七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版。

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七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版

第三章因式分解

1.因式分解

定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式的积例：axbx

13131

x(ab)3

因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。2.因式分解的方法：

（1）提公因式法：

①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式

或多项式。

系数——取各项系数的最大公约数

字母——取各项都含有的字母

指数——取相同字母的最低次幂

例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是

解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部

3232

分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc，故多项式的公因式是2abc.

②提公因式的步骤第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩

下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要

先提取符号。

2233

例1：把12ab18ab24ab分解因式.

解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。

2233

解：12ab18ab24ab

6ab(2a3b4a2b2)

例2：把多项式3(x4)x(4x)分解因式

解析：由于4x(x4)，多项式3(x4)x(4x)可以变形为3(x4)x(x4),我们可以发现多项

式各项都含有公因式（x4）,所以我们可以提取公因式（x4）后,再将多项式写成积的形式.解：3(x4)x(4x)=3(x4)x(x4)=(3x)(x4)

例3：把多项式x22x分解因式

解：x22x=(x22x)x(x2)（2）运用公式法

定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

a.逆用平方差公式：a2b2(ab)(ab)

b.逆用完全平方公式：a22abb2(ab)2

3

3

2

2

c.逆用立方和公式：ab(ab)(aabb（拓展）)

d.逆用立方差公式：a3b3(ab)(a2abb2（拓展）)

注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项

式，可考虑完全平方公式。

例1：因式分解a214a49

2

解：a14a49=(a7)2

例2：因式分解a2a(bc)(bc)解：a2a(bc)(bc)=(abc)（3）分组分解法（拓展）

①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式abab1分解因式

解：abab1=(aba)(b1)=a(b1)(b1)(a1)(b1)②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.

22

例：将多项式a2ab1b因式分解

22

222

22

解：a2ab1b

=(a2abb)1(ab)1(ab1)(ab1)

2x（4）十字相乘法（形如(pq)xpq(xp)(xq)形式的多项式，可以考虑运用此种方法）

222

方法：常数项拆成两个因数p和q，这两数的和pq为一次项系数

x2(pq)xpq

x2(pq)xpq(xp)(xq)

例：分解因式x2x30分解因式x252x100补充点详解补充点详解

我们可以将-30分解成p×q的形式，我们可以将100分解成p×q的形式，使p+q=-1,p×q=-30,我们就有p=-6,使p+q=52,p×q=100,我们就有p=2,q=5或q=-6,p=5。q=50或q=2,p=50。

所以将多项式x2(pq)xpq可以分所以将多项式x2(pq)xpq可以分解为(xp)(xq)解为(xp)(xq)

x

x5

x2

-6

x50

x2x30(x6)(x5)

3.因式分解的一般步骤：

x252x100(x50)(x2)

如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，

通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明

确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。一、例题解析

提公因式法

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.【例1】分解因式：

⑴15aab

2n1

10abba(n为正整数)

2n

⑵4a2n1bm6an2bm1(m、n为大于1的自然数)

【巩固】分解因式：(xy)2n1(xz)(xy)2n2(yx)2n(yz)，n为正整数.

【例2】先化简再求值，yxyxyxyx2，其中x2，y

2

求代数式的值：(3x2)2(2x1)(3x2)(2x1)2x(2x1)(23x)，其中x.

3

1．2

22221

【例3】已知：bca2，求a(abc)b(cab)c(2b2c2a)的值.

33333

公式法

平方差公式：a2b2(ab)(ab)

①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2①左边相当于一个二次三项式；

②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；

分解因式：x3(xyz)(yza)x2z(zxy)x2y(zxy)(xza).

③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；

④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.一些需要了解的公式：

a3b3(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2)(ab)3a33a2b3ab2b3(ab)3a33a2b3ab2b3

扩展阅读

七年级下册《因式分解》小结与复习学案湘教版

教案课件是老师上课做的提前准备，大家开始动笔写自己的教案课件了。只有制定教案课件工作计划，接下来的工作才会更顺利！适合教案课件的范文有多少呢？以下是小编收集整理的“七年级下册《因式分解》小结与复习学案湘教版”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

七年级下册《因式分解》小结与复习学案湘教版

因式分解
一、因式分解的概念
例1下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的为()
A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4
C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+6x=（x+4）（x-4）
分析：要充分理解因式分解的概念和具体要求.选项A属于整式乘法；B只是分解了局部，没有整体化成整式的积的形式；而D左右两边不相等，不属于恒等变形，因而也不属于分解因式.
解：选C.
二、因式分解的方法
例2因式分解：2(a-3)2-a+3=.
分析：注意到-a+3提出负号后可变成（a-3），所以考虑将负号提出，添括号后提取公因式（a-3）.
解：2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7).
注意：注意本题在提取公因式(a-3)后要将剩余部分合并.
例3因式分解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n).
分析：可将(m+n)看做一个整体，利用完全平方公式分解.
解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n)=(2m)2+2×2m×3(m+n)+[3(m+n)]2=[2m+3(m+n)]2=
(5m+3n)2.
注意：当所要分解的多项式符合公式的“项数”时，注意灵活进行整体运用.
例4因式分解：a2(2x-3)+9(3-2x).
分析：先提取(2x-3)，然后用平方差公式分解，注意后一项的符号变化.
解：a2(2x-3)+9(3-2x)=(2x-3)(a2-9)=(2x-3)(a+3)(a-3).
三、因式分解相关的计算
例5已知x=a+b，y=a-b，用简便方法计算代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2的值.
分析：将代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2用平方差公式分解后，每个括号内合并，然后观察与x，y的关系，再将x=a+b，y=a-b代入求解.
解：(x2+y2)2-(x2-y2)2=(x2+y2+x2-y2)(x2+y2-x2+y2)=2x2·2y2=4x2y2=4(xy)2=4[(a+b)(a-b)]2=
4a4-8a2b2+4b4.
例6计算.
分析：若直接计算，则分母中的计算量很大，考虑括号内的部分能否用完全平方公式分解.
解：==.
四、因式分解相关的说明
例7已知a2+b2=1，x2+y2=1.
试说明：(ax+by)2+(bx-ay)2=1.
分析：将所证式子的左边整理成用a2+b2和x2+y2表示，故考虑将左边因式分解.
(ax+by)2+(bx-ay)2=a2x2+2abxy+b2y2+b2x2-2abxy+a2y2=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2
=(a2+b2)x2+(a2+b2)y2=(a2+b2)(x2+y2).
因为a2+b2=1，x2+y2=1，所以(ax+by)2+(bx-ay)2=1.
注意：此题采用“欲进先退”的策略，即要进行分解因式，先进行整式的乘法，待到式子化简后，再分解因式进行说明.
五、因式分解的实际应用
例8已知大正方形的周长和小正方形的周长相差88cm，它们的面积相差836cm2，求这两个正方形的边长.
分析：设大正方形的边长为xcm，小正方形的边长为ycm，则根据它们的周长相差88cm，可得4(x-y)=88.又因为它们的面积相差836cm2，所以x2-y2=836，根据这两个方程可求出x，y的值，但是两个方程的数值较大，计算复杂，因此可以考虑将x2-y2=836用因式分解法变形，求解.
解：设大正方形的边长为xcm，小正方形的边长为ycm，根据题意得
方程组等价于
将③代入④，得x+y=38⑤.
③和⑤组成方程组得
解得x=30，y=8.
所以大正方形的边长是30cm，小正方形的边长是8cm.
误区点拨
误区一因式对分解的概念理解不透彻
例1下列从左到右的变形是分解因式的是()
A.B.
C.D.=
错解：选B、C、D.
错因分析：B中只是将部分写成积的形式，不符合因式分解的概念，C中是整式的乘法，和因式分解正好互为逆运算；D中的a-1实质上是，不是整式，而分解因式是要求把多项式写成整式的积的形式，所以不正确.
正解：选A.
误区二多项式分解不彻底
例2因式分解a4-2a2+1.
错解：a4-2a2+1=(a2)2-2a2+1=(a2-1)2.
错因分析：括号内的a2-1还可以利用平方差分解，然后利用积的平方写成(a+1)2(a-1)2.
正解：a4-2a2+1=(a2)2-2a2+1=(a2-1)2=(a+1)2(a-1)2.
误区三利用公式出现偏差
例3因式分解(x+y)2-4xy.
错解：(x+y)2-4xy=（x+y+2xy）(x+y-2xy).
错因分析：4xy不是一个整式的平方的形式，不能直接利用平方差公式分解.
正解：(x+y)2-4xy=x2+y2+2xy-4xy=x2+y2-2xy=(x-y)2.
误区四提公因式漏项
例4分解因式3a2bc3-12abc2+3abc.
错解：3a2bc3-12abc2+3abc=3abc(ac2-4c).
错因分析：最后一项提取公因式3abc后，还剩余1单独成一项.
正解：3a2bc3-12abc2+3abc=3abc(ac2-4c+1).
教学反思：

《因式分解-提公因式法》知识点归纳

《因式分解-提公因式法》知识点归纳

★★知识体系梳理
◆因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式；（化和为积）
注意：
1、因式分解对象是多项式；
2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止；
3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性；
◆分解因式的作用
分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。
◆分解因式的一些原则
（1）提公因式优先的原则．即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。
（2）分解彻底的原则．即分解因式必须进行到每一个多项式因式都再不能分解为止。
（3）首项为负的添括号原则．即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“－”号的括号，并遵循添括号法则。
◆因式分解的首要方法—提公因式法
1、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的
因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。
3、使用提取公因式法应注意几点：
（1）提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。
（2）公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。（找最高公因式）
（3）对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。
◆提公因式法分解因式的关键：
1、确定最高公因式；（各项系数的最大公约数与相同因式的最低次幂之积）
2、提出公因式后另一因式的确定；（用原多项式的每一项分别除以公因式）
★★典型例题、方法导航
◆考点一：因式分解的意义
【例1】判断下列变形哪些是因式分解？
（1）---------------------------（）
（2）-------------------（）
（3）--------------------（）
（4）----------------------------------（）
（5）-------------------------------（）
【例2】根据整式乘法与因式分解的关系连线

【例3】已知关于的多项式分解因式为，求的值。

◎变式议练一
1、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）
A、B、
C、D、
2、辨析下列因式分解是否正确，若错误请改正。
（1）分解因式不彻底：
（2）提出公因式后漏项：
◆考点二：提公因式法
【例4】分解因式：
（1）（2）（3）

（4）（5）

◎变式议练二：
1、多项式与多项式的公因式是；
2、若多项式的一个因式是，那么另一个因式是（）
、、、、
3、若是的因式，则p为（）
A、－15B、－2C、8D、2
4、把下列各式分解因式：
（1）（2）

（3）（4）

◆考点三：提公因式法的应用
【例5】计算：（1）（2）

◎变式议练三：
1、已知，，则；
2、计算：；
3、已知，求的值。

◆考点四：能力拓展
【例6】已知，，求的值；

【例7】已知：，求代数式的值。

【例8】已知整数、、使等式对任意的均成立，求的值；（山东省竞赛题)

◎变式议练四：
1、多项式可以分解为两个整式的积，其中一个整式为，求另一个整式；

2、分解因式：

3、（IT杯赛）化简：.

◆◆◆快乐体验
将一个乒乓球的半径增加，其周长增加，将地球的半径增加，其周长增加，比较与的大小；

七年级数学下册《旋转》知识点归纳湘教版

老师在新授课程时，一般会准备教案课件，大家应该开始写教案课件了。对教案课件的工作进行一个详细的计划，可以更好完成工作任务！你们会写适合教案课件的范文吗？下面是小编为大家整理的“七年级数学下册《旋转》知识点归纳湘教版”，仅供您在工作和学习中参考。

七年级数学下册《旋转》知识点归纳湘教版
第五章旋转

一.知识框架

二．知识概念

1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。）2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。3．中心对称图形与中心对称：

中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。

中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。

4.中心对称的性质：

关于中心对称的两个图形是全等形。

关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

一、精心选一选(每小题3分，共30分)

1．下面的图形中，是中心对称图形的是（）

C

2．平面直角坐标系内一点P（－2,3）关于原点对称的点的坐标是（）

A．（3，－2）B．(2,3）C．（－2，－3）D．(2，－3）3．3张扑克牌如图1所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180后得到如图（2）所示，则她所旋转的牌从左数起是（）

A．第一张B．第二张C．第三张D．第四张4．在下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（）

AABCD

5．如图3的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（）

A．向右平移7格

B

．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB为对称轴作轴对称0

C．绕AB的中点旋转180，再以AB为对称轴作轴对称D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格

6．从数学上对称的角度看，下面几组大写英文字母中，不同于另外三组的一组是（）

A．ANEGB．KBXNC．XIHOD．ZDWH

7．如图4，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边和等边△CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相的三角形对数有()．A．1对B．2对C．3对D．4对

8．下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（

）

A30B45C60D90

9．如图5所示，图中的一个矩形是另一个矩形顺方向旋转90°后形成的个数是（）A．l个B．2个

△ABC互得到

时针

C．3个D．4个

10．如图6，ΔABC和ΔADE都是等腰直角三角形，∠C和∠ADE都是直角，点C在AE上，ΔABC绕着A点经过逆时针旋转后能够与ΔADE重合得到图7，再将图23—A—4作为“基本图形”绕

着A点经过逆时针连续旋转得到图7.两次旋转的角度分别为（）

图6

A．45°，90°B．90°，45°C．60°，30°D．30°，60

二、耐心填一填（每小题3分，共24分）11．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过，而且被_____________平分.

12．在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五种图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是_____________．

图

7

13．时钟上的时针不停地旋转，从上午8时到上午11时，时针旋转的旋转角是_____________．

14．如图8，△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得△AB′C′，则△ABB′是三角形.15．已知ａ＜0，则点Ｐ（ａ2，－ａ＋3）关于原点的对称点Ｐ1在第＿＿＿象限

16．如图9，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠D的度数是．

17．如图10，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积是＿＿＿.

18．如图,四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90，AB=AD，AE⊥BC于E，若线段AE=5，则S四边形ABCD

＝。

A

D

BE

三、细心解一解（共46分）

19．（6分）如图12，四边形ABCD的∠BAD=∠C=90,AB=AD,AE⊥BC于E,BEA旋转后能与DFA重合。

(1）旋转中心是哪一点?(2）旋转了多少度?

(3）如果点A是旋转中心，那么点B经过旋转后，点B旋转到什么位置？

20．（4分）如图13，请画出ABC关于点O点为对称中心的对称图形

21．（6分）如图14，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，

△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(4，1)．

①把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；②以原点O为对称中心，再画出与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．

18．（4分）如图15，方格中有一条美丽可爱的小金鱼．(1）若方格的边长为1，则小鱼的面积为．

(2）画出小鱼向左平移3格后的图形（不要求写作图步骤和过程）．22．（6分）如图16,E、F分别是正方形ABCD的边CD、DA上一点，且CE＋AF＝EF，请你用旋转的方法求∠EBF的大小．

23．19．（8

ABC和△DEF．将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．AA

CA

EF

BB(E)B(E)D

图①图②图③

（1）当△DEF旋转至如图②位置，点B(E)，C，D在同一直线上时，AFD与DCA的数量关系

是．2分（2）当△DEF继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）在图③中，连接BO，AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明．