高一数学教案：巧化三角形式。

老师会对课本中的主要教学内容整理到教案课件中，大家开始动笔写自己的教案课件了。是时候对自己教案课件工作做个新的规划了，这样接下来工作才会更上一层楼！你们了解多少教案课件范文呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《高一数学教案：巧化三角形式》，欢迎大家与身边的朋友分享吧！

化复数为三角形式，由于其涉及内容较多，尤其对应复数的辐角不会找，一直是学生学习的一个难点。笔者结合多年的教学实践，利用诱导公式化复数为三角形式，既简单又实用。为此特设计下面的表格，同学们只要由表中找到相应的公式即可。

象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

α（视为锐角） π-α π+α 2π-α

诱导角π/2-α π/2+α 3π/2-α 3π/2+α

说明：余弦在前正弦在后的选用第一行的公式，否则使用第二行的公式。

下面由几道例题说明上述表格的应用。

例1、化-1+ i为三角形式分析：所给复数位于第二象限，查表对应诱导角为2π/3（这里锐角α=π/3）。

解：-1+ i=2（cos2π/3+sin2π/3）

例2、化z=2（cosα-isinα）为三角形式分析：所给复数位于第四象限，查表对应诱导角为2π-α。

解：z=2（cosα-isinα）=2[cos（2π-α）+isin（2π-α）]

例3、化z=－2（cosα+isinα）为三角形式分析：先将模化为正数z=2（-cosα-isinα）该复数位于第三象限，查表对应诱导角为π+α。

解：z=－2（cosα+isinα）=2[cos（π+α）+isin（π+α）]

例4、化z=sinα-icosα为三角形式分析：由于正弦在前余弦在后且对应复数位于第四象限，查表对应诱导角为3π/2+α解：z=sinα-icosα=cos（3π/2+α）+isin（3π/2+α）

例5、化z=-2（sinα-icosα）为三角形式分析：先将模化为正数z=2（-sinα+ icosα）由于正弦在前余弦在后且对应复数位于第二象限，查表对应诱导角为π/2+α解：z=-2（sinα-icosα）=2（-sinα+ icosα）

=2[cos（π/2+α）+isin（π/2+α）]

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解斜三角形

5.4解斜三角形

●知识梳理
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即==.
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）
2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
a2=b2+c2－2bccosA；①
b2=c2+a2－2cacosB；②
c2=a2+b2－2abcosC.③
在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.
由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得
cosA=；
cosB=；
cosC=.
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
特别提示
两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.
●点击双基
1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
解析：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.
答案：C
2.下列条件中，△ABC是锐角三角形的是
A.sinA+cosA=B.＞0
C.tanA+tanB+tanC＞0D.b=3，c=3，B=30°
解析：由sinA+cosA=
得2sinAcosA=－＜0，∴A为钝角.
由＞0，得＜0，∴cos〈，〉＜0.∴B为钝角.
由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）（1－tanAtanB）+tanC＞0.
∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.
由=，得sinC=，∴C=或.
答案：C
3.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于
A.B.1+
C.D.2+
解析：∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面积为，且∠B=30°，故由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦定理，得cosB====，解得b2=4+2.又b为边长，∴b=1+.
答案：B
4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，则∠A=_______.
解析：由已知得（b+c）2－a2=3bc，∴b2+c2－a2=bc.∴=.∴∠A=.
答案：
5.在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______.
解析：若c是最大边，则cosC＞0.∴＞0，∴c＜.又c＞b－a=1，
∴1＜c＜.
答案：（1，）
●典例剖析
【例1】△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B.
剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.
证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2A－sin2B=sinBsinC
－=sinBsin（A+B）
（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）
sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B），
因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sinB.所以只能有A－B=B，即A=2B.
评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.
思考讨论
（1）该题若用余弦定理如何解决?
解：利用余弦定理，由a2=b（b+c），得cosA===，cos2B=2cos2B－1=2（）2－1=－1=.
所以cosA=cos2B.因为A、B是△ABC的内角，所以A=2B.
（2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决?
解：由题设a2=b（b+c），得=①，
作出△ABC，延长CA到D，使AD=AB=c，连结BD.①式表示的即是=，所以△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D.
又AB=AD，可知∠2=∠D，所以∠1=∠2.
因为∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1，
所以A=2B.
评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.
【例2】已知锐角△ABC中，sin（A+B）=，sin（A－B）=.
（1）求证：tanA=2tanB；
（2）设AB=3，求AB边上的高.
剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.
（1）证明：∵sin（A+B）=，sin（A－B）=，
∴
=2.
∴tanA=2tanB.
（2）解：＜A+B＜π，∴sin（A+B）=.
∴tan（A+B）=－，
即=－.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB=（负值舍去）.得tanB=，∴tanA=2tanB=2+.
设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB边上的高为2+.
评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.
【例3】在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值.
剖析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理.由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值.
解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.
在△ABC中，由余弦定理得
cosA===，∴∠A=60°.
在△ABC中，由正弦定理得sinB=，
∵b2=ac，∠A=60°，
∴=sin60°=.
解法二：在△ABC中，
由面积公式得bcsinA=acsinB.
∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB.
∴=sinA=.
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.
●闯关训练
夯实基础
1.在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析：在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1sinA＞；sinA＞30°＜A＜150°A＞30°.
答案：B
2.如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为
A.75°B.60°C.50°D.45°
解析：作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE=40°，延长DE交直线AB于F，连结CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S△ABD最大，只需DF最大.在△CFD中，=.
∴DF=.
∵CF为定值，∴当α=50°时，DF最大.
答案：C
3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=（a2+b2－c2），则∠C的度数是_______.
解析：由S=（a2+b2－c2）得absinC=2abcosC.∴tanC=1.∴C=.
答案：45°
4.在△ABC中，若∠C=60°，则=_______.
解析：=
=.（*）
∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab.
∴a2+b2=ab+c2.
代入（*）式得=1.
答案：1
5.在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是
A.b=20，A=45°，C=80°B.a=30，c=28，B=60°
C.a=14，b=16，A=45°D.a=12，c=15，A=120°
解析：由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得=，所以sinB=.因而B有两值.
答案：C
培养能力
6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，依次成等比数列，求y=的取值范围.
解：∵b2=ac，∴cosB===（+）－≥.
∴0＜B≤，
y===sinB+cosB=sin（B+）.∵＜B+≤，
∴＜sin（B+）≤1.故1＜y≤.
7.已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圆半径为.
（1）求∠C；
（2）求△ABC面积的最大值.
解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB得2（－）=（a－b）.
又∵R=，
∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.
∴cosC==.
又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.
（2）S=absinC=×ab
=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A）
=2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）
=3sinAcosA+sin2A
=sin2A－sin2Acos2A+
=sin（2A－30°）+.
∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=.
8.在△ABC中，BC=a，顶点A在平行于BC且与BC相距为a的直线上滑动，求的取值范围.
解：令AB=kx，AC=x（k＞0，x＞0），则总有sinB=，sinC=（图略），且由正弦定理得sinB=sinA，所以a2=kx2sinBsinC=kx2sinA，由余弦定理，可得cosA==（k+－sinA），所以k+=sinA+2cosA≤=.所以k2－k+1≤0，所以≤k≤.
所以的取值范围为［，］.
探究创新
9.某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）
解：在△AOB中，设OA=a，OB=b.
因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以∠AOB=135°.
则|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+ab≥2ab+ab=（2+）ab，当且仅当a=b时，“=”成立.又O到AB的距离为10，设∠OAB=α，则∠OBA=45°－α.所以a=，b=，
ab=
=
=
=
=≥，
当且仅当α=22°30′时，“=”成立.
所以|AB|2≥=400（+1）2，
当且仅当a=b，α=22°30′时，“=”成立.
所以当a=b==10时，|AB|最短，其最短距离为20（+1），即当AB分别在OA、OB上离O点10km处，能使|AB|最短，最短距离为20（－1）.
●思悟小结
1.在△ABC中，∵A+B+C=π，∴sin=cos，cos=sin，tan=cot.
2.∠A、∠B、∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°.
3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正弦（余弦）定理实施边角转化.
5.用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长.
6.用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.
●教师下载中心
教学点睛
1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力.
2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练.
拓展题例
【例1】已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+.
（1）若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y的最小值.
解：（1）∵y=cotA+
=cotA+
=cotA+
=cotA+cotB+cotC，
∴任意交换两个角的位置，y的值不变化.
（2）∵cos（B－C）≤1，
∴y≥cotA+=+2tan=（cot+3tan）≥=.
故当A=B=C=时，ymin=.
评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC中，求证：cotA+cotB+cotC≥.
【例2】在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状.
分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.
解：应用正弦定理、余弦定理，可得
a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.
评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cosA=0.

高一数学三角函数求导公式

高一数学三角函数求导公式

(sinx)=cosx
(cosx)=-sinx
(tanx)=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2
-(cotx)=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2
(secx)=tanxmiddot;secx
(cscx)=-cotxmiddot;cscx
(arcsinx)=1/(1-x^2)^1/2
(arccosx)=-1/(1-x^2)^1/2
(arctanx)=1/(1+x^2)
(arccotx)=-1/(1+x^2)
(arcsecx)=1/(|x|(x^2-1)^1/2)
(arccscx)=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)
④(sinhx)=coshx
(coshx)=sinhx
(tanhx)=1/(coshx)^2=(sechx)^2
(coth)=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2
(sechx)=-tanhxmiddot;sechx
(cschx)=-cothxmiddot;cschx
(arsinhx)=1/(x^2+1)^1/2
(arcoshx)=1/(x^2-1)^1/2
(artanhx)=1/(x^2-1)(|x|1)
(arcothx)=1/(x^2-1)(|x|1)
(arsechx)=1/(x(1-x^2)^1/2)
(arcschx)=1/(x(1+x^2)^1/2)

高一数学教案：《三角函数的诱导公式》教学设计

高一数学教案：《三角函数的诱导公式》教学设计

课题

三角函数的诱导公式

项目

内 容

理论依据或意图

教

材

分

析

教

材

地

位

与

作

用

“三角函数的诱导公式”是普通高中课程标准实验教科书人教A版必修4第一章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六。它是圆的对称性的“代数表示”。利用对称性，探究角的终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，体现“数形结合”的数学思想；诱导公式的主要用途是把任意角的三角函数值问题转化为求锐角的三角函数值，体现“转化”的数学思想。诱导公式学习还反映了从特殊到一般的归纳思维形式，对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力具有积极的作用。本节内容共需二课时，第一课时教学内容为公式二、三、四。第二课时的教学内容为公式五、六。

《高中数学课程标准》

教

学

目

标

1.知识与技能

借助单位圆，推导出诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，掌握有关三角函数求值问题。

2.过程与方法

经历诱导公式的探索过程，体验未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养化归思想。

3.情感、态度与价值观

感受数学探索的成功感，激发学习数学的热情，培养学习数学的兴趣，增强学习数学的信心。

《高中数学课程标准》要求：“倡导通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。发展学生的创新意识，体会蕴含其中的思想方法。”因此，依据教材地位与作用及我校高一学生的实际情况，确定此教学目标。

重

、难

点

教学重点、难点:

1.重点：诱导公式二、三、四的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值，提高对数学内部联系的认识。2.难点：发现圆的对称性与任意角终边的坐标之间的联系；诱导公式的合理运用。

依据教材的地位与作用及教学目标，确定本节课的教学重点、难点。

教 学 过 程

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

活

动

一

：

课

题

引

入

问题1：任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？

问题2：求下列三角函数值：

（1）sin，（2）cos，（3）tan。

1.给学生3分钟左右的时间独立思考，教师请1名学生到黑板上展示其答题情况。

2.抓住学求的三角函数值时产生思维上认识的冲突，引出课题《三角函数的诱导公式》。

1.学生口述三角函数的单位圆定义：sin=y,cos=x,

tan=(x≠0)

2.学生独立思考，尝试用定义解答。1名学生到黑板上板演。

3.根据教师的引导产生探索新知识的欲望。

1.三角函数的定义是学习诱导公式的基础。

2.设置问题情境，产生知识冲突，引发思考，既调动学生学习积极性，激发探究欲望，又顺利导入新课。

活

动

二

：

合

作

探

究

公

式

二

1.根据学生黑板上用定义求角的三角函数值的情况，引导学生思考：

问题3：（1）角和角的终边有何关系？

（2）设角与角的终边分别交单位圆于点P1、P2，点P1的坐标为P1(x，y) ，则点 P2的坐标如何表示？

（3）它们的三角函数值有何关系？

2.教师用几何画板演示角α可以是任意角，引导学生体会从

1.学生观察图形，结合教师的问题发现：角和角数量上相差，图形上它们的终边关于原点对称，与单位圆的交点坐标互为相反数。再根据定义得出角和角三角函数之间的关系。

2.观察教师给出的动画演示,体会角α的任意性，得出任意角α与角π＋α的终边关于

原点对称，其三角函数值之间满足公式二。

1.由特殊 到一般，既符合学生的认知规律。

2.诱导公式的三个式子中，sin（π＋α）=-sinα是第一个解决的问题，由于方法及思路都是未知的，所以采取教师引导，师生合作共同完成的办法。通过脚手架式的提问，引导学生发现推导公式二，体现教师是课堂的组织者、引导者的角色。

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

特殊角到一般角的变化，归纳出公式二：

sin（π＋α）=-sinα，

cos（π＋α）=-cosα，

tan（π＋α）= tanα。

3.练习：求sin2250

3.学生根据公式二求2250的正弦值。

同时为学生自主探索公式三和公式四做了示范作用。

3.及时巩固公式，体会公式的作用。

活

动

三

：

自

主

探

究

公

式

三

、

公

式

四

1.引导学生回顾刚才探索公式二的过程，明确研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系。为学生指明探索公式三、四的方向。

2.探究：给定一个角a。

（1）角π-a和角a的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？

（2）角-a和角a的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？

3.组织学生分组探索角π-a和角a、角-a和角a的三角函数之间的关系。

先让学生先独立思考，然后小组交流。在学生交流时教师巡视，让两个小组到黑板上展示。同时派出优秀学生到其他小组提供帮助。

4.在学生解答后教师用几何画板演示其中的角a也可以为任意角，验证学生的结论。

1.体会研究诱导公式的线路图。画出图形，先独立思考尝试自主解答，一定时间后在组长的带领下展开组内讨论。

2.两个小组的代表到黑板上展示。3至4名优秀学生到其他小组提供帮助。

3.观察教师的动画演示，验证讨论的结论。得到公式三：

sin(-a)= -sin a，

cos(-a)= cos a，

tan(-a)= -tan a。

公式四：

sin(π-α)=sinα，

cos(π-α)=-cosα，

tan(π-α)=-tanα.

4.学生先自由发言，尝试归纳公式的特征。然后在教师的引导下小组交流讨论形成对公式的正确认识。归纳出公式的特征：

的三角函数值，等于a的同名函数

1.回顾探索公式二的过程为学生指明探索方向。

2.通过交流和展示培养学生勇于表达自己观点的意识和学会倾听、学会尊重他人的品质。另外，通过“兵教兵”这种有效的合作学习方式，促进了学生个体间的交流，使课堂的学习氛围显得和谐、自然，体现学生的主体地位。

3.通过学生对公式特征的归纳总结，既加强了对公式的记忆，同时

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

5.引导学生观察公式一、二、三、四， 归纳公式的特征。

值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号。即“函数名不变，符号看象限”。

也锻炼了学生的归纳总结能力。

活

动

四

：

公

式

运

用

练习：利用公式求下列各三角函数值： (1)sin;

(2)cos();

(3)tan(-2040°)

1.让3名学生到黑板上板演，组织全班学生观察纠错。

2.引导学生归纳用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的一般步骤。

1.学生独立完成练习。

2.观察黑板上学生的解答，提出自己的看法。

3.通过这四道题的解答体会、叙述用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的一般步骤：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0~的三角函数→锐角的三角函数。

1.巩固所学公式。调整课本例题所求三角函数值，让知识显得更全面。

2.观察、欣赏黑板上的解答，形成规范格式，培养敢于质疑的品质。体会化归思想。

3.通过对一般步骤的总结，体会化归思想。

活

动

五

：

总

结

反

思

课堂小结：

1.本节课我们学习了什么知识？

2.谈谈您本节课学习的感想！

引导学生回忆诱导公式的内容及其作用。强调探索诱导公式中的思想方法。

1.学生自由发言叙述诱导公式的的内容及作用。

2.1至2名学生谈学习本节课的感受，体会学习过程中的化归思想。

感受探索成果，体验成功的喜悦。

布

置

作

业

1.阅读课本，体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法；

2.必做题：课本29页习题1.3A组 1、2；

3.思考题：给定一个角α，终边与角α的终边关于直线y=x对称的角与角α有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？能否证明？

板

书

设

计

1.3三角函数的诱导公式（一）

角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数间的关系

三角函数之间的关系 数量关系 终边的关系

公式二：

公式从特殊到一般的推导过程

公式三： 　

学生推到公式三、公式四

公式四：

课

后

反

思

成功之处:

（1）问题的设计建立在学生的最近发展区，由特殊到一般的过渡也符合学生认识问题的习惯，有效的突破了教学难点。

（2）教学中围绕“角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数间的关系”这一主线展开教学。教学中渗透了数形结合和化归的数学思想，教给了学生研究问题的方法。

（3）教学中重视给学生积极的评价。通过评价激起学生学习数学的欲望和积极向上的生活态度。

欠缺之处:

（1）备课不仅要备教材还要备足学生。由于对学生的学习习惯和知识水平预判不够，导致在课堂上学生“引而不发”等现象。

（2）对课堂的驾驭能力有待提高。当课堂没有出现教师预想的情形时，教师应随机应变，灵活处理。 (3）教学中问题指向不清晰，语言不简洁，给学生的理解造成一定的困难。

改进措施:

加强课前预设，备足教材，备足学生；规范语言，提高课堂控制能力。

发展方向:

成功的教学过程应该是每一位学生都能积极的参与并得到发展。通过本节课的设计和教学，使我深深认识到教学确实是门遗憾艺术。提高课堂效率，为学生终生发展是一名优秀教师必须考虑的问题，也是我不懈努力的方向。

2012届高考数学备考复习三角变换与解三角形教案

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，教师要准备好教案，这是教师需要精心准备的。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助教师在教学期间更好的掌握节奏。那么，你知道教案要怎么写呢？下面的内容是小编为大家整理的2012届高考数学备考复习三角变换与解三角形教案，但愿对您的学习工作带来帮助。

专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
第二讲三角变换与解三角形
【最新考纲透析】
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。
3．能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
4．能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。
5．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
6．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。

【核心要点突破】
要点考向1：三角变换及求值
考情聚焦：1．利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容。
2．该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与新知识的交汇题。
3．该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题。
考向链接：1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形
（1）；
（2）角的变换；
（3）。
2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：
（1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；
（2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；
（3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。
例1：已知向量,且
(Ⅰ)求tanA的值；
(Ⅱ)求函数R)的值域
解析：（Ⅰ）由题意得mn=sinA-2cosA=0,
因为cosA≠0,所以tanA=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
因为xR,所以.当时，f(x)有最大值，
当sinx=-1时，f(x)有最小值-3
所以所求函数f(x)的值域是
要点考向2：正、余弦定理的应用
考情聚焦：1．利用正、余弦定理解决涉及三角形的问题，在近3年新课标高考中都有出现，预计将会成为今后高考的一个热点。
2．该类问题多数是以三角形或其他平面图形为背景，考查正、余弦定理及三角函数的化简与证明。
3．多以解答题的形式出现，有时也在选择、填空题中出现。
考向链接：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。
2．在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。
例2：（2010辽宁高考理科Ｔ17）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。
【思路点拨】（I）根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角
（II）由（I）知角C＝60°-B代入sinB+sinC中，看作关于角B的函数，进而求出最值
【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故当B＝30°时，sinB+sinC取得最大值1。
【方法技巧】
(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。
(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C＝60°
要点考向3：三角函数的实际应用
考情聚焦：1．有关解三角形及实际应用在高考中有时出现。
2．该类问题以实际问题为背景，其建模后为解三角形问题，与三角函数及三角变换等知识交汇。
3．多以解答题的形式出现，题目不会太难。
例3：（2010江苏高考Ｔ１7）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。
(1)该小组已测得一组、的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？
【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
【思路点拨】（1）分别利用表示AB、AD、BD，然后利用AD—AB=DB求解；
（2）利用基本不等式求解.
【规范解答】（1），同理：，。
AD—AB=DB，故得，解得：。
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知，得，
，（当且仅当时，取等号）
故当时，最大。
因为，则，由的单调性可知：当时，-最大。
故所求的是m。

【高考真题探究】
1．（2010福建高考文科Ｔ2）计算的结果等于（）
A.B.C.D.
【命题立意】本题考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降幂公式，并进行三角的化简求值。
【思路点拨】直接套用倍角公式的逆用公式，即降幂公式即可。
【规范解答】选B，。
【方法技巧】对于三角公式的学习，要注意灵活掌握其变形公式，才能进行灵活的恒等变换。如倍角公式：，的逆用公式为“降幂公式”，即为，，在三角函数的恒等变形中，降幂公式的起着重要的作用。
2．（2010海南宁夏高考理科T16）在中，D为边BC上一点，BD=DC,=120°，AD=2，若的面积为，则=.
【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用.
【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论。列出边与角满足的关系式求解.
【规范解答】设，则，由的面积为可知
，可得，由余弦定理可知
，所以
，所以
由，及
可求得
【答案】60°
【方法技巧】熟练三角形中隐含的角的关系，利用余弦定理或正弦定理找边与角的关系，列出等式求解.
3．（2010天津高考理科Ｔ7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=()
（A）（B）（C）（D）
【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。
【规范解答】选A，根据正弦定理及得：
，
。
【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。
4．（2010北京高考理科Ｔ１0）在△ABC中，若b=1，c=，，则a=。
【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。
【思路点拨】对利用余弦定理，通过解方程可解出。
【规范解答】由余弦定理得，，即，解得或（舍）。
【答案】1
【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。
5．（2010天津高考理科Ｔ１7）已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若，求的值。
【命题立意】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦公式、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力。
【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式；变角，
【规范解答】（1）由，得
所以函数的最小正周期为
因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又
，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1
（Ⅱ）由（1）可知又因为，所以
由，得从而
所以
6．（2010陕西高考理科Ｔ１7）如图，A，B是海面上位于东西方向相距
海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°
的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正、余弦定理，考查了解决三角形问题的能力，属于中档题。
【思路点拨】解三角形
【规范解答】
【跟踪模拟训练】
一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分）
1．（2010届山东省实验高三一诊（文））已知点在第四象限,则角的终边在()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．若，则的值为()
A．B．C．D．
3．函数的最小正周期T=（）
（A）2π（B）π（C）（D）
4．若函数y=f（x）同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π，（2）图象关于直线对称；（3）在区间上是增函数，则y=f（x）的解析式可以是（）
A．B．
C．D．
5．（2010届广东高三六校联考（理））如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝（）
A．2B．5C．4D．1

二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）
7．在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则的面积等于_____
8．若定义在区间上的函数对上的任意个值，，…，，总满足≤，则称为上的凸函数．已知函数在区间上是“凸函数”，则在△中，的最大值是____．
9.已知△ABC的三个内角A，B，C满足cosA(sinB+cosB)+cosC=0,则A=_______.
三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）
10．（本小题满分12分）已知．
（1）求；
（2）求的值．
11．已知函数的最小正周期为.
（1）求在区间上的最大值和最小值；
（2）求函数图象上与坐标原点最近的对称中心的坐标.
12．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且
(Ⅰ)确定角C的大小
（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值。
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．C
5．B
6．【解析】选A.依题意，画出图形.
△CAO是等腰三角形，
∴∠DCO=∠COA=π-2θ.
在Rt△COD中，
CD=COcos∠DCO
=cos（π-2θ）=-cos2θ，
过O作OH⊥AC于H点，则
CA=2AH=2OAcosθ=2cosθ.
∴f(θ)=AC+CD=2cosθ-cos2θ.
7．
8．
9．【解析】∵cosA(sinB+cosB)+cosC=0，
∴cosAsinB+cosAcosB+cos［π-(A+B)］=0，
∴cosAsinB+cosAcosB-cos(A+B)=0，
cosAsinB+cosAcosB-cosAcosB+sinAsinB=0，
即cosAsinB+sinAsinB=0.
又∵sinB≠0,∴cosA+sinA=0,
又A是三角形的内角,∴A=.
答案：
10．解析：（1），
（2）原式＝
=．

11．解析:（1）
当时，
当时，取得最大值为，最小值为
（2）令，得
当时，，当时，，满足要求的对称中心为
12．解析：（1）由及正弦定理得，
……………………………………3分
是锐角三角形，……………………………………6分
（2）解法1：由面积公式得
……………………9分
由余弦定理得
由②变形得……………………………………12分
解法2：前同解法1，联立①、②得
……………………………………9分
消去b并整理得解得
所以故……………………………………12分

【备课资源】