数的概念的发展。

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。作为高中教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助高中教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。我们要如何写好一份值得称赞的高中教案呢？小编为此仔细地整理了以下内容《数的概念的发展》，相信您能找到对自己有用的内容。

数的概念的发展教学目标
(1)了解数的概念发展的过程和动力;
1.教材分析
(1)知识结构
首先简明扼要地对已经学过的数集因生产与科学发展的需要而逐步扩充的过程作了概括;然后说明,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,使得某些代数方程在新的数集中能够有解。从而引出虚数单位i及其性质,接着,将数的范围扩充到复数,并指出复数后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。
自然数整数有理数无理数
②从解方程的需要推进数的发展
负数分数无理数虚数
(2)重点、难点分析
(一)熟悉数的概念的发展的动力
从正整数扩充到整数,从整数扩充到有理数,从有理数扩充到实数,数的概念是不断发展的,其发展的动力来自两个方面。
①解决实际问题的需要
由于计数的需要产生了自然数;为了表示具有相反意义的量的需要产生了整数;由于测量的需要产生了有理数;由于表示量与量的比值(如正方形对角线的长度与边长的比值)的需要产生了无理数(既无限不循环小数)。
②解方程的需要。
为了使方程有解,就引进了负数;为了使方程有解,就要引进分数;为了使方程有解,就要引进无理数。
引进无理数后,我们已经能使方程永远有解,但是,这并没有彻底解决问题,当时,方程在实数范围内无解。为了使方程()有解,就必须把实数概念进一步扩大,这就必须引进新的数。
(二)注重数的概念在扩大时要遵循的原则
第一,要能解决实际问题中或数学内部的矛盾。现在要解决的就是在实数集中,方程无解这一矛盾。
第二,要尽量地保留原有数集(现在是实数集)的性质,非凡是它的运算性质。
(三)正确确熟悉数集之间的关系
①有理数就是一切形如的数,其中,所以有理数集实际就是分数集.
②“循环节不为0的循环小数也都是有理数”.
③{有理数}={分数}={循环小数},{实数}={小数}.
④自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C之间有如下的包含关系:
2.教法建议
(1)注重知识的连续性:数的发展过程是漫长的,每一次发展都来自于生产、生活和计算等需要,所以在教学时要注重使学生熟悉到数的发展的两个动力.
(2)创造良好的课堂气氛:由于本节课要了解扩充实数集的必要性,所以,教师可以多向学生介绍一些数的发展过程中的一些科学史,课堂学习的气氛可以营造成一种师生共同研究、共同交流的气氛。
数的概念的发展
教学目的
1.使学生了解数是在人类社会的生产和生活中产生和发展起来的,了解虚数产生历史过程;
2.理解并把握虚数单位的定义及性质;
3.把握复数的定义及复数的分类.
教学重点
虚数单位的定义、性质及复数的分类.
教学难点
虚数单位的性质.
教学过程
一、复习引入
原始社会,由于计数的需要产生了自然数的概念,随着文字的产生和发展,出现了记数的符号,进而建立了自然数的概念。自然数的全体构成自然数集.
为了表示具有相反意义的量引进了正负数以及表示没有的零,这样将数集扩充到有理数集
有些量与量之间的比值,如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为解决这种矛盾,人们又引进了无理数,有理数和无理数合并在一起,构成实数集.
数的概念是人类社会的生产和生活中产生和发展起来的,数学理论的研究和发展也推动着数的概念的发展,数已经成为现代社会生活和科学技术时刻离不开的科学语言和工具.
二、新课教学
(一)虚数的产生
我们知道,在实数范围内,解方程是无能为力的,只有把实数集扩充到复数集才能解决.对于复数(a、b都是实数)来说,当时,就是实数;当时叫虚数,当时,叫做纯虚数.可是,历史上引进虚数,把实数集扩充到复数集可不是件轻易的事,那么,历史上是如何引进虚数的呢?
16世纪意大利米兰学者卡当(1501—1576)在1545年发表的《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称之为“卡当公式”.他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家,并且在讨论是否可能把10分成两部分,使它们的乘积等于40时,他把答案写成,尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的,但他还是把10分成了两部分,并使它们的乘积等于40.给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(1596—1650),他在《几何学》(1637年发表)中使“虚的数’‘与“实的数”相对应,从此,虚数才流传开来.
数系中发现一颗新星——虚数,于是引起了数学界的一片困惑,很多大数学家都不承认虚数.德国数学家菜不尼茨(1664—1716)在1702年说:“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”.瑞士数学大师欧拉(1707—1783)说:“一切形如,习的数学式子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根.对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻.”然而,真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验,最终占有自己的一席之地.法国数学家达兰贝尔(.1717—1783)在1747年指出,假如按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是的形式(a、b都是实数)(说明:现行教科书中没有使用记号而使用).法国数学家棣莫佛(1667—1754)在1730年发现公式了,这就是闻名的探莫佛定理.欧拉在1748年发现了有名的关系式,并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i来表示1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位.“虚数”实际上不是想象出来的,而它是确实存在的.挪威的测量学家未塞尔(1745—1818)在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视.
德国数学家高斯(1777—1855)在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示.在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数.象这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“高斯平面”.高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合.统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数—一对应,扩展为平面上的点与复数—一对应.高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间—一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法.至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了.
经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚呵.虚数成为了数系大家庭中一员,从而实数集才扩充到了复数集.
随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且为证实机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据.
(二)、虚数单位
1.规定i叫虚数单位,并规定:
(1)
(2)实数与它进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立
2.形如()的数叫复数,常用一个字母z表示,即()
注:(1)()叫复数的代数形式;
(2)以后说复数都有;
(3)a叫复数()的实部记作;b叫复数()的虚部,用表示;
(4)全体复数的所成的集合叫复数集用C表示.
例1.指出下列复数的实部、虚部:
(1(2)(4)(5)
(6)(7)(8)10
3.复数()当时z是实数,当时,z是虚数.
例2.()取什么值时,复数是()
(1)实数(2)纯虚数(3)零
解:∵,∴,
(1)z为实数,则解得:或
(2)z为实数,则解得:
(3)z为零,则解得:2339

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2.2.1.1对数的概念

2.2.1.1对数的概念
一、内容及其解析
（一）内容：1、理解对数的概念；
2、能够熟练进行对数式与指数式的互化；
3、会根据对数的概念求一些特殊对数式的值；
（二）解析：1、由指数式引出对数式的概念，区分指数式与对数式子中各自的名称及读法；
2、能熟练对数式与指数式之间的互化，
3、会根据对数的概念求一些特殊对数式的值。
二、目标及其解析
（一）教学目标：
1.理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化；
2.渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力；
3.会求一些特殊的对数式的值。
（二）解析：
1．理解对数的概念就是指：一是实际的需要；二是人为规定的一种新的表
示数的符号。
2．熟练进行对数式与指数式的互化就是指：一是弄清楚对数与指数，对数
式与指数式的含义；二是理解对数式与指数式的互化的实质；三是要把这种互化
提升为一种方法，为我们以后解题奠定基础。
3.会求一些特殊的对数式的值就是指能够熟练利用：和对数恒等式。
三、问题诊断分析
对数概念的理解中学生存在问题，所以要结合具体的实例，指出为了解决实际问题，引入对数的概念，体现了数学来源于实际的生活，并服务于实际的生活。
四、教学过程设计
（一）复习引入：
1．庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？
2．假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？
抽象出：1.＝？，＝0.125x=?2.=2x=?
也是已知底数和幂的值，求指数你能看得出来吗？怎样求呢？
（二）新授内容：
定义：一般地，如果的b次幂等于N,就是，那么数b叫做以a为底N的对数，记作，a叫做对数的底数，N叫做真数
例如：;
;
探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中N0）
⑵，
∵对任意且,都有∴
同样易知：
⑶对数恒等式
如果把中的b写成,则有
⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N的常用对数简记作lgN
例如：简记作lg5;简记作lg3.5.
⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数简记作lnN
例如：简记作ln3;简记作ln10
（6）底数的取值范围；真数的取值范围
（三）合作探究，精讲点拨
探究一：指对互化
例1将下列指数式写成对数式：（课本第87页）
（1）=625（2）=（3）=27(4)=5.73
解析：直接用对数式的定义进行改写．
解：（1）625=4；（2）=-6；
（3）27=a；（4）
点评：主要考察了底真树与幂三者的位置．
变式练习１：将下列对数式写成指数式：
（1）；（2）128=7；
（3）lg0.01=-2；（4）ln10=2.303
解：（1）（2）=128；
（3）=0.01；（4）=10
探究二：计算
例２计算：⑴，⑵，⑶，⑷
解析：将对数式写成指数式，再求解．
解：⑴设则,∴
⑵设则,,∴
⑶令=,
∴,∴
⑷令,∴,,∴
点评：考察了指数与对数的相互转化．

数系的扩充和复数的概念导学案

石油中学高二文科数学选修1-2导学案---复数
§3-1数系的扩充和复数的概念
学习目标：
1、了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i
2、理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
3、理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念
学习重点：
复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.
学习难点：
虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立
自主学习
一、知识回顾：
数的概念是从实践中产生和发展起来的，由于计数的需要，就产生了1，2及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集
有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集
因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数
二、新课研究：
1、虚数单位:
(1)它的平方等于-1，即;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2.与－1的关系:就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－!
2、的周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=1
3、复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*
4、复数的代数形式:复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式
5、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
6、复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.
7、两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d
复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

例题讲解
例1请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？
答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－;虚部分别是3，，－，－;－i是纯虚数.
例2复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？
答：实部是3.14，虚部是－2.
易错为：实部是－2，虚部是3.14！
例3实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是:
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
［分析］因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.
解：(1)当m－1=0，即m=1时，复数z是实数；
(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；
(3)当m+1=0，且m－1≠0时，即m=－1时，复数z是纯虚数.
例4已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组，所以x=，y=4
课堂巩固
1、设集合C=｛复数｝，A=｛实数｝，B=｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确的是()
A.A∪B=CB.A=BC.A∩B=D.B∪B=C
2、复数(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i为虚数，则实数x满足()
A.x=－B.x=－2或－C.x≠－2D.x≠1且x≠－2
3、复数z1=a+｜b｜i，z2=c+｜d｜i(a、b、c、d∈R)，则z1=z2的充要条件是______.
4、已知m∈R，复数z=+(m2+2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R;(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=+4i.
归纳反思

课后探究
1、设复数z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，如果z是纯虚数，求m的值.
2、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.

对数的概念

数学必修1：对数
教学目的：（1）理解对数的概念；
（2）能够说明对数与指数的关系；
（3）掌握对数式与指数式的相互转化．
教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化
教学难点：对数概念的理解．
教学过程：
一、引入课题
1．（对数的起源）价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性；
设计意图：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神．
2．尝试解决本小节开始提出的问题．
二、新课教学
1．对数的概念
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数（Logarithm），记作：
—底数，—真数，—对数式
说明：○1注意底数的限制，且；
○2；
○3注意对数的书写格式．
思考：○1为什么对数的定义中要求底数，且；
○2是否是所有的实数都有对数呢？
设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备．
两个重要对数：
○1常用对数（commonlogarithm）：以10为底的对数；
○2自然对数（naturallogarithm）：以无理数为底的对数的对数．
2．对数式与指数式的互化
对数式指数式
对数底数←→幂底数
对数←→指数
真数←→幂
例1．（教材P73例1）
巩固练习：（教材P74练习1、2）
设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念．
说明：本例题和练习均让学生独立阅读思考完成，并指出对数式与指数式的互化中应注意哪些问题．
3．对数的性质
（学生活动）
○1阅读教材P73例2，指出其中求的依据；
○2独立思考完成教材P74练习3、4，指出其中蕴含的结论
对数的性质
（1）负数和零没有对数；
（2）1的对数是零：；
（3）底数的对数是1：；
（4）对数恒等式：；
（5）．
三、归纳小结，强化思想
○1引入对数的必要性；
○2指数与对数的关系；
○3对数的基本性质．
四、作业布置
教材P86习题2．2（A组）第1、2题，（B组）第1题．

2.1.2-1指数函数的概念学案

2.1.2-1指数函数的概念学案
课前预习学案
一．预习目标
1.通过预习理解指数函数的概念
2.简单掌握指数函数的性质
二．预习内容
１．一般地，函数叫做指数函数．
２．指数函数的定义域是，值域．
３．指数函数的图像必过特殊点．
４．指数函数，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数．
三．提出疑惑
通过以上自我预习你还有什么疑惑请写在下面的横线上
课内探究学案
一．学习目标
1.理解指数函数的概念能画出具体的指数函数图象
2.在理解指数函数概念、性质的基础上，能运用所学知识解决简单的数学问题
学习重点：指数函数概念、图象和性质
学习难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质
二．学习过程
探究一
１．函数是指数函数，则有（）
Ａ．ａ＝１或ａ＝２Ｂ．ａ＝１Ｃ．ａ＝２Ｄ．ａ＞０且
２．关于指数函数和的图像，下列说法不正确的是（）
Ａ．它们的图像都过（０，１）点，并且都在ｘ轴的上方．
Ｂ．它们的图像关于ｙ轴对称，因此它们是偶函数．
Ｃ．它们的定义域都是Ｒ，值域都是（０，＋）．
Ｄ．自左向右看的图像是上升的，的图像是下降的．
３．函数在R上是减函数，则的取值范围是（）
A、B、C、D、
４．指数函数ｆ（ｘ）的图像恒过点（－３，），则ｆ（２）＝．
５．函数的单调递增区间是。
探究二
例１：指出下列函数那些是指数函数：
（１）（２）（３）（４）（５）（６）（7）（8）
例２：求下列函数的定义域与值域：
（１）（２）（３）
（４）
例３：将下列各数从小到大排列起来：
三．当堂检测
１．下列关系式中正确的是（）
Ａ．＜＜Ｂ．＜＜
Ｃ．＜＜Ｄ．＜＜
２．若－１＜ｘ＜０，则下列不等式中正确的是（）
Ａ．＜＜Ｂ．＜＜
Ｃ．＜＜Ｄ．＜＜
３．下列函数中值域是（０，＋）的函数是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
４．函数的值域是（）
A、B、C、D、
课后练习与提高
１．函数图像在不在第二象限且不过原点，则ｍ的取值范围是（）
Ａ．ａ＞１ｂ．ａ＞１且ｍ＜０Ｃ．０＜ａ＜１且ｍ＜０Ｄ．０＜ａ＜１
２．设０＜ａ＜ｂ＜１，则下列不等式中正确的是（）
Ａ．＜Ｂ．＜Ｃ．＞Ｄ．＜
３．已知x＞0，函数y=(a2－8)x的值恒大于1，则实数a的取值范围是________．
４．若，则。
5．已知函数
（１）求ｆ（ｘ）的定义域；
（２）讨论ｆ（ｘ）的奇偶性；