学习，掌握科学知识）

三、日趋合理的工业布局

四、迅速发展中的中国高新技术产业

1.高新技术产业

2.高新技术产业的布局

五、中国工业的前景

差距：现代化技术、经营管理、人均产量

教案点评：

本教案采用了教师讲解与学生分析讨论相结合的启发式教学模式，--注重培养学生思考、分析问题的能力，体现了学生的主体地位及主动探索式的学习方法，较好贯彻了教学目标的实施，--结构严谨。在教学中，通过各种媒体手段运用，逐步引导学生归纳总结我国工业发展取得的巨大成就以及面临的问题，并有意识地引导学生针对我国工业发展方向的思考，很好体现了学生的主体地位及主动探索式的学习。

从整个教学环节看注重对本节内容与前后节的联系、本课的重点、难点及学生的基础知识的分析，根据初二学生的认知特点设计教学目标，教法、学法的设计具有一定的启发性。教学过程及学生的自主学习过程是成功的。充分培养了学生学习的积极性、主动性和创造性。

数的概念的发展

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。作为高中教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助高中教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。我们要如何写好一份值得称赞的高中教案呢？小编为此仔细地整理了以下内容《数的概念的发展》，相信您能找到对自己有用的内容。

数的概念的发展教学目标
(1)了解数的概念发展的过程和动力;
1.教材分析
(1)知识结构
首先简明扼要地对已经学过的数集因生产与科学发展的需要而逐步扩充的过程作了概括;然后说明,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,使得某些代数方程在新的数集中能够有解。从而引出虚数单位i及其性质,接着,将数的范围扩充到复数,并指出复数后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。
自然数整数有理数无理数
②从解方程的需要推进数的发展
负数分数无理数虚数
(2)重点、难点分析
(一)熟悉数的概念的发展的动力
从正整数扩充到整数,从整数扩充到有理数,从有理数扩充到实数,数的概念是不断发展的,其发展的动力来自两个方面。
①解决实际问题的需要
由于计数的需要产生了自然数;为了表示具有相反意义的量的需要产生了整数;由于测量的需要产生了有理数;由于表示量与量的比值(如正方形对角线的长度与边长的比值)的需要产生了无理数(既无限不循环小数)。
②解方程的需要。
为了使方程有解,就引进了负数;为了使方程有解,就要引进分数;为了使方程有解,就要引进无理数。
引进无理数后,我们已经能使方程永远有解,但是,这并没有彻底解决问题,当时,方程在实数范围内无解。为了使方程()有解,就必须把实数概念进一步扩大,这就必须引进新的数。
(二)注重数的概念在扩大时要遵循的原则
第一,要能解决实际问题中或数学内部的矛盾。现在要解决的就是在实数集中,方程无解这一矛盾。
第二,要尽量地保留原有数集(现在是实数集)的性质,非凡是它的运算性质。
(三)正确确熟悉数集之间的关系
①有理数就是一切形如的数,其中,所以有理数集实际就是分数集.
②“循环节不为0的循环小数也都是有理数”.
③{有理数}={分数}={循环小数},{实数}={小数}.
④自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C之间有如下的包含关系:
2.教法建议
(1)注重知识的连续性:数的发展过程是漫长的,每一次发展都来自于生产、生活和计算等需要,所以在教学时要注重使学生熟悉到数的发展的两个动力.
(2)创造良好的课堂气氛:由于本节课要了解扩充实数集的必要性,所以,教师可以多向学生介绍一些数的发展过程中的一些科学史,课堂学习的气氛可以营造成一种师生共同研究、共同交流的气氛。
数的概念的发展
教学目的
1.使学生了解数是在人类社会的生产和生活中产生和发展起来的,了解虚数产生历史过程;
2.理解并把握虚数单位的定义及性质;
3.把握复数的定义及复数的分类.
教学重点
虚数单位的定义、性质及复数的分类.
教学难点
虚数单位的性质.
教学过程
一、复习引入
原始社会,由于计数的需要产生了自然数的概念,随着文字的产生和发展,出现了记数的符号,进而建立了自然数的概念。自然数的全体构成自然数集.
为了表示具有相反意义的量引进了正负数以及表示没有的零,这样将数集扩充到有理数集
有些量与量之间的比值,如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为解决这种矛盾,人们又引进了无理数,有理数和无理数合并在一起,构成实数集.
数的概念是人类社会的生产和生活中产生和发展起来的,数学理论的研究和发展也推动着数的概念的发展,数已经成为现代社会生活和科学技术时刻离不开的科学语言和工具.
二、新课教学
(一)虚数的产生
我们知道,在实数范围内,解方程是无能为力的,只有把实数集扩充到复数集才能解决.对于复数(a、b都是实数)来说,当时,就是实数;当时叫虚数,当时,叫做纯虚数.可是,历史上引进虚数,把实数集扩充到复数集可不是件轻易的事,那么,历史上是如何引进虚数的呢?
16世纪意大利米兰学者卡当(1501—1576)在1545年发表的《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称之为“卡当公式”.他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家,并且在讨论是否可能把10分成两部分,使它们的乘积等于40时,他把答案写成,尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的,但他还是把10分成了两部分,并使它们的乘积等于40.给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(1596—1650),他在《几何学》(1637年发表)中使“虚的数’‘与“实的数”相对应,从此,虚数才流传开来.
数系中发现一颗新星——虚数,于是引起了数学界的一片困惑,很多大数学家都不承认虚数.德国数学家菜不尼茨(1664—1716)在1702年说:“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”.瑞士数学大师欧拉(1707—1783)说:“一切形如,习的数学式子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根.对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻.”然而,真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验,最终占有自己的一席之地.法国数学家达兰贝尔(.1717—1783)在1747年指出,假如按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是的形式(a、b都是实数)(说明:现行教科书中没有使用记号而使用).法国数学家棣莫佛(1667—1754)在1730年发现公式了,这就是闻名的探莫佛定理.欧拉在1748年发现了有名的关系式,并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i来表示1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位.“虚数”实际上不是想象出来的,而它是确实存在的.挪威的测量学家未塞尔(1745—1818)在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视.
德国数学家高斯(1777—1855)在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示.在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数.象这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“高斯平面”.高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合.统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数—一对应,扩展为平面上的点与复数—一对应.高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间—一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法.至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了.
经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚呵.虚数成为了数系大家庭中一员,从而实数集才扩充到了复数集.
随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且为证实机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据.
(二)、虚数单位
1.规定i叫虚数单位,并规定:
(1)
(2)实数与它进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立
2.形如()的数叫复数,常用一个字母z表示,即()
注:(1)()叫复数的代数形式;
(2)以后说复数都有;
(3)a叫复数()的实部记作;b叫复数()的虚部,用表示;
(4)全体复数的所成的集合叫复数集用C表示.
例1.指出下列复数的实部、虚部:
(1(2)(4)(5)
(6)(7)(8)10
3.复数()当时z是实数,当时,z是虚数.
例2.()取什么值时,复数是()
(1)实数(2)纯虚数(3)零
解:∵,∴,
(1)z为实数,则解得:或
(2)z为实数,则解得:
(3)z为零,则解得:2339