小学一年级数学的教案

九年级数学根的判别式。

教案课件是老师不可缺少的课件，大家应该开始写教案课件了。只有写好教案课件计划，才能够使以后的工作更有目标性！你们知道哪些教案课件的范文呢？下面是小编为大家整理的“九年级数学根的判别式”，希望对您的工作和生活有所帮助。

2.2一元二次方程的解法4

班级姓名学号

学习目标

1、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况

2、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用

3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程

学习重点：一元二次方程的根的情况与系数的关系

学习难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值

教学过程

一、情境引入：

1.一元二次方程的求根公式时什么？用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？

一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是

用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式，进而确定a、b、c的值，再求出b2-4ac的值，当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解；当b2-4ac＜0时，方程无实数解(根)

2.用公式法解下列方程：

⑴x2＋x－1=0⑵x2－2x＋3=0⑶2x2－2x＋1=0

3．观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？

二、探究学习：

1．尝试：

不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？

⑴x2＋2x－8=0⑵x2=4x－4⑶x2－3x=－3

（答案：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根）

问题：你能得出什么结论？

可以发现b2－4ac它的符号决定着方程的解。

2．概括总结．

由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定：

当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根

当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根

当b2－4ac＜0时，方程没有实数根

我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的判别式。

若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？

当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0

当一元二次方程有两个相等的实数根时，b2－4ac=0

当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac＜0

3.概念巩固：

（1）方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac=，所以方程的根的情况是.

（2）下列方程中，没有实数根的方程是（）

A.x2=9B.4x2=3(4x-1)

C.x(x+1)=1D.2y2+6y+7=0

（3）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）

A.b2-4ac＞0B.b2-4ac＜0

C.b2-4ac≤0D.b2-4ac≥0

4.典型例题：

例1不解方程，判断下列方程根的情况：

1、；2、；

3、4、x2-2mx+4（m-1）=0

解：1.∵b2-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0

∴该方程有两个相等的实数根

2.移项，得x2+4x-2=0

∵b2-4ac=16-4×1×（-2）=16-（-8）=16+8=24＞0

∴该方程有两个不相等的实数根

3.移项，得4x2+3x+1=0

∵b2-4ac=9-4×4×1=9-16=-7＜0

∴该方程没有实数根

4.∵b2-4ac=（2m）2-4×1×4（m-1）=4m2-16（m-1）=4m2-16m+16=（2m-4）2≥0

∴该方程有两个实数根

例2：m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根。

解：

∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0

∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0

∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根

例3：m为何值时，关于x的一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：

（1）有两个不相等的实数根？

（2）有两个相等的实数根？

（3）没有实数根？

解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1

∴b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9

（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0

即8m+9＞0∴m＞

（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0

即8m+9=0∴m=

（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0

即8m+9＜0∴m＜

∴当m＞时，方程有两个不相等的实数根

当m=时，方程有两个相等的实数根

当m＜时，方程没有实数根

例4：已知关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k＋3=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

解：∵方程有两个不相等的实数根

∴（2k+1）2-4k（k+3）＞0

4k2+4k+1-4k2-12k＞0

-8k+1＞0即k＜

5.巩固练习：

练习1.不解方程，判断方程根的情况：

（1）x2+3x-1=0;(2)x2-6x+9=0;(3)2y2-3y+4=0(4)x2+5=x

练习2.k取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根？求这时方程的根。

练习3.已知a、b、c分别是三角形的三边，则关于x的一元二次方程

（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）

A、没有实数根B、可能有且仅有一个实数根

C、有两个相等的实数根D、有两个不相等的实数根。

三、归纳总结：

一元二次方程的根的情况与系数的关系？

b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。利用根的判别式可以在不解方程的情况下判断一元二次方程的根的情况；反过来由方程的根的情况也可以得知b2-4ac的符号，进而得出方程中未知字母的取值情况。

【课后作业】

班级姓名学号

1、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（）

A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.不能确定

2、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k=.

3、方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.不能确定

4、关于x的方程x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k()

A.k＞-1B.k≥-1C.k＞1D.k≥0

5、已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m，n的值可以是m=,n=.

6、若方程有实数根，则的范围是_____________________。

7、若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则___________。

8、不解方程，判断下列方程根的情况

（1）；（2）；（3）

（4）3x2－x＋1=3x（5）5（x2＋1）=7x（6）3x2－4x=－4

9、k取何值时，关于x的方程2x2-(k+2)x+2k-2=0有两个相等的实数根.？求出这时方程的根。

10、已知关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2=0有两个不相等的实数根，求k的最大整数值。

11、当m为何值时，方程8mx2＋（8m＋1）x＋2m=0

⑴有两个不相等的实数根？⑵有两个相等的实数根？⑶没有实数根？

12、已知a、b、c为△ABC的三边，且关于x的方程（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状。

扩展阅读

九年级数学上册2.3一元二次方程根的判别式（湘教版）

九年级上册《一元二次方程根的判别式》学案

一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，到写教案课件的时候了。我们制定教案课件工作计划，才能更好地安排接下来的工作！你们清楚教案课件的范文有哪些呢？下面是小编精心为您整理的“九年级上册《一元二次方程根的判别式》学案”，仅供参考，欢迎大家阅读。

九年级上册《一元二次方程根的判别式》学案

一、知识要点：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是用来判别一元二次方程根的情况的；即方程有的实数根；方程有的实数根；方程无实数根。

2、（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=。

（2）以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是。

二、典例精析：

一元二次方程根的判别式

[基础知识]

例1、不解方程，判断关于x的方程(6m-1)x2+6mx+2=0的根的情况。

[跟踪练习]

1、不解方程判断下列方程的根的情况

（1）2x2+3x-4=0（2）3x2+x+5=0（4）7x2+(m+5)x+m-6=0

例2、若关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个实数根，求m的取值范围。

[跟踪练习]

已知关于x的方程(m-1)x2+2(m+2)x+m=0，根据下列条件求实数m的取值范围：

（1）有两个不相等的实数根；

（2）有两个相等的实数根；

（3）有两个实数根；

（4）没有实数根；

（5）有实数根。

[拓展研究]

例3、已知：方程x2-2ax+a2-a-1=0有两个实数根，化简。

[跟踪练习]

已知关于x的方程有两个不相等的实数根。

（1）求m的取值范围；

（2）化简。

例4、已知a、b、c分别为△ABC三条边的长，并且关于x的二次方程2ax2+2bx+c=0有两个相等的实数根，当∠B=90o时试判断△ABC的形状。

例5、已知x2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2m必定有两个不相等的实数根。

同步练习：（中考链接）

1、（2009上海金山）下列一元二次方程没有实数解的是（）

A、x2-2x-1=0B、(x-1)(x-3)=0C、x2-2=0D、x2+x+1=0

2、（2008四川）已知关于x的方程x2-(2k-1)x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（）

A、-2B、-1C、0D、1

3、（2009北京石景山）若关于x的方程2x2-ax+a-2=0有两个相等的实数根，则a的值是。

4、（2008天津）已知关于x的一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是。

5、（2008浙江宁波）已知：关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0

（1）当m取何值时，方程有两个实数根；

（2）当m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根。

一元二次方程根与系数的关系

例1、设x1，x2是方程x2-6x+3=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值。

（1）x1+x2（2）x1x2（3）x12+x22（4）（5）|x1-x2|

[跟踪练习]

若方程2x2-2x-1=0的两根为α、β，不解方程，求①α+β=，②αβ=，③α2+β2=，④=，⑤（α-1）（β-1）=。

例2、已知方程2x2+kx-8=0的一个根是，求另一个根及k的值。

[跟踪练习]

已知一元二次方程x2+4x-m=0的一个根为，则另一个根是，且m=。

例3、已知关于x的方程2x2-mx-2m+1=0的两个实数的平方和等于，求m的值。

[跟踪练习]

1、（2007重庆市）已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x-m2=0的两个不相等的实数根为α、β，满足，求m的值。

2、已知方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根且这两个实数根的平方和比两个实数根的积大21，求m的值。

例4、已知一元二次方程的根为3，-4，求这个方程。

[跟踪练习]

已知一元二次方程的根为-1，2，求这个方程。

例5、（2006青岛市）已知α2+α-1=0，β2+β-1=0且α≠β，则αβ+α+β的值为。

同步练习：

1、（2009兰州）若x1，x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，则的值为。

2、（2008成都）已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx-1=0的一个根，则实数k的值是。

3、（2007锦州）设方程x2+x-2=0的两个根为α、β，则（α-1）（β-1）的值等于。

4、已知是关于x的方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值是。

5、若方程组的解是某个一元二次方程的两个根，则这个一元二次方程是。

6、已知一元二次方程x2-2x+m-1=0。

（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根。

（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且满足x12+x1x2=1，求m的值。

一元二次方程的根的判别式

19.3一元二次方程的根的判别式
一、填空题
1.若方程ax2+bx+c=0（a≠0），则根的判别式为_________;当_________时,方程有两个不相等的实数根,当_______时,方程有两个相等的实数根,则_______时,方程无实数根.
2.利用根的判别式,判断方程根的情况,首先将方程(x-2)(x-5)-16=0化成一般形式是_________,再代入判别式为_________,则方程根的情况___________.
3.不解方程,判断方程根的情况:
(1)4p(p-1)-3=0.△_________,则方程____________:
(2)△_________,则方程__________________.
(3)△___________,则方程_________________.
4.当k_________时,方程x2-2(k+1)x+(k2-2)=0有两个不相等的实数根.
5.当m________时,方程x2-(m+1)x+4=0有两个相等的实数根.
6.如果方程x2-2x+=0没有实数根,那么c的取值是__________.
二、解答题
7．已知关于x的方程（m2-2）x2-2（m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围.

8．证明关于x的方程x2+（k-1）x+（k-3）=0有两个不相等的实数根.

9．已知关于x的方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等的实数根，且a，b，c是△ABC的三条边，判断△ABC的形状.
三、选择题
10．关于x的方程x2-2有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）.
（A）k≥0（B）k＞0（C）k＞-1（D）k≥-1
11．关于x的方程mx2-mx+1=0有两个相等的实数根，则m的取值范围是（）.
（A）m=0（B）m=7（C）m=4（D）m＞4且m≠0

12．若关于x的二次方程2x（kx-4）-x2+6=0无实数根，则k的最小整数应是（）.
(A)-1(B)2(C)3(D)4
13.关于x的方程nx2-(2n-1)x+n=0有两个实数根,则n的值为().
(A)n≤(B)≤且n≠0(C)n≥-(D)n≥-或n≠0

14.若关于y的方程y2-19y+k=0有两个相等的实数根,那么方程y2+19y-k=0的根的情况是().
(A)有两个不相等的实数根(B)有两个相等的实数根
(C)无实数根(D)无法判定
四、填空题
15．若方程组有一个实数根，则m值为__________.

16.已知方程x2-有两个相等的实数根,求锐角a=_________.
五、解答题
17．判断关于y的方程y2+3（m-1）y+2m2-4m+=0的根的情况.

18．当m＞3时，讨论关于x的方程（m-5）x2-2（m+2）x+m=0的实数根的个数.

19．关于x的方程x2+3x+a=0中有整数解，a为非负整数，求方程的整数解.

20．当m=1时，求证关于x的方程（k-3）x2+kmx-m2+6m-4=0有实数根.